실해석학 2장

2 BASIC TOPOLOGY

FINITE, COUNTABLE, AND UNCOUNTABLE SETS

우리는 function 개념의 정의와 함께 이 섹션을 시작한다.

2.1 Definition 두 set \(A\)와 \(B\)를 고려하자. 이들의 원소는 어떤 객체든 될 수 있으며, \(A\)의 각 원소 \(x\)에 대해 어떤 방식으로든 \(B\)의 원소가 연관되어 있다고 가정하고, 이를 \(f(x)\)로 표기하자. 이때 \(f\)를 \(A\)에서 \(B\)로의 function(또는 \(A\)에서 \(B\)로의 mapping)이라고 한다. set \(A\)를 \(f\)의 domain이라고 부르며(\(f\)가 \(A\)에 정의되어 있다고도 말한다), 원소 \(f(x)\)를 \(f\)의 values라고 부른다. \(f\)의 모든 values의 set을 \(f\)의 range라고 부른다.

2.2 Definition \(A\)와 \(B\)를 두 set이라 하고, \(f\)를 \(A\)에서 \(B\)로의 mapping이라 하자. 만약 \(E \subset A\)라면, \(f(E)\)는 \(x \in E\)에 대한 모든 원소 \(f(x)\)의 set으로 정의된다. 우리는 \(f(E)\)를 \(f\) 하에서 \(E\)의 image라고 부른다. 이 표기법에서 \(f(A)\)는 \(f\)의 range이다. \(f(A) \subset B\)임은 분명하다. 만약 \(f(A) = B\)라면, 우리는 \(f\)가 \(A\)를 \(B\) 위로 onto 매핑한다고 말한다. (이 용법에 따르면, onto는 into보다 더 구체적임에 유의하라.)

만약 \(E \subset B\)라면, \(f^{-1}(E)\)는 \(f(x) \in E\)를 만족하는 모든 \(x \in A\)의 set을 나타낸다. 우리는 \(f^{-1}(E)\)를 \(f\) 하에서 \(E\)의 inverse image라고 부른다. 만약 \(y \in B\)라면, \(f^{-1}(y)\)는 \(f(x) = y\)를 만족하는 모든 \(x \in A\)의 set이다. 만약 각 \(y \in B\)에 대해 \(f^{-1}(y)\)가 기껏해야 하나의 \(A\) 원소로 구성된다면, \(f\)는 \(A\)에서 \(B\)로의 1-1(one-to-one) mapping이라고 한다. 이는 다음과 같이 표현될 수도 있다: \(x_1 \neq x_2\), \(x_1 \in A\), \(x_2 \in A\)일 때마다 \(f(x_1) \neq f(x_2)\)가 성립하면 \(f\)는 \(A\)에서 \(B\)로의 1-1 mapping이다.

(\(x_1 \neq x_2\) 표기는 \(x_1\)과 \(x_2\)가 서로 다른 원소임을 의미하며, 그렇지 않으면 \(x_1 = x_2\)로 쓴다.)

2.3 Definition 만약 \(A\)에서 \(B\)로의 1-1 mapping이 존재하며 그것이 onto라면, 우리는 \(A\)와 \(B\)가 1-1 correspondence에 놓일 수 있다고 말하거나, \(A\)와 \(B\)가 같은 cardinal number를 가진다고 말하며, 간단히 \(A\)와 \(B\)가 equivalent하다고 말하고 \(A \sim B\)로 쓴다. 이 관계는 분명히 다음 성질들을 가진다:

이것은 reflexive하다: \(A \sim A\). 이것은 symmetric하다: 만약 \(A \sim B\)라면, \(B \sim A\). 이것은 transitive하다: 만약 \(A \sim B\)이고 \(B \sim C\)라면, \(A \sim C\).

이 세 가지 성질을 가진 모든 관계를 equivalence relation이라고 부른다.

2.4 Definition 임의의 양의 정수 \(n\)에 대해, \(J_n\)을 정수 \(1, 2, \dots, n\)을 원소로 가지는 set이라 하자. \(J\)를 모든 양의 정수로 구성된 set이라 하자. 임의의 set \(A\)에 대해, 우리는 다음과 같이 말한다:

• \((a)\) 어떤 \(n\)에 대해 \(A \sim J_n\)이면 \(A\)는 finite하다 (공집합도 finite한 것으로 간주된다).
• \((b)\) \(A\)가 finite하지 않으면 \(A\)는 infinite하다.
• \((c)\) \(A \sim J\)이면 \(A\)는 countable하다.
• \((d)\) \(A\)가 finite하지도 않고 countable하지도 않으면 \(A\)는 uncountable하다.
• \((e)\) \(A\)가 finite하거나 countable하면 \(A\)는 at most countable하다.

Countable set은 때때로 enumerable 또는 denumerable이라고도 불린다. 두 finite set \(A\)와 \(B\)에 대해, \(A\)와 \(B\)가 같은 수의 원소를 포함할 때 그리고 오직 그때에만 \(A \sim B\)가 성립함은 명백하다. 그러나 infinite set의 경우, ‘같은 수의 원소를 가진다’는 개념은 상당히 모호해지는 반면, 1-1 correspondence의 개념은 그 명확성을 유지한다.

2.5 Example \(A\)를 모든 정수의 set이라 하자. 그러면 \(A\)는 countable하다. 이를 위해 set \(A\)와 \(J\)의 다음 배열을 고려해 보자:

\(A: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots\) \(J: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, \dots\)

이 예제에서 우리는 \(J\)에서 \(A\)로의 1-1 correspondence를 설정하는 function \(f\)에 대한 명시적인 공식을 제공할 수도 있다:

\[f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} & (n \text{ even}), \\ -\frac{n-1}{2} & (n \text{ odd}). \end{cases}\]

2.6 Remark finite set은 자신의 proper subset 중 하나와 equivalent할 수 없다. 그러나 이것이 infinite set에 대해서는 가능하다는 것이 Example 2.5에 의해 보여지며, 여기서 \(J\)는 \(A\)의 proper subset이다. 사실, 우리는 Definition 2.4\((b)\)를 다음 문장으로 대체할 수 있다: \(A\)가 자신의 proper subset 중 하나와 equivalent하다면 \(A\)는 infinite하다.

2.7 Definition sequence란 모든 양의 정수의 set \(J\)에 정의된 function \(f\)를 의미한다. 만약 \(n \in J\)에 대해 \(f(n) = x_n\)이라면, sequence \(f\)를 기호 \(\{x_n\}\)으로, 또는 때로는 \(x_1, x_2, x_3, \dots\)로 나타내는 것이 관례이다. \(f\)의 values, 즉 원소 \(x_n\)을 sequence의 terms라고 부른다. 만약 \(A\)가 하나의 set이고 모든 \(n \in J\)에 대해 \(x_n \in A\)라면, \(\{x_n\}\)은 \(A\) 안의 sequence, 또는 \(A\)의 원소들의 sequence라고 한다. sequence의 terms \(x_1, x_2, x_3, \dots\)가 반드시 서로 다를 필요는 없음에 유의하라. 모든 countable set은 \(J\)에 정의된 1-1 function의 range이므로, 우리는 모든 countable set을 서로 다른 terms로 이루어진 sequence의 range로 간주할 수 있다. 더 느슨하게 말하자면, 임의의 countable set의 원소들은 ‘sequence로 배열될’ 수 있다고 말할 수 있다. 때로는 이 정의에서 \(J\)를 모든 음이 아닌 정수의 set으로 대체하는 것, 즉 \(1\) 대신 \(0\)부터 시작하는 것이 편리하다.

2.8 Theorem countable set \(A\)의 모든 infinite subset은 countable하다.

Proof \(E \subset A\)이고, \(E\)가 infinite하다고 가정하자. \(A\)의 원소 \(x\)를 서로 다른 원소들의 sequence \(\{x_n\}\)으로 배열하자. 다음과 같이 sequence \(\{n_k\}\)를 구성한다: \(x_{n_1} \in E\)를 만족하는 가장 작은 양의 정수를 \(n_1\)이라 하자. \(n_1, \dots, n_{k-1}\) (\(k = 2, 3, 4, \dots\))이 선택되었다고 할 때, \(x_{n_k} \in E\)를 만족하는 \(n_{k-1}\)보다 큰 가장 작은 정수를 \(n_k\)라 하자. \(f(k) = x_{n_k}\) (\(k = 1, 2, 3, \dots\))로 두면, 우리는 \(E\)와 \(J\) 사이의 1-1 correspondence를 얻는다. 이 정리는 대략적으로 말해서 countable set이 ‘가장 작은’ 무한대를 나타냄을 보여준다: 어떠한 uncountable set도 countable set의 subset이 될 수 없다.

