실해석학 1장

1 THE REAL AND COMPLEX NUMBER SYSTEMS

INTRODUCTION

analysis의 주요 개념(convergence, continuity, differentiation, integration 등)에 대한 만족스러운 논의는 정확하게 정의된 number concept에 기반해야 합니다. 그러나 우리는 integers의 arithmetic을 지배하는 axioms에 대한 논의에는 들어가지 않고, rational numbers(즉, \(m\)과 \(n\)이 integers이고 \(n \neq 0\)인 \(m/n\) 형태의 숫자들)에 익숙하다고 가정할 것입니다.

rational number system은 field로서나 ordered set으로서나 여러 목적에 부적합합니다. (이 용어들은 Secs. 1.6과 1.12에서 정의될 것입니다.) 예를 들어, \(p^2 = 2\)를 만족하는 rational \(p\)는 존재하지 않습니다. (우리는 곧 이를 증명할 것입니다.) 이는 종종 infinite decimal expansions로 쓰이고 대응하는 finite decimals에 의해 “approximated”된다고 간주되는 소위 “irrational numbers”의 도입으로 이어집니다. 따라서 sequence

\[1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \dots\]

는 \(\sqrt{2}\)로 “tends to”합니다. 하지만 irrational number \(\sqrt{2}\)가 명확하게 정의되지 않는 한, 다음과 같은 질문이 제기될 수밖에 없습니다: 이 sequence가 “tends to”하는 것은 정확히 무엇입니까?

이러한 종류의 질문은 소위 “real number system”이 구성되는 즉시 대답될 수 있습니다.

1.1 Example 이제 우리는 equation

(1) \(p^2 = 2\)

가 어떠한 rational \(p\)에 의해서도 만족되지 않음을 보여줍니다. 만약 그러한 \(p\)가 존재한다면, 우리는 \(p = m/n\)으로 쓸 수 있으며, 여기서 \(m\)과 \(n\)은 둘 다 짝수는 아닌 integers입니다. 이것이 성립한다고 가정해 봅시다. 그러면 (1)은

(2) \(m^2 = 2n^2\)

을 의미합니다. 이는 \(m^2\)이 짝수임을 보여줍니다. 따라서 \(m\)은 짝수이며(\(m\)이 홀수라면 \(m^2\)도 홀수일 것입니다), 그러므로 \(m^2\)은 \(4\)로 나누어떨어집니다. 이에 따라 (2)의 우변은 \(4\)로 나누어떨어지며, 따라서 \(n^2\)은 짝수이고, 이는 \(n\)이 짝수임을 의미합니다.

따라서 (1)이 성립한다는 가정은 \(m\)과 \(n\)이 모두 짝수라는 결론으로 이어지며, 이는 우리가 선택한 \(m\)과 \(n\)에 모순됩니다. 그러므로 rational \(p\)에 대해 (1)은 불가능합니다.

이제 이 상황을 조금 더 자세히 살펴보겠습니다. \(A\)를 \(p^2 < 2\)를 만족하는 모든 positive rationals \(p\)의 set이라 하고, \(B\)를 \(p^2 > 2\)를 만족하는 모든 positive rationals \(p\)로 구성된다고 합시다. 우리는 \(A\)가 largest number를 포함하지 않고 \(B\)가 smallest number를 포함하지 않음을 보여줄 것입니다.

더 명시적으로, \(A\)의 모든 \(p\)에 대해 \(p < q\)를 만족하는 rational \(q\)를 \(A\)에서 찾을 수 있으며, \(B\)의 모든 \(p\)에 대해 \(q < p\)를 만족하는 rational \(q\)를 \(B\)에서 찾을 수 있습니다.

이를 위해, 우리는 각각의 rational \(p > 0\)에 대해 다음 숫자를 연관시킵니다.

(3) \(q = p - \frac{p^2 - 2}{p + 2} = \frac{2p + 2}{p + 2}\)

그러면

(4) \(q^2 - 2 = \frac{2(p^2 - 2)}{(p + 2)^2}\)

만약 \(p\)가 \(A\)에 있다면 \(p^2 - 2 < 0\)이고, (3)은 \(q > p\)임을 보여주며, (4)는 \(q^2 < 2\)임을 보여줍니다. 따라서 \(q\)는 \(A\)에 있습니다.

만약 \(p\)가 \(B\)에 있다면 \(p^2 - 2 > 0\)이고, (3)은 \(0 < q < p\)임을 보여주며, (4)는 \(q^2 > 2\)임을 보여줍니다. 따라서 \(q\)는 \(B\)에 있습니다.

1.2 Remark 위 논의의 목적은 임의의 두 rationals 사이에 또 다른 rational이 존재함(만약 \(r < s\)이면 \(r < (r + s)/2 < s\))에도 불구하고 rational number system에 특정한 gaps가 있음을 보여주는 것이었습니다. real number system은 이러한 gaps를 채웁니다. 이것이 analysis에서 그것이 수행하는 fundamental role의 주요 이유입니다.

그것의 structure와 complex numbers의 structure를 명확히 하기 위해, 우리는 ordered set과 field의 일반적인 개념에 대한 간단한 논의로 시작합니다. 다음은 이 책 전반에 걸쳐 사용될 표준적인 set-theoretic terminology의 일부입니다.

1.3 Definitions 만약 \(A\)가 임의의 set(그 elements는 numbers이거나 다른 어떤 objects일 수 있음)이라면, 우리는 \(x\)가 \(A\)의 member(또는 element)임을 나타내기 위해 \(x \in A\)라고 씁니다. 만약 \(x\)가 \(A\)의 member가 아니라면, 우리는 \(x \notin A\)라고 씁니다.

어떠한 element도 포함하지 않는 set은 empty set이라고 불릴 것입니다. 만약 set이 적어도 하나의 element를 가진다면, 이는 nonempty라고 불립니다.

만약 \(A\)와 \(B\)가 sets이고, \(A\)의 모든 element가 \(B\)의 element라면, 우리는 \(A\)가 \(B\)의 subset이라고 말하며 \(A \subset B\) 또는 \(B \supset A\)라고 씁니다. 만약 추가로 \(A\)에 없는 \(B\)의 element가 존재한다면, \(A\)는 \(B\)의 proper subset이라고 합니다. 모든 set \(A\)에 대해 \(A \subset A\)임에 유의하십시오.

만약 \(A \subset B\)이고 \(B \subset A\)라면, 우리는 \(A = B\)라고 씁니다. 그렇지 않으면 \(A \neq B\)입니다.

1.4 Definition Chap. 1 전반에 걸쳐, 모든 rational numbers의 set은 \(Q\)로 표기될 것입니다.

ORDERED SETS

1.5 Definition \(S\)를 set이라 합시다. \(S\) 상의 order는 \(<\)로 표기되는 relation으로, 다음 두 가지 properties를 가집니다:

(i) 만약 \(x \in S\)이고 \(y \in S\)라면, \(x < y\), \(x = y\), \(y < x\)라는 statements 중 오직 하나만 참입니다. (ii) 만약 \(x, y, z \in S\)이고, \(x < y\)이며 \(y < z\)라면, \(x < z\)입니다.

statement “\(x < y\)“는 “\(x\) is less than \(y\)” 또는 “\(x\) is smaller than \(y\)” 또는 “\(x\) precedes \(y\)“로 읽을 수 있습니다.

\(x < y\) 대신 \(y > x\)로 쓰는 것이 종종 편리합니다.

notation \(x \le y\)는 이 둘 중 어느 것이 성립하는지 명시하지 않고 \(x < y\) 또는 \(x = y\)임을 나타냅니다. 다시 말해, \(x \le y\)는 \(x > y\)의 negation입니다.

1.6 Definition ordered set은 order가 정의된 set \(S\)입니다. 예를 들어, \(r < s\)가 \(s - r\)이 positive rational number임을 의미하도록 정의된다면 \(Q\)는 ordered set입니다.

1.7 Definition \(S\)가 ordered set이고 \(E \subset S\)라고 가정합시다. 만약 모든 \(x \in E\)에 대해 \(x \le \beta\)를 만족하는 \(\beta \in S\)가 존재한다면, 우리는 \(E\)가 bounded above라고 말하며, \(\beta\)를 \(E\)의 upper bound라고 부릅니다. Lower bounds도 동일한 방식(\(\le\) 대신 \(\ge\) 사용)으로 정의됩니다.

1.8 Definition \(S\)가 ordered set이고, \(E \subset S\)이며, \(E\)가 bounded above라고 가정합시다. 다음 properties를 가지는 \(\alpha \in S\)가 존재한다고 가정합시다:

(i) \(\alpha\)는 \(E\)의 upper bound입니다. (ii) 만약 \(\gamma < \alpha\)라면 \(\gamma\)는 \(E\)의 upper bound가 아닙니다.

그러면 \(\alpha\)는 \(E\)의 least upper bound [그러한 \(\alpha\)가 많아야 하나 존재한다는 것은 (ii)로부터 분명합니다] 또는 \(E\)의 supremum이라고 불리며, 우리는 \(\alpha = \sup E\)라고 씁니다.

bounded below인 set \(E\)의 greatest lower bound, 또는 infimum은 동일한 방식으로 정의됩니다: statement \(\alpha = \inf E\)는 \(\alpha\)가 \(E\)의 lower bound이며 \(\beta > \alpha\)인 어떠한 \(\beta\)도 \(E\)의 lower bound가 아님을 의미합니다.

