양자광학 8장

Photon number states

이전 세 장에서 우리는 빛의 quantum state를 분류하는 여러 가지 방법을 연구했습니다. 5장에서는 photon statistics를 살펴보고 빛을 sub-Poissonian, Poissonian, 또는 super-Poissonian으로 분류했습니다. 이어서 6장에서는 second-order correlation function을 연구하고 빛을 antibunched, coherent 또는 bunched로 분류했습니다. 마지막으로 7장에서는 coherent state와 여러 형태의 squeezed light를 연구했습니다. 각 경우에 우리가 취한 접근 방식은 주로 현상학적이었으며, 기본적인 physical concept와 experimental result를 이해하는 데 중점을 두었습니다. 이 장에서는 빛의 quantum theory에 대한 간략한 소개를 통해 균형을 어느 정도 바로잡을 것입니다. 이를 통해 우리는 주요 결과 중 일부를 보다 공식적인 관점에서 다시 살펴볼 수 있으며, quantum optics에 대한 고급 교재의 소개 역할도 할 것입니다.

빛의 quantum theory는 quantum harmonic oscillator를 기반으로 합니다. 따라서 이 장은 simple harmonic oscillator의 operator solution과 그로부터 파생되는 number state representation에 대한 검토로 시작합니다. 그런 다음 coherent state의 속성을 살펴보고, quantized light field가 beam splitter에 입사하는 Hanbury Brown-Twiss experiment에 대한 논의로 마무리할 것입니다.

8.1 Operator solution of the harmonic oscillator

mass가 \(m\)이고 angular frequency가 \(\omega\)인 1차원 harmonic oscillator의 potential energy는 다음과 같습니다:

\(V(x) = \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}\) (8.1)

따라서 Hamiltonian은 다음과 같은 형태를 가집니다:

\(\hat{H} = \frac{\hat{p}\_x^{2}}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^{2}\hat{x}^{2}\) (8.2)

quantized energy에 대한 표준 유도는 time-independent Schrödinger equation을 풀어 얻습니다:

\(\hat{H}\psi(x) = E\psi(x)\) (8.3)

eigenfunction \(\psi\_n(x)\)과 eigenenergy \(E\_n\)에 대해, 이때 \(\hat{p}\_x\)와 \(\hat{x}\)는 각각 방정식 3.12와 3.11에 의해 정의됩니다. 이 해는 3.3절에서 간략하게 검토됩니다. 우리는 여기서 다른 접근 방식을 취하여 operator method를 사용하여 해를 찾습니다.

우리는 ladder operator \(\hat{a}\)와 그 Hermitian conjugate \(\hat{a}^{\dagger}\)를 position 및 momentum operator의 관점에서 다음과 같이 정의합니다:

\(\hat{a} = (2m\hbar\omega)^{-1/2} (m\omega\hat{x} + i\hat{p}\_x)\) (8.4)

\(\hat{a}^{\dagger} = (2m\hbar\omega)^{-1/2} (m\omega\hat{x} - i\hat{p}\_x)\) (8.5)

이것들을 뒤집어 \(\hat{x}\)와 \(\hat{p}\_x\)를 \(\hat{a}\)와 \(\hat{a}^{\dagger}\)의 관점에서 찾을 수 있습니다:

\(\hat{x} = \left(\frac{\hbar}{2m\omega}\right)^{1/2} (\hat{a} + \hat{a}^{\dagger})\) (8.6)

\(\hat{p}\_x = -i\left(\frac{m\hbar\omega}{2}\right)^{1/2} (\hat{a} - \hat{a}^{\dagger})\) (8.7)

quantum-mechanical operator를 다룰 때 가장 먼저 계산하는 것은 commutator bracket입니다. (3.1.4절 참조) 이를 위해 product operator \(\hat{a}\hat{a}^{\dagger}\)와 \(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\)를 계산해야 합니다. 방정식 8.4와 8.5로부터 \(\hat{a}\hat{a}^{\dagger}\)는 다음과 같습니다:

\(\hat{a}\hat{a}^{\dagger} = \frac{1}{2m\hbar\omega} (m\omega\hat{x} + i\hat{p}\_x)(m\omega\hat{x} - i\hat{p}\_x)\) \(= \frac{1}{2m\hbar\omega} (\hat{p}\_x^{2} + m^{2}\omega^{2}\hat{x}^{2} + im\omega(\hat{p}\_x\hat{x} - \hat{x}\hat{p}\_x))\) \(= \frac{1}{2m\hbar\omega} (\hat{p}\_x^{2} + m^{2}\omega^{2}\hat{x}^{2} + im\omega[\hat{p}\_x, \hat{x}])\) \(= \frac{1}{\hbar\omega} \left(\frac{\hat{p}\_x^{2}}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^{2}\hat{x}^{2} + \frac{1}{2}\hbar\omega\right)\) (8.8)

여기서 우리는 마지막 줄에서 \(\hat{x}\)와 \(\hat{p}\_x\)의 commutator에 대한 표준 결과(방정식 3.36 참조)를 사용했습니다. 같은 방식으로 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

\(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} = \frac{1}{\hbar\omega} \left(\frac{\hat{p}\_x^{2}}{2m} + \frac{1}{2}m\omega^{2}\hat{x}^{2} - \frac{1}{2}\hbar\omega\right)\) (8.9)

따라서 필요한 commutator는 다음과 같습니다:

\([\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}] = \hat{a}\hat{a}^{\dagger} - \hat{a}^{\dagger}\hat{a} = 1\) (8.10)

방정식 8.2와 8.9를 비교하면 Hamiltonian이 ladder operator의 관점에서 다음과 같이 작성될 수 있음을 추가로 알 수 있습니다:

\(\hat{H} = \hbar\omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2}\right)\) (8.11)

이 결과를 방정식 8.10과 함께 사용하여 다음을 계산할 수 있습니다:

\([\hat{H}, \hat{a}^{\dagger}] = \hbar\omega \left[\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2}, \hat{a}^{\dagger}\right]\) \(= \hbar\omega(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a}^{\dagger} - \hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger}\hat{a})\) \(= \hbar\omega\hat{a}^{\dagger} (\hat{a}\hat{a}^{\dagger} - \hat{a}^{\dagger}\hat{a})\) \(= \hbar\omega\hat{a}^{\dagger} [\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}]\) \(= \hbar\omega\hat{a}^{\dagger}\) (8.12)

마찬가지로 다음을 찾습니다:

\([\hat{H}, \hat{a}] = -\hbar\omega\hat{a}\) (8.13)

