양자광학 7장
7 Coherent states and squeezed light
이전 두 장에서 우리는 photon의 수 관점에서 light beam의 energy를 quantizing하는 것의 결과를 탐구했습니다. 이를 통해 photon statistics 또는 second-order correlation function에 따라 light를 분류할 수 있었습니다. 이번 장에서는 light를 구성하는 electric field와 magnetic field를 quantizing하는 효과를 고려할 것입니다. 우리는 quantum harmonic oscillator에 대한 지식을 활용하고, 엄밀한 수학은 다음 장으로 미루며 주로 직관적인 접근 방식을 채택할 것입니다.
우리는 classical 및 quantum-mechanical level 모두에서 light와 harmonic oscillator 사이의 연결성을 설명하는 것으로 시작합니다. 이는 quantized light field의 zero-point fluctuations에 해당하는 vacuum field의 특성과, classical electromagnetic waves의 quantum-mechanical 등가물인 coherent states의 특성을 논의하도록 이끌 것입니다. 우리는 이것이 새로운 유형의 uncertainty principle, 즉 number-phase uncertainty로 이어진다는 것을 알게 될 것이며, 이것이 optical detectors에서 관찰되는 shot noise를 이해하는 대안적인 방법을 제공할 수 있음을 볼 것입니다. 마지막으로, 또 다른 종류의 non-classical light인 squeezed states의 특성을 설명하고, 실험실에서 이를 생성하는 데 사용되는 방법을 논의할 것입니다.
7.1 Light waves as classical harmonic oscillators
light와 harmonic oscillator 사이의 연결성은 어떤 의미에서는 완전히 명백합니다. light는 wave이며, 모든 wave phenomena는 harmonic oscillators와 관련될 수 있습니다. 이 연결성은 light wave에 대한 equations of motion을 설정하고, 그것들이 mass가 $m$이고 angular frequency가 $\omega$인 harmonic oscillator의 방정식과 동일함을 보여줌으로써 공식화될 수 있습니다. 즉:
$p_x = m\dot{x}$ (7.1)
and
$m\ddot{x} = \dot{p}_x = -m\omega^2x,$ (7.2)
여기서 $x$는 displacement이고 $p_x$는 linear momentum입니다. 해는 다음과 같은 형태로 작성될 수 있습니다.
$x(t) = x_0 \sin \omega t,$ (7.3) $p(t) = p_0 \cos \omega t,$ (7.4)
여기서
$p_0 = m\omega x_0.$ (7.5)
light wave의 energy가 mechanical oscillator의 energy와 동등한 형태로 작성될 수 있음을 보여주는 것 또한 중요합니다. 즉:
$E_{\text{SHO}} = \frac{p_x^2}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2.$ (7.6)
따라서 여기서 우리의 과제는 electromagnetic wave에 대한 position과 linear momentum의 등가물을 찾는 것입니다.
Fig. 7.1에 설명된 바와 같이 크기가 $L$인 빈 cavity 내에 갇힌 wavelength $\lambda$의 linearly polarized electromagnetic wave를 고려해 봅시다. 우리는 light가 $x$-axis를 따라 polarized되어 있고, wave의 방향이 $z$-axis를 따른다고 가정합니다. 그러면 electric field를 다음과 같은 형태로 쓸 수 있습니다.
$E_x(z, t) = \mathcal{E}_0 \sin kz \sin \omega t,$ (7.7)
여기서 $\mathcal{E}_0$는 amplitude, $k = 2\pi/\lambda$는 wave vector, $\omega$는 angular frequency입니다. electric field가 $x$-axis를 따라 polarized되어 있으므로, magnetic field는 $y$-axis를 따를 것입니다. 이 field를 $B_y(z, t)$로 쓰면, $j = 0$, $B = \mu_0H$, $D = \epsilon_0E$인 네 번째 Maxwell equation(eqn 2.12)은 다음과 같습니다.
$-\frac{\partial B_y}{\partial z} = \epsilon_0\mu_0 \frac{\partial E_x}{\partial t}.$ (7.8)
이는 다음을 의미합니다.
$B_y(z, t) = B_0 \cos kz \cos \omega t,$ (7.9)
여기서
$B_0 = \mathcal{E}_0/c,$ (7.10)
이는 $\omega = ck$이기 때문입니다. eqn 7.7과 7.9에서 electric field와 magnetic field가 서로 $90^\circ$의 phase 차이를 가진다는 것은 명백하며, 이는 mechanical oscillator의 $x(t)$ 및 $p(t)$와 정확히 유사합니다. (cf. eqns 7.3 및 7.4.)
cavity 내 wave의 energy는 energy density를 적분하여 찾을 수 있습니다. 즉:
$U = \frac{1}{2} \left( \epsilon_0 \mathcal{E}^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2 \right),$ (7.11)
mode volume $V$에 대해 적분합니다. mode area를 $A$라고 하면, eqn 7.7로 주어지는 공간적으로 변하는 field에 대한 electric field energy는 다음과 같습니다.
$E_{\text{electric}} = \frac{1}{2} \epsilon_0 A \int_0^L \mathcal{E}_0^2 \sin^2 kz \sin^2 \omega t \, dz$ $= \frac{1}{4} \epsilon_0 A \mathcal{E}_0^2 \sin^2 \omega t \int_0^L (1 - \cos 2kz) \, dz$ $= \frac{1}{4} \epsilon_0 V \mathcal{E}_0^2 \sin^2 \omega t,$ (7.12)
여기서 두 번째 줄에서는 $2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ 항등식을 사용했고, 세 번째 줄에서는 $AL = V$로 두었습니다. 또한 cavity 내에 $z = 0$과 $z = L$에서 node를 가지는 standing wave가 존재한다는 사실을 사용했습니다. 따라서:
$\sin kL = 0,$ (7.13)
그러므로
$\int_0^L \cos 2kz \, dz = \sin 2kL / 2k = \sin kL \cos kL / k = 0.$ (7.14)
magnetic field energy 역시 다음과 같이 주어집니다.
$E_{\text{magnetic}} = \frac{1}{2\mu_0} A \int_0^L B_0^2 \cos^2 kz \cos^2 \omega t \, dz$ $= \frac{1}{4\mu_0} A B_0^2 \cos^2 \omega t \int_0^L (1 + \cos 2kz) \, dz$ $= \frac{1}{4\mu_0} V B_0^2 \cos^2 \omega t.$ (7.15)
따라서 총 energy는 다음과 같습니다.
$E = \frac{V}{4} \left( \epsilon_0 \mathcal{E}_0^2 \sin^2 \omega t + \frac{B_0^2}{\mu_0} \cos^2 \omega t \right),$ (7.16)
이는 energy가 electric field와 magnetic field 사이를 왕복하며 진동함을 보여줍니다.
이제 다음과 같이 정의된 두 개의 새로운 coordinates $q(t)$와 $p(t)$를 도입합니다.
$q(t) = \left( \frac{\epsilon_0 V}{2\omega^2} \right)^{1/2} \mathcal{E}_0 \sin \omega t,$ (7.17)
$p(t) = \left( \frac{V}{2\mu_0} \right)^{1/2} B_0 \cos \omega t \equiv \left( \frac{\epsilon_0 V}{2} \right)^{1/2} \mathcal{E}_0 \cos \omega t,$ (7.18)
여기서 $p(t)$의 정의에서 $B_0$를 대체하기 위해 eqn 7.10을 사용했습니다. eqn 7.17과 7.18이 다음을 의미한다는 점에 주목하면, $q(t)$와 $p(t)$가 각각 electromagnetic harmonic oscillator의 position 및 momentum과 동등하다는 것이 분명해집니다.
$p = \dot{q},$ (7.19)
그리고
$\dot{p} = -\omega^2 q.$ (7.20)
다음의 치환을 수행하면, 이들은 eqn 7.1과 7.2에 주어진 harmonic oscillator의 표준 equations of motion과 동일하게 만들 수 있습니다.
$q(t) = \sqrt{m} x(t)$ (7.21) $p(t) = (1/\sqrt{m}) p_x(t).$ (7.22)
$q(t)$와 $p(t)$를 eqn 7.16에 대입하면, energy를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
$E = \frac{1}{2} (p^2 + \omega^2 q^2).$ (7.23)
eqn 7.21과 7.22를 사용하여 이를 eqn 7.6에 주어진 더 친숙한 형태로 다시 캐스팅할 수 있음에 다시 한번 유의하십시오.
eqn 7.19, 7.20, 7.23은 함께 eqn 7.17과 7.18에서 도입된 $q(t)$ 및 $p(t)$ variables가 electromagnetic oscillator의 position 및 momentum처럼 작용함을 보여줍니다. 더욱이 $q(t) \propto E_x(t)$이고 $p(t) \propto B_y(t)$이므로, 이 variables를 각각 wave의 electric field 및 magnetic field와 동등한 것으로 간주할 수 있음이 명백합니다. 그러면 우리는 electric field와 magnetic field 사이의 energy 진동(cf. eqn 7.16)을 mechanical oscillator의 potential energy와 kinetic energy 사이의 진동과 동등한 것으로 이해할 수 있습니다.
7.2 Phasor diagrams and field quadratures
이후 섹션에서의 quantized light waves에 대한 논의는 phasor diagrams와 electric field quadratures를 자주 참조합니다. 따라서 classical light waves를 참조하여 이러한 개념을 먼저 연구하는 것이 편리합니다.
Fig. 7.1에 표시된 바와 같이 cavity 내의 plane-polarized classical monochromatic wave를 다시 고려해 봅시다. eqn 7.7에서 field를 작성할 때, optical phase에 대한 특정한 선택이 이루어졌습니다. 일반적으로 우리는 다음과 같이 써야 합니다.