2.9 Definition \(A\)와 \(\Omega\)를 set이라 하고, \(A\)의 각 원소 \(\alpha\)에 대해 우리가 \(E_\alpha\)로 표기하는 \(\Omega\)의 subset이 연관되어 있다고 가정하자. 원소가 set \(E_\alpha\)인 set은 \(\{E_\alpha\}\)로 표기될 것이다. set들의 set이라고 말하는 대신, 우리는 때때로 set들의 collection, 또는 set들의 family라고 말할 것이다. set \(E_\alpha\)들의 union은 적어도 하나의 \(\alpha \in A\)에 대해 \(x \in E_\alpha\)일 때 그리고 오직 그때에만 \(x \in S\)를 만족하는 set \(S\)로 정의된다. 우리는 다음 표기법을 사용한다:

\[(1) \quad S = \bigcup_{\alpha \in A} E_\alpha.\]

만약 \(A\)가 정수 \(1, 2, \dots, n\)으로 구성되어 있다면, 보통 다음과 같이 쓴다.

\[(2) \quad S = \bigcup_{m=1}^n E_m\]

또는

\[(3) \quad S = E_1 \cup E_2 \cup \cdots \cup E_n.\]

만약 \(A\)가 모든 양의 정수의 set이라면, 일반적인 표기법은 다음과 같다.

\[(4) \quad S = \bigcup_{m=1}^\infty E_m.\]

\((4)\)의 기호 \(\infty\)는 단지 set들의 countable collection의 union이 취해짐을 나타낼 뿐이며, Definition 1.23에서 도입된 기호 \(+\infty, -\infty\)와 혼동되어서는 안 된다. set \(E_\alpha\)들의 intersection은 모든 \(\alpha \in A\)에 대해 \(x \in E_\alpha\)일 때 그리고 오직 그때에만 \(x \in P\)를 만족하는 set \(P\)로 정의된다. 우리는 다음 표기법을 사용한다:

\[(5) \quad P = \bigcap_{\alpha \in A} E_\alpha,\]

또는

\[(6) \quad P = \bigcap_{m=1}^n E_m = E_1 \cap E_2 \cap \cdots \cap E_n,\]

또는

\[(7) \quad P = \bigcap_{m=1}^\infty E_m,\]

union의 경우와 마찬가지이다. 만약 \(A \cap B\)가 공집합이 아니라면, 우리는 \(A\)와 \(B\)가 intersect한다고 말한다; 그렇지 않으면 그것들은 disjoint하다.

2.10 Examples

• \((a)\) \(E_1\)이 \(1, 2, 3\)으로 구성되고 \(E_2\)가 \(2, 3, 4\)로 구성된다고 가정하자. 그러면 \(E_1 \cup E_2\)는 \(1, 2, 3, 4\)로 구성되는 반면, \(E_1 \cap E_2\)는 \(2, 3\)으로 구성된다.
• \((b)\) \(A\)를 \(0 < x \le 1\)을 만족하는 실수 \(x\)의 set이라 하자. 모든 \(x \in A\)에 대해, \(E_x\)를 \(0 < y < x\)를 만족하는 실수 \(y\)의 set이라 하자. 그러면

\((i) \quad 0 < x \le z \le 1\)일 때 그리고 오직 그때에만 \(E_x \subset E_z\); \((ii) \quad \bigcup_{x \in A} E_x = E_1\); \((iii) \quad \bigcap_{x \in A} E_x\)는 공집합이다;

\((i)\)와 \((ii)\)는 명확하다. \((iii)\)을 증명하기 위해, 모든 \(y > 0\)에 대해 \(x < y\)이면 \(y \notin E_x\)임에 주목하자. 따라서 \(y \notin \bigcap_{x \in A} E_x\)이다.

2.11 Remarks union과 intersection의 많은 성질들은 합과 곱의 성질들과 매우 유사하다; 사실, 이와 관련하여 합과 곱이라는 단어가 때때로 사용되었으며, \(\bigcup\)와 \(\bigcap\) 대신 기호 \(\Sigma\)와 \(\Pi\)가 쓰이기도 했다. commutative law와 associative law는 자명하다:

\((8) \quad A \cup B = B \cup A; \quad A \cap B = B \cap A.\) \((9) \quad (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C); \quad (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C).\)

따라서 \((3)\)과 \((6)\)에서 괄호의 생략은 정당화된다. distributive law 또한 성립한다:

\[(10) \quad A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C).\]

이를 증명하기 위해, \((10)\)의 좌변과 우변을 각각 \(E\)와 \(F\)로 표기하자. \(x \in E\)라고 가정하자. 그러면 \(x \in A\)이고 \(x \in B \cup C\)이다, 즉 \(x \in B\) 또는 \(x \in C\)이다(둘 다일 수도 있다). 따라서 \(x \in A \cap B\) 또는 \(x \in A \cap C\)이므로, \(x \in F\)이다. 따라서 \(E \subset F\)이다. 다음으로, \(x \in F\)라고 가정하자. 그러면 \(x \in A \cap B\) 또는 \(x \in A \cap C\)이다. 즉, \(x \in A\)이고 \(x \in B \cup C\)이다. 따라서 \(x \in A \cap (B \cup C)\)이므로, \(F \subset E\)이다. 결과적으로 \(E = F\)이다. 쉽게 검증되는 몇 가지 관계를 더 나열한다:

\((11) \quad A \subset A \cup B,\) \((12) \quad A \cap B \subset A.\)

만약 \(0\)이 공집합을 나타낸다면,

\[(13) \quad A \cup 0 = A, \quad A \cap 0 = 0.\]

만약 \(A \subset B\)라면,

\[(14) \quad A \cup B = B, \quad A \cap B = A.\]

2.12 Theorem \(\{E_n\}\) (\(n = 1, 2, 3, \dots\))을 countable set들의 sequence라 하고, 다음과 같이 두자.

\[(15) \quad S = \bigcup_{n=1}^\infty E_n.\]

그러면 \(S\)는 countable하다.

Proof 모든 set \(E_n\)이 sequence \(\{x_{nk}\}\) (\(k = 1, 2, 3, \dots\))로 배열되었다고 하고, 다음 무한 배열을 고려하자.

\[(16) \quad \begin{matrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & \dots \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & x_{24} & \dots \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & x_{34} & \dots \\ x_{41} & x_{42} & x_{43} & x_{44} & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{matrix}\]

여기서 \(E_n\)의 원소들은 \(n\)번째 행을 형성한다. 이 배열은 \(S\)의 모든 원소를 포함한다. 화살표로 표시된 바와 같이, 이 원소들은 하나의 sequence로 배열될 수 있다.

\[(17) \quad x_{11}; x_{21}, x_{12}; x_{31}, x_{22}, x_{13}; x_{41}, x_{32}, x_{23}, x_{14}; \dots\]

만약 \(E_n\) 중 임의의 두 set이 공통 원소를 가진다면, 이들은 \((17)\)에서 한 번 이상 나타날 것이다. 따라서 \(S \sim T\)를 만족하는 모든 양의 정수들의 set의 subset \(T\)가 존재하며, 이는 \(S\)가 at most countable함을 보여준다(Theorem 2.8). \(E_1 \subset S\)이고 \(E_1\)이 infinite하므로, \(S\)는 infinite하며, 따라서 countable하다.

Corollary \(A\)가 at most countable이고, 모든 \(\alpha \in A\)에 대해 \(B_\alpha\)가 at most countable하다고 가정하자. 다음과 같이 두자.

\[T = \bigcup_{\alpha \in A} B_\alpha.\]

그러면 \(T\)는 at most countable하다. 왜냐하면 \(T\)는 \((15)\)의 subset과 equivalent하기 때문이다.

2.13 Theorem \(A\)를 countable set이라 하고, \(B_n\)을 모든 \(n\)-튜플 \((a_1, \dots, a_n)\)의 set이라 하자. 여기서 \(a_k \in A\) (\(k = 1, \dots, n\))이며, 원소 \(a_1, \dots, a_n\)은 서로 다를 필요가 없다. 그러면 \(B_n\)은 countable하다.

Proof \(B_1 = A\)이므로 \(B_1\)이 countable함은 명백하다. \(B_{n-1}\)이 countable하다고 가정하자 (\(n = 2, 3, 4, \dots\)). \(B_n\)의 원소들은 다음 형태를 띤다.

\[(18) \quad (b, a) \quad (b \in B_{n-1}, a \in A).\]

고정된 모든 \(b\)에 대해, 쌍 \((b, a)\)의 set은 \(A\)와 equivalent하며, 따라서 countable하다. 그러므로 \(B_n\)은 countable set들의 countable set의 union이다. Theorem 2.12에 의해 \(B_n\)은 countable하다. 이 정리는 귀납법에 의해 성립한다.

Corollary 모든 유리수의 set은 countable하다.

Proof 모든 유리수 \(r\)이 \(b/a\) 형태(\(a\)와 \(b\)는 정수)임을 유의하며 \(n = 2\)에 대해 Theorem 2.13을 적용한다. 쌍 \((a, b)\)의 set, 그리고 따라서 분수 \(b/a\)의 set은 countable하다.

사실, 모든 대수적 수의 set조차도 countable하다(Exercise 2 참조). 그러나 모든 infinite set이 countable한 것은 아니라는 점이 다음 정리에 의해 보여진다.

2.14 Theorem \(A\)를 원소가 숫자 \(0\)과 \(1\)인 모든 sequence의 set이라 하자. 이 set \(A\)는 uncountable하다. \(A\)의 원소들은 \(1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, \dots\)와 같은 sequence들이다.

Proof \(E\)를 \(A\)의 countable subset이라 하고, \(E\)가 sequence \(s_1, s_2, s_3, \dots\)로 구성되어 있다고 하자. 우리는 다음과 같이 sequence \(s\)를 구성한다. 만약 \(s_n\)의 \(n\)번째 숫자가 \(1\)이라면, \(s\)의 \(n\)번째 숫자를 \(0\)으로 두고, 그 반대의 경우도 마찬가지로 한다. 그러면 sequence \(s\)는 \(E\)의 모든 멤버와 적어도 한 자리에서 다르다; 따라서 \(s \notin E\)이다. 그러나 분명히 \(s \in A\)이므로, \(E\)는 \(A\)의 proper subset이다. 우리는 \(A\)의 모든 countable subset이 \(A\)의 proper subset임을 보였다. 결과적으로 \(A\)는 uncountable하다(그렇지 않다면 \(A\)가 \(A\)의 proper subset이 될 것인데, 이는 모순이다).

