양자광학 5장
5 Photon statistics
quantum optics의 과제는 빛의 빔을 고전적인 파동이 아니라 photon의 흐름으로 간주할 때의 결과를 연구하는 것입니다. 그 차이는 다소 미묘한 것으로 밝혀졌으며, 고전 이론의 예측에서 크게 벗어나는 것을 확인하려면 상당히 주의 깊게 살펴보아야 합니다. 이 장에서는 photon 흐름의 통계적 특성이라는 관점에서 이 주제에 접근할 것입니다. 우리는 발생할 수 있는 세 가지 다른 유형의 photon statistics, 즉 Poissonian, super-Poissonian, 그리고 sub-Poissonian에 대해 연구할 것입니다. 여기서 나타나는 핵심 결과는 photodetection 실험에서 Poissonian 및 super-Poissonian statistics의 관측은 빛의 고전 이론과 일치하지만, sub-Poissonian statistics는 그렇지 않다는 것입니다. 따라서 sub-Poissonian photon statistics의 관측은 빛의 photon 특성에 대한 직접적인 확인을 구성합니다. 불행히도 sub-Poissonian 빛은 광학적 손실과 비효율적인 감지에 매우 민감하다는 것이 밝혀졌습니다. 이는 고효율 감지기가 개발된 이후 비교적 최근에야 관측된 이유를 설명합니다.
이 장은 photon statistics의 몇 가지 실용적인 결과에 대한 고찰로 마무리됩니다. 이를 통해 photodetector에서 shot noise의 기원을 논의하고, sub-Poissonian statistics를 가진 빛을 사용하여 이를 어떻게 줄일 수 있는지 고려할 것입니다.
5.1 Introduction
우리는 Fig. 5.1에 설명된 것처럼 photon counter에 의한 빛 빔의 감지를 고려하여 photon statistics에 대한 논의를 시작할 수 있습니다. photon counter는 전자 카운터에 연결된 photomultiplier tube (PMT) 또는 avalanche photodiode (APD)와 같은 매우 민감한 빛 감지기로 구성됩니다. 감지기는 빛 빔에 반응하여 짧은 전압 펄스를 생성하고, 카운터는 사용자가 설정한 특정 시간 간격 내에 방출되는 펄스의 수를 등록합니다. 따라서 photon counter는 방사성 핵의 붕괴에 의해 방출되는 입자를 세는 데 사용되는 가이거 계수기와 매우 유사한 방식으로 작동합니다.
Fig. 5.1 PMT 또는 APD와 펄스 카운팅 전자 장치를 이용한 희미한 빛 빔의 감지.
photon counter와 가이거 계수기 사이의 유사성은 주어진 시간 간격에서 관측할 것으로 예상되는 카운트 수가 일정하지 않을 것임을 분명하게 만듭니다. 가이거 계수기를 사용할 때, 방사성 붕괴 과정의 본질적으로 무작위적인 특성 때문에 count rate는 평균값 주위로 변동합니다. photon counter에서도 동일한 현상이 발생합니다. 평균 count rate는 빛 빔의 강도에 의해 결정되지만, 실제 count rate는 측정할 때마다 변동합니다. 여기서 우리의 관심사는 바로 이 count rate의 변동입니다.
언뜻 보기에 감지기가 개별 펄스를 방출한다는 사실은 입사하는 빛 빔이 우리가 일반적으로 ‘photon‘이라고 부르는 개별 에너지 패킷의 흐름으로 구성되어 있다는 명확하고 결정적인 증거로 보일 수 있습니다. 그렇다면 count rate의 변동은 들어오는 photon 흐름의 통계적 특성에 대한 정보를 제공할 것입니다. 불행히도 이 주장은 그렇게 간단하지 않습니다. photon counter에 의해 등록된 개별 이벤트가 반드시 photon statistics와 관련이 있는지, 아니면 단지 감지 과정의 인공물인지 여부는 광학 물리학에서 오랫동안 논쟁이 되어 온 문제입니다. 이는 우리가 다음 두 가지를 주의 깊게 구별해야 함을 의미합니다.
(1) photodetection 과정의 통계적 특성; (2) 빛 빔의 고유한 photon statistics.
만약 우리가 역사적 관점에서 이 주제에 접근한다면, 잘못된 결론으로 비약하는 위험을 피하기 위해 먼저 photodetection 이론을 살펴보는 것이 타당할 것입니다. 그러나 개념적 관점에서는 빛의 고유한 통계적 특성을 먼저 조사한 다음, 이것이 photodetection 실험 결과와 어떻게 관련되는지 고려하기 위해 돌아가는 것이 더 흥미롭습니다. 우리가 여기서 채택하는 것은 바로 이 두 번째 접근 방식입니다.
photon에서 시작하는 접근 방식을 채택함으로써, 우리는 일부 실험이 photocount 변동을 근본적인 photon statistics에 귀속시킬 때만 설명될 수 있다는 최종 결과를 예상하고 있습니다. 그러나 이 범주에 속하는 실제 실험의 수는 다소 적다는 점을 강조해야 합니다. Section 5.8.1에서 우리는 photon-counting 실험에서 얻은 대부분의 결과가 빛을 고전적으로 취급하지만 감지기에서 광전 효과를 양자화하는 semi-classical 모델로 설명될 수 있음을 보여줄 것입니다. 동시에 이 semi-classical 접근 방식은 빛의 고전 이론으로 설명할 수 없는 효과를 어디서 찾아야 하는지 알려줍니다. 이 두 번째 유형의 실험은 빛의 양자적 특성에 대한 명확한 증거를 제공하기 때문에 특히 흥미롭습니다.
5.2 Photon-counting statistics
Fig. 5.1에 설명된 photon-counting 실험의 결과를 고려해 봅시다. 실험의 기본 기능은 사용자가 지정한 시간 간격 $T$ 내에 감지기에 부딪히는 photon의 수를 세는 것입니다. 우리는 가장 간단한 사례부터 시작하여 각주파수 $\omega$와 일정한 강도 $I$를 가진 완벽하게 coherent한 monochromatic 빔의 감지를 고려합니다. 빛의 양자적 그림에서 우리는 빔이 photon의 흐름으로 구성되어 있다고 간주합니다. photon flux $\Phi$는 단위 시간당 빔의 단면을 통과하는 photon의 평균 수로 정의됩니다. $\Phi$는 에너지 플럭스를 개별 photon의 에너지로 나누어 쉽게 계산할 수 있습니다.
$\Phi = \frac{I A}{\hbar \omega} \equiv \frac{P}{\hbar \omega}$ photons s$^{-1}$, (5.1)
여기서 $A$는 빔의 면적이고 $P$는 전력입니다. photon-counting 감지기는 quantum efficiency $\eta$로 지정되며, 이는 입사 photon 수에 대한 photocount 수의 비율로 정의됩니다. 따라서 카운팅 시간 $T$ 동안 감지기에 등록된 평균 카운트 수는 다음과 같이 주어집니다.
$N(T) = \eta \Phi T = \frac{\eta P T}{\hbar \omega}$. (5.2)
해당하는 평균 count rate $\mathcal{R}$은 다음과 같이 주어집니다.
$\mathcal{R} = \frac{N}{T} = \eta \Phi = \frac{\eta P}{\hbar \omega}$ counts s$^{-1}$. (5.3)
photon-counting 시스템에 등록될 수 있는 최대 count rate는 일반적으로 감지기가 각 감지 이벤트 후 복구하는 데 일정 시간이 필요하다는 사실에 의해 결정되며, 이는 연속적인 카운트 사이에 약 $1 \mu$s의 ‘dead time‘이 경과해야 함을 의미합니다. 이는 $\mathcal{R}$에 대해 약 $10^6$ counts s$^{-1}$의 실질적인 상한을 설정합니다. 최신 감지기의 일반적인 $\eta$ 값이 10% 이상인 경우, eqn 5.3은 photon counter가 광 출력이 약 $10^{-12}$ W 이하인 매우 희미한 빛 빔의 특성을 분석하는 데만 유용하다는 것을 보여줍니다. 더 높은 전력 수준을 가진 빛 빔의 감지는 다른 방법으로 수행되며 Section 5.9에서 논의될 것입니다.
eqn 5.1에 주어진 photon flux와 eqn 5.3에 주어진 감지기 count rate는 모두 빔의 평균 특성을 나타냅니다. 잘 정의된 평균 photon flux를 가진 빛 빔이라도 짧은 시간 간격에서는 photon 수 변동을 보일 것입니다. 이는 빔을 photon으로 잘게 썰어 생기는 본질적인 ‘입자성’의 결과입니다. 간단한 예시를 통해 이를 더 명확하게 볼 수 있습니다. 평균 전력이 1 nW이고 photon 에너지가 2.0 eV인 빛 빔을 고려해 봅시다. 이러한 빔은 1 mW의 전력으로 633 nm에서 작동하는 He:Ne 레이저를 취하고 적절한 필터를 사용하여 $10^6$ 배 감쇠시킴으로써 얻을 수 있습니다. eqn 5.1에서 평균 photon flux는 다음과 같습니다.
$\Phi = \frac{10^{-9}}{2.0 \times (1.6 \times 10^{-19})} = 3.1 \times 10^9$ photons s$^{-1}$.
빛의 속도는 $3 \times 10^8$ m s$^{-1}$이므로, 길이가 $3 \times 10^8$ m인 빔 세그먼트에는 평균적으로 $3.1 \times 10^9$ 개의 photon이 포함됩니다. 더 작은 규모에서 우리는 3 m 빔 세그먼트 내에 평균 31개의 photon이 있을 것으로 예상합니다. 더 작은 세그먼트에서는 평균 photon 수가 소수가 됩니다. 예를 들어, 1 ns의 카운트 시간은 30 cm 빔 세그먼트에 해당하며 평균 3.1개의 photon을 포함합니다. 이제 photon은 개별 에너지 패킷이며 실제 photon 수는 정수여야 합니다. 따라서 Fig. 5.2에 설명된 것처럼 각 빔 세그먼트에는 정수 개의 photon이 있어야 합니다. 다음 섹션에서는 photon이 빔 내의 어느 지점에나 있을 가능성이 동일하다고 가정하면 평균값 위아래로 무작위 변동을 발견한다는 것을 보여줄 것입니다. 만약 우리가 30개의 이러한 빔 세그먼트를 본다면, 다음과 같은 photon 카운트 시퀀스를 발견할 수 있습니다.
1, 6, 3, 1, 2, 2, 4, 4, 2, 3, 4, 3, 1, 3, 6, 5, 0, 4, 1, 1, 6, 2, 2, 6, 4, 1, 4, 3, 4, 6.
Fig. 5.2 평균적으로 3개의 photon을 포함하는 1 nW 전력의 633 nm 빛 빔의 30 cm 단면.
균일한 난수를 기반으로 하는 이 시퀀스의 통계적 분석은 합계 95, 평균 3.16, standard deviation 1.81을 제공합니다. 통계적 변동은 빔 내에서 photon이 정확히 어디에 있는지 알지 못한다는 사실에서 발생합니다. 세그먼트의 길이를 더 작게 만들면 변동이 더욱 분명해집니다. 예를 들어, 100 ps의 시간 간격에 해당하는 3 cm 빔 세그먼트에서 평균 photon 수는 0.31로 떨어집니다. 이제 대부분의 빔 세그먼트는 비어 있으며, 위에서 고려한 30 cm 세그먼트 중 하나에 해당하는 10개의 빔 세그먼트 시퀀스는 다음과 같을 수 있습니다.
1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1.
이 시퀀스는 합계 3, 평균 0.3, standard deviation 0.46을 갖습니다. 시간 간격이 짧을수록 photon이 어디에 있는지 알기가 더 어려워진다는 것이 분명합니다. 따라서 Fig. 5.2에 표시된 30 cm 빔 세그먼트를 0.3 mm 길이와 1 ps 지속 시간의 1000개 간격으로 나누면, 일반적으로 3개의 간격에만 photon이 포함되고 997개는 비어 있음을 알 수 있습니다. 이 1000개의 세그먼트 중 어느 3개에 photon이 포함되어 있는지 예측할 방법이 없습니다. 이러한 예시는 평균 photon flux가 잘 정의된 값을 가질 수 있지만, 짧은 시간 척도에서의 photon 수는 photon의 이산적인 특성으로 인해 변동한다는 것을 보여줍니다. 이러한 변동은 빛의 photon statistics에 의해 설명됩니다. 다음 섹션에서는 가장 간단한 경우, 즉 완벽하게 안정적인 monochromatic 광원부터 시작하여 다양한 유형의 빛의 통계적 특성을 조사할 것입니다.
5.3 Coherent light: Poissonian photon statistics
고전 물리학에서 빛은 전자기파로 간주됩니다. 우리가 상상할 수 있는 가장 안정적인 유형의 빛은 일정한 각주파수 $\omega$, 위상 $\phi$, 그리고 진폭 $\mathcal{E}_0$를 갖는 완벽하게 coherent한 빛 빔입니다.
