실해석학 중간고사 대비 Theorem 모음집

제1장: 실수 및 복소수 체계 (The Real and Complex Number Systems)

• 1.11 정리: 최소상계 성질을 갖는 순서 집합 $S$의 공집합이 아닌 부분집합 $B$가 아래로 유계일 때, $B$의 하계들의 집합 $L$의 상한 $\sup L$은 $S$ 안에 존재하며 이는 $B$의 하한 $\inf B$와 같습니다.
• 1.19 정리: 최소상계 성질을 갖는 순서체(ordered field)인 실수 체계 $R$이 존재하며, $R$은 유리수 체 $Q$를 부분체로 포함합니다.
• 1.20 정리:
  • (a) 아르키메데스 성질: $x, y \in R$이고 $x>0$이면 $nx > y$를 만족하는 양의 정수 $n$이 존재합니다.
  • (b) 조밀성: $x, y \in R$이고 $x < y$이면 $x < p < y$를 만족하는 유리수 $p$가 존재합니다.
• 1.21 정리: 양의 실수 $x$와 양의 정수 $n$에 대해 $y^n = x$를 만족하는 양의 실수 $y$가 유일하게 존재합니다.
• 1.25 정리: 복소수 집합에서 정의된 덧셈과 곱셈은 이 집합을 $(0,0)$과 $(1,0)$을 각각 $0$과 $1$로 갖는 체(field)로 만듭니다.
• 1.26 정리: $(a, 0)$ 형태의 복소수는 실수 $a$와 동일한 산술적 성질을 가지므로 실수 체를 복소수 체의 부분체로 간주할 수 있습니다.
• 1.28 정리: 허수 단위 $i$에 대해 $i^2 = -1$이 성립합니다.
• 1.29 정리: 실수 $a, b$에 대하여 복소수 $(a, b)$는 $a+bi$로 표현됩니다.
• 1.31 정리: 두 복소수 $z, w$에 대해 $\overline{z+w} = \bar{z}+\bar{w}$, $\overline{zw} = \bar{z}\bar{w}$, $z+\bar{z}=2\text{Re}(z)$, $z-\bar{z}=2i\text{Im}(z)$, 그리고 $z\bar{z}$는 양의 실수($z=0$ 제외)가 성립합니다.
• 1.33 정리: 복소수 절댓값에 대하여 $ \vert z \vert > 0$ ($z \neq 0$), $ \vert z \vert = \vert \bar{z} \vert $, $ \vert zw \vert = \vert z \vert \vert w \vert $, $ \vert \text{Re } z \vert \le \vert z \vert $, $ \vert z+w \vert \le \vert z \vert + \vert w \vert $가 성립합니다.
• 1.35 정리 (Schwarz 부등식): 복소수열 $a_1, \dots, a_n$과 $b_1, \dots, b_n$에 대해 $ \vert \sum a_j \bar{b_j} \vert ^2 \le \sum \vert a_j \vert ^2 \sum \vert b_j \vert ^2$가 성립합니다.
• 1.37 정리: 유클리드 공간 $R^k$에서 $ \vert x \vert \ge 0$, $ \vert x \vert =0 \iff x=0$, $ \vert \alpha x \vert = \vert \alpha \vert \vert x \vert $, $ \vert x \cdot y \vert \le \vert x \vert \vert y \vert $, $ \vert x+y \vert \le \vert x \vert + \vert y \vert $, $ \vert x-z \vert \le \vert x-y \vert + \vert y-z \vert $가 성립합니다.

제2장: 기초 위상수학 (Basic Topology)