위 증명의 아이디어는 Cantor에 의해 처음 사용되었으며, Cantor의 대각선 논법(diagonal process)이라고 불린다; 왜냐하면 sequence \(s_1, s_2, s_3, \dots\)가 \((16)\)과 같은 배열로 놓일 때, 새로운 sequence의 구성에 관여하는 것이 바로 대각선 상의 원소들이기 때문이다. 실수의 이진 표현(\(10\)진법 대신 \(2\)진법)에 익숙한 독자들은 Theorem 2.14가 모든 실수의 set이 uncountable함을 암시한다는 것을 알아차릴 것이다. 우리는 Theorem 2.43에서 이 사실에 대한 두 번째 증명을 제공할 것이다.

METRIC SPACES

2.15 Definition 원소들을 points라고 부를 set \(X\)는, \(X\)의 임의의 두 points \(p\)와 \(q\)에 대해 \(p\)에서 \(q\)까지의 distance라고 불리는 실수 \(d(p, q)\)가 연관되어 다음을 만족할 때 metric space라고 한다.

• \((a) \quad p \neq q\)이면 \(d(p, q) > 0\); \(d(p, p) = 0\);
• \((b) \quad d(p, q) = d(q, p)\);
• \((c) \quad\) 임의의 \(r \in X\)에 대해 \(d(p, q) \le d(p, r) + d(r, q)\).

이 세 가지 성질을 가진 모든 function을 distance function, 또는 metric이라고 부른다.

2.16 Examples 우리의 관점에서 metric space의 가장 중요한 예는 유클리드 공간 \(R^k\), 특히 \(R^1\)(실수선)과 \(R^2\)(복소평면)이다; \(R^k\)에서의 distance는 다음과 같이 정의된다.

\[(19) \quad d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \vert \mathbf{x} - \mathbf{y} \vert \quad (\mathbf{x}, \mathbf{y} \in R^k).\]

Theorem 1.37에 의해, Definition 2.15의 조건들은 \((19)\)에 의해 만족된다. metric space \(X\)의 모든 subset \(Y\)가 동일한 distance function을 가지는 그 자체로 하나의 metric space라는 점을 관찰하는 것은 중요하다. 왜냐하면 Definition 2.15의 조건 \((a)\)부터 \((c)\)가 \(p, q, r \in X\)에 대해 성립한다면, \(p, q, r\)이 \(Y\)에 속하도록 제한하더라도 동일하게 성립함이 명백하기 때문이다. 따라서 유클리드 공간의 모든 subset은 metric space이다. 다른 예로는 각각 Chap. 7과 11에서 논의되는 공간 \(\mathscr{C}(K)\)와 \(\mathscr{L}^2(\mu)\)가 있다.

2.17 Definition segment \((a, b)\)란 \(a < x < b\)를 만족하는 모든 실수 \(x\)의 set을 의미한다. interval \([a, b]\)란 \(a \le x \le b\)를 만족하는 모든 실수 \(x\)의 set을 의미한다. 때때로 우리는 ‘반개구간(half-open intervals)’ \([a, b)\)와 \((a, b]\)도 접하게 될 것이다; 첫 번째는 \(a \le x < b\)를 만족하는 모든 \(x\)로 구성되고, 두 번째는 \(a < x \le b\)를 만족하는 모든 \(x\)로 구성된다. \(i = 1, \dots, k\)에 대해 \(a_i < b_i\)일 때, 좌표가 부등식 \(a_i \le x_i \le b_i\) (\(1 \le i \le k\))를 만족하는 \(R^k\)의 모든 points \(\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_k)\)의 set을 \(k\)-cell이라고 부른다. 따라서 \(1\)-cell은 interval이고, \(2\)-cell은 직사각형 등이다. \(\mathbf{x} \in R^k\)이고 \(r > 0\)일 때, \(\mathbf{x}\)를 중심으로 하고 반지름이 \(r\)인 open (또는 closed) ball \(B\)는 \(\vert \mathbf{y} - \mathbf{x} \vert < r\) (또는 \(\vert \mathbf{y} - \mathbf{x} \vert \le r\))을 만족하는 모든 \(\mathbf{y} \in R^k\)의 set으로 정의된다. \(\mathbf{x} \in E\), \(\mathbf{y} \in E\), 그리고 \(0 < \lambda < 1\)일 때마다 \(\lambda \mathbf{x} + (1 - \lambda)\mathbf{y} \in E\)가 성립하면, 우리는 set \(E \subset R^k\)를 convex하다고 부른다. 예를 들어, ball들은 convex하다. 왜냐하면 \(\vert \mathbf{y} - \mathbf{x} \vert < r\), \(\vert \mathbf{z} - \mathbf{x} \vert < r\), 그리고 \(0 < \lambda < 1\)일 때, 다음을 얻기 때문이다.

\(\vert \lambda \mathbf{y} + (1 - \lambda)\mathbf{z} - \mathbf{x} \vert = \vert \lambda(\mathbf{y} - \mathbf{x}) + (1 - \lambda)(\mathbf{z} - \mathbf{x}) \vert\) \(\le \lambda \vert \mathbf{y} - \mathbf{x} \vert + (1 - \lambda) \vert \mathbf{z} - \mathbf{x} \vert < \lambda r + (1 - \lambda)r\) \(= r.\)

동일한 증명이 closed ball에도 적용된다. \(k\)-cell들이 convex하다는 것도 쉽게 알 수 있다.

2.18 Definition \(X\)를 metric space라 하자. 아래에 언급된 모든 points와 set들은 \(X\)의 원소 및 subset으로 이해된다.

• \((a)\) \(p\)의 neighborhood는 어떤 \(r > 0\)에 대해 \(d(p, q) < r\)을 만족하는 모든 \(q\)로 구성된 set \(N_r(p)\)이다. 숫자 \(r\)을 \(N_r(p)\)의 radius라고 부른다.
• \((b)\) \(p\)의 모든 neighborhood가 \(q \in E\)를 만족하는 \(q \neq p\)인 point \(q\)를 포함한다면, point \(p\)는 set \(E\)의 limit point이다.
• \((c)\) \(p \in E\)이고 \(p\)가 \(E\)의 limit point가 아니라면, \(p\)는 \(E\)의 isolated point라고 불린다.
• \((d)\) \(E\)의 모든 limit point가 \(E\)의 point라면 \(E\)는 closed이다.
• \((e)\) \(N \subset E\)를 만족하는 \(p\)의 neighborhood \(N\)이 존재한다면, point \(p\)는 \(E\)의 interior point이다.
• \((f)\) \(E\)의 모든 point가 \(E\)의 interior point라면 \(E\)는 open이다.
• \((g)\) \(E\)의 complement(\(E^c\)로 표기됨)는 \(p \notin E\)를 만족하는 모든 points \(p \in X\)의 set이다.
• \((h)\) \(E\)가 closed이고 \(E\)의 모든 point가 \(E\)의 limit point라면 \(E\)는 perfect이다.
• \((i)\) 모든 \(p \in E\)에 대해 \(d(p, q) < M\)을 만족하는 실수 \(M\)과 point \(q \in X\)가 존재한다면 \(E\)는 bounded이다.
• \((j)\) \(X\)의 모든 point가 \(E\)의 limit point이거나 \(E\)의 point(또는 둘 다)라면 \(E\)는 \(X\)에서 dense하다.

\(R^1\)에서 neighborhood는 segment인 반면, \(R^2\)에서 neighborhood는 원의 내부라는 점에 유의하자.

2.19 Theorem 모든 neighborhood는 open set이다.

Proof neighborhood \(E = N_r(p)\)를 고려하고, \(q\)를 \(E\)의 임의의 point라 하자. 그러면 \(d(p, q) = r - h\)를 만족하는 양의 실수 \(h\)가 존재한다. \(d(q, s) < h\)를 만족하는 모든 points \(s\)에 대해, 우리는 다음을 얻는다.

\[d(p, s) \le d(p, q) + d(q, s) < r - h + h = r,\]

따라서 \(s \in E\)이다. 그러므로 \(q\)는 \(E\)의 interior point이다.

2.20 Theorem \(p\)가 set \(E\)의 limit point라면, \(p\)의 모든 neighborhood는 무한히 많은 \(E\)의 points를 포함한다.

Proof \(E\)의 points를 유한 개만 포함하는 \(p\)의 neighborhood \(N\)이 존재한다고 가정하자. \(p\)와 다른 \(N \cap E\)의 points를 \(q_1, \dots, q_n\)이라 하고, 다음과 같이 두자.

\[r = \min_{1 \le m \le n} d(p, q_m)\]

[우리는 이 표기법을 숫자 \(d(p, q_1), \dots, d(p, q_n)\) 중 가장 작은 것을 나타내기 위해 사용한다]. 양수들의 finite set의 최솟값은 분명히 양수이므로, \(r > 0\)이다. neighborhood \(N_r(p)\)는 \(q \neq p\)인 \(E\)의 어떠한 point \(q\)도 포함하지 않으므로, \(p\)는 \(E\)의 limit point가 아니다. 이 모순이 정리를 확립한다.

Corollary finite point set은 limit point를 가지지 않는다.