1.9 Examples

(a) Example 1.1의 sets \(A\)와 \(B\)를 ordered set \(Q\)의 subsets로 고려해 봅시다. set \(A\)는 bounded above입니다. 사실, \(A\)의 upper bounds는 정확히 \(B\)의 members입니다. \(B\)는 smallest member를 포함하지 않으므로, \(A\)는 \(Q\)에서 least upper bound를 가지지 않습니다.

유사하게, \(B\)는 bounded below입니다: \(B\)의 모든 lower bounds의 set은 \(A\)와 \(r \le 0\)인 모든 \(r \in Q\)로 구성됩니다. \(A\)는 largest member를 가지지 않으므로, \(B\)는 \(Q\)에서 greatest lower bound를 가지지 않습니다.

(b) 만약 \(\alpha = \sup E\)가 존재한다면, \(\alpha\)는 \(E\)의 member일 수도 있고 아닐 수도 있습니다. 예를 들어, \(E_1\)을 \(r < 0\)인 모든 \(r \in Q\)의 set이라 합시다. \(E_2\)를 \(r \le 0\)인 모든 \(r \in Q\)의 set이라 합시다. 그러면 \(\sup E_1 = \sup E_2 = 0\)이고, \(0 \notin E_1\), \(0 \in E_2\)입니다.

(c) \(E\)가 \(n = 1, 2, 3, \dots\)인 모든 numbers \(1/n\)으로 구성된다고 합시다. 그러면 \(\sup E = 1\)이며 이는 \(E\)에 있고, \(\inf E = 0\)이며 이는 \(E\)에 없습니다.

1.10 Definition ordered set \(S\)는 다음이 참일 때 least-upper-bound property를 가진다고 합니다: 만약 \(E \subset S\)이고, \(E\)가 empty가 아니며, \(E\)가 bounded above라면, \(\sup E\)가 \(S\)에 존재합니다.

Example 1.9(a)는 \(Q\)가 least-upper-bound property를 가지지 않음을 보여줍니다. 우리는 이제 greatest lower bounds와 least upper bounds 사이에 밀접한 relation이 있으며, least-upper-bound property를 가진 모든 ordered set은 greatest-lower-bound property도 가짐을 보여줄 것입니다.

1.11 Theorem \(S\)가 least-upper-bound property를 가진 ordered set이고, \(B \subset S\)이며, \(B\)가 empty가 아니고, \(B\)가 bounded below라고 가정합시다. \(L\)을 \(B\)의 모든 lower bounds의 set이라 합시다. 그러면 \(\alpha = \sup L\)이 \(S\)에 존재하고, \(\alpha = \inf B\)입니다. 특히, \(\inf B\)는 \(S\)에 존재합니다.

Proof \(B\)가 bounded below이므로, \(L\)은 empty가 아닙니다. \(L\)은 모든 \(x \in B\)에 대해 inequality \(y \le x\)를 만족하는 정확히 그러한 \(y \in S\)로 구성되므로, 우리는 모든 \(x \in B\)가 \(L\)의 upper bound임을 알 수 있습니다. 따라서 \(L\)은 bounded above입니다. \(S\)에 대한 우리의 hypothesis는 그러므로 \(L\)이 \(S\)에서 supremum을 가짐을 의미합니다; 이를 \(\alpha\)라고 부릅시다.

만약 \(\gamma < \alpha\)라면 (Definition 1.8 참조) \(\gamma\)는 \(L\)의 upper bound가 아니며, 따라서 \(\gamma \notin B\)입니다. 이는 모든 \(x \in B\)에 대해 \(\alpha \le x\)임을 의미합니다. 따라서 \(\alpha \in L\)입니다.

만약 \(\alpha < \beta\)라면 \(\alpha\)가 \(L\)의 upper bound이므로 \(\beta \notin L\)입니다. 우리는 \(\alpha \in L\)이지만 \(\beta > \alpha\)이면 \(\beta \notin L\)임을 보여주었습니다. 다시 말해, \(\alpha\)는 \(B\)의 lower bound이지만, \(\beta > \alpha\)이면 \(\beta\)는 그렇지 않습니다. 이는 \(\alpha = \inf B\)임을 의미합니다.

FIELDS

1.12 Definition field는 addition과 multiplication이라고 불리는 두 operations를 가진 set \(F\)로, 다음의 소위 “field axioms” (A), (M), (D)를 만족합니다:

(A) Axioms for addition

(A1) 만약 \(x \in F\)이고 \(y \in F\)라면, 그들의 sum \(x + y\)는 \(F\)에 있습니다. (A2) Addition은 commutative합니다: 모든 \(x, y \in F\)에 대해 \(x + y = y + x\)입니다. (A3) Addition은 associative합니다: 모든 \(x, y, z \in F\)에 대해 \((x + y) + z = x + (y + z)\)입니다. (A4) \(F\)는 모든 \(x \in F\)에 대해 \(0 + x = x\)를 만족하는 element \(0\)을 포함합니다. (A5) 모든 \(x \in F\)에 대해 \(x + (-x) = 0\)을 만족하는 element \(-x \in F\)가 대응됩니다.

(M) Axioms for multiplication

(M1) 만약 \(x \in F\)이고 \(y \in F\)라면, 그들의 product \(xy\)는 \(F\)에 있습니다. (M2) Multiplication은 commutative합니다: 모든 \(x, y \in F\)에 대해 \(xy = yx\)입니다. (M3) Multiplication은 associative합니다: 모든 \(x, y, z \in F\)에 대해 \((xy)z = x(yz)\)입니다. (M4) \(F\)는 모든 \(x \in F\)에 대해 \(1x = x\)를 만족하는 element \(1 \neq 0\)을 포함합니다. (M5) 만약 \(x \in F\)이고 \(x \neq 0\)이라면, \(x \cdot (1/x) = 1\)을 만족하는 element \(1/x \in F\)가 존재합니다.

(D) The distributive law

\[x(y + z) = xy + xz\]

가 모든 \(x, y, z \in F\)에 대해 성립합니다.

1.13 Remarks

(a) 사람들은 보통 (임의의 field에서)

\[x + (-y), x \cdot \left(\frac{1}{y}\right), (x + y) + z, (xy)z, xx, xxx, x + x, x + x + x, \dots\]

대신에

\[x - y, \frac{x}{y}, x + y + z, xyz, x^2, x^3, 2x, 3x, \dots\]

라고 씁니다.

(b) addition과 multiplication이 관례적인 의미를 가진다면, 모든 rational numbers의 set인 \(Q\)에서 field axioms가 명확히 성립합니다. 따라서 \(Q\)는 field입니다.

(c) fields(또는 다른 임의의 algebraic structures)를 자세히 연구하는 것이 우리의 목적은 아니지만, \(Q\)의 몇몇 친숙한 properties가 field axioms의 결과임을 증명하는 것은 가치가 있습니다; 일단 이를 수행하고 나면, real numbers와 complex numbers에 대해 이를 다시 수행할 필요가 없을 것입니다.

1.14 Proposition addition에 대한 axioms는 다음 statements를 의미합니다.

(a) 만약 \(x + y = x + z\)라면 \(y = z\)입니다. (b) 만약 \(x + y = x\)라면 \(y = 0\)입니다. (c) 만약 \(x + y = 0\)이라면 \(y = -x\)입니다. (d) \(-(-x) = x\)입니다.

Statement (a)는 cancellation law입니다. (b)는 (A4)에서 존재가 가정된 element의 uniqueness를 주장하며, (c)는 (A5)에 대해 동일한 역할을 한다는 점에 유의하십시오.

Proof 만약 \(x + y = x + z\)라면, axioms (A)는 다음을 제공합니다.

\(y = 0 + y = (-x + x) + y = -x + (x + y)\) \(= -x + (x + z) = (-x + x) + z = 0 + z = z.\)

이는 (a)를 증명합니다. (a)에서 \(z = 0\)을 취하여 (b)를 얻습니다. (a)에서 \(z = -x\)를 취하여 (c)를 얻습니다. \(-x + x = 0\)이므로, (\(x\) 대신 \(-x\)를 사용한) (c)는 (d)를 제공합니다.

1.15 Proposition multiplication에 대한 axioms는 다음 statements를 의미합니다.

(a) 만약 \(x \neq 0\)이고 \(xy = xz\)라면 \(y = z\)입니다. (b) 만약 \(x \neq 0\)이고 \(xy = x\)라면 \(y = 1\)입니다. (c) 만약 \(x \neq 0\)이고 \(xy = 1\)이라면 \(y = 1/x\)입니다. (d) 만약 \(x \neq 0\)이라면 \(1/(1/x) = x\)입니다.

proof는 Proposition 1.14의 것과 매우 유사하므로 생략합니다.

1.16 Proposition field axioms는 임의의 \(x, y, z \in F\)에 대해 다음 statements를 의미합니다.

(a) \(0x = 0\). (b) 만약 \(x \neq 0\)이고 \(y \neq 0\)이라면 \(xy \neq 0\)입니다. (c) \((-x)y = -(xy) = x(-y)\). (d) \((-x)(-y) = xy\).

Proof \(0x + 0x = (0 + 0)x = 0x\)입니다. 따라서 1.14(b)는 \(0x = 0\)임을 의미하며, (a)가 성립합니다.

