양자광학 6장
Photon antibunching
이전 장에서 우리는 light beam이 photon statistics에 따라 어떻게 분류될 수 있는지 연구했다. 우리는 Poissonian 및 super-Poissonian statistics의 관측이 classical wave theory로 설명될 수 있지만, sub-Poissonian statistics는 그렇지 않다는 것을 보았다. 따라서 sub-Poissonian statistics는 light의 photon nature에 대한 명확한 signature이다. 이 장에서 우리는 second-order correlation function $g^{(2)}(\tau)$에 따라 light를 정량화하는 다른 방법을 살펴볼 것이다. 이는 light가 antibunched, coherent, 또는 bunched로 묘사되는 대안적인 세 가지 분류로 이어질 것이다. 우리는 antibunched light가 photon 해석에서만 가능하며, 따라서 light의 quantum nature에 대한 또 다른 명확한 signature임을 알게 될 것이다.
우리는 light beam의 time-dependent intensity fluctuation에 대한 classical description으로 시작한다. 이러한 효과는 1950년대에 R. Hanbury Brown과 R. Q. Twiss에 의해 처음으로 자세히 조사되었으며, 그들의 연구는 이후 현대 quantum optics의 발전에 중심적인 중요성을 갖는 것으로 입증되었다. Hanbury Brown–Twiss (HBT) experiment는 자연스럽게 second-order correlation function의 개념으로 이어졌으며, 우리는 다양한 유형의 classical light에 대해 $g^{(2)}(\tau)$가 가질 수 있는 값을 연구할 것이다. 그런 다음 우리는 light의 quantum theory가 classical light wave에서는 완전히 불가능한 $g^{(2)}(\tau)$의 값을 예측할 수 있음을 알게 될 것이다. 이러한 non-classical result를 나타내는 light는 antibunched로 묘사되며, quantum optics에서 특히 흥미롭다. 우리는 photon antibunching의 실험적 증명과 single-photon source에서 antibunched light의 실용적인 응용에 대한 논의로 결론을 맺는다.
6.1 Introduction: the intensity interferometer
Hanbury Brown과 Twiss는 별의 diameter를 측정하는 데 특별한 관심을 가진 astronomer들이었다. 이를 위해 그들은 영국의 Jodrell Bank telescope에서 일하는 동안 intensity interferometer를 개발했다. 그들의 interferometer는 1920년대에 Los Angeles 근처 Mount Wilson의 $2.5\text{ m}$ telescope에서 처음 구현된 Michelson stellar interferometer를 개선하도록 설계되었다.
Figure 6.1(a)는 Michelson stellar interferometer의 schematic diagram을 보여준다. 밝은 별에서 온 light는 거리 $d$만큼 떨어져 있는 두 개의 mirror $\text{M}_1$과 $\text{M}_2$에 의해 수집된다. 각 mirror에서 온 light는 망원경 안의 분리된 slit을 통해 향하게 된다. 두 mirror에 의해 수집된 light가 coherent하다면, 망원경의 focal plane에 interference pattern이 형성될 것이다. 반면에 light가 incoherent하다면 interference pattern은 형성되지 않고 intensity가 단순히 더해질 것이다. 이 실험은 $d$를 변화시키면서 focal plane에서 관찰되는 fringe의 visibility를 연구하는 것으로 구성된다. $d$에 따른 fringe visibility의 변화를 분석하면 별의 angular size를 측정할 수 있다. 지구에서 별까지의 거리를 알고 있다면 실제 diameter를 결정할 수 있다.
우리는 starlight의 temporal coherence가 아니라 spatial coherence를 참조하고 있음을 깨달음으로써 Michelson stellar interferometer가 어떻게 작동하는지 이해할 수 있다. spatial coherence는 light가 interferometer에 도달하는 angle의 spread에 의해 결정된다. interference experiment에서 특정 angle로 도달하는 light는 자체적인 밝고 어두운 fringe 세트를 생성하지만, angle에 따라 달라지는 거리만큼 서로 변위된다. 주의하지 않으면 한 angle에 대한 밝은 fringe가 다른 angle에 대한 어두운 fringe가 발생하는 곳에 위치하게 되고, 그 반대의 경우도 발생할 수 있다. 이는 fringe의 visibility를 씻어내는 효과를 가지며, 따라서 interference pattern은 source로부터의 angle spread가 주의 깊게 제어될 때만 관찰된다는 것이 분명하다.
큰 별이나 은하와 같은 extended source의 angular spread $\delta\theta_s$는 다음과 같이 주어진다:
$\delta\theta_s = D/L,$ (6.1)
여기서 $D$는 그 diameter이고 $L$은 지구로부터의 거리이다. 이는 다음과 같이 주어지는 stellar interferometer의 diffraction-limited angular resolution $\delta\theta_r$과 비교되어야 한다:
$\delta\theta_r = 1.22\lambda/d,$ (6.2)
여기서 $\lambda$는 light의 wavelength이고 $d$는 mirror separation이다. $d$가 망원경 광학계의 diameter보다 클 수 있으므로 원래의 기기에 비해 angular resolution이 향상된다.
반면에 collection mirror가 일반적으로 상대적으로 작기 때문에 light collection efficiency는 더 나쁘다. 따라서 Michelson stellar interferometer는 light collection efficiency를 희생하여 angular resolution을 향상시키며, 밝은 물체를 관찰하는 데만 유용하다.
모든 실용적인 $d$ 값에 대해 $\delta\theta_s \ll \lambda/d$인 이 context에서 point source처럼 행동하는 작고 밝은 별을 향해 stellar interferometer를 가리킨다고 가정해 보자. 이러한 조건에서 기기는 source로부터의 다양한 angle을 분해할 수 없으며, 전체적으로 interference fringe가 관찰될 것이다. 이제 어떤 실용적인 $d$ 값에 대해 $\delta\theta_s > 1.22\lambda/d$가 되도록 큰 별이나 은하와 같은 extended source를 향해 interferometer를 가리킨다고 가정해 보자. $d > 1.22\lambda/\delta\theta_s$인 경우, interferometer는 source로부터의 angle spread를 분해할 수 있으며, light는 spatially incoherent하게 되어 interference fringe가 관찰되지 않을 것이다. 따라서 $d$를 변화시키고 fringe visibility를 기록함으로써 $\delta\theta_s$를 결정할 수 있으며, $L$을 알고 있다면 식 6.1에서 $D$를 추론할 수 있다.