$E_x(z, t) = \mathcal{E}_0 \sin kz \sin(\omega t + \phi),$ (7.24)
여기서 $\mathcal{E}_0$, $k$, $\omega$는 eqn 7.7에서와 같은 의미를 가지며, $\phi$는 $t = 0$을 어떻게 정의하느냐에 따라 달라지는 phase factor입니다. $\sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ 항등식을 사용하면, field를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.
$E_x(z, t) = \mathcal{E}_0 \sin kz (\cos \phi \sin \omega t + \sin \phi \cos \omega t)$ $= \mathcal{E}_1 \sin \omega t + \mathcal{E}_2 \cos \omega t,$ (7.25)
여기서 $\mathcal{E}_1 = \mathcal{E}_0 \sin kz \cos \phi$이고 $\mathcal{E}_2 = \mathcal{E}_0 \sin kz \sin \phi$입니다. 두 amplitudes $\mathcal{E}_1$과 $\mathcal{E}_2$를 field quadratures라고 부릅니다. 이들은 서로 $90^\circ$의 phase 차이를 가지고 진동하는 두 개의 electric fields에 해당합니다.
두 field quadratures는 복소수 연산을 사용하여 단일 표현식으로 편리하게 통합될 수 있습니다. 공간의 특정 지점에서 field amplitude를 다음과 같이 씁니다.
$\mathcal{E}(z) = \mathcal{E}_0(z) e^{i\phi}$ $= (\mathcal{E}_0(z) \cos \phi + i\mathcal{E}_0(z) \sin \phi)$ $= (\mathcal{E}_1(z) + i\mathcal{E}_2(z)),$ (7.26)
여기서 $\mathcal{E}_0(z) = \mathcal{E}_0 \sin kz$입니다. complex field amplitude $(\mathcal{E}_1 + i\mathcal{E}_2)$는 Fig. 7.2(a)에 표시된 것처럼 $\mathcal{E}$의 실수부가 $x$-axis에, 허수부가 $y$-axis에 해당하는 Argand diagram의 벡터로 나타낼 수 있습니다. 이러한 유형의 다이어그램을 phasor diagram이라고 합니다. field는 $x$-axis에 대해 $\phi$의 각도를 가지는 길이 $\mathcal{E}_0$의 벡터로 표현됩니다.
quantum optics에서는 field가 dimensionless인 단위를 사용하는 것이 편리합니다. 따라서 우리는 Fig. 7.2(b)에 표시된 것처럼 field phasor를 길이 $(\epsilon_0 V / 4\hbar\omega)^{1/2} \mathcal{E}_0$의 벡터로 다시 그립니다. 축은 각각 $X_1$과 $X_2$로 레이블이 지정됩니다. field의 $X_1$ 및 $X_2$ quadratures는 각각 시간에 의존하는 electric field의 사인 및 코사인 부분에 해당합니다.
$X_1(t) = \left( \frac{\epsilon_0 V}{4\hbar\omega} \right)^{1/2} \mathcal{E}_0 \sin \omega t,$ $X_2(t) = \left( \frac{\epsilon_0 V}{4\hbar\omega} \right)^{1/2} \mathcal{E}_0 \cos \omega t.$ (7.27)
그런 다음 eqn 7.25에 다시 대입하여 quadrature amplitudes의 관점에서 electric field의 시간 의존성을 찾을 수 있습니다.
$E_x(z, t) = \left( \frac{4\hbar\omega}{\epsilon_0 V} \right)^{1/2} \sin kz \left( \cos \phi X_1(t) + \sin \phi X_2(t) \right).$ (7.28)
$X_1$ field quadrature의 시간 의존성은 Fig. 7.2(c)에 나와 있습니다.
eqn 7.27을 eqn 7.17 및 7.18과 비교하면, 두 field quadratures가 각각 일반화된 position 및 momentum coordinates $q(t)$ 및 $p(t)$와 직접적으로 관련될 수 있음이 분명해집니다.
$X_1(t) = \left( \frac{\omega}{2\hbar} \right)^{1/2} q(t),$ (7.29) $X_2(t) = \left( \frac{1}{2\hbar\omega} \right)^{1/2} p(t).$ (7.30)
$X_1$ 및 $X_2$ quadratures와 position 및 momentum coordinates(eqns 7.29–7.30 참조) 사이의 연결성은 simple harmonic oscillator의 quantum theory를 electromagnetic wave에 적용하기 위한 formalism을 제공합니다. 이 연결은 다음 섹션에서 전개됩니다.
7.3 Light as a quantum harmonic oscillator
Section 7.1에서 확립된 light wave와 harmonic oscillator 사이의 등가성은 quantized harmonic oscillator에 대한 우리의 지식을 quantized electromagnetic field states에 적용할 수 있음을 의미합니다. 특히, 우리는 quantum harmonic oscillator에 대한 두 가지 잘 알려진 결과를 활용합니다(Section 3.3 참조).
- energy는 $\hbar\omega$ 단위로 quantized됩니다.
$E_n = \left( n + \frac{1}{2} \right) \hbar\omega.$ (7.31)
- position과 momentum은 Heisenberg uncertainty principle을 만족해야 합니다.
$\Delta x \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}.$ (7.32)
첫 번째 요점은 우리가 angular frequency $\omega$인 $n$개의 photons와 함께 $(1/2)\hbar\omega$의 zero-point energy를 가지고 있다는 것을 말하는 것으로 해석될 수 있습니다. 두 번째는 모든 harmonic oscillators가 quantum uncertainty를 가지고 있음을 의미합니다. 우리는 이전 두 장에서 energy의 이산성의 결과를 연구했습니다. 이제 우리는 electromagnetic harmonic oscillators 및 zero-point energy와 관련된 quantum uncertainty를 고려할 것입니다.
volume $V$의 cavity 내에서 angular frequency $\omega$인 단일 electromagnetic mode를 고려해 봅시다. 우리는 eqns 7.29–7.30에 정의된 대로 field quadratures $X_1(t)$ 및 $X_2(t)$의 관점에서 field를 설명합니다. 우리는 $\Delta X_1$과 $\Delta X_2$를 각각 두 field amplitudes의 uncertainties로 정의합니다. 이들의 곱은 다음과 같이 주어집니다.
$\Delta X_1 \Delta X_2 = \left( \frac{\omega}{2\hbar} \right)^{1/2} \Delta q \left( \frac{1}{2\hbar\omega} \right)^{1/2} \Delta p$ $= \frac{1}{2\hbar} \Delta q \Delta p.$ (7.33)
$q$와 $p$가 각각 eqns 7.21과 7.22를 통해 $x$와 $p_x$와 관련되어 있음을 상기하면, 이를 다음과 같은 형태로 다시 캐스팅할 수 있습니다.
$\Delta X_1 \Delta X_2 = \frac{1}{2\hbar} \left( \frac{\Delta x}{\sqrt{m}} \right) (\sqrt{m} \Delta p_x) = \frac{1}{2\hbar} \Delta x \Delta p_x.$ (7.34)
마지막으로, eqn 7.32에 주어진 harmonic oscillator의 quantum uncertainty를 도입하여 다음을 얻습니다.
$\Delta X_1 \Delta X_2 \ge \frac{1}{4}.$ (7.35)
따라서 우리는 field quadratures가 harmonic oscillator의 position 및 momentum의 quantum uncertainty와 정확히 유사하게 quantum uncertainty의 영향을 받는다고 결론짓습니다.
field quadratures의 quantum uncertainty는 phasor diagram에서 electric field vector의 크기와 방향이 어느 정도 불확실해야 함을 의미합니다. field quadratures의 uncertainties가 동일하다고 가정하면, phasor diagram이 Fig. 7.3(a)와 같이 나타날 것으로 예상할 수 있습니다. 이 그림에서 음영 처리된 원은 두 quadratures의 동일한 uncertainty를 나타냅니다. electric field phasor는 이 uncertainty circle 내의 어디에든 위치할 수 있습니다. Fig. 7.3(b)는 $X_1$ quadrature에 대한 해당 시간 의존성을 보여줍니다. quantum uncertainty가 wave의 amplitude와 phase 모두에 uncertainty를 도입한다는 것은 명백합니다.
여기서 본 것으로부터 우리는 완벽하게 잘 정의된 amplitude와 phase를 가진 electromagnetic wave의 classical picture가 지나친 단순화라는 것을 깨닫게 됩니다. Quantum theory는 amplitude와 phase에 본질적인 uncertainty를 도입합니다. 이 quantum uncertainty의 결과는 다음 섹션에서 탐구될 것입니다.
7.4 The vacuum field
eqn 7.31에서 photons가 여기되지 않았을 때조차도 quantum harmonic oscillator의 energy가 $(1/2)\hbar\omega$와 같다는 것은 명백합니다. 이 0이 아닌 energy는 일반적으로 표준 quantum mechanics 교재에서 oscillator의 zero-point energy로 설명됩니다.
quantum optics에서는 zero-point energy가 vacuum field라고 불리는 무작위로 요동치는 electric field에서 비롯된 것으로 간주하는 것이 더 일반적입니다. 이 field는 완전한 진공 상태를 포함하여 어디에나 존재합니다. 그 크기 $\mathcal{E}_{\text{vac}}$는 thermal energy가 oscillator quantum energy보다 훨씬 작은 온도에서 volume $V$의 진공 상태인 optical cavity를 고려하여 계산할 수 있습니다. 이러한 조건에서는 oscillator의 thermal excitation이 무시할 수 있을 정도이며, 다른 energy sources가 없는 경우 electromagnetic modes는 $n = 0$ 상태에 있게 됩니다. 그러면 mode당 $(1/2)\hbar\omega$의 zero-point energy는 mode volume $V$ 내의 electromagnetic energy와 같게 둘 수 있습니다. electric field와 magnetic field의 시간 평균 energy 기여도가 동일하다는 것을 상기하면, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$2 \times \int \frac{1}{2} \epsilon_0 \mathcal{E}_{\text{vac}}^2 \, dV = \frac{1}{2} \hbar\omega,$ (7.36)
이는 다음을 의미합니다.