$\mathcal{E}(x, t) = \mathcal{E}_0 \sin(kx - \omega t + \phi)$, (5.4)
여기서 $\mathcal{E}(x, t)$는 빛 파동의 전기장이고 자유 공간에서 $k = \omega/c$입니다. 임계값보다 훨씬 높게 작동하는 이상적인 단일 모드 레이저에서 방출되는 빔은 이러한 필드에 대한 상당히 좋은 근사치입니다. 빔의 강도 $I$는 진폭의 제곱에 비례하며(eqn 2.28 참조), $\mathcal{E}_0$와 $\phi$가 시간에 무관하다면 일정합니다. 따라서 강도 변동이 없으며 eqn 5.1로 정의된 평균 photon flux는 시간에 따라 일정할 것입니다. (여기서 강도는 광학 주기 동안 $\mathcal{E}(t)^2$의 평균값에 의해 결정되는 것으로 이해됩니다.)
시간 불변의 평균 photon flux를 가진 빛 빔이 그들 사이에 규칙적인 시간 간격을 가진 photon의 흐름으로 구성될 것이라고 생각할 수 있습니다. 사실은 그렇지 않습니다. 우리는 위에서 photon의 이산적인 특성 때문에 짧은 시간 척도에서 통계적 변동이 있어야 함을 보았습니다. 이제 우리는 일정한 강도를 가진 완벽하게 coherent한 빛이 Poissonian photon statistics를 가짐을 보여줄 것입니다. 일정한 전력 $P$의 빛 빔을 고려해 봅시다. 길이 $L$의 빔 세그먼트 내의 평균 photon 수는 다음과 같이 주어집니다.
$\bar{n} = \Phi L/c$, (5.5)
여기서 $\Phi$는 eqn 5.1에 주어진 photon flux입니다. 우리는 $L$이 충분히 커서 $\bar{n}$이 잘 정의된 정수 값을 취한다고 가정합니다. 이제 빔 세그먼트를 길이 $L/N$의 $N$개 하위 세그먼트로 세분화합니다. $N$은 충분히 커서 특정 하위 세그먼트 내에서 photon을 찾을 확률 $p = \bar{n}/N$이 매우 작고, 두 개 이상의 photon을 찾을 확률은 무시할 수 있을 정도로 작다고 가정합니다. (강도가 빔 내의 모든 지점에서 동일하기 때문에 각 하위 세그먼트에 대해 $p$가 동일하다고 가정했습니다.)
이제 묻습니다: $N$개의 하위 세그먼트를 포함하는 길이 $L$의 빔 내에서 $n$개의 photon을 찾을 확률 $\mathcal{P}(n)$은 얼마입니까? 대답은 가능한 모든 순서로 하나의 photon을 포함하는 $n$개의 하위 세그먼트와 photon을 포함하지 않는 $(N - n)$개의 하위 세그먼트를 찾을 확률로 주어집니다. 이 확률은 이항 분포에 의해 주어집니다.
$\mathcal{P}(n) = \frac{N!}{n!(N - n)!} p^n (1 - p)^{N-n}$, (5.6)
이는 $p = \bar{n}/N$과 함께 다음을 제공합니다.
$\mathcal{P}(n) = \frac{N!}{n!(N - n)!} \left( \frac{\bar{n}}{N} \right)^n \left( 1 - \frac{\bar{n}}{N} \right)^{N-n}$. (5.7)
이제 $N \to \infty$일 때의 극한을 취합니다. 이를 위해 먼저 eqn 5.7을 다음 형태로 재정렬합니다.
$\mathcal{P}(n) = \frac{1}{n!} \left( \frac{N!}{(N - n)!N^n} \right) \bar{n}^n \left( 1 - \frac{\bar{n}}{N} \right)^{N-n}$. (5.8)
이제 스털링의 공식을 사용하여:
$\lim_{N \to \infty} [\ln N!] = N \ln N - N$, (5.9)
우리는 다음을 볼 수 있습니다.
$\lim_{N \to \infty} \left[ \ln \left( \frac{N!}{(N - n)!N^n} \right) \right] = 0$.
따라서:
$\lim_{N \to \infty} \left[ \frac{N!}{(N - n)!N^n} \right] = 1$. (5.10)
또한, 이항 정리를 적용하고 $N \to \infty$ 극한에 대한 결과를 $\exp(-\bar{n})$의 급수 전개와 비교함으로써 다음을 볼 수 있습니다.
$\left( 1 - \frac{\bar{n}}{N} \right)^{N-n} = 1 - (N - n)\frac{\bar{n}}{N} + \frac{1}{2!}(N - n)(N - n - 1)\left( \frac{\bar{n}}{N} \right)^2 - \cdots$ $\to 1 - \bar{n} + \frac{\bar{n}^2}{2!} - \cdots$ $= \exp(-\bar{n})$. (5.11)
eqn 5.8에서 이 두 극한을 사용하면 다음을 찾을 수 있습니다.
$\lim_{N \to \infty} [\mathcal{P}(n)] = \frac{1}{n!} \cdot 1 \cdot \bar{n}^n \cdot \exp(-\bar{n})$. (5.12)
따라서 일정한 강도를 가진 coherent 광파에 대한 photon statistics는 다음과 같이 주어짐을 결론지을 수 있습니다. (푸아송 분포의 수학적 특성에 대한 요약은 부록 A에서 찾을 수 있습니다.)
$\mathcal{P}(n) = \frac{\bar{n}^n}{n!} e^{-\bar{n}}, \quad n = 0, 1, 2, \cdots$. (5.13)
이 방정식은 Poisson distribution을 설명합니다. Poissonian statistics는 일반적으로 정수 값만 반환할 수 있는 무작위 과정에 적용됩니다. 우리는 이미 Poissonian statistics의 표준 예시 중 하나, 즉 방사성 소스를 가리키는 가이거 관의 카운트 수를 언급했습니다. 이 경우 카운트 수는 항상 정수이며, 평균 카운트 값 $\bar{n}$은 소스의 반감기, 존재하는 물질의 양, 사용자가 설정한 시간 간격에 의해 결정됩니다. 실제 카운트 값은 방사성 붕괴의 무작위적 특성으로 인해 평균값 위아래로 변동하며, $n$개의 카운트를 등록할 확률은 eqn 5.13의 Poissonian 공식으로 주어집니다. 일정한 강도를 가진 빛 빔에서 개별 photon을 감지하는 photon-counting 시스템의 count rate에도 유사한 상황이 적용됩니다. 이 두 번째 경우, 무작위성은 연속적인 빔을 주어진 시간 하위 간격 내에서 에너지 패킷을 찾을 확률이 동일한 이산적인 에너지 패킷으로 자르는 데서 비롯됩니다. Poisson distribution은 평균값 $\bar{n}$에 의해 고유하게 특성화됩니다. $\bar{n} = 0.1, 1, 5$, 그리고 $10$에 대한 대표적인 분포가 Fig. 5.3에 나와 있습니다. 분포가 $\bar{n}$에서 정점을 이루고 $\bar{n}$이 증가함에 따라 더 넓어지는 것이 분명합니다. 평균값에 대한 통계적 분포의 변동은 일반적으로 variance 측면에서 정량화됩니다. variance는 standard deviation $\Delta n$의 제곱과 같으며 다음과 같이 정의됩니다.
$\text{Var}(n) \equiv (\Delta n)^2 = \sum_{n=0}^{\infty} (n - \bar{n})^2 \mathcal{P}(n)$. (5.14)
Fig. 5.3 평균값 0.1, 1, 5, 10에 대한 푸아송 분포. 각 그림 사이에 수직축 스케일이 변경됨에 유의하십시오.
Poisson statistics에 대해 variance가 평균값 $\bar{n}$과 같다는 것은 잘 알려진 결과입니다(eqn A.10 참조).
$(\Delta n)^2 = \bar{n}$. (5.15)
따라서 평균값 위아래의 photon 수 변동에 대한 standard deviation은 다음과 같이 주어집니다.
$\Delta n = \sqrt{\bar{n}}$. (5.16)
이는 $\bar{n}$이 커질수록 변동의 상대적 크기가 감소함을 보여줍니다. $\bar{n} = 1$이면 $\Delta n = 1$이므로 $\Delta n/\bar{n} = 1$입니다. 반면에 $\bar{n} = 100$이면 $\Delta n = 10$이고 $\Delta n/\bar{n} = 0.1$입니다.
Example 5.1 0.1 pW의 전력으로 514 nm(2.41 eV)에서 작동하는 아르곤 레이저의 감쇠된 빔이 시간 간격이 0.1 s로 설정된 quantum efficiency 20%의 photon-counting 시스템으로 감지됩니다. (a) 평균 카운트 값과 (b) 카운트 수의 standard deviation을 계산하십시오.
Solution (a) 먼저 eqn 5.1에서 photon flux를 계산합니다. 이는 다음을 제공합니다. $\Phi = \frac{10^{-13} \text{ W}}{2.41 \text{ eV}} = 2.59 \times 10^5 \text{ photon s}^{-1}$. 그러면 평균 photon 카운트는 eqn 5.2에 의해 주어집니다. $N = 0.2 \times (2.59 \times 10^5) \times 0.1 = 5180$. (b) 감지된 카운트가 eqn 5.16에 주어진 standard deviation을 갖는 Poissonian statistics를 갖는다고 가정합니다. $\bar{n} \equiv N = 5180$을 사용하면 다음을 찾을 수 있습니다. $\Delta n = \sqrt{5180} = 72$.
5.4 Classification of light by photon statistics
이전 섹션에서 우리는 일정한 광 전력 $P$를 가진 완벽하게 coherent한 빛 빔의 photon statistics를 고려했습니다. 우리는 통계가 eqn 5.16을 만족하는 photon 수 변동을 가진 Poisson distribution에 의해 설명됨을 보았습니다. 고전적인 관점에서 일정한 강도를 가진 완벽하게 coherent한 빔은 상상할 수 있는 가장 안정적인 유형의 빛입니다. 따라서 이는 photon 수 분포의 standard deviation에 따라 다른 유형의 빛을 분류하기 위한 벤치마크를 제공합니다. 일반적으로 세 가지 가능성이 있습니다.
- sub-Poissonian statistics: $\Delta n < \sqrt{\bar{n}}$,
- Poissonian statistics: $\Delta n = \sqrt{\bar{n}}$,
- super-Poissonian statistics: $\Delta n > \sqrt{\bar{n}}$.
세 가지 다른 유형의 통계 간의 차이는 Fig. 5.4에 설명되어 있습니다. 이 그림은 super-Poissonian 및 sub-Poissonian 빛의 photon 수 분포를 동일한 평균 photon 수를 가진 Poisson distribution의 분포와 비교합니다. 우리는 super-Poissonian 및 sub-Poissonian 빛의 분포가 Poisson distribution보다 각각 더 넓거나 좁다는 것을 알 수 있습니다.
Fig. 5.4 Poisson distribution을 가진 빛의 photon statistics와 sub-Poissonian 및 super-Poissonian 빛의 통계 비교. 분포는 동일한 평균 photon 수 $\bar{n} = 100$으로 그려졌습니다. $\bar{n}$의 큰 값 때문에 이 그림에서 분포의 이산적인 특성은 나타나지 않습니다.
super-Poissonian statistics를 가질 것으로 예상되는 빛의 유형을 생각하는 것은 어렵지 않습니다. 강도에 고전적인 변동이 있다면, 일정한 강도를 가진 경우보다 더 큰 photon 수 변동을 관측할 것으로 예상할 것입니다. 완벽하게 안정적인 강도가 Poissonian statistics를 제공하므로, 시간에 따라 변하는 빛 강도를 가진 모든 고전적인 빛 빔은 super-Poissonian photon 수 분포를 가질 것입니다. 다음 섹션에서 우리는 흑체 소스의 thermal light와 방전 램프의 부분적으로 coherent한 빛이 이 범주에 속한다는 것을 볼 것입니다. 이러한 유형의 빛은 강도에 더 큰 변화가 있다는 고전적인 의미와 더 큰 photon 수 변동이 있다는 양자적인 의미 모두에서 완벽하게 coherent한 빛보다 분명히 더 ‘노이즈가 많습니다’. 반면에 sub-Poissonian 빛은 Poissonian 경우보다 더 좁은 분포를 가지며 따라서 완벽하게 coherent한 빛보다 더 ‘조용합니다’. 이제 우리는 완벽하게 coherent한 빔이 고전 광학에서 상상할 수 있는 가장 안정적인 형태의 빛임을 이미 강조했습니다. 따라서 sub-Poissonian 빛은 고전적인 대응물이 없으며, 우리가 만난 non-classical 빛의 첫 번째 예시임이 분명합니다. 말할 필요도 없이 sub-Poissonian 빛의 관측은 상당히 어려우며, 이것이 표준 광학 교재에서 일반적으로 논의되지 않는 이유를 설명합니다. Table 5.1은 이 섹션에서 확립된 기준에 따른 빛의 분류 요약을 제공합니다.
| Photon statistics | Classical equivalents | $I(t)$ | $\Delta n$ |
|---|---|---|---|
| Super-Poissonian | Partially coherent (chaotic), incoherent, or thermal light | Time-varying | $> \sqrt{\bar{n}}$ |
| Poissonian | Perfectly coherent light | Constant | $\sqrt{\bar{n}}$ |
| Sub-Poissonian | None (non-classical) | Constant | $< \sqrt{\bar{n}}$ |
Table 5.1 photon statistics에 따른 빛의 분류. $I(t)$는 광 강도의 시간 의존성입니다.