• 2.8 정리: 가산 집합의 모든 무한 부분집합은 가산 집합입니다.
• 2.12 정리: 가산 집합들의 가산 번의 합집합은 가산 집합입니다.
• 2.13 정리: 가산 집합의 원소들로 구성된 $n$-튜플의 집합은 가산 집합입니다.
• 2.14 정리: 숫자 0과 1로 이루어진 모든 수열의 집합은 비가산 집합입니다.
• 2.19 정리: 모든 근방(neighborhood)은 열린 집합입니다.
• 2.20 정리: 점 $p$가 집합 $E$의 극한점이라면, $p$의 모든 근방은 $p$와 다른 $E$의 점을 무수히 많이 포함합니다.
• 2.22 정리: 드 모르간의 법칙으로, $\cup_\alpha E_\alpha$의 여집합은 $E_\alpha$들의 여집합들의 교집합과 같습니다.
• 2.23 정리: 집합이 열린 집합일 필요충분조건은 그 여집합이 닫힌 집합인 것입니다.
• 2.24 정리: (a) 열린 집합들의 임의의 합집합은 열린 집합, (b) 닫힌 집합들의 임의의 교집합은 닫힌 집합, (c) 열린 집합들의 유한 교집합은 열린 집합, (d) 닫힌 집합들의 유한 합집합은 닫힌 집합입니다.
• 2.27 정리: 폐포 $\bar{E}$는 닫힌 집합이며, $E$가 닫힌 집합인 것과 $E = \bar{E}$는 동치이고, $\bar{E}$는 $E$를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합입니다.
• 2.28 정리: 위로 유계인 공집합이 아닌 실수의 부분집합 $E$에 대해 $y = \sup E$이면 $y \in \bar{E}$입니다.
• 2.30 정리: $Y \subset X$일 때 $E$가 $Y$에 대해 상대적으로 열린 집합이 될 필요충분조건은 $X$의 열린 부분집합 $G$에 대해 $E = Y \cap G$인 것입니다.
• 2.33 정리: $K \subset Y \subset X$일 때 $K$가 $X$에서 콤팩트일 필요충분조건은 $K$가 $Y$에서 콤팩트인 것입니다.
• 2.34 정리: 거리 공간의 콤팩트 부분집합은 항상 닫힌 집합입니다.
• 2.35 정리: 콤팩트 집합의 닫힌 부분집합은 콤팩트 집합입니다.
• 2.36 정리: 콤팩트 부분집합들의 족에서 임의의 유한 부분족의 교집합이 공집합이 아니라면, 전체의 교집합도 공집합이 아닙니다.
• 2.37 정리: 콤팩트 집합 $K$의 무한 부분집합은 $K$ 안에 반드시 극한점을 가집니다.
• 2.38 정리: 감소하는 중첩된 닫힌 구간들의 수열의 교집합은 공집합이 아닙니다.
• 2.39 정리: 감소하는 중첩된 $k$-세포(cell)들의 수열의 교집합은 공집합이 아닙니다.
• 2.40 정리: 모든 $k$-세포는 콤팩트 집합입니다.
• 2.41 정리 (하이네-보렐 정리): $R^k$에서 집합이 (a) 닫혀 있고 유계인 것, (b) 콤팩트인 것, (c) 모든 무한 부분집합이 집합 내에 극한점을 가지는 것은 모두 동치입니다.
• 2.42 정리 (바이어슈트라스 정리): $R^k$의 모든 유계인 무한 부분집합은 $R^k$ 안에 극한점을 가집니다.
• 2.43 정리: 공집합이 아닌 완벽 집합(perfect set)은 비가산 집합입니다.
• 2.47 정리: 실수 선의 부분집합이 연결 공간(connected)이 될 필요충분조건은 집합 내의 두 점 사이의 모든 값이 그 집합에 포함되는 것입니다.

제3장: 수열과 급수 (Numerical Sequences and Series)