1920년대 Mount Wilson에서 수행된 원래 실험에서 $d$의 최대 실용적인 값은 약 $6\text{ m}$였다. 따라서 angular resolution $\delta\theta_r$은 $\lambda \sim 500\text{ nm}$인 가시광선 스펙트럼 영역의 중간 파장에 대해 약 $10^{-7}\text{ radian}$이었다. 이는 $\delta\theta_s = 2.2 \times 10^{-7}\text{ radian}$을 갖는 Orion constellation의 Betelgeuse와 같은 red giant의 크기를 결정하기에 충분했다. 사실, 이것이 red giant가 발견된 방법이었다.
stellar interferometer의 angular resolution $\delta\theta_r$을 향상시키기 위해 $d$를 증가시켜야 한다는 것은 식 6.2에서 명백하다. 그러나 $d$가 커질수록 interference fringe를 관찰할 만큼 충분히 안정적으로 collection mirror를 유지하는 것이 점점 더 어려워진다. 이 문제를 피하기 위해 Hanbury Brown과 Twiss는 Figure 6.1(b)에 표시된 훨씬 더 간단한 배열을 제안했다. 그들의 실험에서 그들은 선택한 별에서 light를 수집하기 위해 두 개의 분리된 searchlight mirror를 사용하고 이를 별도의 photomultiplier에 직접 집중시켰다. 이는 interference pattern을 형성할 필요성을 피하게 해주었고 실험을 수행하기 훨씬 쉽게 만들었다.
intensity interferometer의 작동 원리는 이 장의 후속 섹션에서 자세히 연구될 것이다. 이 단계에서 우리는 interferometer가 두 photomultiplier에 부딪히는 starlight에 의해 생성된 photocurrent $i_1$과 $i_2$ 사이의 correlation을 측정한다는 점만 지적하면 된다. 이는 electronic multiplying circuit에 의해 수행되므로 실험의 출력은 $i_1 i_2$의 time average에 비례한다. 이는 다시 $I_1 I_2$에 비례하며, 여기서 $I_1$과 $I_2$는 두 detector에 입사하는 light intensity이다. $d$가 작을 때 두 detector는 source의 같은 영역에서 light를 수집하므로 $I_1(t)$와 $I_2(t)$는 같을 것이다. 반면에 $d$가 클 때 detector는 source에서 다른 angle로 도달하는 light를 구별할 수 있으므로 $I_1(t) \neq I_2(t)$가 되고 $I_1(t)I_2(t)$의 average는 다를 것이다. 따라서 detector의 출력은 $d$에 따라 달라지며, 이는 별의 angular spread를 결정하는 또 다른 방법을 제공한다.
Hanbury Brown과 Twiss는 1955-6년 겨울 동안 stellar interferometer를 테스트하기 위해 일련의 실험을 수행했다. 그들은 Sirius 별에 대해 $\delta\theta_s = 3.3 \times 10^{-8}\text{ radian}$을 얻음으로써 그들의 방법의 타당성을 입증했으며, 이는 다른 방법으로 결정된 값과 잘 일치했다. Hanbury Brown은 그 후 호주의 더 맑은 하늘로 이동하여 최대 $188\text{ m}$의 $d$ 값을 갖는 더 큰 버전의 interferometer를 설치했다. 이 개선된 기기의 angular resolution은 $2 \times 10^{-9}\text{ radian}$이었으며, 이는 처음으로 수백 개의 더 밝은 별의 diameter 측정으로 이어졌다.
quantum optics에 대한 현재 연구의 맥락에서 HBT experiment에 대한 관심은 결과의 해석에 있다. 우리는 위에서 interferometer가 두 개의 분리된 photodetector에 의해 기록된 light intensity 사이의 correlation을 측정한다고 언급했다. 이는 많은 개념적 어려움을 제기한다. 각각의 개별 photodetection event가 통계적인 quantum process라면, 분리된 event가 어떻게 서로 correlated될 수 있는가?
개념적 어려움은 Section 5.8.1에서 취한 것과 같은 semi-classical approach를 취함으로써 해결될 수 있으며, 여기서 light는 classically 다루어지고 quantum theory는 photodetection process 자체에만 도입된다. 이 접근법은 HBT experiment의 원래 비평가들을 만족시키기에 충분했다. 그러나 우리가 light를 진정으로 quantum object로 다룬다면 제기된 반론은 완벽하게 타당하다는 것이 밝혀졌다. 사실, light의 quantum theory는 classical light에서는 불가능한 HBT experiment의 결과를 예측한다. 이 장의 목적은 이러한 quantum optical effect가 어떻게 관찰될 수 있는지 설명하고 이를 생성하는 source를 설명하는 것이다. 그러나 이를 수행하기 전에 먼저 HBT experiment의 classical theory를 검토한다.
6.2 Hanbury Brown–Twiss experiments and classical intensity fluctuations
Hanbury Brown과 Twiss는 그들의 stellar interferometer가 개념적 어려움을 제기하고 있음을 깨달았고, 그래서 그들은 Figure 6.2에 표시된 더 간단한 배열을 사용하여 실험실에서 실험의 원리를 테스트하기로 결정했다. 이 실험에서 mercury discharge lamp의 $435.8\text{ nm}$ line은 half-silvered mirror에 의해 분할된 다음 두 개의 작은 photomultiplier PMT1과 PMT2에 의해 감지되어 각각 photocurrent $i_1$과 $i_2$를 생성했다. 그런 다음 이 photocurrent는 AC-coupled amplifier로 공급되어 photocurrent의 fluctuation, 즉 $\Delta i_1$과 $\Delta i_2$에 비례하는 출력을 제공했다. 이 중 하나는 $\tau$ 값으로 설정된 electronic time delay generator를 통과했다. 마지막으로 두 신호는 multiplier-integrator unit에 연결되어 함께 곱해지고 오랜 시간에 걸쳐 평균화되었다. 따라서 최종 출력 신호는 $\langle \Delta i_1(t)\Delta i_2(t + \tau) \rangle$에 비례했으며, 여기서 기호 $\langle \cdots \rangle$는 time average를 나타낸다. photocurrent가 입사하는 light intensity에 비례하기 때문에, 출력은 사실 $\langle \Delta I_1(t)\Delta I_2(t + \tau) \rangle$에 비례한다는 것이 명백하며, 여기서 $I_1(t)$와 $I_2(t)$는 각각의 detector에 입사하는 light intensity이고 $\Delta I_1$과 $\Delta I_2$는 그 fluctuation이었다.
mercury lamp에서 방출되는 light는 많은 다른 atom에서 비롯된다. 이는 coherence time $\tau_c$에 필적하는 time-scale에서 light intensity의 fluctuation으로 이어진다. 이러한 light intensity fluctuation은 주어진 시간에 방출하는 atom 수의 fluctuation과 개별 atom이 방출하는 phase의 jump 및 불연속성에서 비롯된다. 이러한 source에서 방출되는 partially coherent light는 미시적 수준에서 방출 과정의 근본적인 무작위성을 강조하기 위해 chaotic이라고 불린다.
Figure 6.3은 coherence time이 $\tau_c$인 chaotic source에서 방출되는 light intensity의 time dependence에 대한 컴퓨터 시뮬레이션을 보여준다. intensity가 $\tau_c$에 필적하는 time-scale에서 average value $\langle I \rangle$ 위아래로 거칠게 fluctuate하는 것이 명백하다. 이러한 intensity fluctuation은 source에 있는 수백만 개의 light-emitting atom에서 무작위로 위상이 맞춰진 light가 더해져 발생한다. 우리는 각 atom이 같은 frequency로 방출하지만, 개별 atom에서 나오는 light의 phase는 무작위 충돌로 인해 지속적으로 변한다고 가정한다.
HBT experiment의 이면에 있는 원리는 light beam의 intensity fluctuation이 그 coherence와 관련이 있다는 것이다. 두 detector에 입사하는 light가 coherent하다면 intensity fluctuation은 서로 correlated될 것이다. 따라서 intensity fluctuation의 correlation을 측정함으로써 우리는 light의 coherence를 추론할 수 있다. 이는 interference experiment를 설정하는 것보다 훨씬 쉬우며 우리에게 다른 통찰력도 제공한다.