2.21 Examples \(R^2\)의 다음 subset들을 고려해 보자:

• \((a)\) \(\vert z \vert < 1\)을 만족하는 모든 복소수 \(z\)의 set.
• \((b)\) \(\vert z \vert \le 1\)을 만족하는 모든 복소수 \(z\)의 set.
• \((c)\) 공집합이 아닌 finite set.
• \((d)\) 모든 정수의 set.
• \((e)\) 숫자 \(1/n\) (\(n = 1, 2, 3, \dots\))으로 구성된 set. 이 set \(E\)는 limit point(즉, \(z = 0\))를 가지지만 \(E\)의 어떤 point도 \(E\)의 limit point가 아님에 유의하자; 우리는 limit point를 가지는 것과 그것을 포함하는 것 사이의 차이를 강조하고자 한다.
• \((f)\) 모든 복소수의 set(즉, \(R^2\)).
• \((g)\) segment \((a, b)\).

\((d), (e), (g)\)는 \(R^1\)의 subset으로도 간주될 수 있음에 유의하자. 이 set들의 몇 가지 성질이 아래에 표로 정리되어 있다:

\((g)\)에서 우리는 두 번째 항목을 비워 두었다. 그 이유는 segment \((a, b)\)를 \(R^2\)의 subset으로 간주하면 open이 아니지만, \(R^1\)의 open subset이기 때문이다.

2.22 Theorem \(\{E_\alpha\}\)를 set \(E_\alpha\)들의 (finite 또는 infinite) collection이라 하자. 그러면

\[(20) \quad \left(\bigcup_\alpha E_\alpha\right)^c = \bigcap_\alpha (E_\alpha^c).\]

Proof \(A\)와 \(B\)를 \((20)\)의 좌변과 우변이라 하자. 만약 \(x \in A\)라면, \(x \notin \bigcup_\alpha E_\alpha\)이고, 따라서 임의의 \(\alpha\)에 대해 \(x \notin E_\alpha\)이며, 따라서 모든 \(\alpha\)에 대해 \(x \in E_\alpha^c\)이므로, \(x \in \bigcap_\alpha E_\alpha^c\)이다. 그러므로 \(A \subset B\)이다. 역으로, 만약 \(x \in B\)라면, 모든 \(\alpha\)에 대해 \(x \in E_\alpha^c\)이고, 따라서 임의의 \(\alpha\)에 대해 \(x \notin E_\alpha\)이며, 따라서 \(x \notin \bigcup_\alpha E_\alpha\)이므로, \(x \in \left(\bigcup_\alpha E_\alpha\right)^c\)이다. 그러므로 \(B \subset A\)이다. 결과적으로 \(A = B\)이다.

2.23 Theorem set \(E\)가 open일 필요충분조건은 그것의 complement가 closed인 것이다.

Proof 먼저, \(E^c\)가 closed라고 가정하자. \(x \in E\)를 선택하자. 그러면 \(x \notin E^c\)이고, \(x\)는 \(E^c\)의 limit point가 아니다. 따라서 \(E^c \cap N\)이 공집합이 되는, 즉 \(N \subset E\)를 만족하는 \(x\)의 neighborhood \(N\)이 존재한다. 그러므로 \(x\)는 \(E\)의 interior point이고, \(E\)는 open이다. 다음으로, \(E\)가 open이라고 가정하자. \(x\)를 \(E^c\)의 limit point라 하자. 그러면 \(x\)의 모든 neighborhood는 \(E^c\)의 point를 포함하므로, \(x\)는 \(E\)의 interior point가 아니다. \(E\)가 open이므로, 이는 \(x \in E^c\)임을 의미한다. 결과적으로 \(E^c\)는 closed이다.

Corollary set \(F\)가 closed일 필요충분조건은 그것의 complement가 open인 것이다.

2.24 Theorem

• \((a)\) open set들의 임의의 collection \(\{G_\alpha\}\)에 대해, \(\bigcup_\alpha G_\alpha\)는 open이다.
• \((b)\) closed set들의 임의의 collection \(\{F_\alpha\}\)에 대해, \(\bigcap_\alpha F_\alpha\)는 closed이다.
• \((c)\) open set들의 임의의 finite collection \(G_1, \dots, G_n\)에 대해, \(\bigcap_{i=1}^n G_i\)는 open이다.
• \((d)\) closed set들의 임의의 finite collection \(F_1, \dots, F_n\)에 대해, \(\bigcup_{i=1}^n F_i\)는 closed이다.

Proof \(G = \bigcup_\alpha G_\alpha\)라 두자. 만약 \(x \in G\)라면, 어떤 \(\alpha\)에 대해 \(x \in G_\alpha\)이다. \(x\)가 \(G_\alpha\)의 interior point이므로, \(x\)는 \(G\)의 interior point이기도 하며, \(G\)는 open이다. 이것이 \((a)\)를 증명한다. Theorem 2.22에 의해,

\[(21) \quad \left(\bigcap_\alpha F_\alpha\right)^c = \bigcup_\alpha (F_\alpha^c),\]

그리고 Theorem 2.23에 의해 \(F_\alpha^c\)는 open이다. 따라서 \((a)\)는 \((21)\)이 open임을 암시하므로 \(\bigcap_\alpha F_\alpha\)는 closed이다. 다음으로, \(H = \bigcap_{i=1}^n G_i\)라 두자. 임의의 \(x \in H\)에 대해, \(N_i \subset G_i\) (\(i = 1, \dots, n\))를 만족하는 반지름 \(r_i\)인 \(x\)의 neighborhood \(N_i\)가 존재한다. 다음과 같이 두자.

\[r = \min (r_1, \dots, r_n),\]

그리고 \(N\)을 반지름이 \(r\)인 \(x\)의 neighborhood라 하자. 그러면 \(i = 1, \dots, n\)에 대해 \(N \subset G_i\)이므로, \(N \subset H\)이고 \(H\)는 open이다. complement를 취함으로써, \((c)\)로부터 \((d)\)가 도출된다:

\[\left(\bigcup_{i=1}^n F_i\right)^c = \bigcap_{i=1}^n (F_i^c).\]

2.25 Examples 앞선 정리의 \((c)\)와 \((d)\) 부분에서, collection의 유한성은 필수적이다. 왜냐하면 \(G_n\)을 segment \(\left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)\) (\(n = 1, 2, 3, \dots\))이라 하자. 그러면 \(G_n\)은 \(R^1\)의 open subset이다. \(G = \bigcap_{n=1}^\infty G_n\)이라 두자. 그러면 \(G\)는 단일 point(즉, \(x = 0\))로 구성되며 따라서 \(R^1\)의 open subset이 아니다. 따라서 open set들의 infinite collection의 intersection은 반드시 open일 필요는 없다. 유사하게, closed set들의 infinite collection의 union은 반드시 closed일 필요는 없다.

2.26 Definition \(X\)가 metric space이고, \(E \subset X\)이며, \(E'\)가 \(X\)에서 \(E\)의 모든 limit point들의 set을 나타낸다면, \(E\)의 closure는 set \(\bar{E} = E \cup E'\)이다.

2.27 Theorem \(X\)가 metric space이고 \(E \subset X\)라면,

• \((a)\) \(\bar{E}\)는 closed이다,
• \((b)\) \(E = \bar{E}\)일 필요충분조건은 \(E\)가 closed인 것이다,
• \((c)\) \(E \subset F\)를 만족하는 모든 closed set \(F \subset X\)에 대해 \(\bar{E} \subset F\)이다.

\((a)\)와 \((c)\)에 의해, \(\bar{E}\)는 \(E\)를 포함하는 \(X\)의 가장 작은 closed subset이다.

Proof

• \((a)\) 만약 \(p \in X\)이고 \(p \notin \bar{E}\)라면 \(p\)는 \(E\)의 point도 아니고 \(E\)의 limit point도 아니다. 따라서 \(p\)는 \(E\)와 intersect하지 않는 neighborhood를 가진다. 그러므로 \(\bar{E}\)의 complement는 open이다. 따라서 \(\bar{E}\)는 closed이다.
• \((b)\) 만약 \(E = \bar{E}\)라면, \((a)\)는 \(E\)가 closed임을 암시한다. 만약 \(E\)가 closed라면, \(E' \subset E\)이고 [Definitions 2.18\((d)\)와 2.26에 의해], 따라서 \(\bar{E} = E\)이다.
• \((c)\) 만약 \(F\)가 closed이고 \(F \supset E\)라면, \(F \supset F'\)이고, 따라서 \(F \supset E'\)이다. 그러므로 \(F \supset \bar{E}\)이다.

2.28 Theorem \(E\)를 위로 bounded인 공집합이 아닌 실수의 set이라 하자. \(y = \sup E\)라 하자. 그러면 \(y \in \bar{E}\)이다. 따라서 \(E\)가 closed라면 \(y \in E\)이다.

이것을 Sec. 1.9의 예제들과 비교해 보라.

Proof 만약 \(y \in E\)라면 \(y \in \bar{E}\)이다. \(y \notin E\)라고 가정하자. 그러면 모든 \(h > 0\)에 대해 \(y - h < x < y\)를 만족하는 point \(x \in E\)가 존재하는데, 그렇지 않으면 \(y - h\)가 \(E\)의 상계가 될 것이기 때문이다. 따라서 \(y\)는 \(E\)의 limit point이다. 그러므로 \(y \in \bar{E}\)이다.