$\mathcal{E}_{\text{vac}} = \left( \frac{\hbar\omega}{2\epsilon_0 V} \right)^{1/2}.$ (7.37)
Equation 7.37은 vacuum field의 크기가 작은 cavities에서 가장 크다는 것을 알려줍니다. (Example 7.1 참조.)
classical field amplitude $\mathcal{E}_0$는 진공에 대해 0이므로, vacuum state는 Fig. 7.4에 표시된 것처럼 원점에 중심을 둔 uncertainty circle로 phasor diagram에 표현됩니다. phasor diagram의 음영 처리된 영역은 eqn 7.37에 의해 주어진 실제 단위의 평균 크기를 갖는 진공의 무작위로 요동치는 field를 나타냅니다. 두 quadratures의 uncertainties는 동일하며, 각각은 eqn 7.35에 의해 허용되는 최솟값과 같습니다. 따라서 우리는 다음을 얻습니다.
$\Delta X_1^{\text{vac}} = \Delta X_2^{\text{vac}} = \frac{1}{2}.$ (7.38)
허용되는 최소 uncertainty로 eqn 7.35를 만족하는 vacuum field와 같은 상태를 minimum uncertainty states라고 부릅니다.
vacuum field의 존재는 일반적으로 Casimir force에 의해 증명됩니다. 이는 진공에 놓인 두 개의 평행한 전도성 거울 사이의 인력입니다. 이 힘은 거울 cavity의 존재로 인해 발생하는 vacuum energy의 변화에서 비롯되며, 단위 면적당 크기는 다음과 같습니다.
$F_{\text{Casimir}} = \frac{\pi^2 \hbar c}{240 L^4},$ (7.39)
여기서 $L$은 거울의 간격입니다. 비록 그 힘은 극히 작지만(Exercise 7.5 참조), 민감한 측정들이 그 존재를 확인했습니다.
vacuum field는 여러 quantum optical phenomena에 중요한 결과를 가져옵니다. 가장 잘 알려진 예 중 하나는 spontaneous emission을 vacuum field에 의해 촉발된 stimulated emission process로 설명하는 것입니다. vacuum field가 중요한 또 다른 주제는 cavity quantum electrodynamics에서 strong coupling regime을 고려할 때입니다. (Section 10.2 참조.) 원자 energy levels의 Lamb shift 또한 vacuum field fluctuations에 기인합니다.
Example 7.1 500 nm에서 다음 volume의 cavity 내 vacuum field의 크기를 계산하십시오. (a) $1 \text{ mm}^3$, (b) $1 \text{ \mu m}^3$.
Solution mode volume $V$의 cavity 내 vacuum field의 크기는 eqn 7.37로 주어집니다. (a) $V = 10^{-9} \text{ m}^3$이고 $\omega = 3.8 \times 10^{15} \text{ rad s}^{-1}$일 때, $\mathcal{E}_{\text{vac}} = 4.7 \text{ V m}^{-1}$을 얻습니다. (b) $V = 10^{-18} \text{ m}^3$에 대해 계산을 반복하면, $\mathcal{E}_{\text{vac}} = 1.5 \times 10^5 \text{ V m}^{-1}$을 얻습니다.
7.5 Coherent states
classical monochromatic electromagnetic wave의 quantum-mechanical 등가물을 coherent state라고 부릅니다. 이러한 상태는 Dirac notation에서 $|\alpha\rangle$로 표현되며, 여기서 $\alpha$는 dimensionless complex number입니다. $\alpha$의 의미는 volume $V$의 cavity 내에 갇힌 angular frequency $\omega$의 linearly polarized mode를 고려함으로써 이해할 수 있습니다. 이 상황에서 $\alpha$는 다음에 따라 정의됩니다.
$\alpha = X_1 + iX_2,$ (7.40)
여기서 $X_1$과 $X_2$는 eqn 7.27에 정의된 바와 같이 cavity 내 field의 dimensionless quadratures입니다. 우리는 다음과 같이 작성하여 $\alpha$를 그 amplitude와 phase $\phi$로 분리할 수 있습니다.
$\alpha = |\alpha| e^{i\phi}$ (7.41)
여기서
$|\alpha| = \sqrt{X_1^2 + X_2^2},$ (7.42)
그리고
$X_1 = |\alpha| \cos \phi,$ $X_2 = |\alpha| \sin \phi.$ (7.43)
이러한 정의는 coherent state $|\alpha\rangle$가 Fig. 7.5에 표시된 것처럼 각도 $\phi$에서 길이 $|\alpha|$의 phasor로 표현될 수 있음을 명백하게 합니다.
coherent state는 minimum uncertainty state이므로 eqn 7.35의 등호가 적절하다는 것을 보여줄 수 있습니다. 두 quadratures 중 어느 하나에 대한 본질적인 선호도는 없으며, 따라서 그들의 uncertainties는 동일해야 합니다. 그러므로 우리는 다음을 얻습니다.
$\Delta X_1 = \Delta X_2 = \frac{1}{2},$ (7.44)
이는 vacuum state의 경우와 같습니다(cf. eqn 7.38). 따라서 coherent states는 vacuum의 uncertainty circle이 coherent state의 field vector $\alpha$만큼 원점에서 변위된, 변위된 vacuum states로 간주될 수 있습니다. Fig. 7.5에서 phasor 끝에 있는 지름 $1/2$의 음영 처리된 원은 이 quantum uncertainty를 나타냅니다.
Fig. 7.5와 Fig. 7.2(b)의 classical field의 phasor를 비교하면, $|\alpha|$가 다음에 따라 electric field amplitude $\mathcal{E}_0$와 관련되어 있음이 명백해집니다.
$|\alpha| = \sqrt{\frac{\epsilon_0 V}{4\hbar\omega}} \mathcal{E}_0.$ (7.45)
mode로 인한 classical electromagnetic energy는 eqn 7.16으로 주어집니다. eqn 7.10에서 $B_0$를 대입하고 $c^2 = 1/\mu_0\epsilon_0$을 사용하면 다음을 얻습니다.
$E_{\text{classical}} = \frac{V}{4} \epsilon_0 \mathcal{E}_0^2 (\cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t) = \frac{V}{4} \epsilon_0 \mathcal{E}_0^2,$ (7.46)
이는 eqn 7.45를 사용하면 다음을 제공합니다.
$E_{\text{classical}} = \hbar\omega |\alpha|^2.$ (7.47)
cavity 내의 excitation energy가 다음과 같은 형태로 쓰일 수 있음을 상기함으로써 이를 electromagnetic harmonic oscillator의 quantum theory와 연결할 수 있습니다(eqn 7.31 참조).
$E_{\text{quantum}} = \bar{n} \hbar\omega + \frac{1}{2} \hbar\omega,$ (7.48)
여기서 $\bar{n}$은 angular frequency $\omega$에서 cavity 내에 여기된 photons의 평균 수입니다. eqn 7.48의 두 번째 항은 vacuum field fluctuations와 관련된 zero-point energy입니다. 따라서 우리는 eqn 7.48의 첫 번째 항을 $\mathcal{E}_0$로 인한 classical energy와 같게 둘 수 있습니다. eqn 7.47에서 $E_{\text{classical}} = \bar{n}\hbar\omega$로 설정하면 다음을 찾을 수 있습니다.
$|\alpha| = \sqrt{\bar{n}}.$ (7.49)
따라서 우리는 phasor diagram에서 coherent state $|\alpha\rangle$를 나타내는 벡터의 길이가 $\sqrt{\bar{n}}$과 같음을 알 수 있습니다.
7.6 Shot noise and number–phase uncertainty
Fig. 7.5에서 coherent state의 길이와 각도가 모두 불확실하다는 것은 명백합니다. 이는 두 양이 완벽한 정밀도로 정의되는 Fig. 7.2에 표시된 classical wave의 phasor와 대조됩니다. 이 섹션에서 우리는 quantum uncertainty가 shot noise와 number-phase uncertainty를 모두 유발한다는 것을 볼 것입니다.
Fig. 7.6에 표시된 것처럼 amplitude가 $\alpha$인 coherent state의 quantum uncertainty를 고려해 봅시다. coherent state의 phasor는 평균 길이가 $|\alpha|$이고 $X_1$-axis에 대해 평균 각도 $\phi$를 만듭니다. photon number uncertainty $\Delta n$은 uncertainty circle의 지름이 $1/2$인 경우 phasor의 길이가 $(|\alpha| + 1/4)$와 $(|\alpha| - 1/4)$ 사이에서 불확실하다는 것을 깨달음으로써 계산할 수 있습니다. Equation 7.49는 photon number가 $|\alpha|^2$과 같음을 알려주며, 따라서 우리는 다음을 얻습니다.