$d$가 0으로 설정된 Figure 6.2에 표시된 HBT experiment의 결과를 고려해 보자. 우리는 detector에 입사하는 average intensity $\langle I(t) \rangle$가 동일하도록 beam splitter를 조정한다. classical 관점에서 우리는 detector의 time-varying light intensity를 다음과 같이 쓸 수 있다:
$I_1(t) = I_2(t) \equiv I(t) = \langle I \rangle + \Delta I(t).$ (6.3)
여기서 $2I(t)$는 beam splitter에 입사하는 intensity이고 $\Delta I(t)$는 mean intensity $\langle I \rangle$로부터의 fluctuation이다. detector에 동일한 intensity가 있을 때 HBT experiment의 출력은 $\langle \Delta I(t)\Delta I(t + \tau) \rangle$에 비례한다.
time delay $\tau$를 0으로 설정한다고 가정해 보자. 그러면 출력은 다음과 같다:
$\langle \Delta I(t)\Delta I(t + \tau) \rangle_{\tau=0} = \langle \Delta I(t)^2 \rangle.$ (6.4)
정의에 따라 $\langle \Delta I(t) \rangle$는 0과 같지만, discharge lamp에서 나오는 chaotic light의 intensity fluctuation으로 인해 $\langle \Delta I(t)^2 \rangle$는 0이 아닐 것이다. 따라서 $\tau = 0$에 대해 0이 아닌 출력이 있을 것이다. 반면에 $\tau \gg \tau_c$로 만들면 intensity fluctuation은 서로 완전히 uncorrelated되어 $\Delta I(t)\Delta I(t + \tau)$가 시간에 따라 무작위로 부호를 바꾸고 평균이 0이 된다:
$\langle \Delta I(t)\Delta I(t + \tau) \rangle_{\tau \gg \tau_c} = 0.$ (6.5)
따라서 출력은 $\tau \gg \tau_c$ 값에 대해 0으로 떨어진다. 그러므로 출력을 $\tau$의 함수로 측정함으로써 우리는 $\tau_c$를 직접 결정할 수 있다.
원래 실험에서 Hanbury Brown과 Twiss는 $\tau = 0$으로 설정하고 $d$를 변화시켰다. $d$가 증가함에 따라 두 detector에 입사하는 light의 spatial coherence가 감소했다. 따라서 $\Delta I_1$과 $\Delta I_2$ 사이의 correlation은 큰 $d$ 값에 대해 결국 사라졌고 출력은 0으로 떨어졌다. 그러므로 그들의 방법은 큰 $d$ 값에서 감소된 intensity correlation을 통해 source의 spatial coherence를 결정하는 방법을 제공했다. stellar intensity interferometer도 같은 원리로 작동한다.
6.3 The second-order correlation function $g^{(2)}(\tau)$
이전 섹션에서 우리는 HBT experiment의 결과가 intensity correlation 측면에서 classically 어떻게 설명될 수 있는지 고려했다. 이러한 결과를 정량화할 수 있는 방식으로 분석하기 위해 다음과 같이 정의된 light의 second-order correlation function을 도입하는 것이 도움이 된다:
$g^{(2)}(\tau) = \frac{\langle \mathcal{E}^*(t)\mathcal{E}^*(t + \tau)\mathcal{E}(t + \tau)\mathcal{E}(t) \rangle}{\langle \mathcal{E}^*(t)\mathcal{E}(t) \rangle \langle \mathcal{E}^*(t + \tau)\mathcal{E}(t + \tau) \rangle} = \frac{\langle I(t)I(t + \tau) \rangle}{\langle I(t) \rangle \langle I(t + \tau) \rangle},$ (6.6)
여기서 $\mathcal{E}(t)$와 $I(t)$는 시간 $t$에서 light beam의 electric field와 intensity이다. $\langle \cdots \rangle$ 기호는 다시 긴 기간에 걸쳐 적분하여 계산된 time average를 나타낸다.
$\langle I(t) \rangle = \langle I(t + \tau) \rangle$가 되도록 constant average intensity를 갖는 source를 고려해 보자. 우리는 또한 지금부터 source의 작은 영역에서 나오는 spatially coherent light를 테스트하고 있다고 가정할 것이다. 이러한 상황에서 second-order correlation function은 source의 temporal coherence를 조사한다.
우리는 위에서 intensity fluctuation의 time-scale이 source의 coherence time $\tau_c$에 의해 결정된다는 것을 보았다. $\tau \gg \tau_c$이면 시간 $t$와 $t + \tau$에서의 intensity fluctuation은 서로 완전히 uncorrelated될 것이다. 이전과 같이
$I(t) = \langle I \rangle + \Delta I(t)$ (6.7)
로 쓰고 $\langle \Delta I(t) \rangle = 0$이라고 하면, 식 6.5로부터 다음을 얻는다:
$\langle I(t)I(t + \tau) \rangle_{\tau \gg \tau_c} = \Big\langle \big(\langle I \rangle + \Delta I(t)\big) \big(\langle I \rangle + \Delta I(t + \tau)\big) \Big\rangle$ $= \langle I \rangle^2 + \langle I \rangle \langle \Delta I(t) \rangle + \langle I \rangle \langle \Delta I(t + \tau) \rangle + \langle \Delta I(t)\Delta I(t + \tau) \rangle$ $= \langle I \rangle^2.$ (6.8)
따라서 다음이 명백하다:
$g^{(2)}(\tau \gg \tau_c) = \frac{\langle I(t)I(t + \tau) \rangle}{\langle I(t) \rangle^2} = \frac{\langle I(t) \rangle^2}{\langle I(t) \rangle^2} = 1.$ (6.9)
반면에 $\tau \ll \tau_c$이면 두 시간의 fluctuation 사이에 correlation이 있을 것이다. 특히 $\tau = 0$이면 다음을 얻는다.
$g^{(2)}(0) = \frac{\langle I(t)^2 \rangle}{\langle I(t) \rangle^2}.$ (6.10)
$I(t)$의 상상할 수 있는 모든 time dependence에 대해 항상 다음과 같은 경우가 성립함을 보여줄 수 있다.
$g^{(2)}(0) \ge 1,$ (6.11)
그리고
$g^{(2)}(0) \ge g^{(2)}(\tau).$ (6.12)
이러한 결과는 엄밀하게 증명될 수 있지만, 우리는 왜 그것들이 적용되어야 하는지에 대한 간단하고 직관적인 설명을 제공할 수도 있다.
먼저 time-independent intensity $I_0$를 갖는 perfectly coherent monochromatic source를 고려해 보자. 이 경우 다음을 확인하는 것은 자명하다:
$g^{(2)}(\tau) = \frac{\langle I(t)I(t + \tau) \rangle}{\langle I(t) \rangle^2} = \frac{I_0^2}{I_0^2} = 1,$ (6.13)
$I_0$가 상수이기 때문에 모든 $\tau$ 값에 대해 성립한다. 다음으로 식 6.9에서 모든 큰 $\tau$ 값에 대해 $g^{(2)}(\tau) = 1$이 될 것으로 예상한다는 것을 상기하라. 마지막으로 time-varying intensity를 갖는 모든 source를 고려해 보자. average 위아래로 동일한 intensity fluctuation이 있고 squaring process가 mean value 위의 fluctuation을 과장하기 때문에 $\langle I(t)^2 \rangle > \langle I(t) \rangle^2$임이 명백하다. 식 6.10에서 이 사실을 사용하면 $g^{(2)}(0) > 1$이어야 함을 알 수 있다. 이 모든 것을 종합하면, time-varying intensity를 갖는 모든 source에 대해 $g^{(2)}(\tau)$가 $\tau$에 따라 감소하여 큰 $\tau$에 대해 1의 값에 도달할 것으로 예상한다는 것을 깨닫게 된다. $I(t)$가 시간에 따라 변하지 않는 특별한 경우, 우리는 $g^{(2)}(\tau) = 1$의 일정한 값을 예상한다. 이러한 결론은 식 6.11과 6.12에 주어진 엄밀한 결과와 일치한다.