2.29 Remark \(E \subset Y \subset X\)라고 가정하자, 여기서 \(X\)는 metric space이다. \(E\)가 \(X\)의 open subset이라고 말하는 것은 각 point \(p \in E\)에 대해 조건 \(d(p, q) < r\), \(q \in X\)가 \(q \in E\)를 암시하도록 하는 양수 \(r\)이 연관되어 있음을 의미한다. 그러나 우리는 이미 \(Y\) 또한 metric space임을 관찰했으므로(Sec. 2.16), 우리의 정의들은 \(Y\) 내에서도 동일하게 잘 만들어질 수 있다. 아주 명확히 하자면, 각 \(p \in E\)에 대해 \(d(p, q) < r\)이고 \(q \in Y\)일 때마다 \(q \in E\)가 되도록 하는 \(r > 0\)이 연관되어 있다면, \(E\)가 \(Y\)에 대해 상대적으로 open(open relative to \(Y\))이라고 말하자. Example 2.21\((g)\)는 어떤 set이 \(X\)의 open subset이 아니면서도 \(Y\)에 대해 상대적으로 open일 수 있음을 보여주었다. 그러나 이 개념들 사이에는 간단한 관계가 있으며, 이를 이제 서술한다.

2.30 Theorem \(Y \subset X\)라고 가정하자. \(Y\)의 subset \(E\)가 \(Y\)에 대해 상대적으로 open일 필요충분조건은 \(X\)의 어떤 open subset \(G\)에 대해 \(E = Y \cap G\)인 것이다.

Proof \(E\)가 \(Y\)에 대해 상대적으로 open이라고 가정하자. 각 \(p \in E\)에 대해 조건 \(d(p, q) < r_p\), \(q \in Y\)가 \(q \in E\)를 암시하도록 하는 양수 \(r_p\)가 존재한다. \(V_p\)를 \(d(p, q) < r_p\)를 만족하는 모든 \(q \in X\)의 set이라 하고, 다음과 같이 정의하자.

\[G = \bigcup_{p \in E} V_p.\]

그러면 Theorems 2.19와 2.24에 의해 \(G\)는 \(X\)의 open subset이다. 모든 \(p \in E\)에 대해 \(p \in V_p\)이므로, \(E \subset G \cap Y\)임은 명백하다. 우리의 \(V_p\) 선택에 의해, 모든 \(p \in E\)에 대해 \(V_p \cap Y \subset E\)를 가지므로, \(G \cap Y \subset E\)이다. 따라서 \(E = G \cap Y\)이며, 정리의 절반이 증명되었다. 역으로, 만약 \(G\)가 \(X\)에서 open이고 \(E = G \cap Y\)라면, 모든 \(p \in E\)는 neighborhood \(V_p \subset G\)를 가진다. 그러면 \(V_p \cap Y \subset E\)이므로, \(E\)는 \(Y\)에 대해 상대적으로 open이다.

COMPACT SETS

2.31 Definition metric space \(X\) 안의 set \(E\)의 open cover란 \(E \subset \bigcup_\alpha G_\alpha\)를 만족하는 \(X\)의 open subset들의 collection \(\{G_\alpha\}\)를 의미한다.

2.32 Definition metric space \(X\)의 subset \(K\)는 \(K\)의 모든 open cover가 finite subcover를 포함할 때 compact하다고 한다. 더 명시적으로, 요구사항은 \(\{G_\alpha\}\)가 \(K\)의 open cover라면, 다음을 만족하는 유한 개의 인덱스 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\)이 존재한다는 것이다.

\[K \subset G_{\alpha_1} \cup \cdots \cup G_{\alpha_n}.\]

compactness의 개념은 해석학에서, 특히 연속성(Chap. 4)과 관련하여 매우 중요하다. 모든 finite set이 compact함은 명백하다. \(R^k\)에서 infinite compact set들의 큰 클래스의 존재성은 Theorem 2.41로부터 도출될 것이다. 우리는 앞서(Sec. 2.29에서) \(E \subset Y \subset X\)일 때, \(E\)가 \(X\)에 대해 상대적으로 open이 아니면서 \(Y\)에 대해 상대적으로 open일 수 있음을 관찰했다. 따라서 open이라는 성질은 \(E\)가 임베딩된 공간에 의존한다. closed라는 성질에 대해서도 마찬가지이다. 그러나 compactness는 우리가 이제 보게 될 것처럼 더 잘 작동한다. 다음 정리를 공식화하기 위해, Definition 2.32의 요구사항이 충족된다면 임시로 \(K\)가 \(X\)에 대해 상대적으로 compact하다고 말하자.

2.33 Theorem \(K \subset Y \subset X\)라고 가정하자. 그러면 \(K\)가 \(X\)에 대해 상대적으로 compact일 필요충분조건은 \(K\)가 \(Y\)에 대해 상대적으로 compact인 것이다.

이 정리에 덕분에 우리는 많은 상황에서 임베딩 공간에 전혀 주의를 기울이지 않고 compact set들을 그 자체로 metric space로 간주할 수 있다. 특히, open space나 closed space에 대해 이야기하는 것은 거의 의미가 없지만(모든 metric space \(X\)는 그 자신의 open subset이며, 그 자신의 closed subset이다), compact metric space에 대해 이야기하는 것은 의미가 있다.

Proof \(K\)가 \(X\)에 대해 상대적으로 compact라고 가정하고, \(\{V_\alpha\}\)를 \(K \subset \bigcup_\alpha V_\alpha\)를 만족하는, \(Y\)에 대해 상대적으로 open인 set들의 collection이라 하자. Theorem 2.30에 의해, 모든 \(\alpha\)에 대해 \(V_\alpha = Y \cap G_\alpha\)를 만족하는, \(X\)에 대해 상대적으로 open인 set \(G_\alpha\)들이 존재한다; 그리고 \(K\)가 \(X\)에 대해 상대적으로 compact이므로, 우리는 다음을 얻는다.

\[(22) \quad K \subset G_{\alpha_1} \cup \cdots \cup G_{\alpha_n}\]

유한 개의 인덱스 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\)의 어떤 선택에 대해. \(K \subset Y\)이므로, \((22)\)는 다음을 암시한다.

\[(23) \quad K \subset V_{\alpha_1} \cup \cdots \cup V_{\alpha_n}.\]

이것은 \(K\)가 \(Y\)에 대해 상대적으로 compact임을 증명한다. 역으로, \(K\)가 \(Y\)에 대해 상대적으로 compact라고 가정하고, \(\{G_\alpha\}\)를 \(K\)를 덮는 \(X\)의 open subset들의 collection이라 하며, \(V_\alpha = Y \cap G_\alpha\)라 두자. 그러면 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\)의 어떤 선택에 대해 \((23)\)이 성립할 것이다; 그리고 \(V_\alpha \subset G_\alpha\)이므로, \((23)\)은 \((22)\)를 암시한다. 이것으로 증명이 완료된다.

2.34 Theorem metric space의 compact subset들은 closed이다.

Proof \(K\)를 metric space \(X\)의 compact subset이라 하자. 우리는 \(K\)의 complement가 \(X\)의 open subset임을 증명할 것이다. \(p \in X\), \(p \notin K\)라고 가정하자. 만약 \(q \in K\)라면, \(V_q\)와 \(W_q\)를 각각 반지름이 \(\frac{1}{2}d(p, q)\)보다 작은 \(p\)와 \(q\)의 neighborhood라 하자 [Definition 2.18\((a)\) 참조]. \(K\)가 compact이므로, 다음을 만족하는 유한 개의 points \(q_1, \dots, q_n\)이 \(K\) 안에 존재한다.

\[K \subset W_{q_1} \cup \cdots \cup W_{q_n} = W.\]

만약 \(V = V_{q_1} \cap \cdots \cap V_{q_n}\)이라면, \(V\)는 \(W\)와 intersect하지 않는 \(p\)의 neighborhood이다. 따라서 \(V \subset K^c\)이므로, \(p\)는 \(K^c\)의 interior point이다. 정리가 도출된다.

2.35 Theorem compact set의 closed subset들은 compact이다.

Proof \(F \subset K \subset X\)이고, \(F\)가 (\(X\)에 대해 상대적으로) closed이며, \(K\)가 compact라고 가정하자. \(\{V_\alpha\}\)를 \(F\)의 open cover라 하자. 만약 \(F^c\)가 \(\{V_\alpha\}\)에 추가된다면, 우리는 \(K\)의 open cover \(\Omega\)를 얻는다. \(K\)가 compact이므로, \(K\)를 덮고 따라서 \(F\)를 덮는 \(\Omega\)의 finite subcollection \(\Phi\)가 존재한다. 만약 \(F^c\)가 \(\Phi\)의 멤버라면, 우리는 그것을 \(\Phi\)에서 제거하더라도 여전히 \(F\)의 open cover를 유지할 수 있다. 따라서 우리는 \(\{V_\alpha\}\)의 finite subcollection이 \(F\)를 덮음을 보였다.

Corollary 만약 \(F\)가 closed이고 \(K\)가 compact라면, \(F \cap K\)는 compact이다.

Proof Theorems 2.24\((b)\)와 2.34는 \(F \cap K\)가 closed임을 보여준다; \(F \cap K \subset K\)이므로, Theorem 2.35는 \(F \cap K\)가 compact임을 보여준다.

2.36 Theorem \(\{K_\alpha\}\)가 metric space \(X\)의 compact subset들의 collection이고, \(\{K_\alpha\}\)의 모든 finite subcollection의 intersection이 공집합이 아니라면, \(\bigcap K_\alpha\)는 공집합이 아니다.

