실해석학 5장

5. DIFFERENTIATION

이 장에서는 (마지막 절을 제외하고) interval 또는 segment에 정의된 real function에 초점을 맞출 것입니다. 이는 단순히 편의의 문제가 아닙니다. real function에서 vector-valued function으로 넘어갈 때 진정한 차이가 나타나기 때문입니다. \(R^k\)에 정의된 function의 differentiation은 9장에서 논의될 것입니다.

REAL FUNCTION의 DERIVATIVE

5.1 Definition \(f\)가 \([a, b]\)에 정의된 (real-valued) function이라고 가정합니다. 임의의 \(x \in [a, b]\)에 대해 다음 quotient를 형성합니다.

(1) \(\phi(t) = \frac{f(t) - f(x)}{t - x} \quad (a < t < b, t \neq x),\)

그리고 다음을 정의합니다.

(2) \(f'(x) = \lim_{t \to x} \phi(t),\)

이 limit가 Definition 4.1에 따라 존재한다고 가정합니다.

따라서 우리는 function \(f\)에 function \(f'\)를 연결합니다. 여기서 \(f'\)의 domain은 limit (2)가 존재하는 point \(x\)의 집합입니다. \(f'\)는 \(f\)의 derivative라고 불립니다.

만약 \(f'\)가 point \(x\)에 정의되어 있다면, 우리는 \(f\)가 \(x\)에서 differentiable이라고 말합니다. 만약 \(f'\)가 집합 \(E = [a, b]\)의 모든 point에 정의되어 있다면, 우리는 \(f\)가 \(E\)에서 differentiable이라고 말합니다.

(2)에서 right-hand limit와 left-hand limit를 고려하는 것이 가능합니다. 이는 right-hand derivative와 left-hand derivative의 정의로 이어집니다. 특히, endpoint \(a\)와 \(b\)에서 derivative가 존재한다면, 각각 right-hand derivative 또는 left-hand derivative입니다. 그러나 우리는 one-sided derivative를 자세히 논의하지 않을 것입니다.

만약 \(f\)가 segment \((a, b)\)에 정의되어 있고 \(a < x < b\)라면, \(f'(x)\)는 위에서 설명한 대로 (1)과 (2)에 의해 정의됩니다. 그러나 이 경우 \(f'(a)\)와 \(f'(b)\)는 정의되지 않습니다.

5.2 Theorem \(f\)가 \([a, b]\)에 정의되어 있다고 가정합니다. 만약 \(f\)가 point \(x \in [a, b]\)에서 differentiable하다면, \(f\)는 \(x\)에서 continuous합니다.

Proof \(t \to x\)일 때, Theorem 4.4에 의해 다음을 얻습니다.

\[f(t) - f(x) = \frac{f(t) - f(x)}{t - x} \cdot (t - x) \to f'(x) \cdot 0 = 0.\]

이 theorem의 역은 참이 아닙니다. isolated point에서 differentiable하지 않은 continuous function을 구성하는 것은 쉽습니다. 7장에서는 어떤 point에서도 differentiable하지 않으면서 전체 line에서 continuous한 function을 알게 될 것입니다!

5.3 Theorem \(f\)와 \(g\)가 \([a, b]\)에 정의되어 있고 point \(x \in [a, b]\)에서 differentiable하다고 가정합니다. 그러면 \(f+g\), \(fg\), 그리고 \(f/g\)는 \(x\)에서 differentiable하며, 다음이 성립합니다.

(a) \((f+g)'(x) = f'(x) + g'(x);\)

(b) \((fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x);\)

(c) \(\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{g(x)f'(x) - g'(x)f(x)}{g^2(x)}\)

(c)에서 우리는 물론 \(g(x) \neq 0\)이라고 가정합니다.

Proof (a)는 Theorem 4.4에 의해 명확합니다. \(h = fg\)라고 가정합니다. 그러면

\[h(t) - h(x) = f(t)[g(t) - g(x)] + g(x)[f(t) - f(x)].\]

DIFFERENTIATION 105

이것을 \(t - x\)로 나누고 \(t \to x\)일 때 \(f(t) \to f(x)\)임을 주목하면 (Theorem 5.2), (b)가 따릅니다. 다음으로, \(h = f/g\)라고 가정합니다. 그러면

\[\frac{h(t) - h(x)}{t - x} = \frac{1}{g(t)g(x)} \left[g(x)\frac{f(t) - f(x)}{t - x} - f(x)\frac{g(t) - g(x)}{t - x}\right].\]

\(t \to x\)로 보내고 Theorem 4.4와 5.2를 적용하면 (c)를 얻습니다.

5.4 Examples 어떤 constant의 derivative는 분명히 0입니다. 만약 \(f\)가 \(f(x) = x\)로 정의된다면, \(f'(x) = 1\)입니다. (b)와 (c)를 반복적으로 적용하면 \(x^n\)이 differentiable이고, 그 derivative는 \(nx^{n-1}\)임을 보여줍니다 (만약 \(n < 0\)이라면, 우리는 \(x \neq 0\)으로 제한해야 합니다). 따라서 모든 polynomial은 differentiable이며, 분모가 0이 되는 point를 제외한 모든 rational function도 마찬가지입니다.

다음 theorem은 differentiation의 “chain rule“로 알려져 있습니다. 이는 composite function의 differentiation을 다루며, 아마도 derivative에 대한 가장 중요한 theorem일 것입니다. 우리는 9장에서 이의 더 일반적인 버전을 만날 것입니다.

5.5 Theorem \(f\)가 \([a, b]\)에서 continuous하고, point \(x \in [a, b]\)에서 \(f'(x)\)가 존재하며, \(g\)가 \(f\)의 range를 포함하는 interval \(I\)에 정의되어 있고, point \(f(x)\)에서 \(g\)가 differentiable하다고 가정합니다. 만약

\[h(t) = g(f(t)) \quad (a \leq t \leq b),\]

이라면, \(h\)는 \(x\)에서 differentiable하며, 다음이 성립합니다.