우리가 classical optics에서 일반적으로 고려하는 다양한 형태의 light에 대해 second-order correlation function의 명시적인 형태를 고려하는 것은 유익하다. 우리는 이미 perfectly coherent light가 모든 $\tau$에 대해 $g^{(2)}(\tau) = 1$을 갖는다는 것을 보았다. atomic discharge lamp에서 나오는 chaotic light에 대한 $g^{(2)}(\tau)$의 값은 source의 간단한 모델을 가정하여 계산할 수 있다. spectral line이 Gaussian lineshape로 Doppler-broadened된 경우, second-order correlation function은 다음과 같이 주어진다:
$g^{(2)}(\tau) = 1 + \exp \left[ -\pi(\tau / \tau_c)^2 \right].$ (6.14)
이 함수는 Figure 6.4에 그려져 있으며 perfectly coherent light의 함수와 비교된다. 유사하게, Lorentzian lineshape를 갖는 lifetime-broadened source는 다음과 같이 주어지는 $g^{(2)}$ 함수를 갖는다:
$g^{(2)}(\tau) = 1 + \exp \left( -2|\tau| / \tau_0 \right),$ (6.15)
여기서 $\tau_0$는 상황에 따라 spectral transition에 대한 radiative lifetime이거나 collision time이다.
second-order correlation function $g^{(2)}(\tau)$의 주요 특성은 Table 6.1에 나열되어 있다. 이러한 특성은 light가 classical electromagnetic wave로 구성되어 있다는 것을 가정하여 도출된다. 아래 섹션에서 우리는 classical light wave가 아닌 beam splitter에 입사하는 photon을 사용하여 HBT experiment를 다시 고려할 것이다. 우리는 식 6.11과 6.12에 주어진 두 조건이 반드시 지켜질 필요는 없다는 것을 알게 될 것이다. 특히, 식 6.11에 주어진 classical result를 위반하여 $g^{(2)}(0) < 1$인 light를 갖는 것이 가능함을 알게 될 것이다. 따라서 $g^{(2)}(0) < 1$의 관측은 light의 quantum nature에 대한 결정적인 signature이다.
Example 6.1 $|A| \le 1$이고 $I(t) = I_0(1 + A \sin \omega t)$가 되도록 sinusoidal intensity modulation을 갖는 monochromatic light wave에 대해 $g^{(2)}(0)$를 평가하라.
Solution 우리는 식 6.10에 따라 $g^{(2)}(0)$를 다음과 같이 계산한다:
$g^{(2)}(0) = \frac{\langle I(t)^2 \rangle}{\langle I(t) \rangle^2} = \frac{\langle I_0^2 (1 + A \sin \omega t)^2 \rangle}{I_0^2} = \langle (1 + A \sin \omega t)^2 \rangle,$
여기서 $\langle \sin \omega t \rangle = 0$이므로 $\langle I(t) \rangle = I_0 \langle (1 + A \sin \omega t) \rangle = I_0$를 사용했다. 우리는 $T \gg 1/\omega$인 긴 시간 간격 $T$에 대해 적분을 취함으로써 time average를 계산한다:
$g^{(2)}(0) = (1/T) \int_0^T (1 + A \sin \omega t)^2 dt$ $= (1/T) \int_0^T (1 + 2A \sin \omega t + A^2 \sin^2 \omega t) dt.$
$2 \sin^2 x = (1 - \cos 2x)$를 사용하고 $\sin \omega t$와 $\cos 2\omega t$가 모두 평균 0이 되므로, 이는 다음을 제공한다:
$g^{(2)}(0) = 1 + \frac{A^2}{2T} \int_0^T (1 - \cos 2\omega t)dt = 1 + A^2/2.$
따라서 $g^{(2)}(0)$는 항상 1보다 크며, 그 최댓값은 $|A| = 1$일 때 1.5와 같다.
6.4 Hanbury Brown–Twiss experiments with photons
이제 light의 quantum picture에서 Hanbury Brown–Twiss (HBT) experiment를 다시 검토할 시간이다. Figure 6.5(a)는 single-photon counting detector로 구성된 HBT experiment의 실험적 배열을 보여준다. photon의 stream이 50:50 beam splitter에 입사하고 두 출력 포트 사이에서 균등하게 분할된다. photon은 detector에 부딪히고 결과적인 출력 펄스는 electronic counter/timer로 공급된다. counter/timer는 D1과 D2에서 오는 펄스 사이에 경과하는 시간을 기록하는 동시에 각 입력에서 펄스의 수를 센다. 실험 결과는 일반적으로 Figure 6.5(b)에 표시된 것처럼 히스토그램으로 제시된다. 히스토그램은 start 펄스와 stop 펄스 사이의 시간 $\tau$의 각 값에 등록된 event의 수를 표시한다.
Section 6.3에서 우리는 intensity correlation 측면에서 $g^{(2)}(\tau)$ 함수를 classically 논의했다. photon-counting detector에 등록된 count의 수는 intensity에 비례하므로, 우리는 식 6.6에 주어진 $g^{(2)}(\tau)$의 classical definition을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다:
$g^{(2)}(\tau) = \frac{\langle n_1(t)n_2(t + \tau) \rangle}{\langle n_1(t) \rangle \langle n_2(t + \tau) \rangle},$ (6.16)
여기서 $n_i(t)$는 시간 $t$에 detector $i$에 등록된 count의 수이다. 이는 $g^{(2)}(\tau)$가 시간 $t$에 D1에서, 그리고 시간 $t + \tau$에 D2에서 photon을 세는 simultaneous probability에 의존한다는 것을 보여준다. 다시 말해, $g^{(2)}(\tau)$는 $t = 0$에서 하나의 photon을 감지했을 때 $t = \tau$에서 두 번째 photon을 감지할 conditional probability에 비례한다. 이것이 바로 photon-counting detector를 사용한 HBT experiment의 히스토그램이 기록하는 것이다. 따라서 HBT experiment의 결과는 light의 photon 해석에서 second-order correlation function $g^{(2)}(\tau)$의 직접적인 척도도 제공한다.
잠시 생각해 보면 beam splitter의 입력 포트에 photon이 있을 때 classical electromagnetic wave와는 완전히 다른 결과가 가능하다는 것을 깨닫게 된다. 들어오는 light가 연속적인 photon 사이에 긴 시간 간격을 갖는 photon의 stream으로 구성되어 있다고 가정해 보자. 그러면 photon은 하나씩 beam splitter에 부딪히고 동일한 확률로 D1 또는 D2로 무작위로 향하게 된다. 따라서 주어진 photon이 D1에 의해 감지되고 타이머를 트리거하여 기록을 시작할 확률은 50%이다. D1에서 start 펄스의 생성은 이 photon으로부터 D2에서 stop 펄스를 얻을 확률이 0임을 의미한다. 따라서 타이머는 $\tau = 0$에서 아무런 event도 기록하지 않을 것이다. 이제 다음으로 부딪히는 photon을 고려해 보자. 이것은 50%의 확률로 D2로 갈 것이고, 만약 그렇게 된다면 타이머를 멈추고 event를 기록할 것이다. photon이 D1으로 간다면 아무 일도 일어나지 않으며 우리는 stop 펄스를 가질 기회를 얻기 위해 다음 photon이 도착할 때까지 다시 기다려야 한다. 이 과정은 결국 stop 펄스가 달성될 때까지 진행된다. 이는 첫 번째나 두 번째 또는 그 이후의 어떤 photon에서도 일어날 수 있지만, 결코 $\tau = 0$에서는 일어나지 않는다. 따라서 우리는 $\tau = 0$에서는 event를 예상하지 않지만 더 큰 $\tau$ 값에 대해서는 일부 event를 예상하는 상황을 가지며, 이는 식 6.11과 6.12에 주어진 classical result와 분명히 모순된다. 따라서 우리는 photon을 사용한 실험이 light의 classical theory에서는 불가능한 결과를 줄 수 있음을 즉시 알 수 있다.