Proof \(\{K_\alpha\}\)의 멤버 \(K_1\)을 고정하고 \(G_\alpha = K_\alpha^c\)라 두자. \(K_1\)의 어떤 point도 모든 \(K_\alpha\)에 속하지 않는다고 가정하자. 그러면 set \(G_\alpha\)들은 \(K_1\)의 open cover를 형성한다; 그리고 \(K_1\)이 compact이므로, \(K_1 \subset G_{\alpha_1} \cup \cdots \cup G_{\alpha_n}\)을 만족하는 유한 개의 인덱스 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\)이 존재한다. 그러나 이것은

\[K_1 \cap K_{\alpha_1} \cap \cdots \cap K_{\alpha_n}\]

이 공집합임을 의미하며, 이는 우리의 가설에 모순된다.

Corollary \(\{K_n\}\)이 \(K_n \supset K_{n+1}\) (\(n = 1, 2, 3, \dots\))을 만족하는 공집합이 아닌 compact set들의 sequence라면, \(\bigcap_1^\infty K_n\)은 공집합이 아니다.

2.37 Theorem \(E\)가 compact set \(K\)의 infinite subset이라면, \(E\)는 \(K\) 안에 limit point를 가진다.

Proof 만약 \(K\)의 어떤 point도 \(E\)의 limit point가 아니라면, 각 \(q \in K\)는 기껏해야 하나의 \(E\)의 point(즉, \(q \in E\)라면 \(q\))를 포함하는 neighborhood \(V_q\)를 가질 것이다. \(\{V_q\}\)의 어떠한 finite subcollection도 \(E\)를 덮을 수 없음은 명백하다; 그리고 \(E \subset K\)이므로 \(K\)에 대해서도 마찬가지이다. 이는 \(K\)의 compactness에 모순된다.

2.38 Theorem \(\{I_n\}\)이 \(I_n \supset I_{n+1}\) (\(n = 1, 2, 3, \dots\))을 만족하는 \(R^1\) 안의 interval들의 sequence라면, \(\bigcap_1^\infty I_n\)은 공집합이 아니다.

Proof \(I_n = [a_n, b_n]\)이라면, \(E\)를 모든 \(a_n\)의 set이라 하자. 그러면 \(E\)는 공집합이 아니고 위로 bounded이다(\(b_1\)에 의해). \(x\)를 \(E\)의 \(\sup\)이라 하자. 만약 \(m\)과 \(n\)이 양의 정수라면, 다음이 성립한다.

\[a_n \le a_{m+n} \le b_{m+n} \le b_m,\]

따라서 각 \(m\)에 대해 \(x \le b_m\)이다. \(a_m \le x\)임은 명백하므로, 우리는 \(m = 1, 2, 3, \dots\)에 대해 \(x \in I_m\)임을 알 수 있다.

2.39 Theorem \(k\)를 양의 정수라 하자. \(\{I_n\}\)이 \(I_n \supset I_{n+1}\) (\(n = 1, 2, 3, \dots\))을 만족하는 \(k\)-cell들의 sequence라면, \(\bigcap_1^\infty I_n\)은 공집합이 아니다.

Proof \(I_n\)이 다음을 만족하는 모든 points \(\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_k)\)로 구성된다고 하자.

\[a_{n,j} \le x_j \le b_{n,j} \quad (1 \le j \le k; n = 1, 2, 3, \dots),\]

그리고 \(I_{n,j} = [a_{n,j}, b_{n,j}]\)라 두자. 각 \(j\)에 대해, sequence \(\{I_{n,j}\}\)는 Theorem 2.38의 가설들을 만족한다. 따라서 다음을 만족하는 실수 \(x_j^*\) (\(1 \le j \le k\))가 존재한다.

\[a_{n,j} \le x_j^* \le b_{n,j} \quad (1 \le j \le k; n = 1, 2, 3, \dots).\]

\(\mathbf{x}^* = (x_1^*, \dots, x_k^*)\)로 설정하면, 우리는 \(n = 1, 2, 3, \dots\)에 대해 \(\mathbf{x}^* \in I_n\)임을 알 수 있다. 정리가 도출된다.

2.40 Theorem 모든 \(k\)-cell은 compact이다.

Proof \(I\)를 \(a_j \le x_j \le b_j\) (\(1 \le j \le k\))를 만족하는 모든 points \(\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_k)\)로 구성된 \(k\)-cell이라 하자. 다음과 같이 두자.

\[\delta = \left\{ \sum_1^k (b_j - a_j)^2 \right\}^{1/2}.\]

그러면 \(\mathbf{x} \in I, \mathbf{y} \in I\)일 때 \(\vert \mathbf{x} - \mathbf{y} \vert \le \delta\)이다. 모순을 이끌어내기 위해, \(I\)의 finite subcover를 포함하지 않는 \(I\)의 open cover \(\{G_\alpha\}\)가 존재한다고 가정하자. \(c_j = (a_j + b_j)/2\)라 두자. 그러면 interval \([a_j, c_j]\)와 \([c_j, b_j]\)는 그들의 union이 \(I\)인 \(2^k\)개의 \(k\)-cell \(Q_i\)를 결정한다. 이 set \(Q_i\) 중 적어도 하나, 이를 \(I_1\)이라 부르자, 는 \(\{G_\alpha\}\)의 어떠한 finite subcollection으로도 덮일 수 없다(그렇지 않다면 \(I\)가 그렇게 덮일 수 있을 것이다). 우리는 다음으로 \(I_1\)을 세분화하고 이 과정을 계속한다. 우리는 다음 성질들을 가진 sequence \(\{I_n\}\)을 얻는다:

• \((a) \quad I \supset I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots;\).
• \((b) \quad I_n\)은 \(\{G_\alpha\}\)의 어떠한 finite subcollection으로도 덮이지 않는다;
• \((c) \quad \mathbf{x} \in I_n\)이고 \(\mathbf{y} \in I_n\)이면, \(\vert \mathbf{x} - \mathbf{y} \vert \le 2^{-n}\delta\)이다.

\((a)\)와 Theorem 2.39에 의해, 모든 \(I_n\)에 놓여 있는 point \(\mathbf{x}^*\)가 존재한다. 어떤 \(\alpha\)에 대해, \(\mathbf{x}^* \in G_\alpha\)이다. \(G_\alpha\)가 open이므로, \(\vert \mathbf{y} - \mathbf{x}^* \vert < r\)이 \(\mathbf{y} \in G_\alpha\)를 암시하도록 하는 \(r > 0\)이 존재한다. 만약 \(n\)이 충분히 커서 \(2^{-n}\delta < r\)이라면(그러한 \(n\)이 존재하는데, 그렇지 않다면 모든 양의 정수 \(n\)에 대해 \(2^n \le \delta/r\)이 될 것이며, 이는 \(R\)이 아르키메데스 성질을 가지므로 모순이다), \((c)\)는 \(I_n \subset G_\alpha\)를 암시하며, 이는 \((b)\)에 모순된다. 이것으로 증명이 완료된다.

다음 정리에서 \((a)\)와 \((b)\)의 동치성은 하이네-보렐(Heine-Borel) 정리로 알려져 있다.

2.41 Theorem \(R^k\) 안의 set \(E\)가 다음 세 가지 성질 중 하나를 가진다면, 나머지 두 가지도 가진다:

• \((a) \quad E\)는 closed이고 bounded이다.
• \((b) \quad E\)는 compact이다.
• \((c) \quad E\)의 모든 infinite subset은 \(E\) 안에 limit point를 가진다.

Proof 만약 \((a)\)가 성립한다면, 어떤 \(k\)-cell \(I\)에 대해 \(E \subset I\)이고, \((b)\)는 Theorems 2.40과 2.35로부터 도출된다. Theorem 2.37은 \((b)\)가 \((c)\)를 암시함을 보여준다. \((c)\)가 \((a)\)를 암시함을 보이는 것이 남아있다. 만약 \(E\)가 bounded가 아니라면, \(E\)는 다음을 만족하는 points \(\mathbf{x}_n\)을 포함한다.

\[\vert \mathbf{x}_n \vert > n \quad (n = 1, 2, 3, \dots).\]

이 points \(\mathbf{x}_n\)으로 구성된 set \(S\)는 infinite하며 분명히 \(R^k\) 안에 limit point를 가지지 않으므로, \(E\) 안에도 가지지 않는다. 따라서 \((c)\)는 \(E\)가 bounded임을 암시한다. 만약 \(E\)가 closed가 아니라면, \(E\)의 limit point이지만 \(E\)의 point는 아닌 point \(\mathbf{x}_0 \in R^k\)가 존재한다. \(n = 1, 2, 3, \dots\)에 대해, \(\vert \mathbf{x}_n - \mathbf{x}_0 \vert < 1/n\)을 만족하는 points \(\mathbf{x}_n \in E\)가 존재한다. \(S\)를 이 points \(\mathbf{x}_n\)의 set이라 하자. 그러면 \(S\)는 infinite하고(그렇지 않다면 무한히 많은 \(n\)에 대해 \(\vert \mathbf{x}_n - \mathbf{x}_0 \vert\)가 일정한 양수 값을 가질 것이다), \(S\)는 \(\mathbf{x}_0\)를 limit point로 가지며, \(S\)는 \(R^k\) 안에 다른 어떤 limit point도 가지지 않는다. 왜냐하면 만약 \(\mathbf{y} \in R^k\), \(\mathbf{y} \neq \mathbf{x}_0\)라면, 다음이 성립하기 때문이다.