다음으로, \(x \neq 0\), \(y \neq 0\)이지만 \(xy = 0\)이라고 가정합시다. 그러면 (a)는 다음을 제공합니다.

\[1 = \left(\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x}\right)xy = \left(\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x}\right)0 = 0,\]

이는 contradiction입니다. 따라서 (b)가 성립합니다.

(c)의 첫 번째 equality는 1.14(c)와 결합된 다음 식으로부터 나옵니다.

\[(-x)y + xy = (-x + x)y = 0y = 0,\]

(c)의 나머지 절반도 동일한 방식으로 증명됩니다. 마지막으로, (c)와 1.14(d)에 의해

\[(-x)(-y) = -[x(-y)] = -[-(xy)] = xy\]

입니다.

1.17 Definition ordered field는 ordered set이기도 한 field \(F\)로, 다음을 만족합니다.

(i) 만약 \(x, y, z \in F\)이고 \(y < z\)라면 \(x + y < x + z\)입니다. (ii) 만약 \(x \in F\), \(y \in F\)이고 \(x > 0\), \(y > 0\)이라면 \(xy > 0\)입니다.

만약 \(x > 0\)이라면, 우리는 \(x\)를 positive라고 부릅니다; 만약 \(x < 0\)이라면, \(x\)는 negative입니다. 예를 들어, \(Q\)는 ordered field입니다.

inequalities를 다루기 위한 모든 친숙한 rules는 모든 ordered field에 적용됩니다: positive [negative] quantities에 의한 multiplication은 inequalities를 preserves [reverses]하며, 어떠한 square도 negative가 아닙니다 등. 다음 proposition은 이들 중 일부를 나열합니다.

1.18 Proposition 다음 statements는 모든 ordered field에서 참입니다.

(a) 만약 \(x > 0\)이라면 \(-x < 0\)이며, 그 역도 성립합니다. (b) 만약 \(x > 0\)이고 \(y < z\)라면 \(xy < xz\)입니다. (c) 만약 \(x < 0\)이고 \(y < z\)라면 \(xy > xz\)입니다. (d) 만약 \(x \neq 0\)이라면 \(x^2 > 0\)입니다. 특히, \(1 > 0\)입니다. (e) 만약 \(0 < x < y\)라면 \(0 < 1/y < 1/x\)입니다.

Proof

(a) 만약 \(x > 0\)이라면 \(0 = -x + x > -x + 0\)이므로, \(-x < 0\)입니다. 만약 \(x < 0\)이라면 \(0 = -x + x < -x + 0\)이므로, \(-x > 0\)입니다. 이는 (a)를 증명합니다.

(b) \(z > y\)이므로, \(z - y > y - y = 0\)을 얻고, 따라서 \(x(z - y) > 0\)이며, 그러므로

\[xz = x(z - y) + xy > 0 + xy = xy\]

입니다.

(c) (a), (b), 그리고 Proposition 1.16(c)에 의해,

\[-[x(z - y)] = (-x)(z - y) > 0\]

이므로 \(x(z - y) < 0\)이고, 따라서 \(xz < xy\)입니다.

(d) 만약 \(x > 0\)이라면, Definition 1.17의 part (ii)는 \(x^2 > 0\)을 제공합니다. 만약 \(x < 0\)이라면, \(-x > 0\)이므로 \((-x)^2 > 0\)입니다. 하지만 Proposition 1.16(d)에 의해 \(x^2 = (-x)^2\)입니다. \(1 = 1^2\)이므로, \(1 > 0\)입니다.

(e) 만약 \(y > 0\)이고 \(v \le 0\)이라면, \(yv \le 0\)입니다. 하지만 \(y \cdot (1/y) = 1 > 0\)입니다. 따라서 \(1/y > 0\)입니다. 마찬가지로, \(1/x > 0\)입니다. 만약 우리가 inequality \(x < y\)의 양변에 positive quantity \((1/x)(1/y)\)를 곱하면, \(1/y < 1/x\)를 얻습니다.

THE REAL FIELD

이제 우리는 이 chapter의 핵심인 existence theorem을 서술합니다.

1.19 Theorem least-upper-bound property를 가지는 ordered field \(R\)이 존재합니다. 더욱이, \(R\)은 \(Q\)를 subfield로 포함합니다.

두 번째 statement는 \(Q \subset R\)이며, \(R\)에서의 addition과 multiplication operations가 \(Q\)의 members에 적용될 때 rational numbers에 대한 일반적인 operations와 일치함을 의미합니다; 또한, positive rational numbers는 \(R\)의 positive elements입니다.

\(R\)의 members는 real numbers라고 불립니다. Theorem 1.19의 proof는 다소 길고 약간 지루하므로 Chap. 1의 Appendix에 제시됩니다. 이 proof는 실제로 \(Q\)로부터 \(R\)을 구성합니다.

다음 theorem은 아주 적은 추가적인 노력으로 이 구성으로부터 추출될 수 있습니다. 그러나 우리는 이것이 least-upper-bound property로 무엇을 할 수 있는지에 대한 좋은 illustration을 제공하기 때문에 Theorem 1.19로부터 이를 도출하는 것을 선호합니다.

1.20 Theorem

(a) 만약 \(x \in R\), \(y \in R\)이고 \(x > 0\)이라면, \(nx > y\)를 만족하는 positive integer \(n\)이 존재합니다. (b) 만약 \(x \in R\), \(y \in R\)이고 \(x < y\)라면, \(x < p < y\)를 만족하는 \(p \in Q\)가 존재합니다.

Part (a)는 보통 \(R\)의 archimedean property라고 불립니다. Part (b)는 \(Q\)가 \(R\)에서 dense하다고 말함으로써 서술될 수 있습니다: 임의의 두 real numbers 사이에는 rational number가 존재합니다.

Proof

(a) \(A\)를 \(n\)이 positive integers를 지날 때 모든 \(nx\)의 set이라 합시다. 만약 (a)가 거짓이라면, \(y\)는 \(A\)의 upper bound일 것입니다. 하지만 그러면 \(A\)는 \(R\)에서 least upper bound를 가집니다. \(\alpha = \sup A\)라고 둡시다. \(x > 0\)이므로 \(\alpha - x < \alpha\)이고, \(\alpha - x\)는 \(A\)의 upper bound가 아닙니다. 따라서 어떤 positive integer \(m\)에 대해 \(\alpha - x < mx\)입니다. 하지만 그러면 \(\alpha < (m + 1)x \in A\)가 되며, \(\alpha\)가 \(A\)의 upper bound이므로 이는 불가능합니다.

(b) \(x < y\)이므로 \(y - x > 0\)이고, (a)는 \(n(y - x) > 1\)을 만족하는 positive integer \(n\)을 제공합니다. (a)를 다시 적용하여, \(m_1 > nx\), \(m_2 > -nx\)를 만족하는 positive integers \(m_1\)과 \(m_2\)를 얻습니다. 그러면

\[-m_2 < nx < m_1\]

입니다. 따라서 \(m - 1 \le nx < m\)을 만족하는 integer \(m\) (\(-m_2 \le m \le m_1\))이 존재합니다. 이 inequalities를 결합하면, 다음을 얻습니다.

\[nx < m \le 1 + nx < ny.\]

\(n > 0\)이므로, 다음이 성립합니다.

\[x < \frac{m}{n} < y.\]

이는 \(p = m/n\)으로 (b)를 증명합니다.

이제 우리는 positive reals의 \(n\)th roots의 existence를 증명할 것입니다. 이 proof는 Introduction에서 지적된 어려움(\(\sqrt{2}\)의 irrationality)이 \(R\)에서 어떻게 다루어질 수 있는지 보여줄 것입니다.

1.21 Theorem 모든 real \(x > 0\)과 모든 integer \(n > 0\)에 대해 \(y^n = x\)를 만족하는 positive real \(y\)가 오직 하나 존재합니다.

이 숫자 \(y\)는 \(\sqrt[n]{x}\) 또는 \(x^{1/n}\)으로 쓰입니다.

Proof \(0 < y_1 < y_2\)가 \(y_1^n < y_2^n\)을 의미하므로, 그러한 \(y\)가 많아야 하나 존재한다는 것은 분명합니다.

\(E\)를 \(t^n < x\)를 만족하는 모든 positive real numbers \(t\)로 구성된 set이라 합시다. 만약 \(t = x/(1 + x)\)라면 \(0 \le t < 1\)입니다. 따라서 \(t^n \le t < x\)입니다. 그러므로 \(t \in E\)이고, \(E\)는 empty가 아닙니다. 만약 \(t > 1 + x\)라면 \(t^n \ge t > x\)이므로, \(t \notin E\)입니다. 따라서 \(1 + x\)는 \(E\)의 upper bound입니다. 그러므로 Theorem 1.19는 \(y = \sup E\)의 existence를 의미합니다.

\(y^n = x\)임을 증명하기 위해 우리는 inequalities \(y^n < x\)와 \(y^n > x\) 각각이 contradiction으로 이어짐을 보여줄 것입니다. identity

\[b^n - a^n = (b - a)(b^{n-1} + b^{n-2}a + \dots + a^{n-1})\]

은 \(0 < a < b\)일 때 inequality

\[b^n - a^n < (b - a)nb^{n-1}\]

을 산출합니다.