$g^{(2)}(0) = 0$인 non-classical result의 관측은 photon stream이 그들 사이에 긴 시간 간격을 갖는 개별 photon으로 구성되었다는 사실에서 비롯되었다. 이제 photon이 bunch로 도착하는 다른 시나리오를 고려해 보자. photon의 절반은 D1을 향해 분할되고 나머지 절반은 D2를 향해 분할된다. 이 두 개의 세분화된 bunch는 동시에 detector에 부딪히며 두 detector가 동시에 등록할 확률이 높을 것이다. 따라서 $\tau = 0$ 근처에 많은 수의 event가 있을 것이다. 반면에 $\tau$가 증가함에 따라 start 펄스가 등록된 후 stop 펄스를 얻을 확률이 감소하므로 기록되는 event의 수가 떨어진다. 따라서 우리는 $\tau = 0$ 근처에 많은 event가 있고 나중에는 더 적은 event가 있는 상황을 가지며, 이는 식 6.11과 6.12의 classical result와 완전히 양립할 수 있다.
이 간단한 논의는 때때로 photon picture가 classical result와 일치하고 때로는 그렇지 않다는 것을 명백하게 할 것이다. 핵심 포인트는 light beam에 있는 photon 사이의 시간 간격과 관련이 있다. 즉, photon이 bunch로 오는지 아니면 규칙적으로 퍼져 있는지이다. 이는 자연스럽게 bunched 및 antibunched light의 개념으로 우리를 이끌며, 이는 다음 섹션의 주제이다.
6.5 Photon bunching and antibunching
Section 5.4에서 우리는 statistics가 sub-Poissonian, Poissonian, 또는 super-Poissonian인지에 따라 light의 세 가지 분류를 도입했다. 이제 우리는 second-order correlation function $g^{(2)}(\tau)$에 따라 다른 세 가지 분류를 만든다. 이 분류는 $g^{(2)}(0)$의 값을 기반으로 하며 다음과 같이 진행된다:
- bunched light: $g^{(2)}(0) > 1$,
- coherent light: $g^{(2)}(0) = 1$,
- antibunched light: $g^{(2)}(0) < 1$.
이 점은 Table 6.2에 요약되어 있다. Table 6.1과 6.2를 비교해 보면 bunched 및 coherent light는 classical result와 양립할 수 있지만 antibunched light는 그렇지 않다는 것을 깨닫게 된다. antibunched light는 classical counterpart가 없으며 따라서 순전히 quantum optical phenomenon이다. Figure 6.6은 photon stream의 관점에서 세 가지 다른 유형의 light 사이의 차이를 설명하려는 단순한 시도이다. 기준점은 photon 사이의 시간 간격이 무작위인 경우이다. 이것의 양쪽에는 photon이 그들 사이에 규칙적인 시간 간격으로 퍼져 있는 경우나 bunch로 함께 뭉쳐 있는 경우가 있다. 이 세 가지 경우는 각각 coherent, antibunched, 및 bunched light에 해당한다. 아래의 내용에서 우리는 coherent light를 시작으로 이 세 가지 유형의 light 각각의 특성을 더 자세히 탐구한다.
6.5.1 Coherent light
우리는 Section 6.3에서 perfectly coherent light가 $\tau = 0$을 포함한 모든 $\tau$ 값에 대해 $g^{(2)}(\tau) = 1$을 갖는다는 것을 보았다. 따라서 이는 다른 유형의 light를 분류하기 위한 편리한 기준을 제공한다.
Section 5.3에서 우리는 perfectly coherent light가 photon 사이에 무작위 시간 간격을 갖는 Poissonian photon statistics를 갖는다는 것을 발견했다. 이는 stop 펄스를 얻을 확률이 모든 $\tau$ 값에 대해 동일함을 의미한다. 따라서 우리는 coherent light가 모든 $\tau$ 값에 대해 $g^{(2)}(\tau) = 1$을 갖는다는 사실을 Poissonian photon statistics의 무작위성의 발현으로 해석할 수 있다.
6.5.2 Bunched light
Bunched light는 $g^{(2)}(0) > 1$인 light로 정의된다. 이름에서 알 수 있듯이, 이는 photon이 모두 bunch로 함께 뭉쳐 있는 photon의 stream으로 구성된다. 이는 우리가 시간 $t = 0$에서 photon을 감지한다면 긴 시간보다 짧은 시간에 다른 photon을 감지할 확률이 더 높다는 것을 의미한다. 따라서 우리는 $g^{(2)}(\tau)$가 더 긴 값보다 작은 $\tau$ 값에 대해 더 클 것으로 예상하며, 그래서 $g^{(2)}(0) > g^{(2)}(\infty)$가 된다.
우리는 Section 6.3에서 classical light가 식 6.11과 6.12를 만족해야 한다는 것을 보았다. bunched light가 이러한 조건을 만족하며 따라서 classical 해석과 일치한다는 것은 명백하다. 또한 Table 6.1에서 chaotic light가 이러한 조건을 만족한다는 것이 명백하다. 따라서 discharge lamp에서 나오는 chaotic light는 bunched이다.
photon bunching과 chaotic light 사이의 연관성은 Figure 6.7에 개략적으로 설명되어 있으며, 이는 시간의 함수로서의 light intensity의 classical fluctuation을 보여준다. photon number는 instantaneous intensity에 비례하므로 high-intensity fluctuation에 해당하는 시간 간격에는 더 많은 photon이 있고 low-intensity fluctuation에는 더 적은 photon이 있을 것이다. 따라서 photon bunch는 high-intensity fluctuation과 일치할 것이다.
6.5.3 Antibunched light
antibunched light에서 photon은 무작위 간격이 아니라 그들 사이에 규칙적인 간격을 두고 나온다. 이는 Figure 6.6에 개략적으로 설명되어 있다. photon의 흐름이 규칙적이라면 photon counting event를 관찰하는 사이에 긴 시간 간격이 있을 것이다. 이 경우 D1에서 하나를 감지한 후 D2에서 photon을 얻을 확률은 작은 $\tau$ 값에 대해 작고 $\tau$에 따라 증가한다. 따라서 antibunched light는 다음을 갖는다.
$g^{(2)}(0) < g^{(2)}(\tau),$ $g^{(2)}(0) < 1.$ (6.17)
이는 classical light에 적용되는 식 6.11과 6.12를 위반하는 것이다. 따라서 photon antibunching의 관측은 classical counterpart가 없는 순전히 quantum effect이다. antibunched light의 두 가지 가능한 형태에 대한 $g^{(2)}(\tau)$ 함수는 Figure 6.8에 개략적으로 스케치되어 있다. 핵심 포인트는 $g^{(2)}(0)$가 1보다 작다는 것이다.