(3) \(h'(x) = g'(f(x))f'(x).\)

Proof \(y = f(x)\)라고 가정합니다. derivative의 정의에 의해, 우리는 다음을 얻습니다.

(4) \(f(t) - f(x) = (t - x)[f'(x) + u(t)],\)

(5) \(g(s) - g(y) = (s - y)[g'(y) + v(s)],\)

여기서 \(t \in [a, b]\), \(s \in I\)이고, \(t \to x\)일 때 \(u(t) \to 0\)이며, \(s \to y\)일 때 \(v(s) \to 0\)입니다. \(s = f(t)\)라고 가정합니다. 먼저 (5)를 사용하고 그 다음 (4)를 사용하면, 다음을 얻습니다.

\(h(t) - h(x) = g(f(t)) - g(f(x))\) \(= [f(t) - f(x)] \cdot [g'(y) + v(s)]\) \(= (t - x) \cdot [f'(x) + u(t)] \cdot [g'(y) + v(s)],\)

또는, 만약 \(t \neq x\)라면,

(6) \(\frac{h(t) - h(x)}{t - x} = [g'(y) + v(s)] \cdot [f'(x) + u(t)].\)

\(t \to x\)로 보내면, \(f\)의 continuity에 의해 \(s \to y\)임을 알 수 있으며, 따라서 (6)의 right side는 \(g'(y)f'(x)\)로 수렴하고, 이는 (3)을 제공합니다.

106 PRINCIPLES OF MATHEMATICAL ANALYSIS

5.6 Examples (a) \(f\)가 다음으로 정의된다고 가정합니다.

(7) \(f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} & (x \neq 0), \\ 0 & (x = 0). \end{cases}\)

\(\sin x\)의 derivative가 \(\cos x\)라는 것을 가정하면 (우리는 8장에서 trigonometric function을 논의할 것입니다), \(x \neq 0\)일 때마다 Theorem 5.3과 5.5를 적용할 수 있으며, 다음을 얻습니다.

(8) \(f'(x) = \sin \frac{1}{x} - \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x} \quad (x \neq 0).\)

\(x = 0\)에서는 이 theorem들이 더 이상 적용되지 않습니다. 왜냐하면 \(1/x\)가 거기에서 정의되지 않기 때문입니다. 우리는 definition에 직접적으로 호소합니다. \(t \neq 0\)일 때,

\[\frac{f(t) - f(0)}{t - 0} = \sin \frac{1}{t}.\]

\(t \to 0\)일 때, 이것은 어떤 limit로도 수렴하지 않으므로, \(f'(0)\)는 존재하지 않습니다. (b) \(f\)가 다음으로 정의된다고 가정합니다.

(9) \(f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x} & (x \neq 0), \\ 0 & (x = 0). \end{cases}\)

위와 같이, 우리는 다음을 얻습니다.

(10) \(f'(x) = 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} \quad (x \neq 0).\)

\(x = 0\)에서는 definition에 호소하여 다음을 얻습니다.

\[\left\vert \frac{f(t) - f(0)}{t - 0} \right\vert = \left\vert t \sin \frac{1}{t} \right\vert \leq \vert t \vert \quad (t \neq 0);\]

\(t \to 0\)로 보내면, 다음을 알 수 있습니다.

(11) \(f'(0) = 0.\)

따라서 \(f\)는 모든 point \(x\)에서 differentiable하지만, \(f'\)는 continuous function이 아닙니다. 왜냐하면 (10)의 \(\cos (1/x)\)는 \(x \to 0\)일 때 limit로 수렴하지 않기 때문입니다.

DIFFERENTIATION 107

MEAN VALUE THEOREMS

5.7 Definition \(f\)가 metric space \(X\)에 정의된 real function이라고 가정합니다. 우리는 \(f\)가 point \(p \in X\)에서 local maximum을 가진다고 말합니다. 만약 \(f(q) \leq f(p)\)를 만족하는 \(d(p, q) < \delta\)인 모든 \(q \in X\)에 대해 \(\delta > 0\)가 존재한다면 말입니다.

Local minimum도 마찬가지로 정의됩니다.

우리의 다음 theorem은 differentiation의 많은 응용의 기초입니다.

5.8 Theorem \(f\)가 \([a, b]\)에 정의되어 있다고 가정합니다. 만약 \(f\)가 point \(x \in (a, b)\)에서 local maximum을 가지고, \(f'(x)\)가 존재한다면, \(f'(x) = 0\)입니다.

Local minimum에 대한 유사한 진술도 물론 참입니다.

Proof Definition 5.7에 따라 \(\delta\)를 선택하여 다음을 만족하도록 합니다.

\[a < x - \delta < x < x + \delta < b.\]

만약 \(x - \delta < t < x\)라면,

\[\frac{f(t) - f(x)}{t - x} \geq 0.\]

\(t \to x\)로 보내면, \(f'(x) \geq 0\)임을 알 수 있습니다. 만약 \(x < t < x + \delta\)라면,

\[\frac{f(t) - f(x)}{t - x} \leq 0,\]

이는 \(f'(x) \leq 0\)임을 보여줍니다. 따라서 \(f'(x) = 0\)입니다.

5.9 Theorem \(f\)와 \(g\)가 \([a, b]\)에서 continuous real function이고 \((a, b)\)에서 differentiable하다고 가정합니다. 그러면 다음을 만족하는 point \(x \in (a, b)\)가 존재합니다.

(12) \([f(b) - f(a)]g'(x) = [g(b) - g(a)]f'(x).\)

endpoint에서는 differentiability가 요구되지 않는다는 점에 유의하십시오.

Proof \(h(t) = [f(b) - f(a)]g(t) - [g(b) - g(a)]f(t) \quad (a \leq t \leq b)\)라고 가정합니다.