이제 이 commutator를 사용하여 \(\hat{H}\)의 energy spectrum을 계산할 수 있습니다. \(\psi\_n\)이 energy \(E\_n\)을 가진 \(\hat{H}\)의 eigenfunction이라고 가정합니다:

\(\hat{H}\psi\_n = E\_n\psi\_n\) (8.14)

operator \(\hat{a}^{\dagger}\)로 \(\psi\_n\)에 작용합니다:

\(\hat{H}\hat{a}^{\dagger}\psi\_n = (\hat{a}^{\dagger}\hat{H} - \hat{a}^{\dagger}\hat{H} + \hat{a}^{\dagger}\hat{H})\psi\_n\) \(= ([\hat{H}, \hat{a}^{\dagger}] + \hat{a}^{\dagger}\hat{H})\psi\_n\) \(= (\hbar\omega\hat{a}^{\dagger} + \hat{a}^{\dagger}E\_n)\psi\_n\) \(= (\hbar\omega + E\_n)\hat{a}^{\dagger}\psi\_n\) (8.15)

이는 \(\hat{a}^{\dagger}\psi\_n\) 또한 \(\hat{H}\)의 eigenfunction이며, energy가 \((E\_n + \hbar\omega)\)임을 보여줍니다. 마찬가지로 다음을 찾습니다:

\(\hat{H}\hat{a}\psi\_n = (-\hbar\omega + E\_n)\hat{a}\psi\_n\) (8.16)

이는 \(\hat{a}\psi\_n\) 또한 energy가 \((E\_n - \hbar\omega)\)인 \(\hat{H}\)의 eigenfunction임을 보여줍니다.

방정식 8.15와 8.16은 그림 8.1에 표시된 것처럼 harmonic oscillator의 energy spectrum이 등간격의 energy level 사다리로 구성되어 있음을 나타냅니다. 이것이 \(\hat{a}\)와 \(\hat{a}^{\dagger}\)가 ‘ladder operator‘라고 불리는 이유입니다. \(\hat{a}^{\dagger}\)는 raising operator라고 불리고, \(\hat{a}\)는 lowering operator라고 불립니다.

quantum harmonic oscillator의 총 energy는 kinetic energy와 potential energy가 항상 양수이므로 항상 양수여야 합니다. 따라서 level 사다리는 energy가 무한정 내려갈 수 없습니다. 즉, \(0 < E < \hbar\omega\) 범위의 energy를 가진 가장 낮은 rung이 있어야 합니다. 이 level 사다리의 가장 낮은 rung은 시스템의 ground state에 해당합니다. wavefunction이 \(\psi\_0(x)\)라면, 다음을 가져야 합니다:

\(\hat{a}\psi\_0 = 0\) (8.17)

energy가 음수가 되는 것을 방지하기 위해서입니다. 방정식 8.4에서 \(\hat{a}\)를 대입하고 방정식 3.12와 3.11을 사용하여 방정식 8.17을 다음 형태로 다시 작성할 수 있습니다:

\(\frac{d\psi\_0}{dx} = -\left(\frac{m\omega}{\hbar}\right) x \psi\_0\) (8.18)

이것은 다음과 같은 해를 가진 differential equation입니다:

\(\psi\_0(x) = C \exp\left(-\frac{m\omega x^{2}}{2\hbar}\right)\) (8.19)

constant \(C\)는 normalization condition(방정식 3.18)에 의해 결정되며 \(C = (m\omega/\hbar\pi)^{1/4}\)로 주어집니다. ground state의 energy \(E\_0\)는 \(\psi\_0(x)\)를 방정식 8.14에 직접 대입하거나, 더 간단하게 방정식 8.11을 사용하여 찾을 수 있습니다:

\(\hat{H}\psi\_0 = \hbar\omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2}\right) \psi\_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega\psi\_0 = E\_0\psi\_0\) (8.20)

여기서 우리는 방정식 8.17을 사용했습니다. 방정식 8.20은 다음을 의미합니다:

\(E\_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega\) (8.21)

이것은 harmonic oscillator의 zero-point energy입니다.

excited state의 wavefunction은 raising operator \(\hat{a}^{\dagger}\)를 반복적으로 적용하여 찾을 수 있습니다:

\(\psi\_n(x) = C\_n(\hat{a}^{\dagger})^{n}\psi\_0(x)\) (8.22)

여기서 \(C\_n\)은 normalization constant입니다. 이는 \(n\)번째 level의 energy \(E\_n\)이 다음과 같음을 의미합니다:

\(E\_n = E\_0 + n\hbar\omega = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega\) (8.23)

따라서 우리는 simple harmonic oscillator의 quantized energy에 대한 예상 결과(방정식 3.93 참조)를 찾습니다.

마지막으로 다음 방정식으로 정의되는 number operator \(\hat{n}\)을 소개합니다:

\(\hat{n}\psi\_n = n\psi\_n\) (8.24)

이 operator는 excited된 energy quanta의 수를 제공하며, 나중에 photon number operator로 해석될 것입니다. 방정식 8.11과 8.23을 사용하여 방정식 8.14로 주어진 Schrödinger equation을 다음 형태로 다시 작성할 수 있습니다:

\(\hbar\omega \left(\hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \frac{1}{2}\right) \psi\_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega\psi\_n\) (8.25)

방정식 8.24와 비교하면 다음을 알 수 있습니다:

\(\hat{n} = \hat{a}^{\dagger}\hat{a}\) (8.26)

이것은 다음 섹션에서 보게 될 number state representation의 핵심 결과입니다.

8.2 The number state representation

harmonic oscillator의 ladder operator solution을 통해 정수 quantum number \(n\)에 의해 결정되는 wavefunction 집합을 구성할 수 있으며, energy는 \(\hbar\omega\) 단계로 증가합니다. 이는 자연스럽게 number state representation의 개념으로 이어지며, 이 표현에서 우리는 시스템을 \(n\)으로 레이블링된 일련의 state로 나타냅니다. 이러한 state를 number state라고 하며, 일반적으로 Dirac notation으로 \(\vert n \rangle\)으로 작성됩니다. number state와 harmonic oscillator의 state 간의 대응 관계는 표 8.1에 나와 있습니다.