Section 5.6에서 우리는 sub-Poissonian light의 특성을 연구했고 그것이 antibunched light와 마찬가지로 light의 quantum nature에 대한 명확한 signature라고 결론지었다. 그렇다면 photon antibunching과 sub-Poissonian photon statistics가 동일한 quantum optical phenomenon의 다른 발현인지에 대한 질문이 제기된다. 이 점은 Zou와 Mandel에 의해 고려되었으며 대답은 부정적이다. 동시에 Figure 6.6에 설명된 것과 같은 규칙적인 photon stream이 sub-Poissonian photon statistics를 가질 것이라는 것은 명백하다. 따라서 두 현상이 동일하지는 않지만, non-classical light가 photon antibunching과 sub-Poissonian photon statistics를 동시에 보여주는 경우가 빈번할 것이다.
6.6 Experimental demonstrations of photon antibunching
우리는 위에서 photon antibunching의 관측이 light의 quantum nature에 대한 명확한 증거임을 보았다. photon antibunching의 첫 번째 성공적인 증명은 1977년 Kimble 등에 의해 sodium atom에서 방출되는 light를 사용하여 이루어졌다. antibunching 실험의 기본 원리는 개별 emitting species를 분리하고 fluorescence에 의해 photon이 방출되는 속도를 조절하는 것이다. 이는 emissive species에 laser를 비추어 여기시킨 다음 photon이 방출되기를 기다림으로써 수행된다. 일단 photon이 방출되면 다음 photon이 방출될 수 있기까지 transition의 radiative lifetime, 즉 $\tau_R$과 대략 같은 시간이 걸릴 것이다. 이는 photon 사이에 긴 시간 간격을 남기며, 따라서 우리는 antibunched light를 갖게 된다.
우리는 single atom의 photon emission sequence에 대한 개략적인 표현을 보여주는 Figure 6.9를 참조하여 이 과정을 더 자세히 이해할 수 있다. 점선으로 표시된 것처럼 시간 $t = 0$에서 atom이 excited state로 승격된다고 가정해 보자. transition의 emission probability는 photon을 방출하는 평균 시간이 $\tau_R$과 같다고 지시한다. 일단 photon이 방출되면 atom은 laser에 의해 다시 여기될 수 있으며, high-power laser를 사용하면 짧은 시간만 필요할 것이다. 그런 다음 atom은 $\sim \tau_R$의 시간 후에 다른 photon을 방출할 수 있으며, 이 시점에서 excitation-emission cycle이 다시 시작될 수 있다. spontaneous emission은 확률적인 과정이므로 emission time은 각 cycle마다 같지 않을 것이며, 이는 photon의 stream이 정확히 규칙적이지 않을 것임을 의미한다. 그러나 $\ll \tau_R$의 시간 간격을 두고 두 개의 photon이 방출될 확률은 매우 작을 것이 분명하다. 따라서 Figure 6.5의 HBT correlator의 start 및 stop detector가 동시에 발사되는 event는 거의 없을 것이며, 따라서 우리는 $g^{(2)}(0) \approx 0$을 갖게 될 것이다.
이 시점에서 우리는 왜 discharge lamp와 같은 기존의 light source에서 동일한 antibunching effect를 관찰하지 못하는지 정당하게 물을 수 있다. 요점은 우리가 single atom에서 나오는 light를 볼 때만 antibunching effect가 관찰된다는 것이다. Figure 6.9에 표시된 excitation-emission cycle은 discharge lamp의 각 개별 atom에 대해 일어나고 있지만, 방출되는 light는 수백만 개의 atom에서 비롯된다. 다른 atom에 대한 excitation 및 emission process는 통계적으로 독립적이므로 모두 다른 시간에 방출한다. 이는 discharge lamp의 많은 수의 atom에서 방출되는 light에서 관찰되는 photon bunch를 생성한다.
Figure 6.10(a)는 1977년 Kimble 등이 sodium atom에서 photon antibunching을 관찰하기 위해 사용한 장치의 schematic diagram을 보여준다. sodium atomic beam은 laser로 여기되었고 $589.0\text{ nm}$에서의 $3^2\text{P}_{3/2} \rightarrow 3^2\text{S}_{1/2}$ transition에서 나오는 fluorescence는 microscope objective lens로 수집되었다. 매우 희석된 beam을 사용함으로써 평균적으로 한두 개 이하의 atom만이 동시에 수집된 fluorescence에 기여할 수 있도록 배열하는 것이 가능했다. 그런 다음 fluorescence는 50:50 beam splitter에 의해 분할되고 HBT 배열의 두 photomultiplier에 의해 감지되었다. 얻은 결과는 Figure 6.10(b)에 나와 있다. $\tau = 0$ 근처에서 기록된 event는 거의 없었으며, 그런 다음 $g^{(2)}(\tau)$는 radiative lifetime, 즉 $16\text{ ns}$에 필적하는 time-scale에서 증가했다. 큰 time delay에서 $g^{(2)}(\tau)$는 1의 점근적 값을 향해 붕괴했다. 측정된 $g^{(2)}(0)$ 값은 0.4였으며, 이는 light가 antibunched라는 명확한 표시였다.
이론적 관점에서 single atom만 관찰되고 있다면 $g^{(2)}(0)$는 0이어야 할 것으로 예상되었다. 실험값이 더 큰 이유는 어느 한 시간에 collecting lens의 시야에 단 하나의 atom만 있어야 하도록 배열하는 실험적 어려움과 관련이 있었다. 실제로는 때때로 두 개 이상이 있었고, 이는 다른 atom에서 비롯된 두 개의 photon이 동시에 beam splitter에 부딪히고 두 photon이 다른 detector로 갈 경우 결과적으로 $\tau = 0$에서 event를 생성할 가능성 때문에 $g^{(2)}(0)$의 값을 증가시켰다.
Kimble 등의 연구 이후 몇 년 동안 atomic antibunching 실험에서 많은 진전이 이루어졌다. 예를 들어, antibunching은 이제 cavity quantum electrodynamics (QED)의 strong coupling regime에 있는 one-atom laser에서 증명되었다. 더욱이, antibunching은 다음과 같은 여러 solid-state source를 포함하여 다른 많은 유형의 light emitter에서도 관찰되었다:
- 유리나 결정에 도핑된 fluorescent dye molecule;
- semiconductor quantum dot;
- 다이아몬드의 colour centre.
예로서, Figure 6.11은 극저온에서 개별 semiconductor quantum dot에 대해 측정된 $g^{(2)}(\tau)$ 함수를 보여준다. 샘플은 Figure 6.11(a)에 표시된 것처럼 GaAs microdisk 내에 내장된 InAs quantum dot으로 구성되었다. microdisk의 목적은 quantum dot에서 방출되는 photon의 collection efficiency를 높이는 것이었다. quantum dot은 $760\text{ nm}$의 연속광으로 여기되었고 $937.7\text{ nm}$에서 quantum dot의 band gap을 가로질러 방출된 photon은 HBT correlator로 감지되었다. $4\text{ K}$에서 얻은 결과는 Figure 6.11(b)에 나와 있다. 관찰된 $\sim 0.2$의 $g^{(2)}(0)$ 값은 photon antibunching의 명확한 signature이다.
이 실험에서 $g^{(2)}(0)$가 0이 아닌 주된 이유는 detector의 유한한 response time, 즉 $0.42\text{ ns}$와 관련이 있었다. $2.2\text{ ns}$의 radiative lifetime으로 인해 $0.42\text{ ns}$까지 방출될 확률이 상당했으며, detector가 이 두 시간을 구별할 수 없었기 때문에 이는 $\tau = 0$에 기록된 신호에 기여했다. 이는 lifetime이 훨씬 더 길었던 Figure 6.10에 표시된 sodium 실험과는 다른 상황이라는 점에 유의하라. 동시에 quantum dot은 crystal lattice에 고정되어 있었기 때문에 atomic beam의 경우처럼 둘 이상의 emissive species가 fluorescence에 기여할 가능성은 없었다.