5.5 Super-Poissonian light
이 섹션에서는 super-Poissonian statistics의 두 가지 예시, 즉 thermal light와 chaotic light를 고려할 것입니다. 우리는 위에서 super-Poissonian 빛이 다음 관계로 정의됨을 보았습니다. (다음 장에서 우리는 super-Poissonian statistics가 photon bunching과 관련될 수 있음을 볼 것입니다. 이 현재 장에서는 photon-counting 실험에 의해 결정된 소스의 통계적 분류에 집중합니다.)
$\Delta n > \sqrt{\bar{n}}$. (5.17)
우리는 또한 super-Poissonian photon statistics가 빛 강도의 변동 측면에서 고전적인 해석을 갖는다고 언급했습니다. 안정적인 광원보다 불안정한 광원을 만드는 것이 항상 더 쉬우며, 따라서 super-Poissonian statistics의 관측은 흔한 일입니다. 동시에 super-Poissonian 소스는 실험실에서 자주 사용되므로 그 특성을 이해하는 것이 중요합니다.
5.5.1 Thermal light
뜨거운 물체에서 방출되는 전자기 복사를 일반적으로 thermal light 또는 black-body radiation이라고 합니다. thermal light의 특성은 온도 $T$의 밀폐된 공동 내의 복사에 통계 역학의 법칙을 적용함으로써 관습적으로 이해됩니다. 복사 패턴은 진동하는 모드의 연속적인 스펙트럼으로 구성되며, 각주파수 범위 $\omega$에서 $\omega + d\omega$ 내의 에너지 밀도는 플랑크의 법칙에 의해 주어집니다.
$\rho(\omega, T) d\omega = \frac{\hbar \omega^3}{\pi^2 c^3} \frac{1}{\exp(\hbar \omega / k_B T) - 1} d\omega$. (5.18)
eqn 5.18의 유도는 복사의 에너지가 양자화되어야 함을 요구합니다. 우리는 각각의 개별 모드를 각주파수 $\omega$의 조화 진동자로 간주하고 양자화된 에너지를 다음과 같이 쓸 수 있습니다(eqn 3.93 참조). (양자 광학에서 우리는 eqn 5.19를 특정 모드에서 각주파수 $\omega$로 여기된 $n$개의 photon이 있다는 의미로 해석합니다.)
$E_n = (n + \frac{1}{2}) \hbar \omega$, (5.19)
여기서 $n$은 $\ge 0$인 정수입니다. 우리는 각주파수 $\omega$에서 공동 내의 단일 복사 모드를 고려합니다. 모드에 $n$개의 photon이 있을 확률은 볼츠만 법칙에 의해 주어집니다. ($\mathcal{P}(n)$의 아래첨자는 확률이 각주파수 $\omega$의 단일 모드에 구체적으로 적용됨을 분명히 합니다.)
$\mathcal{P}_\omega(n) = \frac{\exp(-E_n / k_B T)}{\sum_{n=0}^{\infty} \exp(-E_n / k_B T)}$. (5.20)
eqn 5.19에서 $E_n$을 대입하면 다음을 찾을 수 있습니다.
$\mathcal{P}_\omega(n) = \frac{\exp(-n \hbar \omega / k_B T)}{\sum_{n=0}^{\infty} \exp(-n \hbar \omega / k_B T)}$, (5.21)
이는 다음 형태입니다.
$\mathcal{P}_\omega(n) = \frac{x^n}{\sum_{n=0}^{\infty} x^n}$, (5.22)
여기서
$x = \exp(-\hbar \omega / k_B T)$. (5.23)
등비수열의 합에 대한 일반적인 결과는 다음과 같습니다.
$\sum_{i=1}^k r^{i-1} \equiv \sum_{j=0}^{k-1} r^j = \frac{1 - r^k}{1 - r}$, (5.24)
이는 다음을 의미합니다.
$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1 - x}$, (5.25)
왜냐하면 $x < 1$이기 때문입니다. 따라서 우리는 다음을 찾습니다.
$\mathcal{P}_\omega(n) = x^n(1 - x)$ $\equiv \left( 1 - \exp(-\hbar \omega / k_B T) \right) \exp(-n \hbar \omega / k_B T)$. (5.26)
평균 photon 수는 다음과 같이 주어집니다.
$\bar{n} = \sum_{n=0}^{\infty} n \mathcal{P}_\omega(n)$ $= \sum_{n=0}^{\infty} n x^n (1 - x)$ $= (1 - x)x \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right)$ $= (1 - x)x \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1 - x} \right)$ $= (1 - x)x \frac{1}{(1 - x)^2}$ $= \frac{x}{(1 - x)}$, (5.27)
이는 eqn 5.23에서 대입하면 플랑크 공식을 제공합니다.
$\bar{n} = \frac{1}{\exp(\hbar \omega / k_B T) - 1}$. (5.28)
Equation 5.27은 $x = \bar{n}/(\bar{n}+1)$임을 의미하며, 따라서 우리는 eqn 5.26에 주어진 확률을 $\bar{n}$의 관점에서 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
$\mathcal{P}_\omega(n) = \frac{1}{\bar{n} + 1} \left( \frac{\bar{n}}{\bar{n} + 1} \right)^n$. (5.29)
이 분포를 Bose-Einstein distribution이라고 합니다. eqn 5.26에서 우리는 $\mathcal{P}_\omega(n)$이 $n = 0$일 때 항상 가장 크고 $n$이 증가함에 따라 기하급수적으로 감소함을 볼 수 있습니다. Figure 5.5는 Bose-Einstein distribution을 가진 thermal light의 단일 모드에 대한 photon statistics를 동일한 $\bar{n}$ 값을 가진 Poisson distribution의 통계와 비교합니다. thermal light에 대한 photon 수의 분포가 Poissonian 빛보다 훨씬 넓다는 것이 분명합니다. 열 에너지 변동의 특성을 고려할 때 이는 전혀 놀라운 일이 아닙니다. Bose-Einstein distribution의 variance는 eqn 5.29의 $\mathcal{P}_\omega(n)$을 eqn 5.14에 삽입하여 찾을 수 있습니다(Exercise 5.3 참조).
$(\Delta n)^2 = \bar{n} + \bar{n}^2$. (5.30)
이는 Bose-Einstein distribution의 variance가 항상 Poisson distribution의 variance보다 크며(eqn 5.15 참조), 따라서 thermal light가 eqn 5.17로 정의된 super-Poissonian 빛의 범주에 속함을 보여줍니다. 예를 들어, Fig. 5.5에서와 같이 $\bar{n} = 10$이면 Poisson distribution에 대해 $\Delta n = 3.2$이지만 thermal light에 대해서는 $\Delta n = 10.5$입니다. Bose-Einstein distribution은 복사 필드의 단일 모드에만 적용된다는 점을 강조해야 합니다. 실제로 흑체 복사는 모드의 연속체로 구성되며, 대부분의 실험에서 우리는 다중 모드 thermal light의 특성을 고려해야 합니다. 유사한 주파수를 가진 $N_m$개의 열 모드의 photon 수 variance는 다음과 같이 주어짐을 보여줄 수 있습니다.
$(\Delta n)^2 = \bar{n} + \frac{\bar{n}^2}{N_m}$, (5.31)
이는 $N_m$이 클 때 Poisson distribution에 대한 결과로 환원됩니다. 실제로 열 필드의 단일 모드를 측정하는 것은 매우 어려우며, 따라서 thermal light를 사용한 대부분의 실험에서 측정된 통계는 Poissonian일 것입니다. (Exercise 5.5 참조.) (eqn 5.31의 유도는 예를 들어 Mandel and Wolf (1995, §13.3.2)에서 찾을 수 있습니다. 또한 감지 시간 간격이 길면 강도 변동이 평균화되어 단일 모드 thermal light에 대해서도 Poisson 카운팅 통계를 얻을 수 있다는 점을 지적해야 합니다. 이 점은 다음 하위 섹션에서 더 자세히 설명될 것입니다.)
eqn 5.30에 주어진 단일 모드 variance는 1909년에 원래 주어진 흑체 복사의 에너지 변동에 대한 아인슈타인의 분석을 참조하면 흥미로운 방식으로 해석될 수 있습니다. 통계 역학에 따르면, 열 평형 $\langle E \rangle$에서 평균값으로부터의 에너지 변동 크기는 다음과 같이 주어집니다.
$\langle \Delta E^2 \rangle = k_B T^2 \frac{\partial \langle E \rangle}{\partial T}$. (5.32)
이 결과를 각주파수 범위 $\omega$에서 $\omega + d\omega$ 내의 흑체 복사의 에너지 변동에 적용하면 다음을 얻습니다.
$\langle \Delta E^2 \rangle d\omega = k_B T^2 \frac{\partial}{\partial T} (V \rho d\omega)$ $= k_B T^2 V d\omega \frac{\partial \rho}{\partial T}$ $= \left( \rho \hbar \omega + \frac{\pi^2 c^3}{\omega^2} \rho^2 \right) V d\omega$, (5.33)
여기서 $V$는 공동의 부피이고, $\rho$는 플랑크 공식(eqn 5.18)에 의해 주어진 스펙트럼 에너지 밀도입니다. 이러한 에너지 변동은 다음과 같이 작성하여 모드당 photon 수 변동과 연결될 수 있습니다.
$\langle \Delta E^2 \rangle d\omega = \text{density of states} \times \text{energy fluctuations per mode} \times \text{volume}$ $= \frac{\omega^2}{\pi^2 c^3} d\omega \times \left\langle \left( \Delta(n \hbar \omega) \right)^2 \right\rangle \times V$ $= \frac{\omega^2}{\pi^2 c^3} (\Delta n)^2 (\hbar \omega)^2 V d\omega$, (5.34)
여기서 우리는 상태 밀도에 대해 부록 C의 eqn C.11을 사용했습니다. eqns 5.33과 5.34를 비교하면 다음을 찾을 수 있습니다.
$(\Delta n)^2 = \frac{\pi^2 c^3}{\hbar \omega^3} \rho + \left( \frac{\pi^2 c^3}{\hbar \omega^3} \rho \right)^2$. (5.35)
그런 다음 eqn 5.28을 사용하여 eqn 5.18을 다음과 같이 다시 쓰면:
$\rho = \frac{\hbar \omega^3}{\pi^2 c^3} \bar{n}$, (5.36)
이전과 같이 다음을 찾습니다(eqn 5.30 참조).
$(\Delta n)^2 = \bar{n} + \bar{n}^2$. (5.37)
아인슈타인은 eqn 5.33의 첫 번째 항이 빛의 입자 특성에서 비롯되는 반면, 두 번째 항은 전자기 복사 에너지의 열 변동에서 비롯된다는 것을 깨달았습니다. 따라서 후자의 항은 기원이 고전적이며 wave noise라고 불립니다. 반면에 첫 번째 항은 전자기 복사 에너지의 양자화, 즉 빛의 photon 특성에서 비롯됩니다. (동일한 주장이 eqn 5.37의 첫 번째 및 두 번째 항에 적용됩니다. Poissonian statistics를 제공하는 첫 번째 항은 빛의 양자화에서 발생하는 반면, 두 번째 항은 고전적인 강도 변동에 의해 발생합니다.)
5.5.2 Chaotic (partially coherent) light
방전 램프의 단일 스펙트럼 선에서 나오는 빛을 일반적으로 chaotic light라고 합니다. chaotic light는 부분적인 결합성을 가지며, 결합 시간 $\tau_c$에 의해 결정되는 시간 척도에서 고전적인 강도 변동을 갖습니다. (Section 2.3 참조.) 이러한 강도 변동은 일정한 전력을 가진 소스(즉, 완벽하게 coherent한 소스)보다 photon 수에서 더 큰 변동을 분명히 일으킬 것입니다. (부분적으로 coherent한 빛에 대해 ‘chaotic‘이라는 용어의 사용은 카오스 이론보다 앞선다는 점에 유의하십시오. 카오스 이론은 chaotic light와 아무런 관련이 없습니다.)
chaotic 소스가 감지기에 입사할 때 photocount rate의 변동은 다음과 같이 주어짐을 보여줄 수 있습니다. (예를 들어, Mandel and Wolf (1995, §9.7) 또는 Goodman (1985, §9.2) 참조.)
$(\Delta n)^2 = \langle W(T) \rangle + \langle \Delta W(T)^2 \rangle$, (5.38)
여기서 $W$는 감지 시간 간격 $T$에서의 count rate를 나타냅니다.