\(y^n < x\)라고 가정합시다. \(0 < h < 1\)이고

\[h < \frac{x - y^n}{n(y + 1)^{n-1}}\]

이 되도록 \(h\)를 선택합니다. \(a = y\), \(b = y + h\)로 둡시다. 그러면

\[(y + h)^n - y^n < hn(y + h)^{n-1} < hn(y + 1)^{n-1} < x - y^n\]

입니다. 따라서 \((y + h)^n < x\)이고, \(y + h \in E\)입니다. \(y + h > y\)이므로, 이는 \(y\)가 \(E\)의 upper bound라는 사실과 모순됩니다.

\(y^n > x\)라고 가정합시다.

\[k = \frac{y^n - x}{ny^{n-1}}\]

로 둡시다. 그러면 \(0 < k < y\)입니다. 만약 \(t \ge y - k\)라면, 우리는 다음을 결론짓습니다.

\[y^n - t^n \le y^n - (y - k)^n < kny^{n-1} = y^n - x.\]

따라서 \(t^n > x\)이고, \(t \notin E\)입니다. 이는 \(y - k\)가 \(E\)의 upper bound임을 의미합니다.

하지만 \(y - k < y\)이며, 이는 \(y\)가 \(E\)의 least upper bound라는 사실과 모순됩니다. 따라서 \(y^n = x\)이고, proof가 완료됩니다.

Corollary 만약 \(a\)와 \(b\)가 positive real numbers이고 \(n\)이 positive integer라면,

\[(ab)^{1/n} = a^{1/n}b^{1/n}.\]

Proof \(\alpha = a^{1/n}\), \(\beta = b^{1/n}\)으로 둡시다. 그러면 multiplication이 commutative하므로 [Definition 1.12의 Axiom (M2)],

\[ab = \alpha^n \beta^n = (\alpha\beta)^n\]

입니다. Theorem 1.21의 uniqueness assertion은 그러므로 다음을 보여줍니다.

\[(ab)^{1/n} = \alpha\beta = a^{1/n}b^{1/n}.\]

1.22 Decimals 우리는 real numbers와 decimals 사이의 relation을 지적함으로써 이 section을 마무리합니다. \(x > 0\)을 real이라 합시다. \(n_0 \le x\)를 만족하는 largest integer를 \(n_0\)라 합시다. (\(n_0\)의 existence는 \(R\)의 archimedean property에 의존함에 유의하십시오.) \(n_0, n_1, \dots, n_{k-1}\)이 선택되었을 때, \(n_k\)를 다음을 만족하는 largest integer라 합시다.

\[n_0 + \frac{n_1}{10} + \dots + \frac{n_k}{10^k} \le x.\]

\(E\)를 이러한 numbers의 set이라 합시다.

(5) \(n_0 + \frac{n_1}{10} + \dots + \frac{n_k}{10^k} \quad (k = 0, 1, 2, \dots).\)

그러면 \(x = \sup E\)입니다. \(x\)의 decimal expansion은

(6) \(n_0 . n_1 n_2 n_3 \dots\)

입니다. 역으로, 임의의 infinite decimal (6)에 대해 numbers (5)의 set \(E\)는 bounded above이며, (6)은 \(\sup E\)의 decimal expansion입니다. 우리는 decimals를 결코 사용하지 않을 것이므로, 자세한 논의에는 들어가지 않습니다.

THE EXTENDED REAL NUMBER SYSTEM

1.23 Definition extended real number system은 real field \(R\)과 두 symbols \(+\infty\) 및 \(-\infty\)로 구성됩니다. 우리는 \(R\)에서의 원래 order를 보존하며, 모든 \(x \in R\)에 대해

\[-\infty < x < +\infty\]

로 정의합니다.

그러면 \(+\infty\)가 extended real number system의 모든 subset의 upper bound이며, 모든 nonempty subset이 least upper bound를 가진다는 것은 분명합니다. 예를 들어, 만약 \(E\)가 \(R\)에서 bounded above가 아닌 real numbers의 nonempty set이라면, extended real number system에서 \(\sup E = +\infty\)입니다. 정확히 동일한 remarks가 lower bounds에도 적용됩니다.

extended real number system은 field를 형성하지 않지만, 다음과 같은 conventions를 만드는 것이 관례입니다:

(a) 만약 \(x\)가 real이라면

\[x + \infty = +\infty, \quad x - \infty = -\infty, \quad \frac{x}{+\infty} = \frac{x}{-\infty} = 0.\]

(b) 만약 \(x > 0\)이라면 \(x \cdot (+\infty) = +\infty\), \(x \cdot (-\infty) = -\infty\)입니다. (c) 만약 \(x < 0\)이라면 \(x \cdot (+\infty) = -\infty\), \(x \cdot (-\infty) = +\infty\)입니다.

한편으로는 real numbers와 다른 한편으로는 symbols \(+\infty\) 및 \(-\infty\) 사이의 구별을 매우 명시적으로 만들고자 할 때, 전자는 finite라고 불립니다.

THE COMPLEX FIELD

1.24 Definition complex number는 real numbers의 ordered pair \((a, b)\)입니다. “Ordered”는 \(a \neq b\)일 때 \((a, b)\)와 \((b, a)\)가 distinct한 것으로 간주됨을 의미합니다. \(x = (a, b)\), \(y = (c, d)\)를 두 complex numbers라 합시다. 우리는 \(a = c\)이고 \(b = d\)일 때 그리고 오직 그때만 \(x = y\)라고 씁니다. (이 definition이 완전히 불필요한 것은 아님에 유의하십시오; integers의 quotients로 표현되는 rational numbers의 equality를 생각해 보십시오.) 우리는 다음을 정의합니다.

\(x + y = (a + c, b + d),\) \(xy = (ac - bd, ad + bc).\)

1.25 Theorem addition과 multiplication의 이러한 definitions는 모든 complex numbers의 set을 \((0, 0)\)과 \((1, 0)\)이 \(0\)과 \(1\)의 역할을 하는 field로 바꿉니다.

Proof 우리는 단순히 Definition 1.12에 나열된 field axioms를 검증합니다. (물론, 우리는 \(R\)의 field structure를 사용합니다.)

\(x = (a, b)\), \(y = (c, d)\), \(z = (e, f)\)라 합시다. (A1)은 분명합니다. (A2) \(x + y = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = y + x\). (A3) \((x + y) + z = (a + c, b + d) + (e, f) = (a + c + e, b + d + f) = (a, b) + (c + e, d + f) = x + (y + z)\). (A4) \(x + 0 = (a, b) + (0, 0) = (a, b) = x\). (A5) \(-x = (-a, -b)\)로 둡시다. 그러면 \(x + (-x) = (0, 0) = 0\)입니다. (M1)은 분명합니다. (M2) \(xy = (ac - bd, ad + bc) = (ca - db, da + cb) = yx\). (M3) \((xy)z = (ac - bd, ad + bc)(e, f) = (ace - bde - adf - bcf, acf - bdf + ade + bce) = (a, b)(ce - df, cf + de) = x(yz)\). (M4) \(1x = (1, 0)(a, b) = (a, b) = x\). (M5) 만약 \(x \neq 0\)이라면 \((a, b) \neq (0, 0)\)이며, 이는 real numbers \(a, b\) 중 적어도 하나가 \(0\)과 다름을 의미합니다. 따라서 Proposition 1.18(d)에 의해 \(a^2 + b^2 > 0\)이며, 우리는 다음을 정의할 수 있습니다.

\[\frac{1}{x} = \left(\frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2}\right).\]

그러면

\[x \cdot \frac{1}{x} = (a, b)\left(\frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{-b}{a^2 + b^2}\right) = (1, 0) = 1\]

입니다.

(D) \(x(y + z) = (a, b)(c + e, d + f) = (ac + ae - bd - bf, ad + af + bc + be) = (ac - bd, ad + bc) + (ae - bf, af + be) = xy + xz\).

1.26 Theorem 임의의 real numbers \(a\)와 \(b\)에 대해 우리는 다음을 가집니다.

\[(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), \quad (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).\]

proof는 자명합니다.

Theorem 1.26은 \((a, 0)\) 형태의 complex numbers가 대응하는 real numbers \(a\)와 동일한 arithmetic properties를 가짐을 보여줍니다. 그러므로 우리는 \((a, 0)\)을 \(a\)와 identify할 수 있습니다. 이 identification은 우리에게 real field를 complex field의 subfield로 제공합니다.

독자는 우리가 \(-1\)의 신비한 square root에 대한 어떠한 언급도 없이 complex numbers를 정의했음을 알아차렸을 것입니다. 이제 우리는 notation \((a, b)\)가 더 관례적인 \(a + bi\)와 equivalent함을 보여줍니다.

1.27 Definition \(i = (0, 1)\).

1.28 Theorem \(i^2 = -1\).

Proof \(i^2 = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1\).

1.29 Theorem 만약 \(a\)와 \(b\)가 real이라면, \((a, b) = a + bi\)입니다.

Proof

\[a + bi = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = (a, 0) + (0, b) = (a, b).\]

1.30 Definition 만약 \(a, b\)가 real이고 \(z = a + bi\)라면, complex number \(\bar{z} = a - bi\)는 \(z\)의 conjugate라고 불립니다. numbers \(a\)와 \(b\)는 각각 \(z\)의 real part와 imaginary part입니다. 우리는 때때로 다음과 같이 쓸 것입니다.

\[a = \text{Re}(z), \quad b = \text{Im}(z).\]

1.31 Theorem 만약 \(z\)와 \(w\)가 complex라면, 다음이 성립합니다.

(a) \(\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}\), (b) \(\overline{zw} = \bar{z} \cdot \bar{w}\), (c) \(z + \bar{z} = 2 \text{Re}(z)\), \(z - \bar{z} = 2i \text{Im}(z)\), (d) \(z\bar{z}\)는 real이고 positive입니다 (\(z = 0\)일 때 제외).