$\Delta n = (|\alpha| + 1/4)^2 - (|\alpha| - 1/4)^2 = |\alpha| = \sqrt{\bar{n}}.$ (7.50)
이는 coherent states가 Poissonian photon statistics를 가짐을 보여줍니다(cf. eqn 5.16). 우리는 Section 5.9에서 Poissonian photon statistics가 optical detection에서 shot noise를 유발한다는 것을 보았습니다. 따라서 우리는 optical detection에서 관찰되는 shot noise가 light의 quantum uncertainty에서 비롯된 것으로 생각할 수 있음을 알 수 있습니다. 이 점은 Section 7.8에서 더 발전될 것이며, 거기서 우리는 shot noise가 vacuum modes의 존재에 기인할 수 있음을 볼 것입니다.
optical phase의 uncertainty 평가는 더 문제가 많습니다. 사실, quantum optics에서 optical phase는 고유하게 정의되지 않습니다. 반면에 $|\alpha| = \sqrt{\bar{n}} \gg 1$일 때 유용한 결과를 도출할 수 있습니다. 이 극한은 quantum effects가 작고 coherent state의 optical phase가 electromagnetic wave의 classical phase와 같아야 하는 큰 amplitude의 fields에 해당합니다. $|\alpha|$가 클 때, phase uncertainty $\Delta \phi$는 uncertainty circle이 이루는 각도로부터 계산할 수 있습니다(Fig. 7.6 참조).
$\Delta \phi = \frac{\text{uncertainty diameter}}{\alpha} = \frac{1/2}{\sqrt{\bar{n}}}.$ (7.51)
이를 eqn 7.50과 결합하여 number-phase uncertainty 관계를 형성할 수 있습니다.
$\Delta n \Delta \phi \ge \frac{1}{2}.$ (7.52)
이는 wave의 photon number(즉, amplitude)와 phase를 동시에 완벽한 정밀도로 아는 것이 불가능함을 보여줍니다.
eqn 7.52에 주어진 number-phase uncertainty로부터 quantum optics에서 optical phase의 정의가 왜 문제가 되는지 명백해야 합니다. $\bar{n}$이 작으면 $\Delta \phi$는 커집니다. 결국 $\Delta \phi$는 최댓값인 $2\pi$에 접근하며, 여기서 phase는 완전히 정의되지 않습니다. 이 극한에서 $\phi$를 정의할 수 없다는 것은 optical phase의 quantum-mechanical 정의를 찾는 데 내재된 어려움의 발현입니다.
eqn 7.52가 암시하는 phase uncertainty는 interferometry의 고정밀 측정에 중요합니다. 아래의 Example 7.2는 gravity waves를 감지하도록 설계된 초고정밀 interferometers의 경우에 대해 이 점을 설명합니다.
Example 7.2 Figure 7.7은 LIGO gravity wave interferometer의 개략도를 보여줍니다. 이 interferometer는 50:50 beam splitter BS와 각각 test masses에 장착된 두 개의 끝 거울 M1 및 M2로 구성된 Michelson interferometer(Section 2.2.2 참조)로 이루어져 있습니다. gravity waves는 test masses의 변위 $\delta L$이 beam splitter에 대해 반대 방향이 되도록 진동하는 조석 왜곡을 생성할 것으로 예측됩니다. 이는 출력에서 관찰되는 fringe pattern의 이동을 생성해야 하며, 따라서 gravity wave로 인한 변위를 감지할 가능성으로 이어집니다.
LIGO 실험은 약 5 W의 power output으로 1064 nm에서 작동하는 Nd laser를 사용합니다. 이 실험은 표준 Michelson interferometer와 비교하여 두 가지 추가 기능을 포함하며, 둘 다 감도를 향상시키도록 설계되었습니다. 첫째, power recycling mirror $M_R$은 interferometer 내의 power를 재활용하여 유효 power가 60배 더 높은 300 W가 되도록 합니다. 둘째, 두 개의 cavity mirrors $M_C$는 유효 arm length $L$을 50배 증가시켜 $50L$로 만듭니다.
이 예제에서 우리는 interferometer의 감도를 계산할 것입니다. 다음을 계산하십시오. (a) cavity 내 light의 phase uncertainty; (b) 감지할 수 있는 최소 변위 $\delta L$; (c) $L = 4 \text{ km}$에 대해 감지할 수 있는 최소 strain.
Solution (a) 먼저 평균 photon flux를 계산합니다. 1.17 eV의 photon energy를 사용하면 eqn 5.1은 다음을 제공합니다.
$\bar{n} = \frac{300 \text{ W}}{1.17 \text{ eV}} = 1.6 \times 10^{21} \text{ photons s}^{-1}.$
그러면 photon number의 uncertainty는 eqn 7.50에 의해 다음과 같이 주어집니다.
$\Delta n = \sqrt{1.6 \times 10^{21}} = 4.0 \times 10^{10}.$
classical laser noise가 제거되었다는 가정하에, phase uncertainty는 최종적으로 eqn 7.52에 의해 허용되는 최솟값으로부터 계산됩니다.
$\Delta \phi = 1/2\Delta n = 1.3 \times 10^{-12} \text{ radians}.$
(b) 변위 $\delta L$에 의해 유도된 fringe shift를 관찰할 수 있으려면 다음이 필요합니다.
$\frac{\delta L}{\lambda} > \frac{\Delta \phi}{2\pi}.$
$\Delta \phi = 1.3 \times 10^{-11} \text{ radians}$이고 $\lambda = 1064 \text{ nm}$일 때, $\delta L = 2.2 \times 10^{-18} \text{ m}$를 찾을 수 있습니다.
(c) strain은 원래 길이로 나눈 부분적인 길이 변화와 같습니다. cavity enhancement를 포함하면, 이는 다음과 같은 strain $h$를 제공합니다.
$h = \frac{2.2 \times 10^{-18} \text{ m}}{50 \times 4 \text{ km}} = 1.1 \times 10^{-23}.$
7.7 Squeezed states
이전 두 섹션에서 연구한 vacuum states와 coherent states는 모두 두 quadratures에서 동일한 uncertainties를 갖는 minimum uncertainty states의 예이므로 다음과 같습니다.
$\Delta X_1 = \Delta X_2 = \frac{1}{2}.$ (7.53)
eqn 7.35의 uncertainty product는 quadrature uncertainties가 다른 다른 유형의 minimum uncertainty states를 허용합니다. 이를 달성할 수 있는 한 가지 방법은 vacuum 또는 coherent state의 uncertainty circle을 동일한 면적의 타원으로 압착하는 것입니다. 이러한 상태를 quadrature-squeezed states라고 부릅니다.
Figure 7.8은 세 가지 다른 유형의 quadrature-squeezed states를 보여줍니다. Figure 7.8(a)는 squeezed-vacuum state를 보여줍니다. 이는 Fig. 7.4에 표시된 진공의 quadrature uncertainty circle이 한 방향으로 압착되고 다른 방향을 희생하여 타원을 형성하는 light의 quantum state입니다. 이 특정 예에서 $X_1$ quadrature는 $\sqrt{2}$의 계수만큼 압착되어 $\Delta X_1 = 0.35$ 및 $\Delta X_2 = 0.71$이 됩니다. $X_1$ quadrature의 압착은 타원을 $\Delta X_1 = \Delta X_2 = 0.5$인 원래의 vacuum state에 해당하는 점선 원과 비교함으로써 명백해집니다. (cf. eqn 7.38.)
Figure 7.8(b)와 (c)는 Fig. 7.5에 표시된 coherent state의 uncertainty circle이 동일한 면적의 타원으로 압착된 두 가지 다른 형태의 squeezed light를 보여줍니다. Fig. 7.8(b)에서는 타원의 장축이 coherent state의 phasor와 정렬되어 phase uncertainty가 원래의 coherent state보다 작아진 반면, Fig. 7.8(c)에서는 amplitude uncertainty를 줄이기 위해 단축이 정렬되었습니다. 따라서 Fig. 7.8(b)와 (c)에 표시된 두 상태를 각각 phase-squeezed light 및 amplitude-squeezed light라고 부릅니다.
phase-squeezed light의 사용은 eqn 7.51에 주어진 바와 같이 coherent state로 얻은 것보다 더 높은 정밀도로 interferometric measurements를 가능하게 합니다. 유사하게, amplitude-squeezed light의 사용은 coherent state보다 더 작은 amplitude noise를 제공합니다. 이제 우리는 eqn 7.50에서 coherent states가 Poissonian photon number fluctuations를 가지며 따라서 shot noise를 생성한다는 것을 보았습니다. 따라서 amplitude-squeezed light는 sub-Poissonian photon statistics를 가지며 optical detection에서 shot-noise limit보다 더 작은 noise level을 생성합니다. 따라서 shot-noise limit 미만의 photodetection noise 관찰은 실험실에서 squeezed states가 감지되는 방법 중 하나입니다.
Fig. 7.8에 표시된 타원 축의 각도는 가장 중요한 유형의 quadrature-squeezed states를 설명하기 위해 선택되었습니다. 물론 다른 각도의 축을 가진 quadrature-squeezed states의 다른 많은 예가 있습니다. 더욱이 uncertainty principle은 phasor uncertainty에 대한 최소 면적이 존재할 것을 요구하지만, uncertainty profile의 모양에는 어떠한 제한도 두지 않아 다른 유형의 squeezed states의 가능성으로 이어집니다. 이러한 상태에 대한 유일한 요구 사항은 quadrature 단위의 uncertainty area가 $\ge 1/4$이어야 한다는 것입니다.
가장 중요한 유형의 squeezed states 중 하나는 이전에 Section 5.6에서 소개한 photon number states입니다. 이들은 완벽하게 정의된 photon number $n$의 상태이며, 이는 $\Delta n = 0$을 의미하고, 같은 이유로 완전히 정의되지 않은 phase를 의미합니다. (eqn 7.52의 논의 참조.) 이는 더 큰 photon number fluctuations($\Delta n = \sqrt{\bar{n}}$)를 가지지만 훨씬 더 잘 정의된 phase를 갖는 coherent states와 대조됩니다.