$W(T) = \int_t^{t+T} \eta \Phi(t’) dt’$, (5.39)
$\eta$는 감지 효율이고 $\Phi(t)$는 eqn 5.1에 주어진 순간 photon flux입니다. 평균 count rate $\langle W(t) \rangle$는 물론 $\bar{n}$과 같습니다. $\Phi(t)$가 일정하도록 강도 변동이 없다면, eqn 5.38은 $(\Delta n)^2 = \bar{n}$인 Poissonian 경우로 되돌아갈 것입니다. chaotic light에서 photon flux는 결합 시간 정도의 시간 척도에서 빛 강도의 변동으로 인해 일정하지 않습니다. 이러한 강도 변동은 측정 시간 $T$가 결합 시간 $\tau_c$와 비슷하거나 작을 경우 중요할 것입니다. 그러면 eqn 5.38의 두 번째 항이 0이 아니게 되어, 짧은 시간 척도에서 측정할 때 chaotic light가 super-Poissonian임을 의미합니다. 반면에 $T \gg \tau_c$일 때, $\tau_c$ 정도의 시간 척도에서의 강도 변동은 눈에 띄지 않을 것이며 강도는 사실상 일정한 것으로 간주될 수 있습니다. 이 경우 우리는 다시 Poissonian 공식으로 되돌아갑니다. (Loudon (2000, §3.9), 특히 eqns 3.9.22 및 3.9.23 참조.) eqn 5.38의 두 항은 각각 빛의 입자 특성과 관련된 Poissonian statistics와 소스의 고전적인 전력 변동에서 비롯된 것으로 해석될 수 있습니다. 소스의 시간에 따라 변하는 강도로 인한 고전적인 변동은 이전 하위 섹션에서 고려한 흑체 복사의 경우와 유사하게 종종 wave noise라고 불립니다.
5.6 Sub-Poissonian light
sub-Poissonian 빛은 다음 관계로 정의됩니다.
$\Delta n < \sqrt{\bar{n}}$. (5.40)
Fig. 5.4에서 sub-Poissonian 빛이 Poissonian statistics보다 더 좁은 photon 수 분포를 갖는다는 것이 분명합니다. 우리는 Section 5.3에서 일정한 강도를 가진 완벽하게 coherent한 빔이 Poissonian photon statistics를 가짐을 보았습니다. 따라서 우리는 sub-Poissonian 빛이 이 시점까지 우리의 패러다임이었던 완벽하게 coherent한 빛보다 어떻게든 더 안정적이라고 결론짓습니다. 사실, sub-Poissonian 빛은 고전적인 대응물이 없습니다. 따라서 sub-Poissonian statistics의 관측은 빛의 양자적 특성에 대한 명확한 신호입니다. (다음 장에서 우리는 sub-Poissonian photon statistics가 종종 또 다른 순수 양자 광학 효과, 즉 photon antibunching의 관측과 관련이 있음을 볼 것입니다.) 비록 sub-Poissonian 빛의 직접적인 고전적 대응물은 없지만, sub-Poissonian statistics를 발생시키는 조건을 상상하는 것은 쉽습니다. Fig. 5.6(a)에 개략적으로 설명된 것처럼 photon 사이의 시간 간격 $\Delta t$가 동일한 빛 빔의 특성을 고려해 봅시다. 시간 $T$ 동안 이러한 빔에 대해 얻은 photocount는 다음에 의해 결정되는 정수 값이 될 것입니다.
$N = \text{Int} \left( \eta \frac{T}{\Delta t} \right)$, (5.41)
이는 모든 측정에 대해 정확히 동일할 것입니다. 따라서 실험자는 eqn 5.41에 의해 주어진 $\bar{n} = N$을 사용하여 Fig. 5.6(b)에 표시된 히스토그램을 얻을 것입니다. 이는 매우 sub-Poissonian이며 $\Delta n = 0$을 갖습니다.
Fig. 5.6 (a) 그들 사이에 고정된 시간 간격 $\Delta t$를 가진 photon 흐름을 포함하는 빛 빔. (b) 이러한 빔에 대한 Photon-counting statistics.
$\Delta n = 0$인 Fig. 5.6(a)에 표시된 유형의 photon 흐름을 photon number states라고 합니다. photon number states에 대한 자세한 내용은 Chapter 8에서 제공될 것입니다. photon number states는 sub-Poissonian 빛의 가장 순수한 형태입니다. 빔 내의 photon 사이의 시간 간격이 정확히 동일하지는 않지만 Poissonian statistics를 가진 빔에 적절한 무작위 시간 간격보다 여전히 더 규칙적인 다른 유형의 sub-Poissonian 빛을 상상할 수 있습니다. 이러한 유형의 빛은 실험실에서 생성하기가 상당히 쉽지만, 그 감지는 꽤 문제가 있으며 Section 5.10에서 논의될 것입니다.
5.7 Degradation of photon statistics by losses
이전 섹션의 논의에서 sub-Poissonian statistics를 가진 빛이 특히 흥미롭다는 것이 분명해졌을 것입니다. Section 5.10에서 우리는 실험실에서 이러한 빛이 어떻게 관측될 수 있는지 논의할 것입니다. 이를 수행하기 전에 광학적 손실과 관련된 중요한 문제를 다루어야 합니다.
Fig. 5.7 (a) 빛 빔에 대한 투과율 $\mathcal{T}$를 가진 손실 매질의 효과는 (b)에 표시된 것처럼 분할 비율 $\mathcal{T} : (1 - \mathcal{T})$를 가진 빔 스플리터로 모델링할 수 있습니다. 빔 분할 과정은 개별 photon 수준에서 확률적이므로, 들어오는 photon 흐름은 (c) 부분에 표시된 것처럼 투과:반사 비율(이 경우 50:50)에 의해 설정된 확률로 두 출력 쪽으로 무작위로 분할됩니다.
손실 매질을 통과한 후 Fig. 5.7(a)에 표시된 것처럼 감지되는 빛 빔이 있다고 가정해 봅시다. 매질의 투과율이 $\mathcal{T}$라면, Fig. 5.7(b)에 표시된 것처럼 손실을 분할 비율 $\mathcal{T} : (1 - \mathcal{T})$를 가진 빔 스플리터로 모델링할 수 있습니다. 빔 스플리터는 photon을 두 출력 포트 쪽으로 가는 두 개의 흐름으로 분리하여, 들어오는 photon의 $\mathcal{T}$ 비율만이 감지기에 부딪히고 카운트로 등록되도록 합니다. 이제 빔 분할 과정은 개별 photon 수준에서 무작위로 발생하며, 두 출력 경로에 대한 가중 확률은 각각 $\mathcal{T} : (1 - \mathcal{T})$입니다. 따라서 우리는 손실 매질이 확률 $\mathcal{T}$로 들어오는 빔에서 photon을 무작위로 선택한다는 것을 알 수 있습니다. 주어진 데이터 세트의 random sampling에 의해 얻은 분포가 원래 분포보다 더 무작위적이라는 것은 잘 알려져 있습니다. 이 점은 Fig 5.7(c)에 설명되어 있으며, 이는 두 출력 포트 쪽으로 50:50 확률로 분할된 규칙적인 photon 흐름의 경우를 제시합니다. 감지기로 가는 photon 흐름의 시간 간격의 규칙성이 들어오는 photon 흐름에 비해 감소한다는 것이 분명합니다. 따라서 광학적 손실의 random sampling 특성은 photon flux의 규칙성을 저하시키고, $\mathcal{T}$의 낮은 값에 대해서는 결국 시간 간격을 완전히 무작위로 만들 것입니다. 광학적 손실의 빔 스플리터 모델은 photon-counting 실험의 효율성을 감소시키는 여러 가지 다양한 요인을 고려하는 편리한 방법입니다. 이러한 요인에는 다음이 포함됩니다.
(1) 비효율적인 수집 광학 장치, 이로 인해 소스에서 방출된 빛의 일부만 수집됩니다. (2) 흡수, 산란 또는 표면에서의 반사로 인한 광학 구성 요소의 손실; (3) 불완전한 quantum efficiency를 가진 감지기를 사용함으로 인한 감지 과정의 비효율성.
이러한 모든 과정은 photon의 random sampling과 동일합니다. 첫 번째는 소스에서 photon을 무작위로 선택합니다. 두 번째는 빔에서 photon을 무작위로 삭제합니다. 세 번째는 감지될 photon의 하위 집합을 무작위로 선택합니다. 처음 두 개는 photon statistics 자체를 저하시키는 반면, 세 번째는 photon statistics와 photoelectron statistics 사이의 상관관계를 저하시킵니다. 불행히도 이 주장은 sub-Poissonian 빛이 매우 취약하다는 것을 보여줍니다. 모든 형태의 손실과 비효율성은 통계를 Poissonian(무작위) 경우로 저하시키는 경향이 있습니다. 이는 photon statistics에서 큰 양자 효과를 관측하려면 광학적 손실을 피하고 매우 고효율의 감지기를 사용하도록 매우 주의해야 함을 의미합니다.
5.8 Theory of photodetection
이제 발생할 수 있는 다양한 유형의 photon statistics에 익숙해졌으므로, 감지기에 의해 등록된 카운팅 통계와 근본적인 photon statistics 사이의 관계를 고려하는 것이 적절합니다. 우리는 빛이 고전적인 전자기파로 구성되어 있다고 가정하는 photodetection의 semi-classical 이론을 개략적으로 설명하는 것으로 시작합니다. 이를 통해 빛 빔이 실제로 photon의 흐름으로 구성되어 있음을 증명하는 중요한 결과를 강조할 수 있습니다. 그런 다음 photodetection의 완전한 양자 이론에 대한 결과를 제공하고, 따라서 non-classical 효과가 관측될 수 있는 조건을 볼 것입니다. (photon과 감지 통계 사이의 관계는 양자 광학에서 논쟁의 여지가 있는 문제였으며, 비교적 최근에야 결정적으로 해결되었습니다.)
5.8.1 Semi-classical theory of photodetection
Fig. 5.8에 표시된 것처럼 희미한 빛 빔에 의해 조명되는 광전자 증배관과 같은 photon-counting 감지기를 고려해 봅시다. 빛은 감지기의 광전음극에 있는 원자와 상호 작용하고 광전 효과에 의해 개별 전자를 해방시킵니다. 그런 다음 이러한 단일 광전자는 튜브의 증배기 영역에서 더 많은 전자의 방출을 촉발하여 전자 카운터로 감지할 수 있는 충분한 크기의 전류 펄스를 생성합니다. 따라서 계산된 펄스는 광전음극에서 개별 전자의 방출에 해당합니다. (Single-photon avalanche photodiode (SPAD) 감지기도 이제 단일 광자 카운팅 실험에 일반적으로 사용됩니다.)
다음에서 우리는 빛 빔이 강도 $I$의 고전적인 전자기파라고 가정합니다. 광전음극의 원자는 양자화되어 광전자가 빛 빔으로부터 에너지 양자를 흡수한 후 확률적인 방식으로 방출된다고 가정합니다. 출력 펄스 사이의 타이밍의 통계적 특성은 photodetection 과정에 대한 다음 세 가지 가정을 함으로써 설명될 수 있습니다(예를 들어, Goodman (1985) 참조).
- 짧은 시간 간격 $\Delta t$에서 광전자가 방출될 확률은 강도 $I$, 조명된 면적 $A$, 그리고 시간 간격 $\Delta t$에 비례합니다.
- $\Delta t$가 충분히 작다면, 두 개의 광전자를 방출할 확률은 무시할 수 있을 정도로 작습니다.
- 다른 시간 간격에 등록된 광방출 이벤트는 통계적으로 서로 독립적입니다.
가정 (1)로부터 우리는 시간 간격 $t \to t + \Delta t$에서 하나의 광방출 이벤트를 관측할 확률을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$\mathcal{P}(1; t, t + \Delta t) = \xi I(t) \Delta t$, (5.42)
여기서 $\xi$는 조명된 면적에 비례하며 단위 강도당 단위 시간당 방출 확률과 같습니다. 가정 (2)는 동일한 시간 간격에서 이벤트를 관측하지 못할 확률이 다음과 같이 주어짐을 의미합니다.
$\mathcal{P}(0; t, t + \Delta t) = 1 - \mathcal{P}(1; t, t + \Delta t) = 1 - \xi I(t) \Delta t$. (5.43)
이제 묻습니다: 시간 간격 $0 \to t + \Delta t$에서 $n$개의 이벤트를 얻을 확률은 얼마입니까? 이벤트가 통계적으로 독립적이고(가정 3) $\Delta t$가 작다면, 이 결과를 달성하는 방법은 두 가지뿐입니다. 시간 간격 $0 \to t$에서 $n$개의 이벤트가 있고 시간 간격 $t \to t + \Delta t$에서 이벤트가 없거나, 시간 간격 $0 \to t$에서 $n - 1$개의 이벤트가 있고 시간 간격 $t \to t + \Delta t$에서 하나의 이벤트가 있는 것입니다. 따라서 우리는 다음을 가져야 합니다.
$\mathcal{P}(n; 0, t + \Delta t) = \mathcal{P}(n; 0, t)\mathcal{P}(0; t, t + \Delta t) + \mathcal{P}(n - 1; 0, t)\mathcal{P}(1; t, t + \Delta t)$ $= \mathcal{P}(n; 0, t)[1 - \xi I(t)\Delta t] + \mathcal{P}(n - 1; 0, t)\xi I(t)\Delta t$. (5.44)
$\mathcal{P}(n; 0, t) \equiv \mathcal{P}_n(t)$로 쓰고 재정렬하면 다음을 찾을 수 있습니다.