그러면 \(h\)는 \([a, b]\)에서 continuous하고 \((a, b)\)에서 differentiable하며,

\[h(a) = f(b)g(a) - f(a)g(b) = h(b).\]

theorem을 증명하기 위해, 우리는 어떤 \(x \in (a, b)\)에 대해 \(h'(x) = 0\)임을 보여야 합니다. 만약 \(h\)가 constant라면, 이는 모든 \(x \in (a, b)\)에 대해 성립합니다. 만약 어떤 \(t \in (a, b)\)에 대해 \(h(t) > h(a)\)라면, \(h\)가 maximum을 달성하는 \([a, b]\) 상의 point \(x\)를 선택합니다.

108 PRINCIPLES OF MATHEMATICAL ANALYSIS

(Theorem 4.16). (12)에 의해 \(x \in (a, b)\)이고, Theorem 5.8은 \(h'(x) = 0\)임을 보여줍니다. 만약 어떤 \(t \in (a, b)\)에 대해 \(h(t) < h(a)\)라면, \(h\)가 minimum을 달성하는 \([a, b]\) 상의 point \(x\)를 선택하면 동일한 논리가 적용됩니다.

이 theorem은 종종 generalized mean value theorem이라고 불립니다. 다음의 특별한 경우는 일반적으로 “the” mean value theorem이라고 불립니다.

5.10 Theorem \(f\)가 \([a, b]\)에서 real continuous function이고 \((a, b)\)에서 differentiable하다면, 다음을 만족하는 point \(x \in (a, b)\)가 존재합니다.

\[f(b) - f(a) = (b - a)f'(x).\]

Proof Theorem 5.9에서 \(g(x) = x\)로 가정합니다.

5.11 Theorem \(f\)가 \((a, b)\)에서 differentiable하다고 가정합니다.

(a) 만약 모든 \(x \in (a, b)\)에 대해 \(f'(x) \geq 0\)이라면, \(f\)는 monotonically increasing합니다. (b) 만약 모든 \(x \in (a, b)\)에 대해 \(f'(x) = 0\)이라면, \(f\)는 constant입니다. (c) 만약 모든 \(x \in (a, b)\)에 대해 \(f'(x) \leq 0\)이라면, \(f\)는 monotonically decreasing합니다.

Proof 모든 결론은 다음 equation에서 읽을 수 있습니다.

\[f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)f'(x),\]

이는 \((a, b)\)에 있는 두 수 \(x_1, x_2\)의 각 쌍에 대해, \(x_1\)과 \(x_2\) 사이에 있는 어떤 \(x\)에 대해 유효합니다.

DERIVATIVES OF HIGHER ORDER

5.14 Definition 만약 \(f\)가 interval에서 derivative \(f'\)를 가지고, \(f'\) 자체가 differentiable하다면, 우리는 \(f'\)의 derivative를 \(f''\)로 표기하고 \(f''\)를 \(f\)의 second derivative라고 부릅니다. 이 방식으로 계속하면, 우리는 function

\[f, f', f'', f^{(3)}, \dots, f^{(n)},\]

을 얻으며, 각각은 이전 function의 derivative입니다. \(f^{(n)}\)은 \(f\)의 nth derivative 또는 derivative of order \(n\)이라고 불립니다.

point \(x\)에서 \(f^{(n)}(x)\)가 존재하려면, \(f^{(n-1)}(t)\)는 \(x\)의 neighborhood에서 (또는 \(f\)가 정의된 interval의 endpoint인 경우 one-sided neighborhood에서) 존재해야 하며, \(f^{(n-1)}\)은 \(x\)에서 differentiable해야 합니다. \(f^{(n-1)}\)이 \(x\)의 neighborhood에서 존재해야 하므로, \(f^{(n-2)}\)는 그 neighborhood에서 differentiable해야 합니다.

TAYLOR’S THEOREM

5.15 Theorem \(f\)가 \([a, b]\)에서 real function이고, \(n\)이 positive integer이며, \(f^{(n-1)}\)이 \([a, b]\)에서 continuous하고, 모든 \(t \in (a, b)\)에 대해 \(f^{(n)}(t)\)가 존재한다고 가정합니다. \([a, b]\)의 서로 다른 point \(\alpha, \beta\)를 선택하고 다음을 정의합니다.

(23) \(P(t) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(\alpha)}{k!}(t - \alpha)^k.\)

DIFFERENTIATION 111

그러면 \(\alpha\)와 \(\beta\) 사이에 point \(x\)가 존재하여 다음을 만족합니다.

(24) \(f(\beta) = P(\beta) + \frac{f^{(n)}(x)}{n!}(\beta - \alpha)^n.\)

\(n = 1\)일 때, 이것은 단순히 mean value theorem입니다. 일반적으로, 이 theorem은 \(f\)가 degree \(n - 1\)의 polynomial로 근사될 수 있음을 보여주며, 만약 우리가 \(\vert f^{(n)}(x) \vert\)의 bound를 안다면 (24)를 통해 error를 추정할 수 있습니다.

Proof \(M\)을 다음으로 정의된 수라고 가정합니다.

(25) \(f(\beta) = P(\beta) + M(\beta - \alpha)^n\)

그리고 다음을 설정합니다.

(26) \(g(t) = f(t) - P(t) - M(t - \alpha)^n \quad (a \leq t \leq b).\)

우리는 \(\alpha\)와 \(\beta\) 사이에 있는 어떤 \(x\)에 대해 \(n!M = f^{(n)}(x)\)임을 보여야 합니다. (23)과 (26)에 의해,

(27) \(g^{(n)}(t) = f^{(n)}(t) - n!M \quad (a < t < b).\)

따라서 \(\alpha\)와 \(\beta\) 사이에 있는 어떤 \(x\)에 대해 \(g^{(n)}(x) = 0\)임을 보일 수 있다면 증명은 완료됩니다. \(P^{(k)}(\alpha) = f^{(k)}(\alpha)\) for \(k = 0, \dots, n - 1\)이므로, 우리는 다음을 얻습니다.