State	Wave function	Energy
$$\vert 0 \rangle$$	$$\psi\_0(x)$$	$$(1/2)\hbar\omega$$
$$\vert 1 \rangle$$	$$\psi\_1(x)$$	$$(3/2)\hbar\omega$$
$$\vert 2 \rangle$$	$$\psi\_2(x)$$	$$(5/2)\hbar\omega$$
:	:	:
$$\vert n \rangle$$	$$\psi\_n(x)$$	$$(n + 1/2)\hbar\omega$$

표 8.1에서 number state \(\vert n \rangle\)이 ground state 위에 \(n\) quanta의 energy가 excited된 harmonic oscillator eigenstate에 해당한다는 것이 분명합니다. 따라서 number state는 simple harmonic oscillator Hamiltonian \(\hat{H}\)의 eigenstate이며, energy는 다음과 같습니다:

\(\hat{H}\vert n \rangle = E\_n\vert n \rangle = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega\vert n \rangle\) (8.27)

Hamiltonian의 eigenstate는 orthonormal basis를 형성하므로, number state는 다음을 만족해야 합니다:

\(\langle n \vert n' \rangle = \delta\_{nn'}\) (8.28)

여기서 \(\delta\_{nn'}\)는 방정식 3.22에 정의된 Kronecker delta function입니다.

방정식 8.5와 8.4에 각각 정의된 harmonic oscillator의 raising operator \(\hat{a}^{\dagger}\)와 lowering operator \(\hat{a}\)는 number state representation에서 매우 중요합니다. 방정식 8.15는 raising operator \(\hat{a}^{\dagger}\)를 state \(\psi\_n\)에 적용하면 energy \(E\_n + \hbar\omega\)를 가진 새로운 eigenstate가 생성됨을 보여줍니다. 이는 operator \(\hat{a}^{\dagger}\)가 시스템을 state \(\vert n \rangle\)에서 \(\vert n + 1 \rangle\)로 raising하여 하나의 energy quantum을 생성한다고 해석될 수 있습니다. 따라서 우리는 creation operator를 다음과 같이 정의합니다:

\(\hat{a}^{\dagger}\vert n \rangle = (n + 1)^{1/2}\vert n + 1 \rangle\) (8.29)

마찬가지로 annihilation operator \(\hat{a}\)는 다음과 같이 정의됩니다:

\(\hat{a}\vert n \rangle = n^{1/2}\vert n - 1 \rangle\) (8.30)

이는 방정식 8.16에서 \(\hat{a}\)가 하나의 energy quantum을 파괴하여 시스템을 \(\vert n \rangle\)에서 \(\vert n - 1 \rangle\)로 lowering함을 보여주는 것에서 비롯됩니다. annihilation operator \(\hat{a}\)는 destruction operator라고도 불립니다.

ground state \(\vert 0 \rangle\)은 quanta가 excited되지 않은 state에 해당합니다. 방정식 8.29는 number state가 creation operator를 반복적으로 적용하여 ground state로부터 구축될 수 있음을 의미합니다:

\(\vert n \rangle = \frac{1}{(n!)^{1/2}} (\hat{a}^{\dagger})^{n}\vert 0 \rangle\) (8.31)

반대로, annihilation operator로 ground state에 작용하면 방정식 8.30에서 다음을 찾습니다:

\(\hat{a}\vert 0 \rangle = 0\) (8.32)

이는 방정식 8.17에 작성된 동일한 결과와 일치합니다.

방정식 8.26에 주어진 number operator \(\hat{n}\)은 number representation에서 분명히 핵심적인 중요성을 가집니다. 방정식 8.29와 8.30에 주어진 creation 및 annihilation operator의 정의가 \(\hat{n}\)의 이 형태와 일치하는지 operator \(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\)를 \(\vert n \rangle\)에 적용하여 확인할 수 있습니다:

\(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\vert n \rangle = n^{1/2}\hat{a}^{\dagger}\vert n - 1 \rangle\) \(= n^{1/2} ((n - 1) + 1)^{1/2}\vert n \rangle\) \(= n\vert n \rangle\) (8.33)

이는 number state가 eigenvalue \(n\)을 가진 number operator \(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\)의 eigenfunction임을 확인합니다.

number representation의 주요 정의와 결과는 표 8.2에 요약되어 있습니다. oscillator의 mass가 이러한 공식에 명시적으로 나타나지 않으므로, 이 formalism은 photon과 같은 massless harmonic oscillator에 직접 적용될 수 있음에 유의하십시오. 다음 섹션에서는 quantum optics의 photon number state인 우리가 관심 있는 경우에 이것이 어떻게 수행되는지 볼 것입니다.

Symbol	Definition
Number state	$$\vert n \rangle$$	$$\hat{n}\vert n \rangle = n\vert n \rangle$$ $$\hat{H}\vert n \rangle = E\_n\vert n \rangle$$, $$E\_n = (n + 1/2)\hbar\omega$$
Ground state	$$\vert 0 \rangle$$	$$\hat{a}\vert 0 \rangle = 0$$
Number operator	$$\hat{n}$$	$$\hat{n} = \hat{a}^{\dagger}\hat{a}$$
Creation operator	$$\hat{a}^{\dagger}$$	$$\hat{a}^{\dagger}\vert n \rangle = (n + 1)^{1/2}\vert n + 1 \rangle$$
Annihilation operator	$$\hat{a}$$	$$\hat{a}\vert n \rangle = n^{1/2}\vert n - 1 \rangle$$
Commutator	$$[\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}]$$	$$[\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}] = \hat{a}\hat{a}^{\dagger} - \hat{a}^{\dagger}\hat{a} = 1$$

8.3 Photon number states

number state representation은 Hamiltonian이 simple harmonic oscillator와 동등한 형태를 가진 모든 physical system에 적용될 수 있습니다. 7.1절에서 우리는 volume \(V\)의 cavity에 있는 electromagnetic field의 단일 mode가 이 범주에 속한다는 것을 보았습니다. 따라서 이전 섹션에서 개발된 유한 mass oscillator에 대한 formalism은 표 8.2에 요약된 것과 동일한 정의를 사용하여 quantized light field에 직접 적용될 수 있습니다.

light field에 number state representation을 적용할 때, 우리는 분자 진동과 같은 유한 mass oscillator에 대해 일반적으로 하는 것처럼 position coordinate \(x\)의 관점에서 photon state에 대한 wavefunction을 작성하려는 시도를 잊어야 합니다. 대신, 우리는 excited된 energy quanta의 수로 설명되는 시스템의 속성에만 집중합니다. 따라서 우리는 quantized electromagnetic field의 excitation을 angular frequency \(\omega\)에서 excited된 photon의 수로 설명합니다. photon number state \(\vert n \rangle\)은 \(n\)개의 photon을 포함하는 angular frequency \(\omega\)의 단색 quantized field를 나타냅니다.

photon number representation에서 creation 및 annihilation operator는 각각 angular frequency \(\omega\)의 photon의 creation 및 annihilation에 해당합니다. ground state \(\vert 0 \rangle\)은 electromagnetic vacuum에 해당하며 vacuum state라고 불립니다. 방정식 8.31은 state \(\vert n \rangle\)을 vacuum에서 \(n\)개의 photon이 excited된 state로 생각할 수 있음을 의미합니다.

coherent state 및 7장에서 개발된 squeezed state 이론에 매우 중요한 dimensionless quadrature field \(\hat{X}\_1\)과 \(\hat{X}\_2\)는 photon number representation에서 다음 정의에 의해 동등한 quantum operator로 도입될 수 있습니다:

\(\hat{X}\_1 = \frac{1}{2}(\hat{a}^{\dagger} + \hat{a})\) (8.34)

\(\hat{X}\_2 = \frac{i}{2}(\hat{a}^{\dagger} - \hat{a})\) (8.35)

이러한 operator는 다음 예제에서 설명된 것처럼 photon field의 quantum uncertainty를 계산하는 데 사용될 수 있습니다.