Proof (a), (b), (c)는 꽤 자명합니다. (d)를 증명하기 위해, \(z = a + bi\)로 쓰고 \(z\bar{z} = a^2 + b^2\)임에 유의하십시오.

1.32 Definition 만약 \(z\)가 complex number라면, 그것의 absolute value \(\vert z \vert\)는 \(z\bar{z}\)의 nonnegative square root입니다; 즉, \(\vert z \vert = (z\bar{z})^{1/2}\)입니다.

\(\vert z \vert\)의 existence(와 uniqueness)는 Theorem 1.21과 Theorem 1.31의 part (d)로부터 따릅니다. \(x\)가 real일 때 \(\bar{x} = x\)이므로 \(\vert x \vert = \sqrt{x^2}\)임에 유의하십시오. 따라서 \(x \ge 0\)이면 \(\vert x \vert = x\)이고, \(x < 0\)이면 \(\vert x \vert = -x\)입니다.

1.33 Theorem \(z\)와 \(w\)를 complex numbers라 합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

(a) \(z = 0\)이 아닌 한 \(\vert z \vert > 0\)이며, \(\vert 0 \vert = 0\)입니다. (b) \(\vert \bar{z} \vert = \vert z \vert\), (c) \(\vert zw \vert = \vert z \vert \vert w \vert\), (d) \(\vert \text{Re } z \vert \le \vert z \vert\), (e) \(\vert z + w \vert \le \vert z \vert + \vert w \vert\).

Proof (a)와 (b)는 자명합니다. \(a, b, c, d\)가 real일 때 \(z = a + bi\), \(w = c + di\)로 둡시다. 그러면

\[\vert zw \vert ^2 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = \vert z \vert ^2 \vert w \vert ^2\]

또는 \(\vert zw \vert ^2 = ( \vert z \vert \vert w \vert )^2\)입니다. 이제 (c)는 Theorem 1.21의 uniqueness assertion으로부터 따릅니다.

(d)를 증명하기 위해, \(a^2 \le a^2 + b^2\)이므로

\[\vert a \vert = \sqrt{a^2} \le \sqrt{a^2 + b^2}\]

임에 유의하십시오.

(e)를 증명하기 위해, \(\bar{z}w\)가 \(z\bar{w}\)의 conjugate이므로 \(z\bar{w} + \bar{z}w = 2 \text{Re}(z\bar{w})\)임에 유의하십시오. 따라서

\(\vert z + w \vert ^2 = (z + w)(\bar{z} + \bar{w}) = z\bar{z} + z\bar{w} + \bar{z}w + w\bar{w}\) \(= \vert z \vert ^2 + 2 \text{Re}(z\bar{w}) + \vert w \vert ^2\) \(\le \vert z \vert ^2 + 2 \vert z\bar{w} \vert + \vert w \vert ^2\) \(= \vert z \vert ^2 + 2 \vert z \vert \vert w \vert + \vert w \vert ^2 = ( \vert z \vert + \vert w \vert )^2\)

입니다. 이제 (e)는 square roots를 취함으로써 따릅니다.

1.34 Notation 만약 \(x_1, \dots, x_n\)이 complex numbers라면, 우리는 다음과 같이 씁니다.

\[x_1 + x_2 + \dots + x_n = \sum_{j=1}^n x_j.\]

우리는 보통 Schwarz inequality로 알려진 중요한 inequality로 이 section을 마무리합니다.

1.35 Theorem 만약 \(a_1, \dots, a_n\)과 \(b_1, \dots, b_n\)이 complex numbers라면, 다음이 성립합니다.

\[\left \vert \sum_{j=1}^n a_j \bar{b}_j \right \vert ^2 \le \sum_{j=1}^n \vert a_j \vert ^2 \sum_{j=1}^n \vert b_j \vert ^2.\]

Proof \(A = \sum \vert a_j \vert ^2\), \(B = \sum \vert b_j \vert ^2\), \(C = \sum a_j \bar{b}_j\)로 둡시다 (이 proof의 모든 sums에서 \(j\)는 \(1, \dots, n\)의 values를 지납니다). 만약 \(B = 0\)이라면 \(b_1 = \dots = b_n = 0\)이며, conclusion은 자명합니다. 그러므로 \(B > 0\)이라고 가정합시다. Theorem 1.31에 의해 우리는 다음을 가집니다.

\(\sum \vert Ba_j - Cb_j \vert ^2 = \sum (Ba_j - Cb_j)(B\bar{a}_j - \bar{C}\bar{b}_j)\) \(= B^2 \sum \vert a_j \vert ^2 - B\bar{C} \sum a_j \bar{b}_j - BC \sum \bar{a}_j b_j + \vert C \vert ^2 \sum \vert b_j \vert ^2\) \(= B^2 A - B \vert C \vert ^2\) \(= B(AB - \vert C \vert ^2).\)

첫 번째 sum의 각 term이 nonnegative이므로, 우리는

\[B(AB - \vert C \vert ^2) \ge 0\]

임을 알 수 있습니다. \(B > 0\)이므로, \(AB - \vert C \vert ^2 \ge 0\)이 따릅니다. 이것이 원하는 inequality입니다.

EUCLIDEAN SPACES

1.36 Definitions 각각의 positive integer \(k\)에 대해, \(R^k\)를 모든 ordered \(k\)-tuples

\[\mathbf{x} = (x_1, x_2, \dots, x_k)\]

의 set이라 합시다. 여기서 \(x_1, \dots, x_k\)는 real numbers이며, \(\mathbf{x}\)의 coordinates라고 불립니다. \(R^k\)의 elements는 points, 또는 특히 \(k > 1\)일 때 vectors라고 불립니다. 우리는 vectors를 boldfaced letters로 표기할 것입니다. 만약 \(\mathbf{y} = (y_1, \dots, y_k)\)이고 \(\alpha\)가 real number라면, 다음을 둡니다.

\(\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, \dots, x_k + y_k),\) \(\alpha\mathbf{x} = (\alpha x_1, \dots, \alpha x_k)\)

따라서 \(\mathbf{x} + \mathbf{y} \in R^k\)이고 \(\alpha\mathbf{x} \in R^k\)입니다. 이는 vectors의 addition과 real number(scalar)에 의한 vector의 multiplication을 정의합니다. 이 두 operations는 commutative, associative, distributive laws를 만족하며(real numbers에 대한 유사한 laws를 고려할 때 proof는 자명합니다) \(R^k\)를 real field 상의 vector space로 만듭니다. \(R^k\)의 zero element(때때로 origin 또는 null vector라고 불림)는 모든 coordinates가 \(0\)인 point \(\mathbf{0}\)입니다.

우리는 또한 \(\mathbf{x}\)와 \(\mathbf{y}\)의 소위 “inner product” (또는 scalar product)를 다음으로 정의합니다.

\[\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \sum_{i=1}^k x_i y_i\]

그리고 \(\mathbf{x}\)의 norm을 다음으로 정의합니다.

\[\vert \mathbf{x} \vert = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{x})^{1/2} = \left( \sum_{i=1}^k x_i^2 \right)^{1/2}.\]

이제 정의된 structure(위의 inner product와 norm을 가진 vector space \(R^k\))는 euclidean \(k\)-space라고 불립니다.

1.37 Theorem \(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in R^k\)이고 \(\alpha\)가 real이라고 가정합시다. 그러면 다음이 성립합니다.

(a) \(\vert \mathbf{x} \vert \ge 0\); (b) \(\vert \mathbf{x} \vert = 0\)일 필요충분조건은 \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\)입니다; (c) \(\vert \alpha\mathbf{x} \vert = \vert \alpha \vert \vert \mathbf{x} \vert\); (d) \(\vert \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \vert \le \vert \mathbf{x} \vert \vert \mathbf{y} \vert\); (e) \(\vert \mathbf{x} + \mathbf{y} \vert \le \vert \mathbf{x} \vert + \vert \mathbf{y} \vert\); (f) \(\vert \mathbf{x} - \mathbf{z} \vert \le \vert \mathbf{x} - \mathbf{y} \vert + \vert \mathbf{y} - \mathbf{z} \vert\).

Proof (a), (b), (c)는 명백하며, (d)는 Schwarz inequality의 즉각적인 결과입니다. (d)에 의해 우리는 다음을 가집니다.

\(\vert \mathbf{x} + \mathbf{y} \vert ^2 = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) \cdot (\mathbf{x} + \mathbf{y})\) \(= \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} + 2\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} + \mathbf{y} \cdot \mathbf{y}\) \(\le \vert \mathbf{x} \vert ^2 + 2 \vert \mathbf{x} \vert \vert \mathbf{y} \vert + \vert \mathbf{y} \vert ^2\) \(= ( \vert \mathbf{x} \vert + \vert \mathbf{y} \vert )^2,\)

따라서 (e)가 증명됩니다. 마지막으로, \(\mathbf{x}\)를 \(\mathbf{x} - \mathbf{y}\)로, \(\mathbf{y}\)를 \(\mathbf{y} - \mathbf{z}\)로 대체하면 (e)로부터 (f)가 따릅니다.