(28) \(g(\alpha) = g'(\alpha) = \dots = g^{(n-1)}(\alpha) = 0.\)

\(M\)의 선택은 \(g(\beta) = 0\)임을 보여줍니다. 따라서 mean value theorem에 의해 \(\alpha\)와 \(\beta\) 사이에 있는 어떤 \(x_1\)에 대해 \(g'(x_1) = 0\)입니다. \(g'(x_1) = 0\)이므로, 유사하게 \(\alpha\)와 \(x_1\) 사이에 있는 어떤 \(x_2\)에 대해 \(g''(x_2) = 0\)임을 결론 내립니다. \(n\) 단계를 거치면, \(\alpha\)와 \(x_{n-1}\) 사이에 있는 어떤 \(x_n\)에 대해 \(g^{(n)}(x_n) = 0\)이라는 결론에 도달합니다. 즉, \(\alpha\)와 \(\beta\) 사이에 있는 어떤 \(x_n\)에 대해 \(g^{(n)}(x_n) = 0\)입니다.

DIFFERENTIATION OF VECTOR-VALUED FUNCTIONS

5.16 Remarks Definition 5.1은 \([a, b]\)에 정의된 complex function \(f\)에 변경 없이 적용되며, Theorem 5.2와 5.3 및 그 증명도 유효합니다. 만약 \(f_1\)과 \(f_2\)가 \(f\)의 real part와 imaginary part라면, 즉,

\[f(t) = f_1(t) + if_2(t)\]

\(a \leq t \leq b\)에 대해, 여기서 \(f_1(t)\)와 \(f_2(t)\)는 real입니다. 그러면 우리는 분명히 다음을 얻습니다.

(29) \(f'(x) = f_1'(x) + if_2'(x);\)

또한, \(f\)는 \(x\)에서 differentiable합니다. 만약 \(f_1\)과 \(f_2\) 둘 다 \(x\)에서 differentiable하다면 말입니다.

112 PRINCIPLES OF MATHEMATICAL ANALYSIS

일반적으로 vector-valued function으로 넘어가면, 즉, \([a, b]\)를 어떤 \(R^k\)로 map하는 function \(f\)에 대해, 우리는 여전히 Definition 5.1을 적용하여 \(f'(x)\)를 정의할 수 있습니다. (1)의 term \(\phi(t)\)는 이제 각 \(t\)에 대해 \(R^k\)의 point이며, (2)의 limit는 \(R^k\)의 norm에 대해 취해집니다. 다시 말해, \(f'(x)\)는 (만약 존재한다면) 다음을 만족하는 \(R^k\)의 point입니다.

(30) \(\lim_{t \to x} \left\vert \frac{f(t) - f(x)}{t - x} - f'(x) \right\vert = 0,\)

그리고 \(f'\)는 다시 \(R^k\)에 값을 가지는 function입니다. 만약 \(f_1, \dots, f_k\)가 Theorem 4.10에 정의된 \(f\)의 component라면,

(31) \(f' = (f_1', \dots, f_k'),\)

그리고 \(f\)는 point \(x\)에서 differentiable합니다. 만약 function \(f_1, \dots, f_k\) 각각이 \(x\)에서 differentiable하다면 말입니다.

Theorem 5.2는 이 context에서도 참이며, Theorem 5.3(a)와 (b)도 마찬가지입니다. 만약 \(fg\)가 inner product \(f \cdot g\)로 대체된다면 (Definition 4.3 참조).

그러나 mean value theorem과 그 결과 중 하나인 L’Hospital’s rule로 넘어가면 상황이 바뀝니다. 다음 두 example은 이러한 결과들이 complex-valued function에 대해 참이 아님을 보여줄 것입니다.

5.17 Example real \(x\)에 대해 다음을 정의합니다.

(32) \(f(x) = e^{ix} = \cos x + i \sin x.\)

(마지막 표현은 complex exponential \(e^{ix}\)의 정의로 간주될 수 있습니다. 이 function에 대한 자세한 논의는 8장을 참조하십시오.) 그러면

(33) \(f(2\pi) - f(0) = 1 - 1 = 0,\)

그러나

(34) \(f'(x) = ie^{ix},\)

따라서 모든 real \(x\)에 대해 \(\vert f'(x) \vert = 1\)입니다. 따라서 이 경우 Theorem 5.10은 성립하지 않습니다.

5.18 Example segment \((0, 1)\)에서 \(f(x) = x\)와 다음을 정의합니다.

(35) \(g(x) = x + x^2 e^{i/x^2}.\)

모든 real \(t\)에 대해 \(e^{it} = 1\)이므로, 우리는 다음을 알 수 있습니다.

(36) \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1.\)

DIFFERENTIATION 113

다음으로,

(37) \(g'(x) = 1 + \left(2x - \frac{2i}{x}\right)e^{i/x^2} \quad (0 < x < 1),\)

따라서

(38) \(\vert g'(x) \vert \geq \left\vert 2x - \frac{2i}{x} \right\vert - 1 \geq \frac{2}{x} - 1.\)

그러므로

(39) \(\left\vert \frac{f'(x)}{g'(x)} \right\vert = \frac{1}{\vert g'(x) \vert} \leq \frac{x}{2 - x}\)

그리고

(40) \(\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = 0.\)

(36)과 (40)에 의해, 이 경우 L’Hospital’s rule은 실패합니다. 또한 (38)에 의해 \((0, 1)\)에서 \(g'(x) \neq 0\)임을 주목하십시오.

그러나 mean value theorem의 결과 중 하나는 응용 목적에 있어 Theorem 5.10만큼 유용하며, vector-valued function에 대해서도 참으로 남아 있습니다. Theorem 5.10으로부터 다음이 따릅니다.