예제 8.1 commutator \([\hat{X}\_1, \hat{X}\_2]\)를 평가하고, 이로부터 uncertainty product \((\Delta\hat{X}\_1)^{2}(\Delta\hat{X}\_2)^{2}\)를 찾으십시오.

Solution commutator는 정의에 따라 평가됩니다:

\[[\hat{X}\_1, \hat{X}\_2] = \hat{X}\_1\hat{X}\_2 - \hat{X}\_2\hat{X}\_1\]

방정식 8.34와 8.35를 대입하면 다음을 찾습니다:

\[\hat{X}\_1\hat{X}\_2 = \frac{i}{4}(\hat{a}^{\dagger} + \hat{a})(\hat{a}^{\dagger} - \hat{a}) = \frac{i}{4}(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger} + \hat{a}\hat{a}^{\dagger} - \hat{a}^{\dagger}\hat{a} - \hat{a}\hat{a})\]

그리고

\[\hat{X}\_2\hat{X}\_1 = \frac{i}{4}(\hat{a}^{\dagger} - \hat{a})(\hat{a}^{\dagger} + \hat{a}) = \frac{i}{4}(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger} - \hat{a}\hat{a}^{\dagger} + \hat{a}^{\dagger}\hat{a} - \hat{a}\hat{a})\]

따라서:

\[[\hat{X}\_1, \hat{X}\_2] = \frac{i}{2}(\hat{a}\hat{a}^{\dagger} - \hat{a}^{\dagger}\hat{a}) = \frac{i}{2}[\hat{a}, \hat{a}^{\dagger}]\]

그런 다음 방정식 8.10에 주어진 creation 및 annihilation operator의 commutator 결과를 상기하면 최종 결과를 얻습니다:

\([\hat{X}\_1, \hat{X}\_2] = i/2\) (8.36)

uncertainty product는 방정식 3.37에 주어진 표준 결과에 의해 commutator로부터 평가될 수 있습니다:

\[(\Delta\hat{X}\_1)^{2}(\Delta\hat{X}\_2)^{2} \geq \frac{\vert [\hat{X}\_1, \hat{X}\_2] \vert^{2}}{4}\]

방정식 8.36을 대입하면 다음을 찾습니다:

\((\Delta\hat{X}\_1)^{2}(\Delta\hat{X}\_2)^{2} \geq 1/16\) (8.37)

이는 Heisenberg uncertainty principle에서 파생된 방정식 7.35를 확인합니다.

8.4 Coherent states

이제 photon number representation의 formalism을 7.5절에서 소개된 coherent state의 속성을 설명하는 데 적용할 수 있습니다. 이러한 state는 photon number unit로 complex field amplitude를 지정하는 complex number \(\alpha\)로 특징지어집니다. 따라서 우리는 Dirac notation으로 coherent state를 \(\vert \alpha \rangle\)로 지정합니다.

photon number representation에서 coherent state는 다음과 같이 정의됩니다:

\(\vert \alpha \rangle = \exp(-\vert \alpha \vert^{2}/2) \sum\_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{(n!)^{1/2}}\vert n \rangle\) (8.38)

coherent state는 Hamiltonian의 eigenstate가 아니며, 서로 orthogonal하지도 않습니다. (연습 문제 8.6 참조) 반면에,

\(\hat{a}\vert \alpha \rangle\)를 평가하면 annihilation operator \(\hat{a}\)의 right eigenstate임이 분명합니다:

\(\hat{a}\vert \alpha \rangle = e^{-\vert \alpha \vert^{2}/2} \sum\_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{(n!)^{1/2}} \hat{a}\vert n \rangle\) \(= e^{-\vert \alpha \vert^{2}/2} \sum\_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{(n!)^{1/2}} n^{1/2}\vert n - 1 \rangle\) \(= \alpha e^{-\vert \alpha \vert^{2}/2} \sum\_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha^{n-1}}{((n - 1)!)^{1/2}} \vert n - 1 \rangle\) \(= \alpha e^{-\vert \alpha \vert^{2}/2} \sum\_{n=0}^{\infty} \frac{\alpha^{n}}{(n!)^{1/2}} \vert n \rangle\) \(= \alpha\vert \alpha \rangle\) (8.39)

여기서 우리는 방정식 8.30과 \(\hat{a}\vert 0 \rangle = 0\) (방정식 8.17 참조)을 사용했습니다. 방정식 8.39의 Hermitian conjugate를 취하면 coherent state가 annihilation operator \(\hat{a}^{\dagger}\)의 left eigenstate이기도 함을 알 수 있습니다:

\[(\hat{a}\vert \alpha \rangle)^{\dagger} = (\alpha\vert \alpha \rangle)^{\dagger}\]

따라서

\(\langle \alpha \vert \hat{a}^{\dagger} = \langle \alpha \vert \alpha^{*}\) (8.40)

방정식 8.39와 8.40을 통해 방정식 8.26을 사용하여 number operator \(\hat{n}\)의 expectation value를 계산할 수 있습니다:

\(\langle \alpha \vert \hat{n} \vert \alpha \rangle = \langle \alpha \vert \hat{a}^{\dagger}\hat{a} \vert \alpha \rangle\) \(= \langle \alpha \vert \alpha^{*}\alpha \vert \alpha \rangle\) \(= \alpha^{*}\alpha\) (8.41)

\(\langle \alpha \vert \hat{n} \vert \alpha \rangle\)을 평균 photon number \(\bar{n}\)과 동일시하면, 이 결과가 coherent state의 energy를 고려하여 도출된 결과(방정식 7.49 참조)와 일치함을 알 수 있습니다.

photon number의 variance는 다음과 같습니다:

\((\Delta n)^{2} = \langle \alpha \vert (\hat{n} - \bar{n})^{2} \vert \alpha \rangle\) \(= \langle \alpha \vert \hat{n}^{2} \vert \alpha \rangle - 2\bar{n}\langle \alpha \vert \hat{n} \vert \alpha \rangle + \bar{n}^{2}\langle \alpha \vert \alpha \rangle\) \(= \langle \alpha \vert \hat{n}^{2} \vert \alpha \rangle - \bar{n}^{2}\) (8.42)

여기서 우리는 두 번째 줄에서 \(\langle \alpha \vert \alpha \rangle = 1\)을 사용했습니다 (예제 8.2 참조). \(\hat{n}^{2}\)의 expectation value는 방정식 8.10을 사용하여 계산할 수 있습니다:

\(\hat{n}^{2} = \hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\) \(= \hat{a}^{\dagger}(\hat{a}\hat{a}^{\dagger})\hat{a}\) \(= \hat{a}^{\dagger}(1 + \hat{a}^{\dagger}\hat{a})\hat{a}\) \(= \hat{a}^{\dagger}\hat{a} + \hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a}\) (8.43)

따라서 다음을 찾습니다:

\(\langle \alpha \vert \hat{n}^{2} \vert \alpha \rangle = \langle \alpha \vert \hat{a}^{\dagger}\hat{a} \vert \alpha \rangle + \langle \alpha \vert \hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\hat{a} \vert \alpha \rangle\) \(= \alpha^{*}\alpha + \alpha^{*}\alpha^{*}\alpha\alpha\) \(= \bar{n} + \bar{n}^{2}\) (8.44)

이는 방정식 8.42로부터 다음을 의미합니다:

\((\Delta n)^{2} = (\bar{n} + \bar{n}^{2}) - \bar{n}^{2} = \bar{n}\) (8.45)

이는 방정식 7.50에서 이전에 발견된 Poissonian result를 확인합니다.

마지막으로, coherent state에 \(n\)개의 photon이 있을 확률 \(P(n)\)을 \(\langle n \vert \alpha \rangle\)를 평가하여 계산할 수 있습니다:

\(\langle n \vert \alpha \rangle = e^{-\vert \alpha \vert^{2}/2} \sum\_{m=0}^{\infty} \frac{\alpha^{m}}{(m!)^{1/2}} \langle n \vert m \rangle\) \(= e^{-\vert \alpha \vert^{2}/2} \sum\_{m=0}^{\infty} \frac{\alpha^{m}}{(m!)^{1/2}} \delta\_{nm}\) \(= e^{-\vert \alpha \vert^{2}/2} \frac{\alpha^{n}}{(n!)^{1/2}}\) (8.46)

여기서 우리는 두 번째 줄에서 number state의 orthonormality(방정식 8.28 참조)를 사용했습니다. \(P(n)\)을 \(\vert \langle n \vert \alpha \rangle \vert^{2}\)과 동일시하면 다음을 찾습니다:

\(P(n) = \vert \langle n \vert \alpha \rangle \vert^{2} = e^{-\vert \alpha \vert^{2}} \frac{\vert \alpha \vert^{2n}}{n!}\) (8.47)

그런 다음 방정식 8.41에서 \(\vert \alpha \vert^{2} = \bar{n}\)임을 찾으면 최종적으로 Poisson distribution을 얻습니다:

\(P(n) = \frac{\bar{n}^{n}}{n!} e^{-\bar{n}}\) (8.48)

따라서 우리는 coherent state가 7.6절의 결론과 일치하게 Poissonian photon statistics를 가짐을 결론 내립니다.

예제 8.2 방정식 8.38에 정의된 coherent state \(\vert \alpha \rangle\)가 올바르게 normalized되었음을 보이십시오.

Solution Dirac bracket \(\langle \alpha \vert \alpha \rangle\)를 평가하여 coherent state가 올바르게 normalized되었음을 확인합니다:

\[\langle \alpha \vert \alpha \rangle = e^{-\vert \alpha \vert^{2}} \sum\_{n=0}^{\infty} \sum\_{n'=0}^{\infty} \frac{(\alpha^{*})^{n'}\alpha^{n}}{(n'!)^{\frac{1}{2}}(n!)^{\frac{1}{2}}} \langle n' \vert n \rangle\]

방정식 8.28에 주어진 number state의 orthonormality를 사용하여 다음을 작성합니다:

\[\langle \alpha \vert \alpha \rangle = e^{-\vert \alpha \vert^{2}} \sum\_{n=0}^{\infty} \sum\_{n'=0}^{\infty} \frac{(\alpha^{*})^{n'}\alpha^{n}}{(n'!)^{\frac{1}{2}}(n!)^{\frac{1}{2}}} \delta\_{nn'}\]

여기서 \(\delta\_{nn'}\)는 Kronecker delta function입니다. 그런 다음 방정식 3.22에 주어진 \(\delta\_{nn'}\)의 정의를 사용하여 다음을 찾습니다:

\[\langle \alpha \vert \alpha \rangle = e^{-\vert \alpha \vert^{2}} \sum\_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha^{*}\alpha)^{n}}{n!}\]

마지막으로 Taylor expansion을 상기합니다:

\[e^{\vert \alpha \vert^{2}} = 1 + \vert \alpha \vert^{2} + \frac{(\vert \alpha \vert^{2})^{2}}{2!} + \frac{(\vert \alpha \vert^{2})^{3}}{3!} + \dots = \sum\_{n=0}^{\infty} \frac{(\vert \alpha \vert^{2})^{n}}{n!}\]

다음과 같음을 알 수 있습니다:

\[\langle \alpha \vert \alpha \rangle = e^{-\vert \alpha \vert^{2}} \times e^{\vert \alpha \vert^{2}} = 1\]

이는 방정식 8.38에 정의된 coherent state가 올바르게 normalized되었음을 보여줍니다.

8.5 Quantum theory of Hanbury Brown-Twiss experiments

Hanbury Brown-Twiss (HBT) experiment와 quantum optics와의 관련성은 6장에서 설명되었습니다. 우리는 input field가 classical 또는 quantum optics에 따라 처리되는 방식에 따라 experiment가 다른 해석을 가짐을 보았습니다. classical interpretation에서 experiment는 입사광의 intensity fluctuation 관점에서 정의되는 second-order correlation function \(g^{(2)}(\tau)\)를 측정합니다. (6.2절 및 6.3절, 특히 방정식 6.6 참조) 대조적으로 quantum interpretation에서 \(g^{(2)}(\tau)\)의 값은 photon counting event 간의 coincidence 관점에서 정의됩니다. (6.4절 참조)

두 해석의 비교는 \(g^{(2)}(0)\)의 값이 특히 중요함을 보여줍니다. 왜냐하면 \(g^{(2)}(0) < 1\)이라는 결과는 photon antibunching을 나타내는 quantum state의 빛에서만 가능하기 때문입니다. 따라서 이 장에서 개발한 mathematical tool을 사용하여 HBT experiment를 재분석하여 다른 input state에 대한 결과를 계산하는 방법을 설명하는 것이 유용합니다.