$\frac{\mathcal{P}_n(t + \Delta t) - \mathcal{P}_n(t)}{\Delta t} = \xi I(t)[\mathcal{P}_{n-1}(t) - \mathcal{P}_n(t)]$, (5.45)
이는 극한 $\Delta t \to 0$을 취하면 다음을 제공합니다.
$\frac{d\mathcal{P}_n(t)}{dt} = \xi I(t) [\mathcal{P}_{n-1}(t) - \mathcal{P}_n(t)]$. (5.46)
경계 조건 $\mathcal{P}_0(0) = 1$을 갖는 이 재귀 관계에 대한 일반적인 해는 다음과 같습니다.
$\mathcal{P}_n(t) = \frac{\left[ \int_0^t \xi I(t’) dt’ \right]^n}{n!} \exp \left( - \int_0^t \xi I(t’) dt’ \right)$. (5.47)
eqn 5.47의 유도는 이 책의 범위를 벗어납니다. 그러나 우리는 $I(t)$가 일정한, 즉 $t$에 무관한 가장 간단한 경우에 대해 해가 올바름을 보여줄 수 있습니다. $\xi I = \text{constant} \equiv C$일 때, eqn 5.46은 다음과 같이 환원됩니다. (일정한 강도는 완벽하게 coherent한 빛에 해당합니다.)
$\frac{d\mathcal{P}_n(t)}{dt} + C\mathcal{P}_n(t) = C\mathcal{P}_{n-1}(t)$. (5.48)
$n = 0$의 경우 음수의 카운트 값을 가질 수 없으므로 $\mathcal{P}_{n-1}(t) = 0$이어야 합니다. 따라서 첫 번째 재귀 관계는 다음 형태입니다.
$\frac{d\mathcal{P}_0(t)}{dt} = -C\mathcal{P}_0(t)$, (5.49)
이는 경계 조건 $\mathcal{P}_0(0) = 1$과 함께 다음 해를 갖습니다.
$\mathcal{P}_0(t) = \exp(-Ct)$. (5.50)
$n \ge 1$에 대해 우리는 eqn 5.48에 적분 인자 $e^{Ct}$를 곱하여 다음을 얻습니다.
$\frac{d}{dt} \left( e^{Ct}\mathcal{P}_n(t) \right) = C e^{Ct}\mathcal{P}_{n-1}(t)$, (5.51)
이는 적분하면 다음을 제공합니다.
$\mathcal{P}_n(t) = e^{-Ct} \int_0^t C e^{Ct’} \mathcal{P}_{n-1}(t’) dt’$. (5.52)
eqn 5.50에 의해 주어진 $\mathcal{P}_0(t)$를 사용하여 재귀적으로 풀면 다음을 얻을 수 있습니다.
$\mathcal{P}_1(t) = e^{-Ct} \int_0^t C e^{Ct’} \mathcal{P}_0(t’) dt’ = (Ct) e^{-Ct}$, $\mathcal{P}_2(t) = e^{-Ct} \int_0^t C e^{Ct’} \mathcal{P}_1(t’) dt’ = \frac{(Ct)^2}{2} e^{-Ct}$, $\mathcal{P}_3(t) = e^{-Ct} \int_0^t C e^{Ct’} \mathcal{P}_2(t’) dt’ = \frac{(Ct)^3}{3!} e^{-Ct}$, $\vdots$ $\mathcal{P}_n(t) = e^{-Ct} \int_0^t C e^{Ct’} \mathcal{P}_{n-1}(t’) dt’ = \frac{(Ct)^n}{n!} e^{-Ct}$. (5.53)
$I(t)$가 일정할 때 $\int_0^t \xi I(t’)dt’ = \xi I t = C t$이므로, eqn 5.53이 eqn 5.47과 일치함이 분명합니다. eqn 5.42가 단위 시간당 이벤트 확률이 $\xi I(t)$와 같음을 의미한다는 것을 알면 eqn 5.53을 더 친숙한 형태로 바꿀 수 있습니다. 따라서 $I(t)$가 일정하다면 시간 간격 $0 \to t$에 대한 평균 count rate $\bar{n}$은 다음과 같이 주어집니다.
$\bar{n} = \xi I t \equiv C t$. (5.54)
따라서 우리는 eqn 5.53을 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
$\mathcal{P}_n(t) = \frac{\bar{n}^n}{n!} e^{-\bar{n}}$, (5.55)
이는 $I(t)$가 일정할 때 우리가 Poisson distribution을 얻음을 보여줍니다. (eqn 5.13 참조.) Equation 5.55는 photon의 개념을 전혀 도입하지 않고도 시간에 무관한 강도를 가진 빛을 감지할 때 관측되는 Poissonian photocount statistics를 설명할 수 있음을 보여줍니다. 우리가 요구하는 것은 광전자의 방출이 빛 빔으로부터 에너지 양자의 흡수에 의해 촉발되는 확률적 과정이라는 것뿐입니다. 따라서 photocount statistics의 분석이 근본적인 photon statistics에 대해 반드시 어떤 것을 알려주는 것은 아닙니다. 동시에 semi-classical 이론 내에서는 sub-Poissonian statistics가 불가능하다는 것이 분명합니다. 이는 강도가 일정하면 Poissonian 공식을 얻고, 강도가 시간에 따라 변하면 eqn 5.38에 주어진 super-Poissonian 결과를 얻음을 보여줄 수 있기 때문입니다. 따라서 sub-Poissonian photocount statistics의 관측은 semi-classical 접근 방식이 부적절하다는 명확한 증명을 구성합니다. Section 5.10에서 우리는 sub-Poissonian photodetection statistics의 직접적인 증거를 제공하는 실험적 연구를 설명할 것입니다. 이러한 실험은 빛 감지에 대한 완전한 양자적 취급에 의해서만 설명될 수 있으며, 빛의 양자적 특성을 결정적으로 확립합니다.
5.8.2 Quantum theory of photodetection
photodetection의 양자 이론의 목적은 특정 실험에서 관측된 photocount statistics를 들어오는 photon의 통계와 연관시키는 것입니다. 최종 결과의 유도는 이 작업의 범위를 벗어나며, 이 수준에서는 결론만 인용하고 정성적 수준에서 그 의미를 논의할 수밖에 없습니다. (photodetection의 양자 이론을 더 자세히 추구하고자 하는 학생들은 더 고급 교재를 참조하시기 바랍니다. 예를 들어, Mandel and Wolf (1995, Chapter 14) 또는 Loudon (2000, §6.10)을 참조하십시오.)
평소와 같이 우리는 시간 간격 $T$에서 측정된 photocount statistics를 고려합니다. 우리는 photocount 수의 variance $(\Delta N)^2$와 동일한 시간 간격에 감지기에 부딪히는 photon 수의 해당 variance $(\Delta n)^2$ 사이의 관계에 관심이 있습니다. 이 관계는 다음과 같이 주어집니다. (예를 들어, Loudon (2000, eqn 6.10.8) 참조.)
$(\Delta N)^2 = \eta^2(\Delta n)^2 + \eta(1 - \eta)\bar{n}$, (5.56)
여기서 $\eta$는 감지기의 quantum efficiency이며, 이전에 동일한 시간 간격에 감지기에 입사하는 평균 photon 수 $\bar{n}$에 대한 평균 photocount 수 $N$의 비율로 정의되었습니다(eqn 5.2 참조).
$\eta = \frac{N}{\bar{n}}$. (5.57)
eqn 5.56에서 몇 가지 중요한 결론이 도출됩니다.
- $\eta = 1$이면 $(\Delta N)^2 = (\Delta n)^2$이고 photocount 변동은 입사 photon 흐름의 변동을 충실하게 재현합니다.
- 입사광이 $(\Delta n)^2 = \bar{n}$인 Poissonian statistics를 갖는다면, $\eta$의 모든 값에 대해 $(\Delta N)^2 = \eta\bar{n} \equiv N$입니다. 즉, photocount statistics는 항상 Poisson distribution을 제공합니다.
- $\eta \ll 1$이면, photocount 변동은 근본적인 photon statistics에 관계없이 $(\Delta N)^2 = \eta\bar{n} \equiv N$인 Poissonian 결과로 향하는 경향이 있습니다.
결론은 분명합니다. photon statistics를 측정하려면 고효율 감지기가 필요합니다. 그러한 감지기가 있다면, photocount statistics는 감지기의 효율성이 증가함에 따라 증가하는 충실도로 들어오는 photon statistics의 진정한 척도를 제공합니다. 위의 의견에서 감지기의 quantum efficiency가 광전자와 photon statistics 사이의 관계를 결정하는 중요한 매개변수임이 분명합니다. 우리는 Fig. 5.7(b)를 참조하여 왜 그래야 하는지 이해할 수 있습니다. 효율성 $\eta$의 불완전한 감지기는 그 앞에 투과율 $\eta$의 빔 스플리터가 있는 100% 효율성의 완벽한 감지기와 동일합니다. Section 5.7에서 논의된 바와 같이, 빔 분할 과정의 random sampling 특성은 들어오는 photon의 원래 통계에 관계없이 통계를 점진적으로 무작위화합니다. 매우 낮은 효율성의 극한에서 광전자 사이의 시간 간격은 완전히 무작위가 될 것이며, 카운팅 통계는 가능한 모든 들어오는 분포에 대해 Poissonian이 될 것입니다. 높은 quantum efficiency를 가진 단일 광자 감지기를 생산하는 어려움은 실험실에서 sub-Poissonian statistics를 관측하기 어려운 이유 중 하나입니다. 낮은 효율성의 감지기를 사용하면 photocount statistics는 들어오는 photon 분포에 관계없이 항상 무작위(즉, Poissonian)가 될 것입니다. 그러나 오늘날에는 일부 파장에 대해 50%를 초과하는 quantum efficiency를 가진 단일 광자 감지기를 사용할 수 있습니다. 더욱이 고강도 빔과 photodiode 감지를 사용하는 다른 감지 전략을 사용함으로써 90%에 육박하는 quantum efficiency를 얻을 수 있습니다. 이것이 다음 섹션의 주제입니다.
5.9 Shot noise in photodiodes
이 시점까지 우리는 Fig. 5.1에 스케치된 단일 광자 카운팅 방법에 의한 빛 빔의 감지에 대해서만 독점적으로 생각해 왔습니다. Section 5.2에서 언급했듯이, 이 방법은 약 $10^6$ photons s$^{-1}$ 이하의 플럭스를 가진 매우 약한 빔에만 적합합니다. 많은 경우 우리는 훨씬 더 높은 photon flux의 빛 빔을 다룰 것입니다. 예를 들어, 633 nm에서 1 mW의 전력을 가진 He:Ne 레이저 빔은 eqn 5.1에서 $3.3 \times 10^{15}$ photons s$^{-1}$의 플럭스를 갖습니다. 어떤 감지기도 이 경우 개별 photon을 등록할 만큼 충분히 빠르게 반응할 수 없으며, 우리는 광전자 증배관과 같은 단일 광자 카운팅 감지기의 출력을 완전히 포화시킬 것입니다. 따라서 다른 감지 전략을 사용해야 합니다.
높은 플럭스의 빛 빔을 감지하는 데 사용되는 일반적인 방법은 photodiode 감지기를 사용하는 것입니다. photodiode는 photon이 가전자대에서 전도대로 전자를 여기시킬 때 외부 회로에 전자를 생성하는 반도체 소자입니다. photodiode의 핵심 매개변수는 quantum efficiency $\eta$이며, 이 맥락에서는 입사 photon 수에 대한 외부 회로에 생성된 광전자 수의 비율로 정의됩니다. 따라서 입사 photon flux $\Phi$에 대해 외부 회로에 생성된 전류, 즉 photocurrent $i$는 다음과 같이 주어집니다.
$i = \eta e \Phi \equiv \eta e \frac{P}{\hbar \omega}$, (5.58)
여기서 $e$는 전자의 전하의 절댓값이고, $P$는 빔의 전력이며, $\omega$는 각주파수입니다(eqn 5.1 참조). 비율 $i/P = \eta e/\hbar \omega$를 photodiode의 responsivity라고 하며 단위는 A W$^{-1}$입니다. 따라서 $\eta$의 값은 감지 파장에서 측정된 responsivity로부터 계산할 수 있습니다. (잘 설계된 photodiode는 90%를 초과하는 quantum efficiency를 가질 수 있습니다.) (단일 광자 카운팅에 사용되는 감지기(즉, 광전자 증배관 또는 avalanche photodiode)와 달리 photodiode는 전자 증배 영역을 포함하지 않습니다. 따라서 photodiode의 활성 영역에 생성된 광전자 수와 감지기에 입사하는 photon 수 사이에는 일대일 관계가 있습니다. 이것이 photon에 의해 전도대로 여기된 것과 동일한 전자가 외부 회로로 흐른다는 것을 의미하는 것으로 오해해서는 안 됩니다. 개별 전자와 photon 사이의 대응 관계는 반도체 물질과 전선에서 발생하는 무수히 많은 전자-전자 산란 과정에 의해 손실됩니다. 그러나 전하 흐름은 회로 전체에 걸쳐 보존되며, 감지 전자 장치에 의해 측정되는 전류를 결정하는 것은 바로 이것입니다.)