1.38 Remarks Theorem 1.37 (a), (b), (f)는 우리가 \(R^k\)를 metric space로 간주할 수 있게 해줄 것입니다(Chap. 2 참조).

\(R^1\)(모든 real numbers의 set)은 보통 line, 또는 real line이라고 불립니다. 마찬가지로, \(R^2\)는 plane, 또는 complex plane이라고 불립니다(Definitions 1.24와 1.36 비교). 이 두 경우에 norm은 단지 대응하는 real 또는 complex number의 absolute value일 뿐입니다.

APPENDIX

Theorem 1.19는 이 appendix에서 \(Q\)로부터 \(R\)을 구성함으로써 증명될 것입니다. 우리는 이 구성을 여러 steps로 나눌 것입니다.

Step 1 \(R\)의 members는 cuts라고 불리는 \(Q\)의 특정한 subsets가 될 것입니다. cut은 정의에 의해 다음 세 가지 properties를 가지는 임의의 set \(\alpha \subset Q\)입니다.

(I) \(\alpha\)는 empty가 아니며, \(\alpha \neq Q\)입니다. (II) 만약 \(p \in \alpha\), \(q \in Q\)이고 \(q < p\)라면, \(q \in \alpha\)입니다. (III) 만약 \(p \in \alpha\)라면, 어떤 \(r \in \alpha\)에 대해 \(p < r\)입니다.

letters \(p, q, r, \dots\)는 항상 rational numbers를 나타낼 것이며, \(\alpha, \beta, \gamma, \dots\)는 cuts를 나타낼 것입니다.

(III)은 단순히 \(\alpha\)가 largest member를 가지지 않음을 말한다는 점에 유의하십시오; (II)는 자유롭게 사용될 두 가지 사실을 의미합니다:

만약 \(p \in \alpha\)이고 \(q \notin \alpha\)라면 \(p < q\)입니다. 만약 \(r \notin \alpha\)이고 \(r < s\)라면 \(s \notin \alpha\)입니다.

Step 2 “\(\alpha < \beta\)“를 \(\alpha\)가 \(\beta\)의 proper subset임을 의미하도록 정의합니다.

이것이 Definition 1.5의 requirements를 충족하는지 확인해 봅시다. 만약 \(\alpha < \beta\)이고 \(\beta < \gamma\)라면 \(\alpha < \gamma\)임은 분명합니다. (proper subset의 proper subset은 proper subset입니다.) 또한 다음 세 relations 중 많아야 하나만 성립함도 분명합니다.

\[\alpha < \beta, \quad \alpha = \beta, \quad \beta < \alpha,\]

임의의 pair \(\alpha, \beta\)에 대해 성립할 수 있습니다. 적어도 하나가 성립함을 보여주기 위해, 처음 두 개가 실패한다고 가정합시다. 그러면 \(\alpha\)는 \(\beta\)의 subset이 아닙니다. 따라서 \(p \notin \beta\)인 \(p \in \alpha\)가 존재합니다. 만약 \(q \in \beta\)라면, (\(p \notin \beta\)이므로) \(q < p\)가 따르고, 따라서 (II)에 의해 \(q \in \alpha\)입니다. 그러므로 \(\beta \subset \alpha\)입니다. \(\beta \neq \alpha\)이므로, 우리는 \(\beta < \alpha\)라고 결론짓습니다.

따라서 \(R\)은 이제 ordered set입니다.

Step 3 ordered set \(R\)은 least-upper-bound property를 가집니다.

이를 증명하기 위해, \(A\)를 \(R\)의 nonempty subset이라 하고, \(\beta \in R\)이 \(A\)의 upper bound라고 가정합시다. \(\gamma\)를 모든 \(\alpha \in A\)의 union으로 정의합니다. 다시 말해, \(p \in \gamma\)일 필요충분조건은 어떤 \(\alpha \in A\)에 대해 \(p \in \alpha\)인 것입니다. 우리는 \(\gamma \in R\)이고 \(\gamma = \sup A\)임을 증명할 것입니다.

\(A\)가 empty가 아니므로, \(\alpha_0 \in A\)가 존재합니다. 이 \(\alpha_0\)는 empty가 아닙니다. \(\alpha_0 \subset \gamma\)이므로, \(\gamma\)는 empty가 아닙니다. 다음으로, (모든 \(\alpha \in A\)에 대해 \(\alpha \subset \beta\)이므로) \(\gamma \subset \beta\)이고, 그러므로 \(\gamma \neq Q\)입니다. 따라서 \(\gamma\)는 property (I)을 만족합니다. (II)와 (III)을 증명하기 위해, \(p \in \gamma\)를 선택합니다. 그러면 어떤 \(\alpha_1 \in A\)에 대해 \(p \in \alpha_1\)입니다. 만약 \(q < p\)라면 \(q \in \alpha_1\)이고, 따라서 \(q \in \gamma\)입니다; 이는 (II)를 증명합니다. 만약 \(r > p\)가 되도록 \(r \in \alpha_1\)이 선택된다면, (\(\alpha_1 \subset \gamma\)이므로) \(r \in \gamma\)임을 알 수 있고, 그러므로 \(\gamma\)는 (III)을 만족합니다.

따라서 \(\gamma \in R\)입니다.

모든 \(\alpha \in A\)에 대해 \(\alpha \le \gamma\)임은 분명합니다. \(\delta < \gamma\)라고 가정합시다. 그러면 \(s \in \gamma\)이고 \(s \notin \delta\)인 \(s\)가 존재합니다. \(s \in \gamma\)이므로, 어떤 \(\alpha \in A\)에 대해 \(s \in \alpha\)입니다. 따라서 \(\delta < \alpha\)이고, \(\delta\)는 \(A\)의 upper bound가 아닙니다.

이는 원하는 결과를 제공합니다: \(\gamma = \sup A\).

Step 4 만약 \(\alpha \in R\)이고 \(\beta \in R\)이라면, 우리는 \(\alpha + \beta\)를 \(r \in \alpha\)이고 \(s \in \beta\)인 모든 sums \(r + s\)의 set으로 정의합니다.

우리는 \(0^*\)를 모든 negative rational numbers의 set으로 정의합니다. \(0^*\)가 cut임은 분명합니다. 우리는 \(0^*\)가 \(0\)의 역할을 하면서 \(R\)에서 addition에 대한 axioms(Definition 1.12 참조)가 성립함을 검증합니다.

(A1) 우리는 \(\alpha + \beta\)가 cut임을 보여주어야 합니다. \(\alpha + \beta\)가 \(Q\)의 nonempty subset임은 분명합니다. \(r' \notin \alpha\), \(s' \notin \beta\)를 취합시다. 그러면 \(r \in \alpha\), \(s \in \beta\)의 모든 선택에 대해 \(r' + s' > r + s\)입니다. 따라서 \(r' + s' \notin \alpha + \beta\)입니다. 이는 \(\alpha + \beta\)가 property (I)을 가짐을 의미합니다.

\(p \in \alpha + \beta\)를 선택합니다. 그러면 \(r \in \alpha\), \(s \in \beta\)에 대해 \(p = r + s\)입니다. 만약 \(q < p\)라면 \(q - s < r\)이므로 \(q - s \in \alpha\)이고, \(q = (q - s) + s \in \alpha + \beta\)입니다. 따라서 (II)가 성립합니다. \(t > r\)이 되도록 \(t \in \alpha\)를 선택합니다. 그러면 \(p < t + s\)이고 \(t + s \in \alpha + \beta\)입니다. 따라서 (III)이 성립합니다.

(A2) \(\alpha + \beta\)는 \(r \in \alpha\), \(s \in \beta\)인 모든 \(r + s\)의 set입니다. 동일한 정의에 의해, \(\beta + \alpha\)는 모든 \(s + r\)의 set입니다. 모든 \(r \in Q\), \(s \in Q\)에 대해 \(r + s = s + r\)이므로, 우리는 \(\alpha + \beta = \beta + \alpha\)를 가집니다.

(A3) 위와 같이, 이는 \(Q\)에서의 associative law로부터 따릅니다.

(A4) 만약 \(r \in \alpha\)이고 \(s \in 0^*\)라면 \(r + s < r\)이므로 \(r + s \in \alpha\)입니다. 따라서 \(\alpha + 0^* \subset \alpha\)입니다. 반대 방향의 inclusion을 얻기 위해, \(p \in \alpha\)를 선택하고, \(r \in \alpha\), \(r > p\)를 선택합니다. 그러면 \(p - r \in 0^*\)이고, \(p = r + (p - r) \in \alpha + 0^*\)입니다. 따라서 \(\alpha \subset \alpha + 0^*\)입니다. 우리는 \(\alpha + 0^* = \alpha\)라고 결론짓습니다.

(A5) \(\alpha \in R\)을 고정합니다. \(\beta\)를 다음 property를 가지는 모든 \(p\)의 set이라 합시다:

\(-p - r \notin \alpha\)를 만족하는 \(r > 0\)이 존재합니다.

다시 말해, \(-p\)보다 작은 어떤 rational number가 \(\alpha\)에 속하지 않습니다.