그림 8.2는 HBT experiment의 개략도를 보여줍니다. experiment는 두 개의 input port (1과 2로 레이블링됨)와 두 개의 output port (3과 4로 레이블링됨)를 가진 50:50 beam splitter로 구성됩니다. 단일 photon counting detector D3와 D4는 output beam의 photon을 감지하도록 배치되며, D3에서 photon count와 D4에서 다른 photon count 사이의 경과 시간이 기록됩니다. 이는 D3의 count pulse를 사용하여 electronic timer를 트리거하고 D4의 count pulse를 사용하여 중지함으로써 수행됩니다. 따라서 experiment는 시간 \(t\)에 D3에서 photon이 등록되고 시간 \(t + \tau\)에 D4에서 다른 photon이 등록될 때 발생하는 coincidence 수를 계산합니다. 여기서 \(\tau\)는 시작 및 중지 pulse 사이의 시간 간격입니다. experiment를 여러 번 반복하면 그림 6.5(b)와 같이 각 시간 간격 \(\tau\)에 대한 event 수의 histogram을 생성할 수 있습니다. 각 detector에 의해 등록된 총 count 수로 normalize한 후, second-order correlation function \(g^{(2)}(\tau)\)는 다음으로부터 얻어집니다:

\(g^{(2)}(\tau) = \frac{\langle \hat{n}\_3(t)\hat{n}\_4(t + \tau) \rangle}{\langle \hat{n}\_3(t) \rangle \langle \hat{n}\_4(t + \tau) \rangle}\) (8.49)

여기서 \(\hat{n}\_3(t)\)와 \(\hat{n}\_4(t)\)는 각각 시간 \(t\)에 D3와 D4에 등록된 photon의 수이며, 기호 \(\langle \dots \rangle\)는 experiment를 여러 번 반복한 후 발견된 평균값을 나타냅니다.

방정식 8.49에 주어진 \(g^{(2)}(\tau)\)의 정의는 photon number operator \(\hat{n}\)이 방정식 8.26에 의해 주어진다는 것을 상기함으로써 이론적 분석에 적합한 형태로 변환될 수 있습니다. 따라서 우리는 방정식 8.49를 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다:

\(g^{(2)}(\tau) = \frac{\langle \hat{a}\_3^{\dagger}(t)\hat{a}\_4^{\dagger}(t + \tau)\hat{a}\_4(t + \tau)\hat{a}\_3(t) \rangle}{\langle \hat{a}\_3^{\dagger}(t)\hat{a}\_3(t) \rangle \langle \hat{a}\_4^{\dagger}(t + \tau)\hat{a}\_4(t + \tau) \rangle}\) (8.50)

creation operator를 왼쪽에, annihilation operator를 오른쪽에 배치하는 순서를 normal ordering이라고 합니다.

\(\tau = 0\)일 때, 방정식 8.50은 다음과 같이 간단해집니다:

\(g^{(2)}(0) = \frac{\langle \hat{a}\_3^{\dagger}\hat{a}\_4^{\dagger}\hat{a}\_4\hat{a}\_3 \rangle}{\langle \hat{a}\_3^{\dagger}\hat{a}\_3 \rangle \langle \hat{a}\_4^{\dagger}\hat{a}\_4 \rangle}\) (8.51)

\(\tau = 0\)의 값이 quantum 또는 classical behaviour의 명확한 특징이므로, 이제 우리는 \(g^{(2)}(0)\)에 대한 유용한 공식을 도출하는 데 집중할 것입니다.

임의의 input state에 대해 \(g^{(2)}(0)\)를 평가하기 위해, 먼저 beam splitter의 output field의 creation 및 annihilation operator를 input field의 operator와 관련시켜야 합니다. 이는 classical field에 대한 관계를 작성함으로써 수행됩니다:

\(E\_3 = (E\_1 - E\_2)/\sqrt{2}\) (8.52)

\(E\_4 = (E\_1 + E\_2)/\sqrt{2}\) (8.53)

그런 다음 동일한 관계를 output field의 annihilation operator에 적용합니다:

\(\hat{a}\_3 = (\hat{a}\_1 - \hat{a}\_2)/\sqrt{2}\) (8.54)

\[\hat{a}\_4 = (\hat{a}\_1 + \hat{a}\_2)/\sqrt{2}\]

해당 creation operator는 이 방정식의 Hermitian conjugate를 취하여 찾을 수 있습니다.

HBT experiment에서 빛은 그림 8.2에 표시된 것처럼 input port 중 하나를 통해서만 도입됩니다. 이는 port 2의 field가 vacuum이고, 따라서 input state가 다음 형태임을 의미합니다:

\(\vert \Psi \rangle = \vert \psi\_1, 0\_2 \rangle\) (8.55)

여기서 \(\vert \psi\_1 \rangle\)은 port 1의 임의의 input state이고 \(\vert 0\_2 \rangle\)는 port 2의 vacuum state input을 나타냅니다. 방정식 8.51의 분모는 방정식 8.54를 대입하여 평가할 수 있습니다:

\(\langle \hat{a}\_3^{\dagger}\hat{a}\_3 \rangle = \langle \psi\_1, 0\_2 \vert (\hat{a}\_1^{\dagger}\hat{a}\_1 - \hat{a}\_2^{\dagger}\hat{a}\_1 - \hat{a}\_1^{\dagger}\hat{a}\_2 + \hat{a}\_2^{\dagger}\hat{a}\_2) \vert \psi\_1, 0\_2 \rangle / 2\) \(= \langle \psi\_1 \vert \hat{a}\_1^{\dagger}\hat{a}\_1 \vert \psi\_1 \rangle / 2\) \(= \langle \psi\_1 \vert \hat{n}\_1 \vert \psi\_1 \rangle / 2\) (8.56)

마찬가지로:

\(\langle \hat{a}\_4^{\dagger}\hat{a}\_4 \rangle = \langle \psi\_1, 0\_2 \vert (\hat{a}\_1^{\dagger}\hat{a}\_1 + \hat{a}\_2^{\dagger}\hat{a}\_1 + \hat{a}\_1^{\dagger}\hat{a}\_2 + \hat{a}\_2^{\dagger}\hat{a}\_2) \vert \psi\_1, 0\_2 \rangle / 2\) \(= \langle \psi\_1 \vert \hat{a}\_1^{\dagger}\hat{a}\_1 \vert \psi\_1 \rangle / 2\) \(= \langle \psi\_1 \vert \hat{n}\_1 \vert \psi\_1 \rangle / 2\) (8.57)

여기서 우리는 방정식 8.32에 주어진 vacuum state의 정의와 그 Hermitian conjugate, 그리고 세 번째 줄에서 방정식 8.26에 주어진 number operator의 정의를 사용했습니다. 분자를 위해 다음을 평가해야 합니다:

\(\langle \hat{a}\_3^{\dagger}\hat{a}\_4^{\dagger}\hat{a}\_4\hat{a}\_3 \rangle = \langle \Psi \vert (\hat{a}\_1^{\dagger} - \hat{a}\_2^{\dagger})(\hat{a}\_1^{\dagger} + \hat{a}\_2^{\dagger})(\hat{a}\_1 + \hat{a}\_2)(\hat{a}\_1 - \hat{a}\_2) \vert \Psi \rangle / 4\) (8.58)

이것은 16개의 항을 가지지만, port 2에 vacuum state가 있을 때 대부분은 0입니다. 먼저 끝에 \(\hat{a}\_2\)가 있는 항과 시작에 \(\hat{a}\_2^{\dagger}\)가 있는 항을 제거하면 다음을 얻습니다:

\(\langle \hat{a}\_3^{\dagger}\hat{a}\_4^{\dagger}\hat{a}\_4\hat{a}\_3 \rangle = \langle \psi\_1, 0\_2 \vert \hat{a}\_1^{\dagger}\hat{a}\_1^{\dagger}\hat{a}\_1\hat{a}\_1 \vert \psi\_1, 0\_2 \rangle / 4\) (8.59)

동일한 추론은 \(\hat{a}\_2^{\dagger}\)의 오른쪽에 있는 항이나 \(\hat{a}\_2\)의 왼쪽에 있는 항을 제거할 수 있음을 의미하며, 하나의 항만 남습니다:

\(\langle \hat{a}\_3^{\dagger}\hat{a}\_4^{\dagger}\hat{a}\_4\hat{a}\_3 \rangle = \langle \psi\_1 \vert \hat{a}\_1^{\dagger}\hat{a}\_1^{\dagger}\hat{a}\_1\hat{a}\_1 \vert \psi\_1 \rangle / 4\) (8.60)

이는 방정식 8.10을 사용하여 더 간단하게 만들 수 있습니다:

\(\hat{a}\_1^{\dagger}\hat{a}\_1^{\dagger}\hat{a}\_1\hat{a}\_1 = \hat{a}\_1^{\dagger}(\hat{a}\_1\hat{a}\_1^{\dagger} - 1)\hat{a}\_1\) \(= \hat{a}\_1^{\dagger}\hat{a}\_1\hat{a}\_1^{\dagger}\hat{a}\_1 - \hat{a}\_1^{\dagger}\hat{a}\_1\) \(= \hat{n}\_1\hat{n}\_1 - \hat{n}\_1\) \(= \hat{n}\_1(\hat{n}\_1 - 1)\) (8.61)

여기서 우리는 다시 방정식 8.26을 사용했습니다. 그런 다음 방정식 8.56, 8.57, 8.60을 결합하여 다음을 찾습니다:

\(g^{(2)}(0) = \frac{\langle \psi\_1 \vert \hat{n}\_1(\hat{n}\_1 - 1) \vert \psi\_1 \rangle / 4}{(\langle \psi\_1 \vert \hat{n}\_1 \vert \psi\_1 \rangle / 2)^{2}}\) (8.62)

따라서 최종 결과를 얻습니다:

\(g^{(2)}(0) = \frac{\langle \hat{n}(\hat{n} - 1) \rangle}{\langle \hat{n} \rangle^{2}}\) (8.63)

여기서 expectation value는 port 1의 input state에 대해 평가됩니다.

방정식 8.63은 임의의 input에 대해 쉽게 평가될 수 있는 형태입니다. 예를 들어, input이 photon number state \(\vert n \rangle\)인 경우 다음을 찾습니다:

\(g^{(2)}(0) = \frac{n(n - 1)}{n^{2}}\) (8.64)

이는 photon number state가 \(n = 1\)인 단일 photon source에 대해 매우 비고전적인 값인 \(g^{(2)}(0) = 0\)을 예상한다는 것을 의미합니다. 이러한 state는 실험실에서 생성되었으며, \(g^{(2)}(0)\)의 값이 0에 가까운 것이 관찰되었습니다. (6.7절 참조)

Further reading

이 장의 주제는 Gerry와 Knight (2005), Loudon (2000), Mandel과 Wolf (1995), Meystre와 Sargent (1999), 또는 Walls와 Milburn (1994)에서 훨씬 더 깊이 다루어집니다. 대부분의 주제는 Loudon과 Knight (1987a)의 review article에서도 다루어집니다.

Exercises

(8.1) 방정식 8.19에 주어진 wavefunction이 energy \((1/2)\hbar\omega\)를 가진 방정식 8.18의 해이며, 올바른 normalization constant \(C\)가 \(C = (m\omega/\hbar\pi)^{1/4}\)로 주어진다는 것을 확인하십시오.

(8.2) 방정식 8.22를 사용하여 quantum harmonic oscillator의 처음 두 excited state의 wavefunction의 함수적 형태를 찾으십시오.

(8.3) 일반화된 position 및 momentum coordinate \(q\)와 \(p\)를 방정식 7.21과 7.22에 따라 real-space position 및 momentum coordinate \(x\)와 \(\hat{p}\_x\)에 연결함으로써, 방정식 7.29와 7.30에 주어진 quadrature operator의 이전 정의가 방정식 8.34와 8.35에 주어진 정의와 일치함을 확인하십시오.

(8.4) vacuum state \(\vert 0 \rangle\)에 대해 \(\langle \hat{X}\_1 \rangle\), \(\langle \hat{X}\_2 \rangle\), \(\Delta\hat{X}\_1\), 및 \(\Delta\hat{X}\_2\)를 평가하십시오. 이 결과를 그림 7.4에 표시된 vacuum state의 phasor diagram과 연결하십시오.