Figure 7.9는 photon number state에 대한 phasor diagram을 보여줍니다. phasor는 반지름이 $(n + 1/2)^{1/2}$인 원입니다. phasor의 길이는 완벽하게 잘 정의되어 있으므로 electric field amplitude $\mathcal{E}_0$에는 uncertainty가 없습니다. 반면에 phase는 완전히 정의되지 않습니다. 따라서 field는 동일한 amplitude를 가지지만 가능한 모든 phases를 가진 waves의 중첩입니다. photon number states는 minimum uncertainty states가 아님에 유의하십시오. (Exercise 7.13 참조.)
7.8 Detection of squeezed light
squeezed light에 대한 감지 전략은 생성된 상태의 유형에 따라 다릅니다. 대부분의 감지 체계는 이전에 Section 5.9에서 소개된 개념인 어떤 형태의 balanced detection을 사용합니다. 그 맥락에서 우리는 두 개의 balanced detectors에서 photocurrents를 빼면 classical noise를 상쇄하고 noise level을 shot-noise limit까지 낮출 수 있음을 보았습니다. 이제 우리는 balanced detector로 squeezed light를 감지할 때 실제로 shot-noise limit 아래로 내려갈 수 있음을 볼 것이며, 그 과정에서 vacuum noise의 관점에서 shot noise의 기원에 대한 새로운 관점도 얻게 될 것입니다.
7.8.1 Detection of quadrature-squeezed vacuum states
Figure 7.10(a)는 quadrature-squeezed states의 감지에 사용되는 일반적인 방법인 balanced homodyne detector의 개략도를 보여줍니다. 이 detector는 50:50 beam splitter와 두 개의 photodiodes PD1 및 PD2로 구성됩니다. photodiodes는 출력이 $(i_1 - i_2)$와 같아지도록 연결되며, 여기서 $i_1$과 $i_2$는 각각 PD1과 PD2에 의해 생성된 photocurrents입니다. Figure 7.10(b)는 이를 수행할 수 있는 한 가지 방법을 보여줍니다. 두 다이오드는 $\pm V_0$의 전원 공급 장치에 직렬로 연결됩니다. load resistor $R_L$이 비교적 작다고 가정하면, PD1과 PD2 사이의 중간 지점에서의 DC 전압은 0에 가까울 것이고, 두 다이오드는 모두 역방향 바이어스 상태가 될 것입니다. 이 상황에서 암전류는 매우 작을 것이며, 두 photocurrents의 차이는 증폭기 A를 향해 흐를 것입니다. 커패시터 C는 $(i_1 - i_2)$의 DC 성분이 $R_L$을 통해 흐르도록 보장하여, 출력 전압 $V(t)$가 $(i_1 - i_2)$의 증폭된 AC 성분이 되도록 합니다.
balanced detector에는 두 개의 입력 포트가 있습니다. signal field는 beam splitter의 입력 포트 중 하나로 공급되는 반면, local oscillator field는 다른 포트로 공급됩니다. local oscillator는 signal과 동일한 주파수를 갖는 큰 amplitude의 light wave이며, 일반적으로 squeezed light를 생성하는 데 사용된 것과 동일한 laser에서 파생됩니다. 먼저 beam splitter의 signal port에 입력이 없을 때 어떤 일이 일어나는지 고려해 봅시다. 고전적인 관점에서 beam splitter는 local oscillator의 강도를 두 photodiodes 사이에 균등하게 나눕니다. 따라서 PD1과 PD2에 의해 생성된 photocurrents는 동일할 것이므로 $(i_1 - i_2) = 0$이 되고, local oscillator의 모든 고전적인 강도 요동이 제거됩니다. 반면에 PD1과 PD2에 충돌하는 photon beams의 Poissonian statistics는 $i_1$과 $i_2$에 shot noise를 생성합니다. (Section 5.9 참조.) shot noise는 무작위이므로 $i_1$과 $i_2$의 photocurrent fluctuations는 완전히 상관관계가 없을 것이며, 두 noise signals는 출력에서 함께 더해질 것입니다. 더욱이 $i_1$과 $i_2$의 결합된 shot noise는 local oscillator의 전체 강도를 감지하는 단일 photodiode에서 발생하는 것과 동일한 크기를 가져야 합니다. 이는 shot-noise power가 평균 photocurrent(cf. eqn 5.63)에 비례하여 확장된다는 사실에서 비롯되며, 이는 그 자체로 각 detector에 입사하는 평균 optical power에 비례합니다. 따라서 signal port에 입력이 없는 balanced detector의 출력은 이전에 Section 5.9에서 본 것처럼 local oscillator의 shot noise와 같습니다.
이제 beam splitter의 다른 입력 포트에 signal field $\mathcal{E}_s$를 도입하는 효과를 고려해 봅시다. 출력 fields $\mathcal{E}_1$과 $\mathcal{E}_2$는 다음과 같이 주어집니다.
$\mathcal{E}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \mathcal{E}_{\text{LO}} e^{i\phi_{\text{LO}}} + \mathcal{E}_s \right),$ (7.54) $\mathcal{E}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \mathcal{E}_{\text{LO}} e^{i\phi_{\text{LO}}} - \mathcal{E}_s \right),$ (7.55)
여기서 $\mathcal{E}_{\text{LO}}$는 local oscillator beam의 amplitude이고, $\phi_{\text{LO}}$는 signal field에 대한 상대적인 phase입니다. local oscillator는 큰 amplitude의 field이므로 고전적으로 취급할 수 있습니다. 반면에 signal은 약한 field이므로 quantum mechanically 취급해야 합니다. 따라서 우리는 signal field를 두 개의 quadrature components로 나눕니다.
$\mathcal{E}_s = \mathcal{E}_s^{X_1} + i\mathcal{E}_s^{X_2},$ (7.56)
여기서 $i \equiv e^{i\pi/2}$ 계수는 두 quadratures 사이의 $90^\circ$ phase shift를 나타냅니다. 출력 fields를 실수부와 허수부로 나누면 다음을 찾을 수 있습니다.
$\mathcal{E}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ (\mathcal{E}_{\text{LO}} \cos \phi_{\text{LO}} + \mathcal{E}_s^{X_1}) + i(\mathcal{E}_{\text{LO}} \sin \phi_{\text{LO}} + \mathcal{E}_s^{X_2}) \right],$ (7.57) $\mathcal{E}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ (\mathcal{E}_{\text{LO}} \cos \phi_{\text{LO}} - \mathcal{E}_s^{X_1}) + i(\mathcal{E}_{\text{LO}} \sin \phi_{\text{LO}} - \mathcal{E}_s^{X_2}) \right].$ (7.58)
field $\mathcal{E}$가 입사하는 detector에 의해 생성된 photocurrent는 $|\mathcal{E}|^2 = \mathcal{E}\mathcal{E}^*$에 비례합니다. 따라서 balanced homodyne detector의 출력은 다음과 같이 주어집니다.
$\text{output} \propto i_1 - i_2$ $\propto \mathcal{E}_1 \mathcal{E}_1^* - \mathcal{E}_2 \mathcal{E}_2^*$ $\propto 2\mathcal{E}_{\text{LO}} \left( \cos \phi_{\text{LO}} \mathcal{E}_s^{X_1} + \sin \phi_{\text{LO}} \mathcal{E}_s^{X_2} \right).$ (7.59)
따라서 출력은 phase sensitive합니다. $\phi_{\text{LO}} = 0, \pi, 2\pi, \dots$를 선택하면 출력 크기가 $\mathcal{E}_{\text{LO}} \mathcal{E}_s^{X_1}$에 비례하는 반면, $\phi_{\text{LO}} = \pi/2, 3\pi/2, \dots$의 경우 출력은 $\mathcal{E}_{\text{LO}} \mathcal{E}_s^{X_2}$에 비례합니다. 따라서 balanced homodyne detector는 local oscillator와 in phase인 signal field quadrature에 비례하는 출력을 제공합니다.
signal field가 없는 경우를 다시 고려해 봅시다. quantum optics에서 ‘no signal field’는 signal port로 들어오는 vacuum modes가 있음을 의미합니다. 따라서 detector의 출력은 $\mathcal{E}_{\text{LO}} \mathcal{E}_{\text{vac}}$에 비례합니다. 우리는 위에서 이 출력 수준이 local oscillator의 shot noise와 동등하다는 것을 보았습니다. 따라서 우리는 신호가 없을 때의 shot-noise 출력을 local oscillator와 vacuum field를 homodyning한 결과로 해석할 수 있습니다.
신호에서의 vacuum field 입력이 shot-noise 출력을 제공하므로, squeezed vacuum signal은 감쇠된 quadrature에 대해 shot-noise limit보다 작은 noise level을 생성하고, 증폭된 quadrature에 대해서는 shot-noise level 이상의 noise level을 생성할 것입니다. 따라서 특정 local oscillator phases에 대해 shot-noise level 아래로 내려가는 phase-dependent noise의 관찰은 quadrature-squeezed vacuum 입력의 특징입니다.
7.8.2 Detection of amplitude-squeezed light
Amplitude-squeezed light는 sub-Poissonian statistics를 가지므로 quadrature-squeezed light보다 감지하기가 더 쉽습니다. 원칙적으로 해야 할 일은 photodiode에 light를 비추고 shot-noise level 미만의 noise signal을 찾는 것뿐입니다. 그러나 shot noise level의 정확한 보정을 얻는 데 어려움이 있기 때문에 Fig. 7.11에 표시된 수정된 balanced detector를 사용하는 것이 편리합니다. 이 배열은 하나의 입력 포트만 사용되고 photodiodes PD1과 PD2가 함께 배선되어 선택에 따라 photocurrents $i_1$과 $i_2$를 빼거나(‘-‘ 출력) 더할 수 있다는(‘+’ 출력) 점을 제외하면 Fig. 7.10에 표시된 balanced homodyne detector와 기본적으로 동일합니다.