\(\vert \mathbf{x}_n - \mathbf{y} \vert \ge \vert \mathbf{x}_0 - \mathbf{y} \vert - \vert \mathbf{x}_n - \mathbf{x}_0 \vert\) \(\ge \vert \mathbf{x}_0 - \mathbf{y} \vert - \frac{1}{n} \ge \frac{1}{2} \vert \mathbf{x}_0 - \mathbf{y} \vert\)

유한 개의 \(n\)을 제외한 모든 \(n\)에 대해; 이는 \(\mathbf{y}\)가 \(S\)의 limit point가 아님을 보여준다(Theorem 2.20). 따라서 \(S\)는 \(E\) 안에 limit point를 가지지 않는다; 그러므로 \((c)\)가 성립한다면 \(E\)는 반드시 closed이어야 한다.

이 시점에서 우리는 \((b)\)와 \((c)\)가 임의의 metric space에서 동치이지만(Exercise 26), \((a)\)가 일반적으로 \((b)\)와 \((c)\)를 암시하지는 않는다는 점을 언급해야 한다. 예제들은 Exercise 16과 Chap. 11에서 논의되는 공간 \(\mathscr{L}^2\)에 의해 제공된다.

2.42 Theorem (Weierstrass) \(R^k\)의 모든 bounded infinite subset은 \(R^k\) 안에 limit point를 가진다.

Proof bounded이므로, 문제의 set \(E\)는 \(k\)-cell \(I \subset R^k\)의 subset이다. Theorem 2.40에 의해 \(I\)는 compact이고, 따라서 Theorem 2.37에 의해 \(E\)는 \(I\) 안에 limit point를 가진다.

PERFECT SETS

2.43 Theorem \(P\)를 \(R^k\) 안의 공집합이 아닌 perfect set이라 하자. 그러면 \(P\)는 uncountable하다.

Proof \(P\)가 limit point들을 가지므로, \(P\)는 반드시 infinite이어야 한다. \(P\)가 countable이라고 가정하고, \(P\)의 points를 \(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3, \dots\)로 나타내자. 우리는 다음과 같이 neighborhood들의 sequence \(\{V_n\}\)을 구성할 것이다. \(V_1\)을 \(\mathbf{x}_1\)의 임의의 neighborhood라 하자. 만약 \(V_1\)이 \(\vert \mathbf{y} - \mathbf{x}_1 \vert < r\)을 만족하는 모든 \(\mathbf{y} \in R^k\)로 구성된다면, \(V_1\)의 closure \(\bar{V}_1\)은 \(\vert \mathbf{y} - \mathbf{x}_1 \vert \le r\)을 만족하는 모든 \(\mathbf{y} \in R^k\)의 set이다. \(V_n \cap P\)가 공집합이 아니도록 \(V_n\)이 구성되었다고 가정하자. \(P\)의 모든 point가 \(P\)의 limit point이므로, \((i) \ \bar{V}_{n+1} \subset V_n\), \((ii) \ \mathbf{x}_n \notin \bar{V}_{n+1}\), \((iii) \ V_{n+1} \cap P\)가 공집합이 아님을 만족하는 neighborhood \(V_{n+1}\)이 존재한다. \((iii)\)에 의해, \(V_{n+1}\)은 우리의 귀납법 가설을 만족하며, 구성이 진행될 수 있다. \(K_n = \bar{V}_n \cap P\)라 두자. \(\bar{V}_n\)이 closed이고 bounded이므로, \(\bar{V}_n\)은 compact이다. \(\mathbf{x}_n \notin K_{n+1}\)이므로, \(P\)의 어떤 point도 \(\bigcap_1^\infty K_n\)에 놓이지 않는다. \(K_n \subset P\)이므로, 이는 \(\bigcap_1^\infty K_n\)이 공집합임을 암시한다. 그러나 \((iii)\)에 의해 각 \(K_n\)은 공집합이 아니며, \((i)\)에 의해 \(K_n \supset K_{n+1}\)이다; 이는 Theorem 2.36의 Corollary에 모순된다.

Corollary 모든 interval \([a, b]\) (\(a < b\))는 uncountable하다. 특히, 모든 실수의 set은 uncountable하다.

2.44 The Cantor set 우리가 지금 구성하려는 set은 \(R^1\) 안에 어떠한 segment도 포함하지 않는 perfect set이 존재함을 보여준다. \(E_0\)를 interval \([0, 1]\)이라 하자. segment \((1/3, 2/3)\)을 제거하고, \(E_1\)을 다음 interval들의 union이라 하자.

\[[0, 1/3], \quad [2/3, 1].\]

이 interval들의 중간 3분의 1을 제거하고, \(E_2\)를 다음 interval들의 union이라 하자.

\[[0, 1/9], \quad [2/9, 3/9], \quad [6/9, 7/9], \quad [8/9, 1].\]

이런 방식으로 계속하여, 우리는 다음을 만족하는 compact set들의 sequence \(E_n\)을 얻는다.

• \[(a) \quad E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset \cdots;\]
• \((b) \quad E_n\)은 각각 길이가 \(3^{-n}\)인 \(2^n\)개의 interval들의 union이다.

set

\[P = \bigcap_{n=1}^\infty E_n\]

은 Cantor set이라고 불린다. \(P\)는 분명히 compact하며, Theorem 2.36은 \(P\)가 공집합이 아님을 보여준다. 다음 형태의 어떠한 segment도 \(P\)와 공통인 point를 가지지 않는다.

\[(24) \quad \left( \frac{3k+1}{3^m}, \frac{3k+2}{3^m} \right),\]

여기서 \(k\)와 \(m\)은 양의 정수이다. 모든 segment \((\alpha, \beta)\)는 만약

\[3^{-m} < \frac{\beta - \alpha}{6}\]

이라면 \((24)\) 형태의 segment를 포함하므로, \(P\)는 어떠한 segment도 포함하지 않는다. \(P\)가 perfect임을 보이기 위해서는, \(P\)가 어떠한 isolated point도 포함하지 않음을 보이는 것으로 충분하다. \(x \in P\)라 하고, \(S\)를 \(x\)를 포함하는 임의의 segment라 하자. \(I_n\)을 \(x\)를 포함하는 \(E_n\)의 그 interval이라 하자. \(I_n \subset S\)가 되도록 \(n\)을 충분히 크게 선택하자. \(x_n \neq x\)가 되도록 \(I_n\)의 끝점을 \(x_n\)이라 하자. \(P\)의 구성으로부터 \(x_n \in P\)임이 도출된다. 따라서 \(x\)는 \(P\)의 limit point이고, \(P\)는 perfect이다. Cantor set의 가장 흥미로운 성질 중 하나는 그것이 측도가 0인 uncountable set의 예를 우리에게 제공한다는 것이다(측도의 개념은 Chap. 11에서 논의될 것이다).

CONNECTED SETS

2.45 Definition metric space \(X\)의 두 subset \(A\)와 \(B\)는 \(A \cap \bar{B}\)와 \(\bar{A} \cap B\)가 모두 공집합일 때, 즉 \(A\)의 어떤 point도 \(B\)의 closure에 놓이지 않고 \(B\)의 어떤 point도 \(A\)의 closure에 놓이지 않을 때 separated라고 한다. set \(E \subset X\)는 \(E\)가 공집합이 아닌 두 separated set의 union이 아닐 때 connected라고 한다.

2.46 Remark separated set들은 당연히 disjoint하지만, disjoint set들이 반드시 separated인 것은 아니다. 예를 들어, interval \([0, 1]\)과 segment \((1, 2)\)는 separated가 아닌데, 왜냐하면 \(1\)이 \((1, 2)\)의 limit point이기 때문이다. 그러나 segment \((0, 1)\)과 \((1, 2)\)는 separated이다. 선의 connected subset들은 특히 단순한 구조를 가진다:

2.47 Theorem 실수선 \(R^1\)의 subset \(E\)가 connected일 필요충분조건은 그것이 다음 성질을 가지는 것이다: 만약 \(x \in E\), \(y \in E\)이고 \(x < z < y\)라면, \(z \in E\)이다.

Proof 만약 \(x \in E\), \(y \in E\)이고 \(z \notin E\)를 만족하는 어떤 \(z \in (x, y)\)가 존재한다면, \(E = A_z \cup B_z\)이다. 여기서

\[A_z = E \cap (-\infty, z), \quad B_z = E \cap (z, \infty).\]

\(x \in A_z\)이고 \(y \in B_z\)이므로, \(A_z\)와 \(B_z\)는 공집합이 아니다. \(A_z \subset (-\infty, z)\)이고 \(B_z \subset (z, \infty)\)이므로, 이들은 separated이다. 따라서 \(E\)는 connected가 아니다. 역을 증명하기 위해, \(E\)가 connected가 아니라고 가정하자. 그러면 \(A \cup B = E\)를 만족하는 공집합이 아닌 separated set \(A\)와 \(B\)가 존재한다. \(x \in A\), \(y \in B\)를 선택하고, (일반성을 잃지 않고) \(x < y\)라고 가정하자. 다음과 같이 정의하자.

\[z = \sup (A \cap [x, y]).\]

Theorem 2.28에 의해 \(z \in \bar{A}\)이다; 따라서 \(z \notin B\)이다. 특히, \(x \le z < y\)이다. 만약 \(z \notin A\)라면, \(x < z < y\)이고 \(z \notin E\)임이 도출된다. 만약 \(z \in A\)라면, \(z \notin \bar{B}\)이고, 따라서 \(z < z_1 < y\)이고 \(z_1 \notin B\)를 만족하는 \(z_1\)이 존재한다. 그러면 \(x < z_1 < y\)이고 \(z_1 \notin E\)이다.