(41) \(\vert f(b) - f(a) \vert \leq (b - a) \sup_{a < x < b} \vert f'(x) \vert.\)

5.19 Theorem \(f\)가 \([a, b]\)에서 \(R^k\)로의 continuous mapping이고 \((a, b)\)에서 differentiable하다고 가정합니다. 그러면 다음을 만족하는 point \(x \in (a, b)\)가 존재합니다.

\[\vert f(b) - f(a) \vert \leq (b - a) \vert f'(x) \vert.\]

Proof¹ \(z = f(b) - f(a)\)라고 가정하고 다음을 정의합니다.

\[\phi(t) = z \cdot f(t) \quad (a \leq t \leq b).\]

그러면 \(\phi\)는 \([a, b]\)에서 real-valued continuous function이고 \((a, b)\)에서 differentiable합니다. 따라서 mean value theorem은 다음을 보여줍니다.

\[\phi(b) - \phi(a) = (b - a)\phi'(x) = (b - a)z \cdot f'(x)\]

어떤 \(x \in (a, b)\)에 대해. 다른 한편으로,

\[\phi(b) - \phi(a) = z \cdot f(b) - z \cdot f(a) = z \cdot z = \vert z \vert^2.\]

Schwarz inequality는 이제 다음을 제공합니다.

\[\vert z \vert^2 = (b - a) \vert z \cdot f'(x) \vert \leq (b - a) \vert z \vert \vert f'(x) \vert.\]

따라서 \(\vert z \vert \leq (b - a) \vert f'(x) \vert\)이며, 이는 원하는 결론입니다.

¹ V. P. Havin은 이 책의 2판을 러시아어로 번역하고 이 증명을 원본에 추가했습니다.

114 PRINCIPLES OF MATHEMATICAL ANALYSIS

EXERCISES

1. \(f\)가 모든 real \(x\)에 대해 정의되어 있고, 모든 real \(x\)와 \(y\)에 대해 \(\vert f(x) - f(y) \vert \leq (x - y)^2\)라고 가정합니다. \(f\)가 constant임을 증명하십시오.
2. \((a, b)\)에서 \(f'(x) > 0\)이라고 가정합니다. \(f\)가 \((a, b)\)에서 strictly increasing임을 증명하고, \(g\)를 그 inverse function이라고 가정합니다. \(g\)가 differentiable임을 증명하고, 다음을 증명하십시오.

\[g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)} \quad (a < x < b).\]

1. \(g\)가 \(R^1\)에서 bounded derivative를 가진 real function이라고 가정합니다 (예: \(\vert g' \vert < M\)). \(\varepsilon > 0\)를 고정하고 \(f(x) = x + \varepsilon g(x)\)를 정의합니다. 만약 \(\varepsilon\)가 충분히 작다면 \(f\)가 one-to-one임을 증명하십시오. (허용 가능한 \(\varepsilon\) 값의 집합은 \(M\)에만 의존하여 결정될 수 있습니다.)
2. 만약

\[C_0 + \frac{C_1}{2} + \dots + \frac{C_{n-1}}{n} + \frac{C_n}{n+1} = 0,\]

여기서 \(C_0, \dots, C_n\)은 real constant입니다. equation

\[C_0 + C_1x + \dots + C_{n-1}x^{n-1} + C_nx^n = 0\]

이 0과 1 사이에 적어도 하나의 real root를 가짐을 증명하십시오.

1. \(f\)가 모든 \(x > 0\)에 대해 정의되고 differentiable하며, \(x \to +\infty\)일 때 \(f'(x) \to 0\)이라고 가정합니다. \(g(x) = f(x + 1) - f(x)\)를 설정합니다. \(x \to +\infty\)일 때 \(g(x) \to 0\)임을 증명하십시오.
2. 다음을 가정합니다. (a) \(x \geq 0\)에 대해 \(f\)는 continuous입니다. (b) \(x > 0\)에 대해 \(f'(x)\)가 존재합니다. (c) \(f(0) = 0\)입니다. (d) \(f'\)는 monotonically increasing합니다. 다음을 설정합니다.

\[g(x) = \frac{f(x)}{x} \quad (x > 0)\]

그리고 \(g\)가 monotonically increasing임을 증명하십시오.

1. \(f'(x), g'(x)\)가 존재하고, \(g'(x) \neq 0\)이며, \(f(x) = g(x) = 0\)이라고 가정합니다. 다음을 증명하십시오.

\[\lim_{t \to x} \frac{f(t)}{g(t)} = \frac{f'(x)}{g'(x)}\]

(이는 complex function에 대해서도 성립합니다.)

1. \(f'\)가 \([a, b]\)에서 continuous이고 \(\varepsilon > 0\)이라고 가정합니다. 다음을 만족하는 \(\delta > 0\)가 존재함을 증명하십시오.

\[\left\vert \frac{f(t) - f(x)}{t - x} - f'(x) \right\vert < \varepsilon\]

DIFFERENTIATION 115

\(0 < \vert t - x \vert < \delta\), \(a \leq x \leq b\), \(a \leq t \leq b\)일 때마다. (이는 \(f'\)가 \([a, b]\)에서 continuous하다면 \(f\)가 \([a, b]\)에서 uniformly differentiable하다고 표현될 수 있습니다.) 이것이 vector-valued function에 대해서도 성립합니까?