’-‘ 출력이 선택되면, 우리는 다시 신호 입력이 없는 balanced homodyne detector를 갖게 됩니다. 따라서 출력은 이전 하위 섹션에서 논의된 바와 같이 shot-noise level에 있을 것입니다. 반면에 ‘+’ 출력의 경우, 우리는 단지 단일 photodiode로 복사를 감지한 것처럼 photocurrent fluctuations를 함께 더합니다. photon statistics가 sub-Poissonian인 경우, ‘+’ 출력에 대한 noise power는 따라서 shot noise level보다 낮을 것으로 예상됩니다. 따라서 ‘+’ 및 ‘-‘ 출력 사이를 전환함으로써, 우리는 shot noise level에 대한 입력 빔의 photocurrent noise power의 정밀한 측정을 얻을 수 있습니다.
7.9 Generation of squeezed states
squeezed states의 생성은 방대한 주제이며, 이와 같은 텍스트에서 모든 가능성을 다루는 것은 불가능합니다. 따라서 우리는 여기서 가장 중요한 두 가지 유형의 squeezed states, 즉 quadrature-squeezed vacuum states와 amplitude-squeezed light에 집중합니다.
7.9.1 Squeezed vacuum states
Quadrature-squeezed vacuum states는 nonlinear optics 기술에 의해 생성됩니다. Figure 7.12는 일반적인 원리를 설명합니다. 실험의 핵심은 angular frequency $\omega_p = 2\omega$인 강렬한 laser beam에 의해 펌핑되는 second-order nonlinear crystal로 구성된 degenerate parametric amplifier를 포함합니다. Fig. 7.12(a)에 표시된 것처럼 angular frequency $\omega_s = \omega$인 약한 signal beam도 도입됩니다. nonlinear crystal은 signal을 pump와 혼합하고 difference frequency mixing에 의해 angular frequency $\omega_i$인 idler beam을 생성하며, 여기서 (Section 2.4.2 참조):
$\omega_i = \omega_p - \omega_s = 2\omega - \omega = \omega.$ (7.60)
그런 다음 이 idler photons는 pump와 다시 혼합되어 더 많은 signal photons를 생성하는 식입니다. 여기서 우리가 고려하고 있는 signal과 idler photons가 degenerate인 특별한 경우, nonlinear process는 pump field에 대한 상대적인 phase에 따라 signal의 증폭 또는 감쇠를 생성합니다. (Appendix B 참조.)
degenerate parametric amplifier의 phase-sensitive amplification 효과는 Fig. 7.12(b)에 설명되어 있습니다. 우리는 결정의 입력에 signal beam이 존재하지 않는다고 가정합니다. 이 경우 signal은 항상 존재하는 vacuum modes에서 가져옵니다. vacuum modes는 eqn 7.37에 의해 주어진 평균 amplitude의 무작위로 요동치는 field로 구성됩니다. $\mathcal{E}(t)$ 다이어그램에서 진공은 Fig. 7.12(b)의 중간 패널에 표시된 것처럼 $\mathcal{E} = 0$ 축에 대해 대칭적으로 배치된 일정한 크기의 흐릿한 선으로 표현됩니다. nonlinear process는 phase에 따라 진공을 증폭하거나 감쇠시킵니다. 이는 그림의 하단 패널에 표시된 것과 같은 출력 field를 생성합니다. field의 크기는 특정 phases에 대해 진공의 크기보다 작으며 따라서 quadrature-squeezed vacuum state에 해당할 수 있습니다.
Figure 7.13(a)는 second-order nonlinear crystal과 1064 nm에서 작동하는 Nd:YAG laser를 사용하여 degenerate parametric amplification에 의해 squeezed vacuum states를 생성하기 위한 실험 장치의 개략도를 보여줍니다. parametric amplifier는 second-order nonlinear crystal을 사용하여 laser의 frequency doubling에 의해 생성된 532 nm의 second harmonic radiation에 의해 펌핑되었습니다. (Section 2.4.2 참조.) 그런 다음 1064 nm의 vacuum modes는 pump beam에 대한 상대적인 phase에 따라 증폭되거나 감쇠되었습니다. nonlinear effects의 크기를 향상시키기 위해 resonant cavity가 사용되었습니다. 투과된 pump beam은 필터에 의해 parametric amplifier의 출력에서 제거되었고 squeezed vacuum modes는 balanced homodyne detector의 signal port로 공급되었습니다. local oscillator는 원래의 laser beam에서 파생되었으며 그 phase는 거울 중 하나를 압전 변환기 위에 배치하여 스캔되었습니다.
Figure 7.13(b)는 parametric amplifier에 MgO:LiNbO$_3$ 결정을 사용하여 Wu 등이 수행한 실험 결과를 제시합니다. balanced homodyne detector의 출력은 1의 noise level이 shot-noise level(SNL)에 해당하도록 정규화되었습니다. 데이터는 상대적인 local oscillator phases가 0, $\pi$, $2\pi$일 때 noise voltage가 SNL 아래로 떨어지는 반면, $\phi_{\text{LO}} = \pi/2$ 및 $3\pi/2$에 대해서는 그 위로 상승함을 보여주며, 이는 parametric amplifier의 출력이 quadrature-squeezed vacuum state임을 나타냅니다.
Fig. 7.13(b)에 표시된 결과에서 최소 r.m.s. noise voltage $V_{\text{rms}}$는 SNL의 약 70%였습니다. 이는 noise power($V_{\text{rms}}^2$에 비례)가 SNL보다 약 2배 낮음을 나타냅니다. 1986년에 달성된 이 결과는 수년 동안 벤치마크로 자리 잡았습니다.
7.9.2 Amplitude-squeezed light
Section 5.10에서 우리는 sub-Poissonian electron current statistics를 갖는 전기 공급 장치에 의해 구동되는 발광 소자에서 sub-Poissonian light(즉, amplitude-squeezed light)가 어떻게 생성될 수 있는지 설명했습니다. 이 섹션에서는 nonlinear optics 기술에 의해 amplitude-squeezed light가 어떻게 생성될 수 있는지 설명할 것입니다. 원리는 second-harmonic generation과 같은 nonlinear processes가 순간적인 photon flux의 요동에 민감하다는 사실을 사용하는 것입니다. 이 원리는 second-harmonic generation, two-photon absorption, self-phase modulation을 포함한 여러 다른 유형의 nonlinear processes에 대해 입증되었습니다.
second-order nonlinear crystal에서의 frequency-doubling 과정을 고려해 봅시다. 이 과정은 Fig. 2.6(b)에 표시된 것처럼 fundamental beam의 두 photons를 second-harmonic beam의 한 photon으로 변환합니다. 전형적인 실험에서 nonlinear crystal은 angular frequency $\omega$인 강력한 빔에 의해 펌핑되며, Fig. 2.7(a)에 표시된 것처럼 $\omega$와 $2\omega$에서 두 개의 출력 빔을 갖습니다. second-harmonic generation의 확률은 $\chi^{(2)}\mathcal{E}_p^2$에 비례하며, 여기서 $\chi^{(2)}$는 nonlinear susceptibility이고 $\mathcal{E}_p$는 pump field입니다. (eqn 2.58 참조.) 따라서 확률은 pump의 강도에 비례하며, 이는 다시 그 photon flux에 비례합니다.
SNL에서 light를 생성하는 안정화된 laser를 frequency doubler의 입력으로 사용한다고 가정해 봅시다. 따라서 pump beam은 Poissonian photon statistics를 갖는 coherent state에 있으므로 들어오는 photon stream은 무작위입니다. 이 무작위 photon stream 내에서 두 photons가 서로 가깝게 도착하여 더 높은 변환 확률을 일으키는 경우가 있을 것입니다. 이는 pump beam의 photon flux에서 평균 이상의 요동이 선택적으로 필터링되어 출력 pump beam이 들어오는 빔보다 더 규칙적인 흐름을 갖게 됨을 의미합니다. 동시에 second-harmonic photons는 이러한 고강도 요동에 대해서만 생성되므로 연속적인 photons 사이의 간격은 들어오는 pump beam에서보다 더 클 것입니다. 결과적으로 투과된 fundamental 및 second-harmonic beam 모두의 요동은 들어오는 빔의 요동보다 작을 것으로 예상됩니다. 들어오는 photon stream이 Poissonian이므로 투과된 fundamental 및 frequency-doubled beam 모두 sub-Poissonian일 것으로 예상됩니다. 즉, 우리는 shot noise limit 미만의 photon fluctuations를 갖는 amplitude squeezing을 얻습니다.
Figure 7.14(a)는 1064 nm에서 작동하는 Nd:YAG laser의 second harmonic의 amplitude squeezing을 입증하기 위한 체계를 보여줍니다. 투과된 1064 nm 복사는 필터(F)로 선택적으로 제거되었고 532 nm 복사는 Section 7.8.2에서 논의된 바와 같이 +/- balanced detector의 입력 포트로 공급되었습니다.
Figure 7.14(b)는 resonant cavity 내부의 MgO:LiNbO$_3$ frequency doubling crystal로 얻은 결과를 보여줍니다. 낮은 주파수에서 laser는 classical noise와 공명을 가지며 SNL을 훨씬 웃도는 큰 강도 요동을 제공합니다. 그러나 second-harmonic beam에 대한 noise fluctuations는 $\sim 15 \text{ MHz}$ 이상의 주파수에 대해 shot-noise level 미만입니다. 데이터에서 추론된 noise reduction의 양은 photodiodes의 비효율성을 고려한 후 $\sim 30\%$였습니다.