EXERCISES

1. 공집합이 모든 set의 subset임을 증명하라.
2. 복소수 \(z\)는 모두가 \(0\)은 아닌 정수 \(a_0, \dots, a_n\)이 존재하여 다음을 만족할 때 대수적(algebraic)이라고 한다. \(a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_{n-1} z + a_n = 0.\) 모든 대수적 수의 set이 countable함을 증명하라. Hint: 모든 양의 정수 \(N\)에 대해 다음을 만족하는 방정식은 유한 개만 존재한다. \(n + \vert a_0 \vert + \vert a_1 \vert + \cdots + \vert a_n \vert = N.\)
3. 대수적이 아닌 실수가 존재함을 증명하라.
4. 모든 무리수인 실수의 set은 countable한가?
5. 정확히 세 개의 limit point를 가지는 실수의 bounded set을 구성하라.
6. \(E'\)를 set \(E\)의 모든 limit point들의 set이라 하자. \(E'\)가 closed임을 증명하라. \(E\)와 \(\bar{E}\)가 동일한 limit point들을 가짐을 증명하라. (\(\bar{E} = E \cup E'\)임을 상기하라.) \(E\)와 \(E'\)는 항상 동일한 limit point들을 가지는가?
7. \(A_1, A_2, A_3, \dots\)를 metric space의 subset들이라 하자.
   • \((a)\) 만약 \(B_n = \bigcup_{i=1}^n A_i\)라면, \(n = 1, 2, 3, \dots\)에 대해 \(\bar{B}_n = \bigcup_{i=1}^n \bar{A}_i\)임을 증명하라.
   • \((b)\) 만약 \(B = \bigcup_{i=1}^\infty A_i\)라면, \(\bar{B} \supset \bigcup_{i=1}^\infty \bar{A}_i\)임을 증명하라. 예제를 통해 이 포함 관계가 proper일 수 있음을 보여라.
8. \(R^2\) 안의 모든 open set \(E\)의 모든 point는 \(E\)의 limit point인가? \(R^2\) 안의 closed set들에 대해서도 동일한 질문에 답하라.
9. \(E^\circ\)를 set \(E\)의 모든 interior point들의 set이라 하자. [Definition 2.18\((e)\) 참조; \(E^\circ\)는 \(E\)의 interior라고 불린다.]
   • \((a)\) \(E^\circ\)가 항상 open임을 증명하라.
   • \((b)\) \(E\)가 open일 필요충분조건은 \(E^\circ = E\)인 것임을 증명하라.
   • \((c)\) 만약 \(G \subset E\)이고 \(G\)가 open이라면, \(G \subset E^\circ\)임을 증명하라.
   • \((d)\) \(E^\circ\)의 complement가 \(E\)의 complement의 closure임을 증명하라.
   • \((e)\) \(E\)와 \(\bar{E}\)는 항상 동일한 interior를 가지는가?
   • \((f)\) \(E\)와 \(E^\circ\)는 항상 동일한 closure를 가지는가?
10. \(X\)를 infinite set이라 하자. \(p \in X\)와 \(q \in X\)에 대해, 다음과 같이 정의하자. \(d(p, q) = \begin{cases} 1 & (p \neq q\text{일 때}) \\ 0 & (p = q\text{일 때}). \end{cases}\) 이것이 metric임을 증명하라. 결과로 나오는 metric space의 어떤 subset들이 open인가? 어떤 것들이 closed인가? 어떤 것들이 compact인가?
11. \(x \in R^1\)과 \(y \in R^1\)에 대해, 다음과 같이 정의하자.
    • \(d_1(x, y) = (x - y)^2\).
    • \(d_2(x, y) = \sqrt{ \vert x - y \vert }\).
    • \(d_3(x, y) = \vert x^2 - y^2 \vert\).
    • \(d_4(x, y) = \vert x - 2y \vert\).
    • \(d_5(x, y) = \frac{ \vert x - y \vert }{1 + \vert x - y \vert }\). 이들 각각에 대해, 그것이 metric인지 아닌지 결정하라.
12. \(K \subset R^1\)이 \(0\)과 숫자 \(1/n\) (\(n = 1, 2, 3, \dots\))으로 구성된다고 하자. \(K\)가 compact임을 (하이네-보렐 정리를 사용하지 않고) 정의로부터 직접 증명하라.
13. limit point들이 countable set을 형성하는 실수의 compact set을 구성하라.
14. finite subcover를 가지지 않는 segment \((0, 1)\)의 open cover의 예를 제시하라.
15. ‘compact’라는 단어가 ‘closed’나 ‘bounded’로 대체될 경우 Theorem 2.36과 그 Corollary가 (예를 들어 \(R^1\)에서) 거짓이 됨을 보여라.
16. 모든 유리수의 set \(Q\)를 \(d(p, q) = \vert p - q \vert\)를 가진 metric space로 간주하자. \(E\)를 \(2 < p^2 < 3\)을 만족하는 모든 \(p \in Q\)의 set이라 하자. \(E\)가 \(Q\)에서 closed이고 bounded이지만, \(E\)가 compact는 아님을 보여라. \(E\)는 \(Q\)에서 open인가?
17. \(E\)를 십진 전개가 오직 숫자 \(4\)와 \(7\)만 포함하는 모든 \(x \in [0, 1]\)의 set이라 하자. \(E\)는 countable인가? \(E\)는 \([0, 1]\)에서 dense한가? \(E\)는 compact인가? \(E\)는 perfect인가?
18. \(R^1\) 안에 유리수를 포함하지 않는 공집합이 아닌 perfect set이 존재하는가?
19. • \((a)\) 만약 \(A\)와 \(B\)가 어떤 metric space \(X\) 안의 disjoint closed set들이라면, 그들이 separated임을 증명하라.
    • \((b)\) disjoint open set들에 대해서도 동일하게 증명하라.
    • \((c)\) \(p \in X\), \(\delta > 0\)을 고정하고, \(A\)를 \(d(p, q) < \delta\)인 모든 \(q \in X\)의 set으로 정의하며, \(B\)를 \(<\) 대신 \(>\)를 사용하여 유사하게 정의하자. \(A\)와 \(B\)가 separated임을 증명하라.
    • \((d)\) 적어도 두 개의 points를 가진 모든 connected metric space는 uncountable함을 증명하라. Hint: \((c)\)를 사용하라.
20. connected set들의 closure와 interior는 항상 connected인가? (\(R^2\)의 subset들을 살펴보라.)
21. \(A\)와 \(B\)를 어떤 \(R^k\)의 separated subset들이라 하고, \(\mathbf{a} \in A\), \(\mathbf{b} \in B\)라고 가정하며, \(t \in R^1\)에 대해 다음과 같이 정의하자. \(\mathbf{p}(t) = (1 - t)\mathbf{a} + t\mathbf{b}\) \(A_0 = \mathbf{p}^{-1}(A)\), \(B_0 = \mathbf{p}^{-1}(B)\)라 두자.
    • \((a)\) \(A_0\)와 \(B_0\)가 \(R^1\)의 separated subset들임을 증명하라.
    • \((b)\) \(\mathbf{p}(t_0) \notin A \cup B\)를 만족하는 \(t_0 \in (0, 1)\)이 존재함을 증명하라.
    • \((c)\) \(R^k\)의 모든 convex subset이 connected임을 증명하라.
22. metric space가 countable dense subset을 포함한다면 separable이라고 불린다. \(R^k\)가 separable임을 보여라. Hint: 오직 유리수 좌표만을 가지는 points의 set을 고려하라.
23. \(X\)의 open subset들의 collection \(\{V_\alpha\}\)는 다음이 참일 때 \(X\)의 base라고 불린다: 모든 \(x \in X\)와 \(x \in G\)를 만족하는 모든 open set \(G \subset X\)에 대해, 어떤 \(\alpha\)에 대해 \(x \in V_\alpha \subset G\)이다. 모든 separable metric space가 countable base를 가짐을 증명하라.
24. \(X\)를 모든 infinite subset이 limit point를 가지는 metric space라 하자. \(X\)가 separable임을 증명하라.
25. 모든 compact metric space \(K\)가 countable base를 가지며, 따라서 \(K\)가 separable임을 증명하라.
26. \(X\)를 모든 infinite subset이 limit point를 가지는 metric space라 하자. \(X\)가 compact임을 증명하라.
27. \(p\)를 set \(E \subset X\)의 condensation point로 정의하자. \(E \subset R^k\)이고 \(E\)가 uncountable이라고 가정하며, \(P\)를 \(E\)의 모든 condensation point들의 set이라 하자. \(P\)가 perfect이고 \(P^c \cap E\)가 at most countable임을 보여라.
28. separable metric space 안의 모든 closed set이 perfect set과 at most countable인 set의 union임을 증명하라.
29. \(R^1\) 안의 모든 open set이 disjoint segment들의 at most countable collection의 union임을 증명하라.
30. 만약 \(R^k = \bigcup_1^\infty F_n\)이고 여기서 각 \(F_n\)이 \(R^k\)의 closed subset이라면, 적어도 하나의 \(F_n\)은 공집합이 아닌 interior를 가진다. (베르의 정리)