1. \(f\)가 \(R^1\)에서 continuous real function이고, 모든 \(x \neq 0\)에 대해 \(f'(x)\)가 존재하며, \(x \to 0\)일 때 \(f'(x) \to 3\)이라는 것이 알려져 있다고 가정합니다. \(f'(0)\)가 존재한다는 것이 따릅니까?
2. \(f\)와 \(g\)가 \((0, 1)\)에서 complex differentiable function이고, \(x \to 0\)일 때 \(f(x) \to 0\), \(g(x) \to 0\), \(f'(x) \to A\), \(g'(x) \to B\)라고 가정합니다. 여기서 \(A\)와 \(B\)는 complex number이고 \(B \neq 0\)입니다. 다음을 증명하십시오.

\[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\]

Example 5.18과 비교하십시오. Hint:

\[\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x)/x}{g(x)/x}.\]

Theorem 5.13을 \(f(x)/x\)와 \(g(x)/x\)의 real part와 imaginary part에 적용하십시오.

1. \(f\)가 \(x\)의 neighborhood에서 정의되어 있고, \(f''(x)\)가 존재한다고 가정합니다. 다음을 증명하십시오.

\[\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) + f(x - h) - 2f(x)}{h^2} = f''(x).\]

Example를 통해 limit가 존재하더라도 \(f''(x)\)가 존재하지 않을 수 있음을 보여주십시오. Hint: Theorem 5.13을 사용하십시오.

1. 만약 \(f(x) = \vert x \vert^3\)이라면, 모든 real \(x\)에 대해 \(f'(x), f''(x)\)를 계산하고, \(f^{(3)}(0)\)가 존재하지 않음을 보여주십시오.
2. \(a\)와 \(c\)가 real number이고 \(c > 0\)이며, \(f\)가 \([-1, 1]\)에서 다음으로 정의된다고 가정합니다.

\[f(x) = \begin{cases} x^a \sin (\vert x \vert^{-c}) & (\text{if } x \neq 0), \\ 0 & (\text{if } x = 0). \end{cases}\]

다음 진술을 증명하십시오. (a) \(f\)는 \(a > 0\)일 때만 continuous입니다. (b) \(f'(0)\)는 \(a > 1\)일 때만 존재합니다. (c) \(f'\)는 \(a \geq 1 + c\)일 때만 bounded입니다. (d) \(f'\)는 \(a > 1 + c\)일 때만 continuous입니다. (e) \(f''(0)\)는 \(a > 2 + c\)일 때만 존재합니다. (f) \(f''\)는 \(a \geq 2 + 2c\)일 때만 bounded입니다. (g) \(f''\)는 \(a > 2 + 2c\)일 때만 continuous입니다.

1. \(f\)가 \((a, b)\)에서 정의된 differentiable real function이라고 가정합니다. \(f\)가 convex인 것은 \(f'\)가 monotonically increasing할 때만임을 증명하십시오. 다음으로, 모든 \(x \in (a, b)\)에 대해 \(f''(x)\)가 존재한다고 가정하고, \(f\)가 convex인 것은 모든 \(x \in (a, b)\)에 대해 \(f''(x) \geq 0\)일 때만임을 증명하십시오.
2. \(a \in R^1\)이고, \(f\)가 \((a, \infty)\)에서 twice-differentiable real function이며, \(M_0, M_1, M_2\)가 각각 \((a, \infty)\)에서 \(\vert f(x) \vert, \vert f'(x) \vert, \vert f''(x) \vert\)의 least upper bound라고 가정합니다. 다음을 증명하십시오.

\[M_1^2 \leq 4M_0M_2.\]

116 PRINCIPLES OF MATHEMATICAL ANALYSIS

Hint: 만약 \(h > 0\)이라면, Taylor’s theorem은 다음을 보여줍니다.

\[f'(x) = \frac{1}{2h}[f(x + 2h) - f(x)] - hf''(\xi)\]

어떤 \(\xi \in (x, x + 2h)\)에 대해. 따라서

\[\vert f'(x) \vert \leq hM_2 + \frac{M_0}{h}.\]

\(M_1^2 = 4M_0M_2\)가 실제로 발생할 수 있음을 보여주기 위해, \(a = -1\)로 가정하고 다음을 정의합니다.

\[f(x) = \begin{cases} 2x^2 - 1 & (-1 < x < 0), \\ \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} & (0 \leq x < \infty), \end{cases}\]

그리고 \(M_0 = 1, M_1 = 4, M_2 = 4\)임을 보여주십시오. vector-valued function에 대해서도 \(M_1^2 \leq 4M_0M_2\)가 성립합니까?

1. \(f\)가 \((0, \infty)\)에서 twice-differentiable하고, \((0, \infty)\)에서 \(f''\)가 bounded이며, \(x \to \infty\)일 때 \(f(x) \to 0\)이라고 가정합니다. \(x \to \infty\)일 때 \(f'(x) \to 0\)임을 증명하십시오. Hint: Exercise 15에서 \(a \to \infty\)로 가정하십시오.
2. \(f\)가 \([-1, 1]\)에서 real, three times differentiable function이고, 다음을 만족한다고 가정합니다.

\[f(-1) = 0, \quad f(0) = 0, \quad f(1) = 1, \quad f'(0) = 0.\]

어떤 \(x \in (-1, 1)\)에 대해 \(f^{(3)}(x) \geq 3\)임을 증명하십시오. \((x^3 + x^2)\)에 대해 equality가 성립한다는 점에 유의하십시오. Hint: Theorem 5.15를 \(a = 0\)과 \(\beta = \pm 1\)로 사용하여, \(s \in (0, 1)\)과 \(t \in (-1, 0)\)이 존재하여 다음을 만족함을 보여주십시오.

\[f^{(3)}(s) + f^{(3)}(t) = 6.\]

1. \(f\)가 \([a, b]\)에서 real function이고, \(n\)이 positive integer이며, 모든 \(t \in [a, b]\)에 대해 \(f^{(n-1)}\)이 존재한다고 가정합니다. Taylor’s theorem (5.15)에서와 같이 \(\alpha, \beta\) 및 \(P\)를 설정합니다. 다음을 정의합니다.

\[Q(t) = \frac{f(t) - f(\beta)}{t - \beta}\]