(8.5) \(\alpha = \vert \alpha \vert e^{i\phi}\)인 coherent state \(\vert \alpha \rangle\)에 대해 \(\langle \alpha \vert \hat{X}\_1 \vert \alpha \rangle = \vert \alpha \vert \cos\phi\) 및 \(\langle \alpha \vert \hat{X}\_2 \vert \alpha \rangle = \vert \alpha \vert \sin\phi\)임을 보이십시오. 또한 \(\Delta\hat{X}\_1 = \Delta\hat{X}\_2 = 1/2\)임을 보이십시오. 이 결과를 그림 7.5에 표시된 phasor diagram과 연결하십시오.

(8.6) 두 coherent state \(\vert \alpha \rangle\)와 \(\vert \beta \rangle\)에 대해 \(\vert \langle \alpha \vert \beta \rangle \vert^{2} = \exp(-\vert \alpha - \beta \vert^{2})\)임을 증명하십시오. 이 결과의 의미에 대해 간략하게 논의하십시오.

(8.7) photon number state \(\vert n \rangle\)이 operator \((\hat{X}\_1^{2} + \hat{X}\_2^{2})\)의 eigenstate이며, eigenvalue가 \(n + 1\)임을 보이십시오. 따라서 photon number state의 phasor가 \(\sqrt{n + 1}\)의 radius를 가지는 이유를 설명하십시오.

(8.8) number state \(\vert n \rangle\)에 대해 uncertainty product \(\Delta\hat{X}\_1\Delta\hat{X}\_2\)를 평가하십시오.

(8.9) (a) 그림 8.2의 beam splitter에 대한 input field의 commutator \([\hat{a}\_1, \hat{a}\_1^{\dagger}]\)$, \([\hat{a}\_1, \hat{a}\_2]\)$, \([\hat{a}\_2, \hat{a}\_1^{\dagger}]\)$, 및 \([\hat{a}\_2, \hat{a}\_2^{\dagger}]\)를 작성하십시오. (b) amplitude reflection 및 transmission coefficient가 각각 \(r\)과 \(t\)인 일반적인 beam splitter의 output field operator가 다음 형태로 작성될 수 있는 이유를 설명하십시오: \(\hat{a}\_3 = t\hat{a}\_1 - r\hat{a}\_2\) \(\hat{a}\_4 = r\hat{a}\_1 + t\hat{a}\_2\) (c) output field의 commutator, 즉 \([\hat{a}\_3, \hat{a}\_3^{\dagger}]\)$, \([\hat{a}\_3, \hat{a}\_4]\)$, \([\hat{a}\_4, \hat{a}\_3^{\dagger}]\)$, 및 \([\hat{a}\_4, \hat{a}\_4^{\dagger}]\)가 creation 및 annihilation operator에 대한 일반적인 규칙을 따른다는 가정이 \(\vert r \vert^{2} + \vert t \vert^{2} = 1\) 및 \(r^{*}t - rt^{*} = 0\)을 의미함을 보이십시오.

(8.10) 8.5절에서 파생된 측정 가능한 결과는 beam splitter의 phase shift 세부 사항에 의존하지 않아야 합니다. 단, energy를 보존하기 위해 두 reflection 사이에 상대적인 phase shift \(\pi\)가 필요합니다. 방정식 8.63이 다음을 가정하면 파생될 수 있음을 보이십시오:

\(\hat{a}\_3 = (\hat{a}\_1 + \hat{a}\_2)/\sqrt{2}\) \(\hat{a}\_4 = (-\hat{a}\_1 + \hat{a}\_2)/\sqrt{2}\)

방정식 8.54에 주어진 형태 대신.

(8.11) 8.5절에서와 같이 single-mode input 및 output field \(\hat{a}\_1\), \(\hat{a}\_2\), \(\hat{a}\_3\), 및 \(\hat{a}\_4\)를 가진 50:50 beam splitter를 고려하십시오. input 및 output field 간의 관계가 방정식 8.54에 의해 주어지고, commutator가 연습 문제 (8.9)와 동일하다고 가정하십시오. 또한 input 및 output에 대한 basis state가 각각 \(\vert n\_1 \rangle\_1 \vert n\_2 \rangle\_2\) 및 \(\vert n\_3 \rangle\_3 \vert n\_4 \rangle\_4\) 형태로 작성될 수 있다고 가정하십시오. 여기서 \(n\_i\)는 port \(i\)의 photon 수를 나타냅니다. (a) input이 \(\vert 0 \rangle\_1 \vert 0 \rangle\_2\)일 때 output state는 무엇입니까? (b) input이 \(\vert 1 \rangle\_1 \vert 0 \rangle\_2\) 및 \(\vert 0 \rangle\_1 \vert 1 \rangle\_2\)일 때 output state를 찾으십시오. 결과에 대한 physical interpretation을 제시하십시오. [힌트: \(\vert 1 \rangle\_1 \vert 0 \rangle\_2\)를 \(\hat{a}^{\dagger}\vert 0 \rangle\_1 \vert 0 \rangle\_2\)로 작성하고 (마찬가지로 \(\vert 0 \rangle\_1 \vert 1 \rangle\_2\)에 대해), (a) 부분의 결과를 사용하십시오.] (c) input state가 \(\vert 1 \rangle\_1 \vert 1 \rangle\_2\)일 때 output을 찾고, 결과의 의미에 대해 논의하십시오.

(8.12) coherent state에 대해 \(g^{(2)}(0) = 1\)임을 보이십시오.

(8.13) squeezing parameter \(s\)를 가진 squeezed vacuum state는 다음 식에 따라 number state의 superposition으로 작성될 수 있습니다:

\[\vert s \rangle = (\text{sech } s)^{1/2} \sum\_{n=0}^{\infty} \frac{([2n]!)^{1/2}}{n!} (\tanh s)^{n} \vert 2n \rangle\]

(a) 7.9.1절에서 논의된 squeezed vacuum state 생성 방법을 참조하여 \(\vert s \rangle\)가 \(n\)이 짝수인 number state만 포함하는 이유를 설명하십시오. (b) \(\langle s \vert \hat{X}\_1 \vert s \rangle\) 및 \(\langle s \vert \hat{X}\_2 \vert s \rangle\)를 평가하십시오. (c) \(\langle s \vert \hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger} \vert s \rangle = \langle s \vert \hat{a}\hat{a} \vert s \rangle = -\sinh s \cosh s\)이고 \(\langle s \vert \hat{a}^{\dagger}\hat{a} \vert s \rangle = \sinh^{2} s\)임을 감안할 때, \(\Delta\hat{X}\_1\) 및 \(\Delta\hat{X}\_2\)를 평가하십시오. (d) (b) 및 (c) 부분의 결과를 그림 7.8(a)에 주어진 squeezed vacuum state의 phasor diagram과 연결하십시오.