우리는 \(\beta \in R\)이고 \(\alpha + \beta = 0^*\)임을 보여줍니다.

만약 \(s \notin \alpha\)이고 \(p = -s - 1\)이라면, \(-p - 1 \notin \alpha\)이므로 \(p \in \beta\)입니다. 따라서 \(\beta\)는 empty가 아닙니다. 만약 \(q \in \alpha\)라면, \(-q \notin \beta\)입니다. 따라서 \(\beta \neq Q\)입니다. 그러므로 \(\beta\)는 (I)을 만족합니다.

\(p \in \beta\)를 선택하고, \(-p - r \notin \alpha\)가 되도록 \(r > 0\)을 선택합니다. 만약 \(q < p\)라면 \(-q - r > -p - r\)이므로 \(-q - r \notin \alpha\)입니다. 따라서 \(q \in \beta\)이고, (II)가 성립합니다. \(t = p + (r/2)\)로 둡시다. 그러면 \(t > p\)이고 \(-t - (r/2) = -p - r \notin \alpha\)이므로 \(t \in \beta\)입니다. 그러므로 \(\beta\)는 (III)을 만족합니다.

우리는 \(\beta \in R\)임을 증명했습니다.

만약 \(r \in \alpha\)이고 \(s \in \beta\)라면 \(-s \notin \alpha\)이므로 \(r < -s\), \(r + s < 0\)입니다. 따라서 \(\alpha + \beta \subset 0^*\)입니다.

반대 방향의 inclusion을 증명하기 위해, \(v \in 0^*\)를 선택하고 \(w = -v/2\)로 둡시다. 그러면 \(w > 0\)이고, \(nw \in \alpha\)이지만 \((n + 1)w \notin \alpha\)인 integer \(n\)이 존재합니다. (이것은 \(Q\)가 archimedean property를 가진다는 사실에 의존함에 유의하십시오!) \(p = -(n + 2)w\)로 둡시다. 그러면 \(-p - w \notin \alpha\)이므로 \(p \in \beta\)이고,

\[v = nw + p \in \alpha + \beta\]

입니다. 따라서 \(0^* \subset \alpha + \beta\)입니다.

우리는 \(\alpha + \beta = 0^*\)라고 결론짓습니다.

이 \(\beta\)는 물론 \(-\alpha\)로 표기될 것입니다.

Step 5 Step 4에서 정의된 addition이 Definition 1.12의 Axioms (A)를 만족함을 증명했으므로, Proposition 1.14가 \(R\)에서 유효함이 따르며, 우리는 Definition 1.17의 requirements 중 하나를 증명할 수 있습니다:

만약 \(\alpha, \beta, \gamma \in R\)이고 \(\beta < \gamma\)라면, \(\alpha + \beta < \alpha + \gamma\)입니다.

실제로, \(R\)에서의 \(+\)의 정의로부터 \(\alpha + \beta \subset \alpha + \gamma\)임은 명백합니다; 만약 우리가 \(\alpha + \beta = \alpha + \gamma\)를 가졌다면, cancellation law (Proposition 1.14)는 \(\beta = \gamma\)를 의미했을 것입니다.

또한 \(\alpha > 0^*\)일 필요충분조건이 \(-\alpha < 0^*\)임도 따릅니다.

Step 6 현재의 문맥에서 multiplication은 addition보다 조금 더 성가신데, 이는 negative rationals의 products가 positive이기 때문입니다. 이러한 이유로 우리는 먼저 \(\alpha > 0^*\)인 모든 \(\alpha \in R\)의 set인 \(R^+\)로 우리 자신을 제한합니다.

만약 \(\alpha \in R^+\)이고 \(\beta \in R^+\)라면, 우리는 \(\alpha\beta\)를 \(r \in \alpha\), \(s \in \beta\), \(r > 0\), \(s > 0\)의 어떤 선택에 대해 \(p \le rs\)를 만족하는 모든 \(p\)의 set으로 정의합니다.

우리는 \(1^*\)를 \(q < 1\)인 모든 \(q\)의 set으로 정의합니다.

그러면 \(F\) 대신 \(R^+\)를 사용하고 \(1^*\)가 \(1\)의 역할을 하면서 Definition 1.12의 axioms (M)과 (D)가 성립합니다.

proofs는 Step 4에서 자세히 주어진 것들과 매우 유사하므로 생략합니다.

특히, Definition 1.17의 두 번째 requirement가 성립함에 유의하십시오: 만약 \(\alpha > 0^*\)이고 \(\beta > 0^*\)라면 \(\alpha\beta > 0^*\)입니다.

Step 7 우리는 \(\alpha 0^* = 0^*\alpha = 0^*\)로 설정하고, 다음을 설정함으로써 multiplication의 정의를 완성합니다.

\[\alpha\beta = \begin{cases} (-\alpha)(-\beta) & \text{if } \alpha < 0^*, \beta < 0^*, \\ -[(-\alpha)\beta] & \text{if } \alpha < 0^*, \beta > 0^*, \\ -[\alpha \cdot (-\beta)] & \text{if } \alpha > 0^*, \beta < 0^*. \end{cases}\]

우변의 products는 Step 6에서 정의되었습니다.

(Step 6에서) axioms (M)이 \(R^+\)에서 성립함을 증명했으므로, 이제 Proposition 1.14의 일부인 identity \(\gamma = -(-\gamma)\)를 반복적으로 적용함으로써 \(R\)에서 이를 증명하는 것은 완벽하게 간단합니다. (Step 5 참조.)

distributive law

\[\alpha(\beta + \gamma) = \alpha\beta + \alpha\gamma\]

의 proof는 cases로 나뉩니다. 예를 들어, \(\alpha > 0^*\), \(\beta < 0^*\), \(\beta + \gamma > 0^*\)라고 가정합시다. 그러면 \(\gamma = (\beta + \gamma) + (-\beta)\)이고, (우리는 이미 distributive law가 \(R^+\)에서 성립함을 알고 있으므로)

\[\alpha\gamma = \alpha(\beta + \gamma) + \alpha \cdot (-\beta)\]

입니다. 하지만 \(\alpha \cdot (-\beta) = -(\alpha\beta)\)입니다. 따라서

\[\alpha\beta + \alpha\gamma = \alpha(\beta + \gamma)\]

입니다.

다른 cases도 동일한 방식으로 다루어집니다.

우리는 이제 \(R\)이 least-upper-bound property를 가진 ordered field라는 proof를 완료했습니다.

Step 8 우리는 각각의 \(r \in Q\)에 대해 \(p < r\)을 만족하는 모든 \(p \in Q\)로 구성된 set \(r^*\)를 연관시킵니다. 각각의 \(r^*\)가 cut임은 분명합니다; 즉, \(r^* \in R\)입니다. 이 cuts는 다음 relations를 만족합니다:

(a) \(r^* + s^* = (r + s)^*\), (b) \(r^*s^* = (rs)^*\), (c) \(r^* < s^*\)일 필요충분조건은 \(r < s\)입니다.

(a)를 증명하기 위해, \(p \in r^* + s^*\)를 선택합니다. 그러면 \(p = u + v\)이며, 여기서 \(u < r\), \(v < s\)입니다. 따라서 \(p < r + s\)이며, 이는 \(p \in (r + s)^*\)임을 말해줍니다.

역으로, \(p \in (r + s)^*\)라고 가정합시다. 그러면 \(p < r + s\)입니다. \(2t = r + s - p\)가 되도록 \(t\)를 선택하고, \(r' = r - t\), \(s' = s - t\)로 둡시다. 그러면 \(r' \in r^*\), \(s' \in s^*\)이고 \(p = r' + s'\)이므로 \(p \in r^* + s^*\)입니다.

이는 (a)를 증명합니다. (b)의 proof도 유사합니다.

만약 \(r < s\)라면 \(r \in s^*\)이지만 \(r \notin r^*\)입니다; 따라서 \(r^* < s^*\)입니다.

만약 \(r^* < s^*\)라면, \(p \notin r^*\)인 \(p \in s^*\)가 존재합니다. 따라서 \(r \le p < s\)이므로 \(r < s\)입니다.

이는 (c)를 증명합니다.

Step 9 우리는 Step 8에서 rational numbers \(r\)을 대응하는 “rational cuts” \(r^* \in R\)로 대체하는 것이 sums, products, order를 보존함을 보았습니다. 이 사실은 ordered field \(Q\)가 그 elements가 rational cuts인 ordered field \(Q^*\)와 isomorphic하다고 말함으로써 표현될 수 있습니다. 물론 \(r^*\)는 결코 \(r\)과 같지 않지만, 우리가 관심을 가지는 properties(arithmetic과 order)는 두 fields에서 동일합니다.

우리가 \(Q\)를 \(R\)의 subfield로 간주할 수 있게 해주는 것은 바로 \(Q\)와 \(Q^*\)의 이러한 identification입니다.

Theorem 1.19의 두 번째 part는 이 identification의 관점에서 이해되어야 합니다. real numbers가 complex field의 subfield로 간주될 때 동일한 현상이 발생하며, integers가 \(Q\)의 특정 subset과 identify될 때 훨씬 더 elementary level에서도 발생함에 유의하십시오.

least-upper-bound property를 가지는 임의의 두 ordered fields가 isomorphic하다는 것은 사실이며, 우리는 여기서 이를 증명하지 않을 것입니다. 그러므로 Theorem 1.19의 첫 번째 part는 real field \(R\)을 완전히 characterizes합니다.