\(t \in [a, b], t \neq \beta\)에 대해, \(f(t) - f(\beta) = (t - \beta)Q(t)\)를 \(t = \alpha\)에서 \(n - 1\)번 differentiate하고, Taylor’s theorem의 다음 버전을 도출하십시오.

\[f(\beta) = P(\beta) + \frac{Q^{(n-1)}(\alpha)}{(n - 1)!}(\beta - \alpha)^n.\]

1. \(f\)가 \((-1, 1)\)에서 정의되어 있고 \(f'(0)\)가 존재한다고 가정합니다. \(-1 < \alpha_n < \beta_n < 1\), \(\alpha_n \to 0\), 그리고 \(n \to \infty\)일 때 \(\beta_n \to 0\)이라고 가정합니다. difference quotient를 정의합니다.

\[D_n = \frac{f(\beta_n) - f(\alpha_n)}{\beta_n - \alpha_n}\]

DIFFERENTIATION 117

다음 진술을 증명하십시오. (a) 만약 \(\alpha_n < 0 < \beta_n\)이라면, \(\lim D_n = f'(0)\)입니다. (b) 만약 \(0 < \alpha_n < \beta_n\)이고 \(\{\beta_n/(\beta_n - \alpha_n)\}\)이 bounded라면, \(\lim D_n = f'(0)\)입니다. (c) 만약 \(f'\)가 \((-1, 1)\)에서 continuous라면, \(\lim D_n = f'(0)\)입니다. \(f\)가 \((-1, 1)\)에서 differentiable하지만 (\(f'\)는 0에서 continuous하지 않음) \(\alpha_n, \beta_n\)이 \(0\)으로 수렴하여 \(\lim D_n\)이 존재하지만 \(f'(0)\)와 다른 example를 제시하십시오.

1. Taylor’s theorem에서 파생되고 vector-valued function에 대해서도 유효한 inequality를 공식화하고 증명하십시오.
2. \(E\)가 \(R^1\)의 closed subset이라고 가정합니다. 우리는 Exercise 22, Chap. 4에서 zero set이 \(E\)인 \(R^1\)의 real continuous function \(f\)가 존재함을 보았습니다. 각 closed set \(E\)에 대해, \(R^1\)에서 differentiable하거나, \(n\)번 differentiable하거나, 심지어 모든 order의 derivative를 가지는 그러한 \(f\)를 찾을 수 있습니까?
3. \(f\)가 \((-\infty, \infty)\)에서 real function이라고 가정합니다. \(f(x) = x\)인 \(x\)를 \(f\)의 fixed point라고 부릅니다. (a) 만약 \(f\)가 differentiable이고 모든 real \(t\)에 대해 \(f'(t) \neq 1\)이라면, \(f\)가 많아야 하나의 fixed point를 가짐을 증명하십시오. (b) function \(f(t) = t + (1 + e^t)^{-1}\)로 정의된 \(f\)가 fixed point를 가지지 않음을 보여주십시오. 비록 모든 real \(t\)에 대해 \(0 < f'(t) < 1\)임에도 불구하고 말입니다. (c) 그러나 만약 모든 real \(t\)에 대해 \(\vert f'(t) \vert \leq A\)를 만족하는 constant \(A < 1\)이 존재한다면, \(f\)의 fixed point \(x\)가 존재하고, \(x = \lim x_n\)임을 증명하십시오. 여기서 \(x_1\)은 임의의 real number이고

\[x_{n+1} = f(x_n)\]

\(n = 1, 2, 3, \dots\)에 대해. (d) (c)에서 설명된 process가 zig-zag path

\[(x_1, x_2) \to (x_2, x_2) \to (x_2, x_3) \to (x_3, x_3) \to (x_3, x_4) \to \dots\]

로 시각화될 수 있음을 보여주십시오.

1. function \(f(x) = \frac{x^3 + 1}{3}\)로 정의된 \(f\)는 세 개의 fixed point를 가집니다. 이를 \(\alpha, \beta, \gamma\)라고 하면,

\[-2 < \alpha < -1, \quad 0 < \beta < 1, \quad 1 < \gamma < 2.\]

임의로 선택된 \(x_1\)에 대해, \(x_{n+1} = f(x_n)\)으로 설정하여 \(\{x_n\}\)을 정의합니다. (a) 만약 \(x_1 < \alpha\)라면, \(n \to \infty\)일 때 \(x_n \to -\infty\)임을 증명하십시오. (b) 만약 \(\alpha < x_1 < \gamma\)라면, \(n \to \infty\)일 때 \(x_n \to \beta\)임을 증명하십시오. (c) 만약 \(\gamma < x_1\)라면, \(n \to \infty\)일 때 \(x_n \to +\infty\)임을 증명하십시오. 따라서 \(\beta\)는 이 방법으로 찾을 수 있지만, \(\alpha\)와 \(\gamma\)는 찾을 수 없습니다.

118 PRINCIPLES OF MATHEMATICAL ANALYSIS

1. Exercise 22의 (c) 부분에서 설명된 process는 물론 \((0, \infty)\)를 \((0, \infty)\)로 map하는 function에도 적용될 수 있습니다. 어떤 \(\alpha > 1\)을 고정하고 다음을 설정합니다.

\[f(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\alpha}{x}\right), \quad g(x) = \frac{\alpha + x}{1 + x}.\]

\(f\)와 \(g\) 둘 다 \((0, \infty)\)에서 \(\sqrt{\alpha}\)를 유일한 fixed point로 가집니다. Exercise 16, Chap. 3에서 convergence가 Exercise 17에서보다 훨씬 빠른 이유를 \(f\)와 \(g\)의 property를 기반으로 설명해 보십시오. (\(f'\)와 \(g'\)를 비교하고, Exercise 22에서 제안된 zig-zag를 그려보십시오.) \(0 < \alpha < 1\)일 때도 동일하게 수행하십시오.