6.7 Single-photon sources
antibunched light 생성을 위한 기술의 한 응용은 triggered single-photon source의 개발이다. Section 12.5에서 설명했듯이, 이러한 source는 quantum cryptography 실험에서 보안을 향상시키기 위해 필요하다. single-photon source의 기본 아이디어는 source가 전기적이거나 광학적일 수 있는 trigger 펄스에 반응하여 정확히 하나의 photon을 방출해야 한다는 것이다. 작동 원리는 Figure 6.12에 나와 있다. source는 단일 emissive species로 구성되며, trigger 펄스는 Figure 6.12(a)에 표시된 것처럼 atom을 upper excited state로 여기시킨다. 그런 다음 atom은 ground state로 이완되면서 photon의 cascade를 방출한다. photon은 다른 wavelength를 가지므로 fluorescence를 필터링하여 특정 transition에서 나오는 photon을 선택하는 것이 가능하다. 각 cascade의 특정 transition에서는 항상 단 하나의 photon만 방출될 것이다.
이제 이 과정에 의해 방출되는 photon의 타이밍을 고려해 보자. 강렬한 trigger 펄스는 electron을 excited state로 빠르게 승격시킬 것이며, Figure 6.12(b)에 개략적으로 표시된 것처럼 atom은 radiative lifetime $\tau_R$과 대략 같은 시간 후에 정확히 하나의 photon을 방출할 것이다. 다음 trigger 펄스가 도착하여 과정이 반복될 때까지 더 이상의 photon은 방출될 수 없다. trigger 펄스의 시간 간격은 trigger source가 작동하는 frequency $f_{\text{trigger}}$에 의해 결정된다. 펄스 사이의 시간 간격이 $\tau_R$보다 상당히 길다면 trigger 펄스는 fluorescence에서 photon의 분리를 제어한다. 따라서 우리는 trigger 펄스가 적용될 때마다 특정 wavelength의 photon을 정확히 하나 방출하는 source를 갖게 된다.
triggered single-photon source를 만드는 가장 쉬운 방법은 적합한 laser의 광학적 trigger를 사용하는 것이다. 그러나 장기적으로는 전기적으로 트리거되는 장치를 개발하는 것이 중요할 것이다. Figure 6.13은 single quantum dot을 light-emitting species로 통합한 그러한 구현 중 하나를 보여준다. 이 장치는 active region 내에 InAs quantum dot 층이 삽입된 GaAs light emitting diode (LED)로 구성되었다. quantum dot은 프로그래밍된 pulsed voltage source에 의해 생성된 current 펄스의 시퀀스에 의해 여기되었다. current 펄스는 electron과 hole을 장치에 주입했고, 그런 다음 quantum dot은 각 trigger 펄스에 반응하여 light 펄스를 방출했다. 상단 접점의 aperture는 InAs quantum dot 중 소수에서 나오는 light만 수집되도록 보장했다. quantum dot의 emission wavelength는 그 크기에 따라 달라지며, 이는 crystal growth와 관련된 통계적 fluctuation으로 인해 dot마다 다르다. 따라서 wavelength는 dot마다 약간씩 달랐으며, 이는 spectrometer를 spectral filter로 사용하여 개별 quantum dot의 특정 emission line에서 방출되는 light를 선택할 수 있게 해주었다. 이러한 상황에서 우리는 이전에 Figure 6.11에서 증명된 것처럼 light가 antibunched될 것으로 예상한다.
Figure 6.13(b)는 빠른 single-photon avalanche photodiode (SPAD)를 detector로 사용하여 장치에서 방출된 필터링된 light에 대해 수행된 HBT experiment의 결과를 제시한다. 이러한 결과는 다음과 같이 이해될 수 있다. photon이 SPAD1에 부딪혀 타이머를 시작하는 trigger 펄스를 생성한다고 가정해 보자. 그러면 타이머는 다른 photon이 SPAD2에 부딪혀 stop 신호를 생성하기 전에 경과하는 시간을 측정할 것이다. 이 두 번째 photon은 첫 번째 것과 같은 light 펄스에서 왔을 수도 있고 다른 것에서 왔을 수도 있다. 전자의 경우 우리는 $\tau = 0$ 근처에서 event를 기록할 것이다. 후자의 경우 우리는 $\tau = m/f_{\text{trigger}}$ 근처에서 event를 기록할 것이며, 여기서 $m$은 정수이고 $f_{\text{trigger}} = 80\text{ MHz}$는 trigger 펄스 시퀀스의 frequency이다. 따라서 event의 히스토그램은 이 실험에서 $12.5\text{ ns}$ 간격으로 분리된 피크를 보여줄 것이다. 결과의 핵심 특징은 $\tau = 0$ 근처에 기록된 event의 수가 매우 적다는 것이다. 이는 $\tau = 0$에서 event를 등록하려면 펄스에 적어도 두 개의 photon이 있어야 하기 때문에 source가 각 펄스에서 단 하나의 photon만 방출하고 있음을 나타낸다. 다시 말해, 우리는 single-photon light source를 달성했음에 틀림없다.
Figure 6.13에 표시된 결과는 온디맨드로 single photon을 생성하기 위한 편리한 source 개발을 향한 실질적인 단계를 나타낸다. 현재 이러한 single-photon source가 더 널리 응용되기 전에 극복해야 할 주요 실험적 어려움은 낮은 전반적인 quantum efficiency와 작동 온도이며, 이는 Figure 6.13에 제시된 데이터의 경우 $5\text{ K}$였다.
single-photon source를 사용하여 light의 wave-particle duality를 증명하는 우아한 실험이 Figure 6.14에 개략적으로 나와 있다. quantum dot single-photon source에서 나온 light는 50:50 beam splitter로 균등하게 분할되어 Michelson interferometer 또는 HBT experiment로 보내졌다. HBT experiment의 데이터는 interferometer의 fringe pattern과 동시에 수집되었다. light의 wave nature를 증명하는 명확한 interference fringe가 순전히 photon 효과인 antibunching과 동시에 관찰되었다. 개별 photon이 interferometer나 HBT experiment 중 하나로 간다는 것은 분명하지만, 한 장치의 존재가 다른 장치의 결과에 영향을 미칠 가능성은 매우 낮다. 따라서 데이터 수집 실행 동안 fringe와 antibunching의 동시 관측은 light의 wave-particle duality에 대한 좋은 증명이다.
Further reading
stellar intensity interferometer에 대한 입문적인 설명은 Brooker (2003), Hecht (2002), 또는 Smith와 King (2000)과 같은 많은 표준 optics 교재에서 찾을 수 있다. 더 자세한 논의는 Hanbury Brown (1974)에서 찾을 수 있다.
second-order correlation function의 classical 해석은 Mandel과 Wolf (1995)에서 매우 엄밀하게 다루어지며, Loudon (2000)에서도 많은 유용한 통찰력을 찾을 수 있다. 이 두 교재 모두 동등한 quantum theory를 깊이 있게 전개한다. Teich와 Saleh (1990)는 antibunched light에 대한 소개를 제공하며, 더 자세한 설명은 Teich와 Saleh (1988)에서 찾을 수 있다. Thorn (2004)은 photon antibunching을 증명하기 위한 학부 실험을 설명한다.
single-photon source에 대한 입문적인 설명은 Grangier와 Abram (2003)에 의해 제공되었으며, source와 그 응용에 대한 논문 모음은 Grangier 등 (2004)에서 찾을 수 있다. 현재 semiconductor quantum dot에 의한 antibunched light 생성에 대한 많은 보고가 있다. 리뷰는 Michler (2003)에서 찾을 수 있으며, Petroff (2001)는 dot을 성장시키는 데 사용되는 기술의 세부 사항을 제공한다.