• 3.2 정리: 거리 공간에서 (a) 수열이 $p$로 수렴할 필요충분조건은 $p$의 모든 근방이 유한 개의 항을 제외한 수열의 모든 항을 포함하는 것, (b) 수렴하는 수열의 극한은 유일함, (c) 수렴하는 수열은 유계임, (d) $E$의 극한점 $p$에 대해 $p$로 수렴하는 $E$의 수열이 존재함이 성립합니다.
• 3.3 및 3.4 정리: 복소수 및 $\mathbb{R}^k$ 수열에 대하여 극한의 덧셈, 상수배, 곱셈, 나눗셈(복소수의 경우), 내적 연산이 보존됩니다.
• 3.6 정리: 콤팩트 거리 공간의 수열이나 $R^k$의 유계 수열은 반드시 수렴하는 부분수열을 가집니다.
• 3.7 정리: 수열의 부분수열적 극한(subsequential limits)들의 집합은 닫힌 집합입니다.
• 3.10 정리: (a) 집합의 지름과 폐포의 지름은 같음. (b) 감소하며 지름이 0으로 가는 콤팩트 집합들의 교집합은 단 하나의 점으로 구성됩니다.
• 3.11 정리: 수렴하는 수열은 코시 수열이며, 콤팩트 거리 공간이나 $R^k$에서는 모든 코시 수열이 수렴합니다 (완비성).
• 3.14 정리: 단조 수열이 수렴할 필요충분조건은 유계인 것입니다.
• 3.17 정리: 상극한 $s^*$는 부분수열적 극한 집합의 원소이며, $x > s^*$이면 유한 개 항을 제외한 모든 항이 $x$보다 작아집니다.
• 3.19 정리: 수열 간에 $s_n \le t_n$이면 하극한 및 상극한도 그 부등식을 따릅니다.
• 3.20 정리: 다양한 기본 수열의 극한으로 $\lim_{n\to\infty} 1/n^p=0$, $\lim \sqrt[n]{p}=1$, $\lim \sqrt[n]{n}=1$, $\lim n^\alpha/(1+p)^n=0$, $ \vert x \vert <1$일 때 $\lim x^n=0$ 이 성립합니다.
• 3.22 정리: 무한 급수가 수렴할 필요충분조건은 임의의 $\epsilon$에 대해 일정 항 이후의 부분합의 차이가 $\epsilon$보다 작아진다는 코시 판정법입니다.
• 3.23 정리: 급수가 수렴하면 일반항은 0으로 수렴합니다.
• 3.24 정리: 음이 아닌 항으로 구성된 급수가 수렴할 필요충분조건은 그 부분합이 유계인 것입니다.
• 3.25 정리: 비교 판정법(Comparison test)을 통해 우세한 급수의 수렴/발산 여부로 주어진 급수의 수렴과 발산을 알 수 있습니다.
• 3.26 정리: 기하 급수 $\sum x^n$은 $0 \le x < 1$일 때 수렴합니다.
• 3.27 정리 (코시 응집 판정법): 단조 감소하는 비음수 수열에 대하여 $\sum a_n$이 수렴할 필요충분조건은 $\sum 2^k a_{2^k}$가 수렴하는 것입니다.
• 3.28 정리: $p$-급수 $\sum 1/n^p$는 $p>1$이면 수렴, $p \le 1$이면 발산합니다.
• 3.29 정리: $\sum 1/(n(\log n)^p)$는 $p>1$일 때 수렴, $p \le 1$일 때 발산합니다.
• 3.31 정리: $\lim_{n\to\infty} (1+1/n)^n = e$ 입니다.
• 3.32 정리: $e$는 무리수입니다.
• 3.33 정리 (근 판정법): $\limsup \sqrt[n]{ \vert a_n \vert }$ 값이 1보다 작으면 급수는 수렴, 1보다 크면 발산합니다.
• 3.34 정리 (비율 판정법): $\limsup \vert a_{n+1}/a_n \vert $ 값이 1보다 작으면 수렴, 항의 비율이 1 이상으로 유지되면 발산합니다.
• 3.37 정리: 양수열에서 비율의 하극한/상극한의 범위는 제곱근의 하극한/상극한을 포함합니다.
• 3.39 정리: 거듭제곱 급수의 수렴 반경 $R$은 $1/\limsup \sqrt[n]{ \vert c_n \vert }$로 주어지며, $ \vert z \vert <R$에서 수렴하고 $ \vert z \vert >R$에서 발산합니다.
• 3.41 정리: 수열의 곱에 대한 아벨의 변환(부분합 공식)입니다.
• 3.42 정리: 한 수열의 부분합이 유계이고, 다른 수열이 단조 감소하며 0으로 수렴하면 곱의 급수는 수렴합니다.
• 3.43 정리 (교대 급수): 교대 급수는 항의 절댓값이 단조 감소하며 0으로 수렴할 때 수렴합니다.
• 3.44 정리: 수렴 반경이 1인 거듭제곱 급수에서 계수가 단조감소하며 0으로 갈 때 원의 경계 중 $z=1$을 제외한 모든 점에서 수렴합니다.
• 3.45 정리: 절대 수렴하는 급수는 수렴합니다.
• 3.47 정리: 두 수렴 급수의 합과 상수배 역시 수렴하며 값이 보존됩니다.
• 3.50 정리 (Mertens의 정리): 적어도 한 급수가 절대 수렴하면, 두 수렴 급수의 코시 곱(Cauchy product)도 수렴하며 그 합은 각 합의 곱과 같습니다.
• 3.51 정리 (아벨의 정리): 두 급수와 그 코시 곱이 모두 수렴한다면, 코시 곱의 합은 두 급수의 합의 곱과 같습니다.
• 3.54 정리 (리만 재배열 정리): 조건부 수렴하는 급수의 항의 순서를 재배열하여 수렴값을 임의의 값이나 발산하게 바꿀 수 있습니다.
• 3.55 정리: 절대 수렴하는 급수는 임의로 항을 재배열하여도 원래 급수와 동일한 값으로 수렴합니다.