Figure 5.9(a)는 photodiode (PD) 감지기를 사용한 고강도 빛 빔의 감지에 대한 개략적인 표현을 제공합니다. 빛이 감지기에 입사하고, 결과적인 photocurrent의 시간 의존성은 적절한 증폭 후 오실로스코프에 표시됩니다. 대안으로, photocurrent는 스펙트럼 분석기를 사용하여 주파수 영역에서 분석됩니다. Figure 5.9(b)는 감지 시스템에 대한 단순화된 회로도를 제공합니다. photocurrent $i(t)$는 부하 저항 $R_L$을 통해 흐르며, 이에 따라 시간에 따라 변하는 전압 $i(t)R_L$을 생성합니다. 커패시터 $C$는 전압의 DC 성분을 차단하고, AC 부분은 증폭되어 출력 전압 $V(t)$를 생성합니다. $R_L$ 양단의 DC 전압 측정은 평균 photocurrent $\langle i \rangle$를 결정할 수 있게 해줍니다. (스펙트럼 분석기는 입력에서 시간에 따라 변하는 전압의 푸리에 변환을 표시하는 전자 장치입니다.)
Fig. 5.9 (a) photodiode (PD) 감지기를 사용한 고강도 빛 빔의 감지. photocurrent 변동의 시간 의존성은 들어오는 빔의 photon statistics와 관련이 있습니다. (b) 감지기 회로에 대한 단순화된 다이어그램. 다이오드는 전압 $V_0$로 역방향 바이어스됩니다. 감지기에 생성된 photocurrent $i(t)$는 부하 저항 $R_L$을 통해 흐르고, $R_L$ 양단의 AC 전압은 증폭되어 시간에 따라 변하는 출력 전압 $V(t)$를 생성합니다. 커패시터 $C$는 $R_L$ 양단의 DC 전압이 증폭기 A를 포화시키는 것을 차단합니다.
빛의 통계적 특성을 연구하기 위해 photodiode 감지기를 사용하는 이면의 원리는 빔에 의해 생성된 photocurrent가 입사하는 photon 수의 근본적인 변동 때문에 변동할 것이라는 것입니다. 이러한 photon 수 변동은 $\eta$에 의해 결정되는 충실도로 photocurrent 변동에 반영될 것입니다. 변동은 Fig 5.10(a)에 설명된 것처럼 photocurrent에서 노이즈로 나타납니다. 시간에 따라 변하는 photocurrent $i(t)$는 다음에 따라 시간에 무관한 평균 전류 $\langle i \rangle$와 시간에 따라 변하는 변동 $\Delta i(t)$로 나눌 수 있습니다.
$i(t) = \langle i \rangle + \Delta i(t)$. (5.59)
$\Delta i(t)$의 평균값은 물론 0이어야 하지만, $\Delta i$의 제곱의 평균, 즉 $\langle (\Delta i(t))^2 \rangle$는 0이 아닐 것입니다. photocurrent가 부하 저항 $R_L$을 통해 흐르고, 이는 다시 $i^2 R_L$의 속도로 에너지를 생성하므로, 다음에 따라 시간에 따라 변하는 noise power 측면에서 변동을 분석하는 것이 편리합니다.
$P_{\text{noise}}(t) = (\Delta i(t))^2 R_L$. (5.60)
이 noise power의 푸리에 변환은 적절한 증폭 후 스펙트럼 분석기에 표시될 수 있습니다. Figure 5.10(b)는 일반적으로 얻을 수 있는 noise power 스펙트럼의 유형을 보여줍니다.
Fig. 5.10 (a) Fig. 5.9에서와 같이 photodiode 감지기로 고강도 빛 빔을 감지하여 발생하는 시간에 따라 변하는 photocurrent. $\langle i \rangle$는 평균 photocurrent를 나타내고, $\Delta i$는 평균값으로부터의 변동을 나타냅니다. (b) 주파수 $f$에 대한 photocurrent 노이즈의 일반적인 의존성을 보여주는 $(\Delta i(t))^2$의 푸리에 변환. 빛을 감지하는 데 사용되는 photodiode가 응답 시간 $\tau_D$를 가지며, 광원이 저주파에서 과도한 고전적 노이즈를 갖는다고 가정합니다.
임계값보다 훨씬 높게 작동하는 단일 모드 레이저의 빛으로 photodiode를 조명하면 어떻게 되는지 고려해 봅시다. 이러한 빛은 거의 완벽하게 coherent하며, photon 수 변동이 eqn 5.15를 따르는 Poissonian photon statistics를 가질 것으로 예상됩니다. 따라서 광전자 통계도 다음을 갖는 Poisson distribution을 따를 것입니다.
$(\Delta N)^2 = \langle N \rangle$. (5.61)
$i(t)$는 초당 생성되는 광전자 수에 비례하므로, photocurrent variance $\langle (\Delta i)^2 \rangle$는 다음을 만족할 것입니다.
$\langle (\Delta i)^2 \rangle \propto \langle i \rangle$. (5.62)
$i(t)$의 푸리에 변환을 취한 다음 주파수 대역폭 $\Delta f$ 내에서 전류 변동의 variance를 측정하면 다음을 찾을 수 있습니다.
$\langle (\Delta i)^2 \rangle = 2e \Delta f \langle i \rangle$. (5.63)
해당하는 noise power는 eqn 5.60에서 다음과 같이 주어집니다.
$P_{\text{noise}}(f) = 2e R_L \Delta f \langle i \rangle$. (5.64)
eqns 5.63 및 5.64에 의해 설명된 변동을 shot noise라고 합니다. (‘shot noise‘라는 용어는 원래 산탄총에서 나오는 펠릿의 무작위적인 퍼짐을 설명하는 데 사용되었습니다. 전기적 shot noise는 진공관 전자 장치 시절에 광범위하게 연구되었습니다. 진공관의 전류는 궁극적으로 뜨거운 음극에서 전자의 무작위적인 열 방출에 의해 결정되며, 따라서 Poissonian statistics를 나타냅니다. 반면에 배터리와 저항기가 있는 단순한 옴 회로는 일반적으로 shot noise를 나타내지 않습니다. 대신 전류의 열 변동에서 발생하는 존슨 노이즈를 갖습니다.)
shot noise의 두 가지 특징적인 특성은 eqns 5.63 및 5.64에서 분명합니다.
- 전류 변동의 variance(또는 동등하게 noise power)는 전류의 평균값에 정비례합니다.
- 노이즈 스펙트럼은 ‘백색’입니다. 즉, 주파수에 무관합니다.
두 번째 특성은 Poissonian statistics를 가진 빔에서 photon이 도착하는 사이의 무작위 타이밍의 결과입니다. 노이즈의 ‘백색도’는 물론 photodiode의 응답 시간 $\tau_D$의 영향을 받으며, 이는 실제로 shot noise가 최대 주파수 $\sim (1/\tau_D)$까지만 감지될 수 있음을 의미합니다. 이 점은 Fig. 5.10(b)에 표시된 noise power 스펙트럼의 개략적인 표현에 설명되어 있습니다. 모든 광원은 전기 구동 전류의 노이즈로 인해 약간의 고전적인 강도 변동을 보일 것이며, 레이저는 공동 거울의 기계적 진동으로 인한 추가적인 고전적 노이즈의 영향을 받습니다. 이러한 고전적인 노이즈 소스는 상당히 낮은 주파수에서 강도 변동을 생성하는 경향이 있으므로, 노이즈 스펙트럼은 저주파 극한에서 shot noise 수준보다 훨씬 높은 경향이 있습니다. 그러나 고주파에서는 고전적인 노이즈 소스가 더 이상 존재하지 않으며, 우리는 photon statistics에 의해 발생하는 근본적인 노이즈만 남게 됩니다. 따라서 일반적인 스펙트럼은 저주파에서 shot noise 한계보다 훨씬 높은 노이즈 수준을 보여주지만, Fig. 5.10(b)에 표시된 것처럼 고주파에서는 결국 shot noise 한계에 도달해야 합니다. shot noise는 모든 주파수에 존재하며 Fig. 5.10(b)에 표시된 고주파 롤오프는 감지기 응답 시간에 의해 부과된 주파수 한계만을 반영합니다. (photodetection의 semi-classical 이론에서 Poissonian 광전자 통계에 해당하는 shot noise 수준은 근본적인 감지 한계입니다. 따라서 shot noise 전력 수준을 종종 감지의 quantum limit 또는 표준 quantum limit이라고 합니다. 비슷한 이유로 shot noise를 종종 quantum noise라고 합니다.)
Figure 5.11은 1064 nm에서 작동하는 Nd:YAG 레이저에 대해 측정된 노이즈 스펙트럼을 보여줍니다. noise power는 ‘dBm’ 단위로 지정되며, 이는 다음과 같이 정의된 로그 스케일입니다. (데시벨 스케일 자체는 비율 $r$의 로그 표현을 $10 \times \log_{10} r$로 제공합니다.)
$\text{Power in dBm units} = 10 \times \log_{10} \left( \frac{\text{Power}}{1 \text{ mW}} \right)$. (5.65)
데이터는 레이저가 저주파에서 고전적인 노이즈를 나타내지만 궁극적으로 약 15 MHz에서 shot noise 한계에 도달함을 분명히 보여줍니다. eqn 5.64에 의해 예측된 shot noise와 photocurrent 사이의 선형 관계는 Fig. 5.12에 그려진 데이터에 의해 입증됩니다. 이는 감지기에 입사하는 광 전력의 함수로서 Ti:sapphire 레이저의 고주파 photocurrent noise power를 보여줍니다. 데이터는 광 전력에 따른 noise power의 선형 증가를 보여줍니다. 평균 photocurrent는 eqn 5.58을 통해 평균 전력에 정비례하므로, 결과는 shot noise와 평균 전류 사이의 선형 관계를 분명히 보여줍니다.
Fig. 5.11 100 kHz의 감지 대역폭과 0.7 A W$^{-1}$의 빠른 감지기를 사용하여 1064 nm에서 작동하는 Nd:YAG 레이저에 대해 측정된 레이저 강도 노이즈 스펙트럼. 광 전력과 평균 photocurrent는 각각 66 mW와 46 mA였습니다. (After D.J. Ottaway et al., Appl. Phys. B 71, 163 (2000), reproduced with permission of Springer Science and Business Media.)
Fig. 5.12 930 nm에서 작동하는 Ti:sapphire 레이저에 대해 측정된 3 MHz 대역폭 내 50 MHz에서의 증폭된 photocurrent 노이즈의 전력 의존성. 전력이 0일 때의 오프셋은 감지기 회로에 항상 존재하는 전기적 노이즈에 의해 발생합니다. 이 노이즈는 photocurrent 노이즈와 상관관계가 없으므로 두 노이즈 소스가 그냥 더해져 데이터에서 관측되는 일정한 오프셋으로 이어집니다. (Data by the author.)
Fig. 5.11에서 분명하게 나타나는 저주파 고전적 노이즈는 원칙적으로 제거될 수 있습니다. 이를 수행할 수 있는 두 가지 방법이 Fig. 5.13에 나와 있는데, 바로 ‘noise eater‘와 balanced detector입니다. 먼저 Fig. 5.13(a)에 표시된 noise eater를 고려해 봅시다. 이 그림은 레이저 출력에 비례하는 신호가 전원 공급 장치로 피드백되는 강도 안정화 체계를 보여줍니다. 음성 피드백이 사용되므로, 평균값 이상의 레이저 전력 변동을 보상하기 위해 전원 공급 장치의 출력이 감소하고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 대안으로, 레이저 출력에 비례하는 음의 입력을 가진 변조기를 레이저 뒤에 배치하여 고강도 변동이 더 많이 감쇠되도록 할 수 있습니다. 이러한 체계는 레이저 출력의 고전적인 전력 변동을 (어느 정도) 보상할 수 있지만, 빛에 고유하고 어떤 고전적인 안정화 방법으로도 제거할 수 없는 shot noise에 대해서는 아무것도 할 수 없습니다. 이러한 안정화 체계가 달성할 수 있는 최선은 모든 과도한 고전적 노이즈를 제거하고 출력 노이즈 수준을 shot noise 수준으로 낮추는 것입니다.