1. \(f\)가 \([a, b]\)에서 twice differentiable하고, \(f(a) < 0\), \(f(b) > 0\), \(f'(x) \geq \delta > 0\)이며, 모든 \(x \in [a, b]\)에 대해 \(0 \leq f''(x) \leq M\)이라고 가정합니다. \(f(\xi) = 0\)인 \((a, b)\)의 유일한 point를 \(\xi\)라고 가정합니다. \(\xi\)를 계산하기 위한 Newton’s method의 다음 개요에서 세부 사항을 완성하십시오. (a) \(x_1 \in (\xi, b)\)를 선택하고 \(\{x_n\}\)을 다음으로 정의합니다.

\[x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]

이를 \(f\)의 graph에 대한 tangent의 관점에서 기하학적으로 해석하십시오. (b) \(x_{n+1} < x_n\)임을 증명하고 다음을 증명하십시오.

\[\lim_{n \to \infty} x_n = \xi.\]

(c) Taylor’s theorem을 사용하여 다음을 보여주십시오.

\[x_{n+1} - \xi = \frac{f''(t_n)}{2f'(x_n)}(x_n - \xi)^2\]

어떤 \(t_n \in (\xi, x_n)\)에 대해. (d) 만약 \(A = M/(2\delta)\)라면, 다음을 추론하십시오.

\[0 \leq x_{n+1} - \xi \leq \frac{1}{A}[A(x_1 - \xi)]^{2^n}.\]

(Exercise 16과 18, Chap. 3과 비교하십시오.) (e) Newton’s method가 function \(g(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}\)로 정의된 \(g\)의 fixed point를 찾는 것과 같음을 보여주십시오. \(\xi\) 근처에서 \(g'(x)\)는 어떻게 행동합니까? (f) \(f(x) = x^{1/3}\)을 \((-\infty, \infty)\)에 설정하고 Newton’s method를 시도하십시오. 무슨 일이 일어납니까?

DIFFERENTIATION 119

1. \(f\)가 \([a, b]\)에서 differentiable하고, \(f(a) = 0\)이며, \([a, b]\)에서 \(\vert f'(x) \vert \leq A \vert f(x) \vert\)를 만족하는 real number \(A\)가 존재한다고 가정합니다. 모든 \(x \in [a, b]\)에 대해 \(f(x) = 0\)임을 증명하십시오. Hint: \(x_0 \in [a, b]\)를 고정하고 다음을 설정합니다.

\[M_0 = \sup_{a \leq x \leq x_0} \vert f(x) \vert, \quad M_1 = \sup_{a \leq x \leq x_0} \vert f'(x) \vert\]

어떤 \(x\)에 대해,

\[\vert f(x) \vert \leq M_1(x_0 - a) \leq A(x_0 - a)M_0.\]

따라서 만약 \(A(x_0 - a) < 1\)이라면 \(M_0 = 0\)입니다. 즉, \([a, x_0]\)에서 \(f = 0\)입니다. 계속 진행하십시오.

1. \(\phi\)가 plane의 rectangle \(R\)에 정의된 real function이라고 가정합니다. \(R\)은 \(a \leq x \leq b, \alpha \leq y \leq \beta\)로 주어집니다. initial-value problem

\[y' = \phi(x, y), \quad y(a) = c \quad (a \leq c \leq \beta)\]

의 solution은 정의상 \([a, b]\)에서 differentiable function \(f\)이며, \(f(a) = c, \alpha \leq f(x) \leq \beta\)를 만족하고,

\[f'(x) = \phi(x, f(x)) \quad (a \leq x \leq b).\]

그러한 problem이 많아야 하나의 solution을 가짐을 증명하십시오. 만약 constant \(A\)가 존재하여

\[\vert \phi(x, y_2) - \phi(x, y_1) \vert \leq A \vert y_2 - y_1 \vert\]

\((x, y_1) \in R\)과 \((x, y_2) \in R\)일 때마다. Hint: 두 solution의 차이에 Exercise 26을 적용하십시오. 이 uniqueness theorem이 initial-value problem

\[y' = y^{1/2}, \quad y(0) = 0,\]

에 대해 성립하지 않는다는 점에 유의하십시오. 이 problem은 두 개의 solution을 가집니다: \(f(x) = 0\)과 \(f(x) = x^2/4\). 다른 모든 solution을 찾으십시오.

1. differential equation system

\[y_j' = \phi_j(x, y_1, \dots, y_k), \quad y_j(a) = c_j \quad (j = 1, \dots, k).\]

에 대한 유사한 uniqueness theorem을 공식화하고 증명하십시오. 이것이 form

\[y' = \phi(x, y), \quad y(a) = c\]

로 다시 작성될 수 있다는 점에 유의하십시오. 여기서 \(y = (y_1, \dots, y_k)\)는 k-cell을 가로지르고, \(\phi\)는 Euclidean k-space로의 \((k + 1)\)-cell의 mapping이며, 그 component는 function \(\phi_1, \dots, \phi_k\)이고, \(c\)는 vector \((c_1, \dots, c_k)\)입니다. vector-valued function에 대해 Exercise 26을 사용하십시오.

1. system

\(y_j' = y_{j+1} \quad (j = 1, \dots, k - 1),\) \(y_k' = f(x) - \sum_{j=1}^k g_j(x)y_j,\)

를 고려하여 Exercise 28을 특수화하십시오. 여기서 \(f, g_1, \dots, g_k\)는 \([a, b]\)에서 continuous real function입니다. 그리고 initial condition

\[y(a) = c_1, \quad y'(a) = c_2, \quad \dots, \quad y^{(k-1)}(a) = c_k.\]

에 대한 equation

\[y^{(k)} + g_k(x)y^{(k-1)} + \dots + g_2(x)y' + g_1(x)y = f(x),\]

의 solution에 대한 uniqueness theorem을 도출하십시오.