Bibliography에 인용된 Landau와 Thurston의 책들은 전적으로 number systems에 전념하고 있습니다. Knopp의 책 Chapter 1은 \(Q\)로부터 \(R\)이 어떻게 얻어질 수 있는지에 대한 더 여유로운 description을 포함합니다. 각각의 real number가 rational numbers의 Cauchy sequences의 equivalence class로 정의되는 또 다른 구성(Chap. 3 참조)은 Hewitt와 Stromberg의 책 Sec. 5에서 수행됩니다.

우리가 여기서 사용한 \(Q\)에서의 cuts는 Dedekind에 의해 발명되었습니다. Cauchy sequences를 통한 \(Q\)로부터의 \(R\)의 구성은 Cantor에 의한 것입니다. Cantor와 Dedekind 모두 1872년에 그들의 구성을 발표했습니다.

EXERCISES

반대가 명시적으로 서술되지 않는 한, 이 exercises에서 언급되는 모든 numbers는 real로 이해됩니다.

1. 만약 \(r\)이 rational(\(r \neq 0\))이고 \(x\)가 irrational이라면, \(r + x\)와 \(rx\)가 irrational임을 증명하십시오.
2. square가 \(12\)인 rational number가 존재하지 않음을 증명하십시오.
3. Proposition 1.15를 증명하십시오.
4. \(E\)를 ordered set의 nonempty subset이라 합시다; \(\alpha\)가 \(E\)의 lower bound이고 \(\beta\)가 \(E\)의 upper bound라고 가정합시다. \(\alpha \le \beta\)임을 증명하십시오.

5. \(A\)를 bounded below인 real numbers의 nonempty set이라 합시다. \(-A\)를 \(x \in A\)인 모든 numbers \(-x\)의 set이라 합시다. 다음을 증명하십시오.

   \[\inf A = -\sup(-A).\]

6. \(b > 1\)을 고정합니다. (a) 만약 \(m, n, p, q\)가 integers이고, \(n > 0\), \(q > 0\)이며 \(r = m/n = p/q\)라면, 다음을 증명하십시오.

   \[(b^m)^{1/n} = (b^p)^{1/q}.\]

   따라서 \(b^r = (b^m)^{1/n}\)으로 정의하는 것이 타당합니다. (b) 만약 \(r\)과 \(s\)가 rational이라면 \(b^{r+s} = b^r b^s\)임을 증명하십시오. (c) 만약 \(x\)가 real이라면, \(B(x)\)를 \(t\)가 rational이고 \(t \le x\)인 모든 numbers \(b^t\)의 set으로 정의합니다. \(r\)이 rational일 때 다음을 증명하십시오.

   \[b^r = \sup B(r)\]

   따라서 모든 real \(x\)에 대해 다음을 정의하는 것이 타당합니다.

   \[b^x = \sup B(x)\]

   (d) 모든 real \(x\)와 \(y\)에 대해 \(b^{x+y} = b^x b^y\)임을 증명하십시오.

7. \(b > 1\), \(y > 0\)을 고정하고, 다음 개요를 완성함으로써 \(b^x = y\)를 만족하는 unique real \(x\)가 존재함을 증명하십시오. (이 \(x\)는 base \(b\)에 대한 \(y\)의 logarithm이라고 불립니다.) (a) 임의의 positive integer \(n\)에 대해, \(b^n - 1 \ge n(b - 1)\)입니다. (b) 따라서 \(b - 1 \ge n(b^{1/n} - 1)\)입니다. (c) 만약 \(t > 1\)이고 \(n > (b - 1)/(t - 1)\)이라면, \(b^{1/n} < t\)입니다. (d) 만약 \(w\)가 \(b^w < y\)를 만족한다면, 충분히 큰 \(n\)에 대해 \(b^{w+(1/n)} < y\)입니다; 이를 보려면 \(t = y \cdot b^{-w}\)로 part (c)를 적용하십시오. (e) 만약 \(b^w > y\)라면, 충분히 큰 \(n\)에 대해 \(b^{w-(1/n)} > y\)입니다. (f) \(A\)를 \(b^w < y\)를 만족하는 모든 \(w\)의 set이라 하고, \(x = \sup A\)가 \(b^x = y\)를 만족함을 보여주십시오. (g) 이 \(x\)가 unique함을 증명하십시오.
8. complex field를 ordered field로 바꾸는 어떠한 order도 정의될 수 없음을 증명하십시오. Hint: \(-1\)은 square입니다.
9. \(z = a + bi\), \(w = c + di\)라고 가정합시다. 만약 \(a < c\)이거나, \(a = c\)이지만 \(b < d\)라면 \(z < w\)로 정의합니다. 이것이 모든 complex numbers의 set을 ordered set으로 바꿈을 증명하십시오. (이러한 유형의 order relation은 명백한 이유로 dictionary order, 또는 lexicographic order라고 불립니다.) 이 ordered set은 least-upper-bound property를 가집니까?

10. \(z = a + bi\), \(w = u + iv\)라고 가정하고, 다음을 둡니다.

    \[a = \left( \frac{ \vert w \vert + u}{2} \right)^{1/2}, \quad b = \left( \frac{ \vert w \vert - u}{2} \right)^{1/2}.\]

    만약 \(v \ge 0\)이라면 \(z^2 = w\)이고, 만약 \(v \le 0\)이라면 \((\bar{z})^2 = w\)임을 증명하십시오. 모든 complex number(하나의 예외를 제외하고!)가 두 개의 complex square roots를 가짐을 결론지으십시오.

11. 만약 \(z\)가 complex number라면, \(r \ge 0\)과 \(\vert w \vert = 1\)인 complex number \(w\)가 존재하여 \(z = rw\)임을 증명하십시오. \(w\)와 \(r\)은 항상 \(z\)에 의해 uniquely determined됩니까?

12. 만약 \(z_1, \dots, z_n\)이 complex라면, 다음을 증명하십시오.

    \[\vert z_1 + z_2 + \dots + z_n \vert \le \vert z_1 \vert + \vert z_2 \vert + \dots + \vert z_n \vert .\]

13. 만약 \(x, y\)가 complex라면, 다음을 증명하십시오.

    \[\vert \vert x \vert - \vert y \vert \vert \le \vert x - y \vert .\]

14. 만약 \(z\)가 \(\vert z \vert = 1\)인, 즉 \(z\bar{z} = 1\)인 complex number라면, 다음을 계산하십시오.

    \[\vert 1 + z \vert ^2 + \vert 1 - z \vert ^2.\]
15. 어떤 conditions 하에서 Schwarz inequality의 equality가 성립합니까?
16. \(k \ge 3\), \(\mathbf{x}, \mathbf{y} \in R^k\), \(\vert \mathbf{x} - \mathbf{y} \vert = d > 0\), \(r > 0\)이라고 가정합시다. 다음을 증명하십시오: (a) 만약 \(2r > d\)라면, \(\vert \mathbf{z} - \mathbf{x} \vert = \vert \mathbf{z} - \mathbf{y} \vert = r\)을 만족하는 \(\mathbf{z} \in R^k\)가 infinitely many 존재합니다. (b) 만약 \(2r = d\)라면, 그러한 \(\mathbf{z}\)가 정확히 하나 존재합니다. (c) 만약 \(2r < d\)라면, 그러한 \(\mathbf{z}\)는 존재하지 않습니다. 만약 \(k\)가 \(2\) 또는 \(1\)이라면 이 statements는 어떻게 수정되어야 합니까?

17. 만약 \(\mathbf{x} \in R^k\)이고 \(\mathbf{y} \in R^k\)라면, 다음을 증명하십시오.

    \[\vert \mathbf{x} + \mathbf{y} \vert ^2 + \vert \mathbf{x} - \mathbf{y} \vert ^2 = 2 \vert \mathbf{x} \vert ^2 + 2 \vert \mathbf{y} \vert ^2.\]

    이를 parallelograms에 대한 statement로서 기하학적으로 해석하십시오.

18. 만약 \(k \ge 2\)이고 \(\mathbf{x} \in R^k\)라면, \(\mathbf{y} \neq \mathbf{0}\)이지만 \(\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = 0\)인 \(\mathbf{y} \in R^k\)가 존재함을 증명하십시오. 이것이 \(k = 1\)일 때도 참입니까?
19. \(\mathbf{a} \in R^k\), \(\mathbf{b} \in R^k\)라고 가정합시다. \(\vert \mathbf{x} - \mathbf{a} \vert = 2 \vert \mathbf{x} - \mathbf{b} \vert\)일 필요충분조건이 \(\vert \mathbf{x} - \mathbf{c} \vert = r\)이 되도록 하는 \(\mathbf{c} \in R^k\)와 \(r > 0\)을 찾으십시오. (Solution: \(3\mathbf{c} = 4\mathbf{b} - \mathbf{a}\), \(3r = 2 \vert \mathbf{b} - \mathbf{a} \vert\).)
20. Appendix를 참조하여, cut의 정의에서 property (III)이 생략되었다고 가정합시다. order와 addition의 동일한 정의를 유지하십시오. 결과로 나오는 ordered set이 least-upper-bound property를 가지며, addition이 (약간 다른 zero-element와 함께!) axioms (A1)부터 (A4)를 만족하지만 (A5)는 실패함을 보여주십시오.