이제 Fig. 5.13(b)에 표시된 balanced detector 체계를 고려해 봅시다. 레이저의 출력은 동일한 강도의 두 빔으로 분할되며, 이는 두 개의 동일한 photodiode D1 및 D2로 감지되어 각각 photocurrent $i_1$ 및 $i_2$를 생성합니다. photodiode의 출력은 빼기 신호 $(i_1 - i_2)$가 감지될 수 있도록 연결됩니다. 고전적인 관점에서 두 전류는 동일해야 하므로 출력 신호는 0입니다. 흡수 샘플 S가 D2로 이어지는 경로에 도입되면 $i_2$가 감소하고 양의 신호가 발생합니다. 이런 식으로 얇은 필름 샘플 등에서 매우 작은 흡수 수준을 측정하는 것이 가능합니다. 대안으로, 빔 스플리터 이후 빔 중 하나에 적용된 매우 약한 변조 신호를 감지하는 것이 가능합니다. balanced detector 체계의 핵심은 일반적으로 단일 감지기보다 훨씬 더 나은 신호 대 잡음비를 제공한다는 것입니다. 단일 감지기만 사용한다면 샘플의 존재로 인한 강도의 작은 변화가 레이저 노이즈에 묻힐 수 있습니다. 반면에 balanced detector를 사용하면 고전적인 노이즈가 photocurrent의 빼기에 의해 (적어도 원칙적으로) 정확히 상쇄되며, 강도의 훨씬 더 작은 변화를 분해할 수 있어야 합니다. 그러나 balanced detector 체계는 shot noise를 제거할 수 없다는 점에 유의하십시오. photon의 관점에서 50:50 빔 분할 과정은 무작위이며, 따라서 빛의 photon 특성과 관련된 어떤 노이즈도 상쇄될 수 없습니다. 빛의 양자적 특성이 shot noise를 발생시키므로, 샘플이 없는 상태에서 balanced detector의 출력은 shot noise 수준에 해당할 것입니다. (우리는 Section 7.8에서 balanced detector를 다시 만날 것입니다. 그 논의에서 우리는 다른 관점에서 balanced detector를 분석하고, 샘플이 없는 상태의 shot noise 출력을 50:50 빔 스플리터의 사용되지 않는 입력 포트로 들어가는 진공 모드에 할당할 것입니다.)
Fig. 5.13 (a) 레이저의 전력 출력을 안정화하기 위한 noise eater 체계. 레이저 전력은 빔 스플리터에서 감지기로 출력의 일부를 보내 모니터링됩니다. 감지된 신호는 음성 피드백 루프에서 레이저에 대한 전원 공급 장치를 제어하는 데 사용됩니다. (b) 고전적인 노이즈를 상쇄하기 위한 balanced detection 체계. 빔은 50:50 빔 스플리터에 의해 두 개의 동일한 부분으로 분할되며, 이는 동일한 감지기 D1 및 D2에 입사합니다. 출력은 D1 및 D2의 photocurrent $i_1$ 및 $i_2$의 차이와 같습니다. 샘플 S가 D2로 가는 경로에 삽입되면 감지기의 강도가 더 이상 균형을 이루지 않아 양의 출력이 발생합니다.
이제 shot noise가 정상적인 상황에서 얻을 수 있는 신호 대 잡음비에 실질적인 한계를 설정하기 때문에 광학 과학 및 통신에서 매우 중요하다는 것이 분명해졌을 것입니다. 예를 들어, 특정 주파수에서 강도를 변조하여 레이저 빔에 정보를 인코딩할 수 있습니다. 정보는 수신 회로에서 생성된 photocurrent의 시간 의존성을 분석하여 검색됩니다. 감지된 photocurrent 신호의 크기는 레이저 노이즈로 인한 photocurrent 변동보다 커야 하며, Fig. 5.11을 보면 가장 좋은 전략은 레이저 노이즈가 가장 작은 고주파에서 작업하는 것임을 알 수 있습니다. 이러한 주파수에서 레이저 노이즈는 shot noise 한계에 의해 설정된 photon statistics에 의해 결정됩니다. 따라서 shot noise는 달성할 수 있는 최소 신호 대 잡음비에 기본적인 한계를 부과합니다. shot noise 한계를 이기는 유일한 방법은 sub-Poissonian photon statistics를 가진 non-classical 광원을 사용하는 것입니다. (아래 Section 5.10 참조.) 빛의 감지에 의해 생성된 photocurrent에 shot noise가 존재한다는 것은 photon-counting 감지기에서 Poissonian statistics의 관측에서 발생하는 것과 유사한 기원에 대한 질문을 제기합니다. photon-counting statistics에 대한 eqn 5.56의 논의와 유사하게, photodiode의 광전자 통계는 감지기가 비효율적일 경우 항상 Poisson distribution을 보여줄 것입니다. 더욱이 우리는 미시적 수준에서 photodetection 과정의 확률적 특성 때문에 일정한 강도를 가진 순수하게 고전적인 광파를 감지한 후에도 shot noise를 관측할 것으로 예상할 것입니다. 다음 섹션에서 우리는 sub-Poissonian 빛과 고효율 감지기를 사용한 여러 실험에서 shot noise 한계 미만의 노이즈 수준이 얻어졌음을 볼 것입니다. 이는 노이즈가 photodetection 과정에서 발생하는 semi-classical 접근 방식 내에서는 이해할 수 없으며, 고효율 photodiode의 shot noise가 감지기가 아니라 빛에서 발생할 수 있음을 확립합니다.
Example 5.2 632.8 nm에서 작동하는 10 mW He:Ne 레이저가 50 $\Omega$의 부하 저항을 통해 0.43 A W$^{-1}$의 responsivity를 가진 photodiode로 감지됩니다. 다음을 계산하십시오.
(a) 감지기의 quantum efficiency, (b) 평균 photocurrent, (c) 100 kHz의 대역폭 내에서 제곱평균제곱근(r.m.s.) 전류 변동, (d) 동일한 100 kHz 대역폭에서 20 dB의 전력 이득을 가진 증폭기에 의해 증폭된 후 dBm 단위로 측정된 noise power.
Solution (a) quantum efficiency는 eqn 5.58을 통해 responsivity로부터 계산됩니다. $\eta = \frac{\hbar \omega}{e} \times \frac{i}{P} = 1.96 \text{ V} \times 0.43 \text{ A W}^{-1} = 84\%$. (b) photocurrent는 responsivity로부터 계산됩니다. $i(\text{A}) = \text{responsivity (A W)}^{-1} \times \text{power (W)} = 0.43 \times 0.01 = 4.3 \text{ mA}$. (c) 대역폭 $\Delta f$ 내의 전류 변동의 variance는 eqn 5.63에 의해 주어집니다. 따라서 위에서 계산된 photocurrent에 대한 r.m.s. 변동은 다음과 같이 주어집니다. $\Delta i_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2e \Delta f \langle i \rangle} = (2e \times 10^5 \times 0.0043)^{1/2} = 12 \text{ nA}$. (d) 부하 저항의 noise power는 eqn 5.64에 의해 다음과 같이 주어집니다. $P_{\text{noise}} = 2e \times 50 \times 10^5 \times 0.0043 = 6.9 \times 10^{-15} \text{ W}$. $+20$ dB의 증폭 계수는 $10^{(+20/10)} = 100$의 전력 이득을 의미합니다. 따라서 증폭된 shot noise 전력은 $6.9 \times 10^{-13}$ W가 될 것이며, 이는 eqn 5.65에서 $-91.6$ dBm과 같습니다.
5.10 Observation of sub-Poissonian photon statistics
sub-Poissonian photon statistics의 증명은 두 가지 핵심 측면에 달려 있습니다.
- sub-Poissonian statistics를 가진 광원의 발견;
- 높은 quantum efficiency를 가진 감지기의 개발.
실제로 두 번째 요점은 심각한 한계였습니다. 왜냐하면 eqn 5.56이 보여주듯이 낮은 quantum efficiency의 감지기로는 sub-Poissonian 광전자 통계를 증명할 희망이 없기 때문입니다. 다행히도 이제 많은 파장에 대해 고효율 감지기를 쉽게 사용할 수 있습니다. 이로 인해 sub-Poissonian 빛의 증명이 증가하게 되었습니다. 다음 두 하위 섹션에서 우리는 전기 전원 공급 장치에 의해 구동되는 광원으로부터 sub-Poissonian 빛을 직접 생성하는 방법에 집중합니다. (sub-Poissonian 빛을 생성하는 다른 방법은 Chapters 6-7에서 다룰 것입니다. Sections 6.6 및 6.7은 antibunched 빛의 생성을 설명하는 반면, Section 7.9.2는 비선형 광학에 의한 진폭 압축 빛의 생성을 설명합니다. 그러나 antibunched 빛이 반드시 sub-Poissonian인 것은 아닙니다. Section 6.5.3의 논의를 참조하십시오.)
5.10.1 Sub-Poissonian counting statistics
Figure 5.14는 253.7 nm에서 sub-Poissonian 빛을 생성하기 위한 실험 체계를 보여줍니다. 이 실험은 원자가 photon을 방출하는 데 걸리는 시간이 원자를 여기시키는 데 사용되는 전류의 변동 시간 척도에 비해 짧다는 원리에 따라 작동합니다.
Fig. 5.14 (a) sub-Poissonian 전자 통계를 가진 전류 소스로 고효율 빛 방출기를 구동하여 sub-Poissonian 빛을 생성하기 위한 일반적인 체계. (b) Franck-Hertz 튜브의 Hg 원자로부터 253.7 nm의 sub-Poissonian 자외선을 생성하기 위한 실험 체계. 튜브는 전자 통계가 sub-Poissonian인 공간 전하 제한 모드에서 작동되었습니다. photon은 photomultiplier (PMT)와 photon counter로 감지되었습니다. (After M.C. Teich and B. E. A. Saleh, J. Opt. Soc. Am. B 2, 275 (1985).)
이는 방전관에서 방출되는 photon의 통계적 특성이 전류를 구성하는 전자의 통계적 특성과 밀접한 관련이 있음을 의미합니다. 전자 흐름이 완전히 규칙적이라면 photon flux도 규칙적이며 photon 사이의 시간 간격이 동일하다는 것은 직관적으로 분명합니다. 이 점은 Fig. 5.14(a)에 개략적으로 요약되어 있습니다. 이러한 photon 흐름은 매우 sub-Poissonian이며 시간 간격이 무작위인 일반적인(Poissonian) 경우와 대조됩니다. 이 방법이 잘 작동하려면 방출 과정의 효율성이 높아야 합니다. 그렇지 않으면 전자의 무작위 하위 집합만이 photon을 생성하고, Section 5.7에서 논의된 바와 같이 이러한 random sampling은 원래 photon 분포의 특성이 무엇이든 결국 통계를 무작위화합니다. sub-Poissonian 빛을 생성하는 데 사용되는 실험 장치는 Fig. 5.14(b)에 개략적으로 설명되어 있습니다. 광원은 수은(Hg) 원자로 채워진 Franck-Hertz 튜브로 구성됩니다. 이 원자들은 photon을 생성하기에 충분한 에너지를 가진 전자에 의해 여기된 후 4.887 eV(253.7 nm)에서 photon을 방출합니다. 방전관에서 양극 전류를 구성하는 전자는 음극에서 열 방출에 의해 생성되며 그 에너지는 양극과 음극 사이의 전압에 의해 결정됩니다. 열 방출에 의해 생성된 전자의 통계는 일반적으로 무작위(즉, Poissonian)일 것입니다. 그러나 수은 방출을 시작하는 데 필요한 비교적 작은 튜브 전압(즉, 4.887 V)에서 음극 주위에 공간 전하가 발생한다는 것은 잘 알려져 있습니다. 공간 전하의 존재는 전자 흐름을 규칙화하는 경향이 있으므로 양극 전류에 있는 전자의 통계는 sub-Poissonian입니다. 전자가 수은 원자와 충돌할 때 방출되는 photon은 따라서 sub-Poissonian statistics를 가질 것으로 예상됩니다. Fig. 5.14에 표시된 실험에서 측정된 빛은 Poissonian 값보다 0.16% 작은 variance를 갖는 것으로 밝혀졌습니다. 측정된 효과가 그렇게 작았던 이유는 양극 전류의 전자를 PMT의 광전자로 변환하는 전체 효율이 0.25%에 불과했기 때문입니다. 이 낮은 효율성은 전자-원자 여기 과정의 비효율성(25%), 불완전한 photon 수집 효율(10%), 광학 장치의 불완전한 투과율(83%), 그리고 감지기의 불완전한 quantum efficiency(15%)를 포함한 요인들의 곱에 의해 발생했습니다. 생성된 빛은 아주 약간만 sub-Poissonian이었지만, 이 실험은 원리에 대한 명확한 증명이었으며 훨씬 더 큰 효과를 생성하는 다음 하위 섹션에 설명된 실험을 위한 길을 열었습니다.
5.10.2 Sub-shot-noise photocurrent
(전기 회로에서 sub-Poissonian 전류를 생성하는 것이 sub-Poissonian 빛을 생성하는 것보다 왜 훨씬 쉬운지 간단히 고려해 보는 것이 유익합니다. 음전하를 띤 전자가 서로 밀어낸다는 것은 분명합니다. 더욱이 전자는 페르미온이며 두 개가 동일한 양자 상태를 차지하는 것은 불가능합니다. 이 두 가지 효과 모두 전자를 떨어져 있게 하는 경향이 있으며, 따라서 비교적 작은 열 변동에 의해서만 무작위화되는 규칙적인 흐름을 생성합니다. 이 두 가지 규칙화 메커니즘 중 어느 것도 중성 보손인 photon에 대해서는 작동하지 않으며, 이들은 쉽게 뭉치거나 무작위로 퍼질 수 있습니다.)