Exercises
(6.1) 유한한 크기 $D$의 source로부터 Young의 double-slit 실험에서 생성된 wavelength $\lambda$의 light에 의한 fringe pattern을 고려하라. source에서 slit까지의 거리를 $L$ ($L \gg D$)이라 하고 slit의 간격을 $d$라 하자. $D/L = \lambda/d$일 때 source의 중심에서 나오는 어두운 fringe가 가장자리에서 나오는 밝은 fringe와 일치함을 보여라.
(6.2) Figure 6.2에 표시된 HBT experiment에서 photocurrent의 DC 성분과 저주파 전기적 노이즈를 제거하기 위해 detector와 amplifier 사이에 high-pass filter가 삽입되었다. (a) filter 역할을 하도록 capacitor와 resistor를 사용하는 간단한 회로를 설계하라. (b) capacitor의 capacitance가 $1\text{ nF}$인 경우 $1\text{ MHz}$의 cut-off frequency에 사용할 resistor의 값을 계산하라.
(6.3) 이 연습 문제에서는 Loudon (2000)의 접근 방식을 따라 식 6.11을 증명할 것이다. (a) $x(t)$가 실수인 양 $(x(t_1) - x(t_2))^2$를 고려하여 Cauchy의 부등식 $x(t_1)^2 + x(t_2)^2 \ge 2x(t_1)x(t_2)$를 증명하라. (b) $I(t)$에 적용된 Cauchy의 부등식은 $I(t_1)^2 + I(t_2)^2 \ge 2I(t_1)I(t_2)$를 제공한다. 다음 양을 고려하라: $\left( \sum_{i=1}^N I(t_i) \right)^2 = (I(t_1) + I(t_2) + \cdots + I(t_N))^2 = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N I(t_i)I(t_j)$. 각 교차항에 Cauchy의 부등식을 적용하여 다음을 보여라: $\left( \sum_{i=1}^N I(t_i) \right)^2 \le N \sum_{i=1}^N I(t_i)^2$. (c) 우리는 intensity의 average를 다음과 같이 다른 시간에 수행된 많은 수의 측정값의 평균으로 정의한다: $\langle I(t) \rangle = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N I(t_i)$. $I(t)^2$의 average도 같은 방식으로 정의된다: $\langle I(t)^2 \rangle = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N I(t_i)^2$. 이러한 정의를 (b) 부분의 결과에 대입하여 다음을 보여라: $\langle I(t) \rangle^2 \le \langle I(t)^2 \rangle$. 따라서 식 6.11을 도출하라.
(6.4) 이 연습 문제의 목적은 이전 연습 문제에서 사용된 것과 유사한 방법으로 식 6.12를 확립하는 것이다. (a) Cauchy의 부등식을 사용하여 다음을 보여라: $\sum_{i=1}^N I(t_i)I(t_i + \tau) \le \frac{1}{2} \sum_{i=1}^N (I(t_i)^2 + I(t_i + \tau)^2)$. (b) 임의의 stationary light source에서 우리가 왜 다음을 예상하는지 설명하라: $\sum_i I(t_i)^2 = \sum_i I(t_i + \tau)^2$. (c) (b) 부분의 주장은 우리가 (a) 부분의 결과를 다음과 같은 형태로 다시 쓸 수 있게 해준다: $\sum_{i=1}^N I(t_i)I(t_i + \tau) \le \sum_{i=1}^N I(t_i)^2$. 이전 연습 문제의 (c) 부분에 주어진 time average의 정의에 따라 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다: $\langle I(t)I(t + \tau) \rangle = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N I(t_i)I(t_i + \tau)$. 이 정의를 사용하여 다음을 보여라: $\langle I(t)I(t + \tau) \rangle \le \langle I(t)^2 \rangle$. 따라서 식 6.12를 도출하라.
(6.5) $\Delta I(t) = (I(t) - \langle I(t) \rangle)$로 정의된 intensity fluctuation의 관점에서 second-order correlation function $g^{(2)}(\tau)$가 다음과 같은 형태로 쓰일 수 있음을 보여라: $g^{(2)}(\tau) = 1 + \frac{\langle \Delta I(t)\Delta I(t + \tau) \rangle}{\langle I(t) \rangle \langle I(t + \tau) \rangle}$. 따라서 classical light에 대해 $g^{(2)}(0) \ge 1$임을 증명하라.
(6.6) $\pm 20\%$의 square wave intensity modulation을 갖는 monochromatic light wave에 대해 $g^{(2)}(0)$의 값을 계산하라.
(6.7) neon discharge lamp의 $632.8\text{ nm}$ line은 $1.5\text{ GHz}$의 linewidth로 Doppler-broadened된다. $0\text{–}1\text{ ns}$ 범위의 $\tau$에 대해 second-order correlation function $g^{(2)}(\tau)$를 스케치하라.
(6.8) pressure-broadened mercury lamp의 $546.1\text{ nm}$ line은 $0.001\text{ nm}$의 line width를 갖는다. $0\text{–}1\text{ ns}$ 범위의 $\tau$에 대해 second-order correlation function $g^{(2)}(\tau)$를 스케치하라.
(6.9) (a) single atom이 radiative lifetime이 $\tau_R$인 excited state로 승격시킬 수 있는 continuous wave laser의 강력한 beam으로 조사된다. excitation time이 무시할 수 있을 정도로 작다는 가정 하에, atom이 시간 $T$ 내에 두 개의 photon을 방출할 확률을 계산하라. (b) Hanbury Brown–Twiss (HBT) experiment에서 response time이 $\tau_D$인 single-photon counting detector가 타이머의 start 및 stop 입력에 연결된다. detector의 유한한 response time은 시간상 $\le \tau_D$만큼 분리된 두 event가 동시에 등록됨을 의미한다. 이 사실을 (a) 부분의 결과와 함께 사용하여 radiative lifetime이 $\tau_R$인 single atom에 대해 response time이 $\tau_D$인 detector를 사용하는 HBT experiment에서 예상되는 $g^{(2)}(0)$의 값을 추정하라.
(6.10) 이전 질문에서와 같이 response time이 $\tau_D$인 detector를 사용할 때 Figure 6.11에 표시된 것과 같은 antibunching 실험에 대해 exciting laser의 power에 대한 $g^{(2)}(\tau)$의 의존성을 논의하라.
(6.11) source가 각각 정확히 두 개의 photon을 포함하는 규칙적인 펄스 열을 방출한다. $g^{(2)}(0)$의 어떤 값이 예상되겠는가?
(6.12) radiative lifetime이 $1\text{ ns}$인 quantum dot이 single-photon source를 만드는 데 사용된다. 달성할 수 있는 최대 photon bit rate는 얼마인가?
(6.13) source가 그들 사이에 정확히 규칙적인 시간 간격을 갖는 single photon의 열을 방출한다. 다음의 경우에 예상되는 $g^{(2)}(\tau)$ 함수를 스케치하라: (a) photon 사이의 시간 간격이 detector의 response time $\tau_D$보다 매우 클 때; (b) 시간 간격이 $\tau_D$보다 매우 작을 때.
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