7.10 Quantum noise in amplifiers
Optical amplifiers는 통신 시스템에서 중요한 구성 요소입니다. light pulses가 광섬유를 따라 전파됨에 따라 흡수 및 산란 손실로 인해 강도가 감소하므로, 신호는 중계기라고 불리는 amplifiers에 의해 일정한 간격으로 증폭되어야 합니다. 여기서 우리가 간략하게 다루고자 하는 문제는 Fig. 7.15(a)에 개략적으로 설명된 것처럼 증폭 과정이 필연적으로 신호에 noise를 추가하는지 여부입니다.
먼저 몇 가지 정의를 해보겠습니다. amplifier의 gain $G$는 gain coefficient $\gamma$에 의해 결정됩니다. amplifier가 선형 영역에서 작동하고 길이 $L$을 갖는 경우, 총 gain은 다음과 같이 주어집니다(eqn 4.39 참조).
$G = \exp(\gamma L).$ (7.61)
light beam의 signal-to-noise ratio는 요동의 power와 비교한 신호의 power 관점에서 고전적으로 정의될 수 있습니다.
$\text{SNR} = \frac{(\text{signal amplitude})^2}{(\text{noise amplitude})^2} = \frac{\langle I \rangle^2}{\langle \Delta I^2 \rangle}.$ (7.62)
두 번째 등식은 빔에 변조될 수 있는 최대 signal amplitude가 평균 강도 $\langle I \rangle$와 같다는 사실에서 비롯됩니다. eqn 7.62의 양자적 등가물은 다음과 같습니다.
$\text{SNR} = \frac{\bar{n}^2}{(\Delta n)^2}.$ (7.63)
따라서 Poisson statistics($\Delta n = \sqrt{\bar{n}}$)를 갖는 coherent state는 $\bar{n}$의 signal-to-noise ratio를 갖습니다.
amplifier의 noise figure는 출력의 signal-to-noise ratio와 비교한 입력 빔의 signal-to-noise ratio의 비율로 정의됩니다. amplifier에 대한 입력이 coherent state일 때 noise figure는 다음과 같이 주어짐을 보여줄 수 있습니다.
$\text{Noise figure} \equiv \frac{\text{SNR}_{\text{in}}}{\text{SNR}_{\text{out}}} = 2 - \frac{1}{G},$ (7.64)
여기서 $G$는 gain입니다. 이는 amplifier가 $G > 1$에 대해 noise를 추가함을 의미합니다. 물론 더 높은 noise figures를 갖는 나쁜 amplifiers를 만드는 것도 가능하지만, 잘 설계된 많은 travelling-wave optical amplifiers는 eqn 7.64에 의해 설정된 이론적 한계에 근접할 수 있습니다.
eqn 7.64로부터 두 가지 중요한 결과가 즉시 도출됩니다. (1) 증폭된 상태는 minimum uncertainty states가 아닙니다. (2) $G$의 큰 값에 대해 우리는 2(+3 dB)의 noise figure를 예상할 수 있습니다.
첫 번째 요점은 Fig. 7.15(b)에 표시된 phasor diagram에 설명되어 있습니다. phasor의 길이는 $\sqrt{G}$만큼 증가하지만 uncertainty circle의 면적도 증가합니다.
왜 amplifier가 noise를 추가하는지에 대한 명백한 질문이 발생합니다. Fig. 7.16에 표시된 것처럼 coherent state를 신호 입력으로 사용하는 non-degenerate parametric amplifier를 사용한다고 가정해 봅시다. signal beam은 nonlinear crystal을 통해 전파되면서 pump beam으로부터 energy를 취하여 증폭됩니다. 증폭 메커니즘은 difference frequency mixing process이며, 여기서 idler photons가 생성된 다음 pump와 혼합되어 더 많은 signal photons를 생성합니다(cf. eqn 2.63). 이 과정에서 idler photons의 noise가 신호에 섞이게 됩니다. idler 입력이 없으므로 idler beam은 vacuum noise에서 시작합니다. 과잉 noise를 생성하는 것은 nonlinear interaction을 통해 idler의 vacuum noise가 신호와 혼합되는 것입니다. 기존의 travelling wave amplifiers에 대해서도 유사한 주장을 할 수 있습니다. 이 두 번째 경우, laser cavity의 일부 modes는 증폭되지만 다른 많은 modes는 그렇지 않습니다. 이러한 non-lasing modes로의 spontaneous emission은 amplifier의 signal-to-noise ratio를 저하시키는 동등한 noise source를 제공합니다.
이 시점까지 우리는 phase-insensitive amplifiers를 고려해 왔습니다. 그러나 우리는 Section 7.9.1에서 signal과 idler가 degenerate일 때 parametric amplifier가 phase-sensitive amplifier로 작용한다는 것을 보았습니다. 이 상황에서는 다른 하나의 추가 noise를 희생하여 phase quadratures 중 하나를 증폭하는 것이 가능합니다. 이러한 amplifier를 noiseless amplifier라고 부릅니다.
Exercises
(7.1) electromagnetic wave의 electric field와 magnetic field에서 시간 평균 energy가 동일함을 보여주십시오.
(7.2) eqn 7.27의 field quadratures 정의를 사용하여 $X_1(t)$와 $X_2(t)$가 dimensionless variables임을 확인하십시오.
(7.3) field quadratures $X_1(t)$와 $X_2(t)$를 갖는 classical electromagnetic wave의 energy가 다음과 같이 주어짐을 보여주십시오. $E = \hbar\omega(X_1(t)^2 + X_2(t)^2).$ 이를 통해 coherent state에 대한 eqn 7.47을 도출하십시오.
(7.4) (a) $1 \text{ \mu m}$ 및 (b) $100 \text{ nm}$의 파장에 대해 vacuum field 크기를 $1 \text{ V m}^{-1}$로 만드는 데 필요한 volume을 계산하십시오.
(7.5) (a) $1 \text{ mm}$, (b) $1 \text{ \mu m}$ 떨어져 있는 면적 $1 \text{ cm}^2$의 두 전도성 판 사이의 Casimir force를 계산하십시오.
(7.6) $\alpha = 5$인 coherent states $|\alpha\rangle$에 대해 다음을 계산하십시오. (a) 평균 photon number; (b) photon number의 표준 편차; (c) optical phase의 quantum uncertainty.
(7.7) 693 nm에서 작동하는 루비 laser가 1 mJ의 energy 펄스를 방출합니다. laser light의 phase에서 quantum uncertainty를 계산하십시오.
(7.8) Example 7.2에 설명된 LIGO 실험에서 power recycling mirror는 cavity 내의 power를 60배 증가시킵니다. power recycling 효과에 의해 도입된 감도의 향상을 계산하십시오.
(7.9) gravity wave 감지를 위해 제안된 우주 실험은 1064 nm에서 작동하는 laser와 함께 표준 Michelson interferometer(즉, power recycling 또는 cavity enhancement 없음)를 사용할 것입니다. interferometer의 arms 길이는 $5 \times 10^6 \text{ km}$이고 간섭 패턴을 형성하는 빔의 power는 $\sim 10^{-11} \text{ W}$입니다. 감지할 수 있는 최소 strain을 계산하십시오.
(7.10) (a) phase-squeezed light 및 (b) amplitude-squeezed light에 대해 Fig. 7.3(b)와 동등한 electric field의 시간 의존성을 스케치하십시오.
(7.11) 매우 강한 quadrature squeezing을 갖는 light가 uncertainty ellipse의 축이 어떻게 선택되든 상관없이 amplitude squeezing을 나타내지 않는 이유를 설명하십시오. 강하게 amplitude-squeezed light가 바나나 모양의 uncertainty area를 갖는 이유를 추가로 설명하십시오.
(7.12) volume $10 \text{ mm}^3$의 microcavity에서 $n = 10^6$이고 파장이 800 nm인 photon number state에 대한 electric field amplitude를 계산하십시오.
(7.13) photon number state의 phasor diagram을 고려하여 uncertainty $\Delta X_1 \Delta X_2$를 계산하고, 이를 통해 photon number states가 minimum uncertainty states가 아님을 보여주십시오.
(7.14) Fig. 7.17에 표시된 것처럼 입력 fields $\mathcal{E}_1$ 및 $\mathcal{E}_2$와 출력 fields $\mathcal{E}_3$ 및 $\mathcal{E}_4$를 갖는 50:50 beam splitter를 고려하십시오. 투과 및 반사 시 fields의 phase shifts를 각각 $\phi_i^t$ 및 $\phi_i^r$로 씁니다(여기서 $i = 1, 2$). $\mathcal{E}_1$과 $\mathcal{E}_2$가 실수라고 가정합니다. (a) 출력 fields가 다음 형태여야 함을 확인하십시오. $\mathcal{E}_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \mathcal{E}_1 \exp(i\phi_1^t) + \mathcal{E}_2 \exp(i\phi_2^r) \right],$ $\mathcal{E}_4 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \mathcal{E}_1 \exp(i\phi_1^r) + \mathcal{E}_2 \exp(i\phi_2^t) \right].$ (b) energy 보존을 고려하여 다음을 보여주십시오. $\cos(\phi_2^r - \phi_1^t) + \cos(\phi_1^r - \phi_2^t) = 0.$ (c) 투과 시 phase change는 일반적으로 0으로 간주되며, 이는 다음을 의미합니다. $\cos \phi_2^r + \cos \phi_1^r = 0.$ 두 반사 사이에 $\pi$의 상대적인 phase difference가 있을 때 이 조건이 만족됨을 보여주십시오.