Fig. 5.14(a)에 표시된 sub-Poissonian 빛을 생성하기 위한 원리는 방전관보다 훨씬 높은 효율을 갖는 발광 다이오드(LED) 또는 레이저 다이오드(LD)와 같은 고체 방출기로 쉽게 확장될 수 있습니다. Figure 5.15(a)는 LED에서 sub-Poissonian 빛을 생성하고 photodiode로 감지하기 위한 체계를 보여줍니다.
Fig. 5.15 (a) 고효율 LED로부터 sub-Poissonian 빛의 생성 및 photodiode (PD)를 이용한 감지. (b) 875 nm에서 방출하는 AlGaAs LED에 대해 측정되고 quantum efficiency 90%의 photodiode로 측정된 증폭된 photocurrent noise power 스펙트럼. 감지된 평균 photocurrent는 4.7 mA였고, 감지 대역폭은 30 kHz였습니다. 점선으로 표시된 곡선은 4.7 mA의 동일한 전류에 대해 보정된 shot noise 한계에 해당합니다. 증폭기 노이즈는 그래프의 아래쪽 곡선에 표시된 것처럼 shot noise 수준보다 약 9 dB 낮았습니다. (After F. Wölfl et al., J. Mod. Opt. 45, 1147 (1998). © Taylor and Francis, reproduced with permission.)
이 경우 LED는 구동 회로에 직렬 저항 $R$이 있는 배터리에 의해 구동됩니다. 저항의 목적은 흐르는 전류를 제어하는 것이며, 이러한 상황에서 전류 변동은 저항의 열(존슨) 노이즈에 의해 결정됩니다. 저항 양단에 강하된 전압이 $2k_B T/e$보다 크다면(여기서 $T$는 온도), 구동 전류의 변동은 shot noise 수준 미만입니다. (Exercise 5.12 참조.) 실온에서 $2k_B T/e \sim 50$ mV이므로 이 조건은 쉽게 달성되며, 구동 전류는 강하게 sub-Poissonian이 됩니다. LED가 높은 효율을 갖는다면, photon statistics는 구동 전류의 sub-Poissonian 특성을 반영해야 합니다. Figure 5.15(b)는 875 nm에서 작동하는 상업용 AlGaAs LED에 대해 얻은 일반적인 결과를 보여줍니다. photocurrent 노이즈는 약 1 MHz의 주파수에서 shot noise 수준보다 약 1.1 dB(21%) 아래에 있는 것으로 관측됩니다. 더 높은 주파수에서 photocurrent 노이즈는 변조 응답 한계($\sim 5$ MHz) 이상의 주파수에서 LED가 구동 전류를 따라가지 못하기 때문에 shot noise 수준으로 향하는 경향이 있습니다. shot noise 수준 미만의 photocurrent 노이즈 관측은 LED에서 방출되는 photon statistics가 sub-Poissonian임을 분명히 나타냅니다. (sub-shot-noise photocurrent를 증명하기 위한 실험은 감지기의 광 전력 수준이 높을 때 매우 주의 깊게 보정되어야 합니다. 이는 photodiode 응답이 높은 전력에서 포화되는 경향이 있으며, 이로 인해 photocurrent 노이즈의 잘못된 측정으로 이어질 수 있기 때문입니다.)
shot noise 감소를 다음과 같이 정의된 Fano factor $F_{\text{Fano}}$ 측면에서 정량화하는 것이 편리합니다.
$F_{\text{Fano}} = \frac{\text{measured noise}}{\text{shot noise limit}}$. (5.66)
따라서 Fig. 5.15(b)에 표시된 데이터에 대한 Fano factor는 $\sim 1$ MHz에서 0.79입니다. 배터리의 구동 전자를 감지기 회로의 광전자로 변환하는 시스템의 총 효율이 $\eta_{\text{total}}$이라면, 측정된 Fano factor는 다음과 같을 것으로 예상됩니다. (H.A. Bachor et al., Appl. Phys. B 55, 258 (1992) 참조.)
$F_{\text{Fano}} = \eta_{\text{total}} F_{\text{dr}} + (1 - \eta_{\text{total}})$, (5.67)
여기서 $F_{\text{dr}}$은 shot noise 수준에 대한 구동 전류의 노이즈 수준입니다. $F_{\text{dr}} = 1$이면 모든 $\eta_{\text{total}}$ 값에 대해 $F_{\text{Fano}} = 1$을 찾지만, 강하게 sub-Poissonian인 구동 전류의 경우 $F_{\text{dr}} \to 0$이고 $F_{\text{Fano}} \to (1 - \eta_{\text{total}})$입니다. Fig. 5.15(b)의 데이터에서 추론된 0.79의 Fano factor는 LED 방출 효율, photon 수집 효율, 그리고 감지기 quantum efficiency의 곱에서 추론된 총 변환 효율과 밀접하게 일치했습니다. Fig. 5.15에 표시된 원리는 반도체 레이저 다이오드에도 적용할 수 있습니다. 광학 실험에서 이러한 레이저를 사용하면 shot noise 수준보다 상당히 나은 신호 대 잡음비를 얻을 수 있음이 밝혀졌습니다. 레이저 다이오드는 sub-shot-noise 빛 생성의 맥락에서 LED에 비해 여러 가지 이점을 제공합니다. 이들은 일반적으로 더 높은 방출 효율을 가지며 선호하는 방향으로 방출하여 photon 수집을 더 효율적으로 만듭니다. 더욱이 이들은 큰 이득 대역폭을 가지며, 매우 높은 주파수까지 sub-shot-noise 빛의 생성으로 이어집니다. 단점은 레이저 다이오드가 LED보다 다른 노이즈 소스에 훨씬 더 민감하다는 것입니다. 특히, 이들은 공동의 종방향 모드 사이의 전력 분포의 불안정성에 매우 민감합니다. 이는 대부분의 레이저 다이오드가 모든 주파수에서 shot noise 한계보다 훨씬 높은 노이즈 수준을 보여준다는 것을 의미합니다. 실제로 레이저 다이오드에서 sub-shot-noise 빛을 생성하려면 일반적으로 외부 공동을 사용하는 모드 안정화 기술을 통합하여 매우 높은 모드 순도를 가진 단일 모드 레이저가 필요합니다.
Further reading
photon statistics에 대한 더 고급 처리는 예를 들어 Mandel and Wolf (1995) 또는 Loudon (2000)에서 찾을 수 있습니다. 두 교재 모두 광전 감지의 semi-classical 및 양자 이론에 대한 철저한 처리를 제공하며, semi-classical 접근 방식은 Goodman (1985)에도 잘 설명되어 있습니다. Bachor and Ralph (2004)는 sub-Poissonian 빛을 측정하는 데 필요한 실험 기술에 대한 자세한 설명을 제공하며, Yamamoto and Imamoglu (1999)는 LED 및 레이저 다이오드에 의한 sub-Poissonian 빛 생성 이론을 설명합니다. sub-Poissonian 빛에 대한 입문 리뷰 기사는 Teich and Saleh (1990) 및 Rarity (1994)에 의해 제공되었습니다. photon-counting statistics를 측정하고 LED에서 sub-Poissonian 빛을 증명하기 위한 학부 실험은 각각 Koczyk et al. (1996) 및 Funk and Beck (1997)에 의해 설명되어 있습니다.
Exercises
(5.1) 파장 633 nm, 전력 0.01 pW의 빛 빔이 10 ms의 시간 간격으로 quantum efficiency 30%의 photon-counting 시스템으로 감지됩니다. 다음을 계산하십시오.
(a) count rate; (b) 평균 카운트 값; (c) 카운트 값의 standard deviation.
(5.2) 평균값이 50인 Poisson distribution에서 48-52 범위의 카운트 값을 얻을 확률을 계산하십시오. 정확한 확률을 Poisson distribution을 가우스(정규) 분포로 근사하고 카운트 값이 47.5와 52.5 사이에 있을 확률을 계산하여 얻은 확률과 비교하십시오. 평균값 100과 95에서 105 범위에 대해 연습을 반복해 보십시오.
(5.3) eqn 5.30을 증명하십시오.
(5.4) 2000 K에서 작동하는 텅스텐 램프 소스에서 500 nm의 모드당 평균 photon 수를 계산하고, 이 파장에서 $\bar{n} = 1$을 달성하는 데 필요한 온도도 계산하십시오. 10 $\mu$m 파장에 대한 동등한 온도는 얼마입니까?
(5.5) thermal light의 photon statistics를 측정하기 위한 실험에서, 흑체 소스의 복사는 500 nm에 중심을 둔 대역폭 0.1 nm의 간섭 필터로 필터링되어 photon-counting 감지기에 떨어지도록 허용됩니다. 감지기에 입사하는 모드의 수를 계산하고, 따라서 예상되는 통계의 유형을 논의하십시오.
(5.6) 800 nm에서 작동하는 펄스 다이오드 레이저가 초당 $10^8$ 개의 펄스를 방출합니다. 느린 응답 전력계에서 측정된 평균 전력은 1 mW입니다. 레이저 빛이 Poissonian photon statistics를 갖는다는 가정하에, 펄스당 평균 photon 수와 그 standard deviation을 계산하십시오.
(5.7) 이전 질문에 설명된 레이저 빔이 $10^9$ 배 감쇠됩니다. 감쇠된 빔에 대해 다음을 계산하십시오.
(a) 펄스당 평균 photon 수; (b) 하나의 photon을 포함하는 펄스의 비율; (c) 하나 이상의 photon을 포함하는 펄스의 비율.
(5.8) 1000 photons s$^{-1}$의 photon flux를 가진 빔이 quantum efficiency 20%의 감지기에 입사합니다. 카운터의 시간 간격이 10 s로 설정된 경우, 다음 시나리오에 대해 photocount 수의 평균과 standard deviation을 계산하십시오.
(a) 빛이 Poissonian statistics를 갖습니다; (b) 빛이 $\Delta n = 2 \times \Delta n_{\text{Poisson}}$인 super-Poissonian statistics를 갖습니다; (c) 빛이 photon number state에 있습니다.
(5.9) 632.8 nm의 10 mW He:Ne 레이저 빔이 quantum efficiency 90%의 photodiode에 입사합니다. 레이저에 의해 생성된 photocurrent가 50 $\Omega$ 저항을 통해 흐를 때 단위 대역폭당 noise power를 계산하십시오.
(5.10) Fig. 5.11에 표시된 데이터에 사용된 감지기의 quantum efficiency를 추정하십시오.
(5.11) Fig. 5.12에 표시된 데이터에 사용된 photodiode는 레이저 파장에서 0.40 A W$^{-1}$의 responsivity를 가졌습니다. 증폭기의 입력 임피던스가 50 $\Omega$라는 가정하에 증폭기의 전력 이득을 dB 단위로 추정하십시오.
(5.12) 옴 회로에서 온도 $T$일 때 저항 $R$을 통해 흐르는 전류를 고려하십시오. 주파수 대역 $\Delta f$에서의 전류 변동은 존슨 노이즈 공식에 의해 주어집니다.
$\langle (\Delta i)^2 \rangle = 4k_B T \Delta f / R$.
저항 양단에 강하된 전압이 $2k_B T/e$보다 크다면 동일한 평균 전류 값에 대해 존슨 노이즈가 shot noise보다 작음을 보여주고, $T = 300$ K에 대해 이 전압을 평가하십시오.
(5.13) LED의 quantum efficiency는 방출된 photon 수에 대한 소자를 통해 흐르는 전자 수의 비율로 정의됩니다. 800 nm에서 빛을 방출하는 LED가 $R = 1000$ $\Omega$인 저항을 통해 9 V 배터리로 구동됩니다. LED는 40%의 quantum efficiency를 가지며, 방출된 photon의 80%가 90%의 quantum efficiency를 가진 photodiode 감지기에 집중됩니다.
(a) 정상적인 작동 조건에서 LED 양단의 전압 강하가 eV 단위의 photon 에너지와 대략 같다는 점을 고려하여 평균 구동 전류를 계산하십시오. (b) 이전 연습의 결과를 사용하여 $T = 293$ K에 대한 구동 전류의 Fano factor를 계산하십시오. (c) 감지 회로의 평균 photocurrent를 계산하십시오. (d) photocurrent의 Fano factor를 계산하십시오. (e) 10 kHz의 대역폭에 대해 50 $\Omega$ 부하 저항의 photocurrent noise power를 shot noise 수준과 비교하십시오.
(5.14) 에너지 1 pJ, 파장 800 nm의 레이저 펄스가 3 dB km$^{-1}$의 손실을 가진 광섬유를 따라 전송됩니다. 펄스에 photon이 포함되지 않을 확률이 $10^{-9}$를 초과하기 전에 펄스가 전파될 수 있는 최대 거리를 계산하십시오. 이 결과가 데이터 통신에 미치는 영향을 논의하십시오.
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