(7.15) Appendix B의 Equation B.35는 결정 내부의 electric field amplitude $\mathcal{E}_p$를 갖는 laser beam에 의해 펌핑되는 길이 $L$의 nonlinear crystal에 대한 감쇠 계수가 $\exp(-\gamma L)$임을 보여주며, 여기서 $\gamma = \omega\chi^{(2)}\mathcal{E}_p/2nc$입니다. 532 nm에서 $2 \times 10^{10} \text{ W m}^{-2}$의 pump intensity에 대해 $\chi^{(2)} = 4 \times 10^{-12} \text{ m V}^{-1}$, $n = 1.75$, $L = 10 \text{ mm}$인 nonlinear crystal에서 1064 nm vacuum modes에 대해 예상되는 quadrature squeezing을 계산하십시오.
(7.16) 길이 10 m의 에르븀 도핑된 optical fibre amplifier는 $0.14 \text{ m}^{-1}$의 gain coefficient를 갖습니다. classical noise가 추가되지 않는다는 가정하에 데시벨 단위로 amplifier의 noise figure를 계산하십시오.
Fig. 7.1: dimension $L$의 빈 cavity 내에 갇힌 $x$-direction으로 polarized된 electromagnetic wave의 electric field.
Fig. 7.2: (a) amplitude $\mathcal{E}_0$ 및 phase $\phi$의 classical wave에 대한 phasor diagram. (b) dimensionless quadrature field 단위의 동등한 phasor diagram. (c) $X_1$ field quadrature의 시간 의존성. quadrature amplitude $X_{10}$은 $(\epsilon_0 V / 4\hbar\omega)^{1/2} \mathcal{E}_0$을 통해 electric field amplitude $\mathcal{E}_0$와 관련됩니다.
Fig. 7.3: (a) quantized light field에 대한 phasor diagram. (b) quantized light field에 대한 $X_1$ quadrature의 시간 의존성. 이 다이어그램들은 Fig. 7.2에 주어진 classical 버전과 비교되어야 합니다.
Fig. 7.4: vacuum state에 대한 phasor diagram. 두 field quadratures의 uncertainties는 동일하며 $\Delta X_1 = \Delta X_2 = 1/2$입니다. 이 그림은 진공의 0인 classical field를 설명하기 위해 uncertainty circle이 원점으로 변위되었다는 점을 제외하면 본질적으로 Fig. 7.3(a)와 동일합니다.
Fig. 7.5: coherent state $|\alpha\rangle$에 대한 phasor diagram. phasor의 길이는 $|\alpha|$와 같고, $X_1$-axis로부터의 각도는 optical phase $\phi$입니다. quantum uncertainty는 phasor 끝에 있는 지름 $1/2$의 원으로 표시됩니다.
Fig. 7.6: coherent state $|\alpha\rangle$의 uncertainty circle은 photon number 및 phase uncertainty를 모두 도입합니다. phase uncertainty $\Delta \phi$는 $|\alpha| = \sqrt{\bar{n}} \gg 1$일 때만 잘 정의된다는 점에 유의하십시오.
Fig. 7.7: LIGO interferometer의 개략도. laser는 50:50 beam splitter(BS)와 두 개의 끝 거울 M1 및 M2로 구성된 arm length $L$의 Michelson interferometer에 photons를 주입합니다. recycling mirror $M_R$은 interferometer 내의 power를 60배 재활용하는 반면, 두 개의 cavity mirrors $M_C$는 유효 arm length를 50배 증가시킵니다. 원형 물체에 대한 주기 $\tau_G$의 gravity wave 효과가 그림의 왼쪽 상단 모서리에 개략적으로 표시되어 있습니다. 진동하는 조석력은 타원형 왜곡을 일으켜 M1과 M2에 부착된 test masses를 반대 방향으로 변위시키고, 출력에서 관찰되는 fringe pattern의 진동하는 이동으로 이어집니다.
Fig. 7.8: Quadrature squeezed states. (a) Squeezed vacuum. (b) Phase-squeezed light. (c) Amplitude-squeezed light. 다이어그램 각각의 점선 원은 $\Delta X_1 = \Delta X_2 = 1/2$인 vacuum/coherent states의 quadrature uncertainty를 보여줍니다.
Fig. 7.9: photon number state에 대한 phasor diagram. amplitude는 완벽하게 정의되지만 phase는 완전히 불확실합니다. 따라서 phasor는 반지름 $(n + 1/2)^{1/2}$의 원을 그립니다.
Fig. 7.10: balanced homodyne detector. (a) detector는 50:50 beam splitter와 두 개의 photodiodes PD1 및 PD2가 연결되어 photocurrents $i_1$과 $i_2$가 감산되어 $i_1 - i_2$와 같은 출력을 제공하도록 구성됩니다. signal field $\mathcal{E}_s$는 beam splitter의 입력 포트 중 하나에 입사하는 반면, amplitude $\mathcal{E}_{\text{LO}}$를 갖는 local oscillator(LO)는 다른 포트에 입사합니다. (b) 전압 $\pm V_0$의 전원 공급 장치를 사용하는 두 photodiodes에 대한 가능한 회로도. $R_L$은 load resistor, $C$는 커패시터, $A$는 증폭기입니다. 출력 전압 $V(t)$는 일반적으로 스펙트럼 분석기로 공급됩니다.
Fig. 7.11: amplitude squeezed light 감지를 위한 balanced detector 체계. 두 photodiodes PD1 및 PD2의 photocurrents $i_1$과 $i_2$는 선택에 따라 빼거나(‘-‘ 출력) 더할 수 있습니다(‘+’ 출력).
Fig. 7.12: (a) degenerate parametric amplifier는 angular frequency $2\omega$의 강렬한 laser에 의해 펌핑되는 second-order nonlinear crystal로 구성됩니다. 펌핑된 nonlinear crystal은 angular frequency $\omega$의 signal modes에 대해 phase-sensitive amplifier로 작용합니다. (b) 신호 입력이 없으면 nonlinear crystal은 vacuum modes(중간 패널)를 증폭 및 감쇠시켜 quadrature-squeezed vacuum states(하단 패널)를 생성합니다. 상단 패널의 classical pump laser field와 다른 두 패널의 quantum fields에 대한 $y$-axis 스케일은 완전히 다릅니다.
Fig. 7.13: (a) degenerate parametric amplification에 의해 quadrature squeezed vacuum states를 생성하기 위한 개략적인 배열. angular frequency $\omega$(1064 nm)에서 작동하는 Nd:YAG laser의 빔은 beam splitter(BS)에 의해 두 개의 강력한 빔으로 분할되었습니다. 빔 중 하나는 second-order nonlinear crystal $\chi^{(2)}$에서 frequency doubling에 의해 $2\omega$(532 nm)의 pump beam을 생성하는 데 사용되었고, 다른 하나는 balanced homodyne detector를 위한 local oscillator(LO)로 사용되었습니다. resonant cavity 내의 다른 second-order nonlinear crystal에 입사하고 $2\omega$의 빔에 의해 펌핑된 angular frequency $\omega$의 vacuum modes는 parametric amplification을 경험하여 squeezed vacuum states를 생성했습니다. 필터(F)는 투과된 pump beam을 선택적으로 흡수하여 squeezed vacuum states가 balanced homodyne detector의 signal port로 공급되도록 했습니다. local oscillator의 phase $\phi_{\text{LO}}$는 압전 변환기 위에 local oscillator 경로의 거울 중 하나를 배치하고 몇 파장에 걸쳐 그 위치를 스캔하여 조정되었습니다. (b) parametric amplifier에 MgO:LiNbO$_3$ 결정을 사용하여 얻은 실험 결과. noise voltage는 shot noise level(SNL)이 1의 noise level에 해당하도록 정규화되었습니다.
Fig. 7.14: (a) second-order nonlinear crystal $\chi^{(2)}$에서 Nd:YAG laser로부터의 1064 nm 복사의 frequency doubling에 의해 532 nm에서 amplitude-squeezed light를 생성하기 위한 개략적인 배열. second-harmonic beam은 필터(F)에 의해 투과된 pump radiation과 분리되었고 Section 7.8.2에 설명된 대로 ‘+/-‘ balanced detector로 공급되었습니다. photodiodes PD1 및 PD2에서 더해지거나 빼진 photocurrents는 스펙트럼 분석기로 공급되었고, 그 $50 \text{ }\Omega$ 입력 저항에서 생성된 AC noise power가 기록되었습니다. (b) 실험 결과. (dBm 단위의 정의는 eqn 5.65 참조.) short-noise level은 감산된(‘-‘) noise power로부터 보정된 반면, second-harmonic beam의 noise level은 PD1과 PD2의 photocurrents의 덧셈(‘+’)으로부터 결정되었습니다. 5 MHz 미만에서 ‘-‘ 신호에 대한 noise power의 급격한 증가는 classical amplifier noise에 의해 발생합니다.
Fig. 7.15: (a) 입력 신호에 대한 gain $G$를 갖는 noisy amplifier의 효과. 출력 펄스는 입력 펄스에 비해 증폭되지만 그 amplitude는 더 노이즈가 많습니다. (b) 입력 신호가 coherent state일 때 출력 field에 대한 phasor diagram.
Fig. 7.16: $\omega_p$의 pump를 갖는 non-degenerate parametric amplifier에서 angular frequency $\omega_s$의 신호 입력 증폭. $\omega_i$의 idler 입력은 vacuum noise로 간주됩니다.
Fig. 7.17: 50:50 beam splitter.
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