실해석학 7장

SEQUENCES AND SERIES OF FUNCTIONS

본 장에서는 complex-valued function (물론 real-valued function도 포함)에만 집중하지만, 이어지는 많은 theorem과 proof는 vector-valued function으로, 심지어 일반적인 metric space로의 mapping으로도 어려움 없이 확장됩니다. limit process가 교환될 때 발생하는 문제의 가장 중요한 측면에 주의를 집중하기 위해 이 간단한 framework 내에 머무르기로 합니다.

DISCUSSION OF MAIN PROBLEM

7.1 Definition

set \(E\)에 정의된 function의 sequence \(\{f_n\}\), \(n = 1, 2, 3, \dots\)이 있고, number의 sequence \(\{f_n(x)\}\)가 모든 \(x \in E\)에 대해 converge한다고 가정합니다. 그러면 function \(f\)를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

(1) \(f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \quad (x \in E)\)

이러한 상황에서 우리는 \(\{f_n\}\)이 \(E\)에서 converge하고 \(f\)가 \(\{f_n\}\)의 limit 또는 limit function이라고 말합니다. 때로는 더 설명적인 용어를 사용하여 (1)이 성립하면 “\(\{f_n\}\)이 \(E\)에서 pointwise로 \(f\)에 converge한다”고 말할 것입니다. 유사하게, \(\sum f_n(x)\)가 모든 \(x \in E\)에 대해 converge하고, 우리가 다음을 정의한다면

(2) \(f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \quad (x \in E)\)

function \(f\)는 series \(\sum f_n\)의 sum이라고 불립니다.

발생하는 주요 문제는 function의 중요한 property가 limit operation (1)과 (2)에서 보존되는지 여부를 결정하는 것입니다. 예를 들어, function \(f_n\)이 continuous이거나 differentiable이거나 integrable이라면, limit function도 마찬가지일까요? 예를 들어, \(f_n'\)과 \(f'\) 사이 또는 \(f\)의 integral과 \(f_n\)의 integral 사이의 관계는 무엇일까요?

limit point \(x\)에서 \(f\)가 continuous라는 것은 다음을 의미합니다.

\[\lim_{t \to x} f(t) = f(x)\]

따라서 continuous function의 sequence의 limit가 continuous인지 묻는 것은 다음을 묻는 것과 같습니다.

(3) \(\lim_{t \to x} \lim_{n \to \infty} f_n(t) = \lim_{n \to \infty} \lim_{t \to x} f_n(t)\)

즉, limit process가 수행되는 순서가 중요하지 않은지 여부입니다. (3)의 왼쪽에서는 먼저 \(n \to \infty\)로 보내고, 그 다음 \(t \to x\)로 보냅니다. 오른쪽에서는 먼저 \(t \to x\)로 보내고, 그 다음 \(n \to \infty\)로 보냅니다.

이제 몇 가지 예시를 통해 limit process를 교환하면 일반적으로 결과에 영향을 미칠 수 있음을 보여줄 것입니다. 그 후, 특정 조건 하에서는 limit operation이 수행되는 순서가 중요하지 않음을 증명할 것입니다.

우리의 첫 번째 예시이자 가장 간단한 예시는 “이중 sequence“에 관한 것입니다.

7.2 Example

\(m = 1, 2, 3, \dots\), \(n = 1, 2, 3, \dots\)에 대해 다음을 정의합니다.

\[s_{m,n} = \frac{m}{m+n}\]

그러면 모든 고정된 \(n\)에 대해

\[\lim_{m \to \infty} s_{m,n} = 1\]

이므로

(4) \(\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} s_{m,n} = 1\)

반면에 모든 고정된 \(m\)에 대해

\[\lim_{n \to \infty} s_{m,n} = 0\]

이므로

(5) \(\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} s_{m,n} = 0\)

7.3 Example

다음과 같이 정의하고

\[f_n(x) = \frac{x^2}{(1 + x^2)^n} \quad (x \text{ real}; n = 0, 1, 2, \dots)\]

다음을 고려합니다.

(6) \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} f_n(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^2}{(1 + x^2)^n}\)

\(f_n(0) = 0\)이므로 \(f(0) = 0\)입니다. \(x \neq 0\)일 때, (6)의 마지막 series는 sum이 \(1 + x^2\)인 convergent geometric series입니다 (Theorem 3.26). 따라서

(7) \(f(x) = \begin{cases} 0 & (x = 0) \\ 1 + x^2 & (x \neq 0) \end{cases}\)

이므로 continuous function의 convergent series는 discontinuous sum을 가질 수 있습니다.

7.4 Example

\(m = 1, 2, 3, \dots\)에 대해 다음을 정의합니다.

\[f_m(x) = \lim_{n \to \infty} (\cos m!\pi x)^{2n}\]

\(m!x\)가 integer일 때, \(f_m(x) = 1\)입니다. 다른 모든 \(x\) 값에 대해 \(f_m(x) = 0\)입니다. 이제 다음을 정의합니다.

\[f(x) = \lim_{m \to \infty} f_m(x)\]

irrational \(x\)에 대해 \(f_m(x) = 0\)이 모든 \(m\)에 대해 성립하므로 \(f(x) = 0\)입니다. rational \(x\)에 대해, 예를 들어 \(x = p/q\) (여기서 \(p\)와 \(q\)는 integer)라고 하면, \(m \ge q\)일 때 \(m!x\)는 integer이므로 \(f_m(x) = 1\)입니다. 따라서

(8) \(\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} (\cos m!\pi x)^{2n} = \begin{cases} 0 & (x \text{ irrational}) \\ 1 & (x \text{ rational}) \end{cases}\)

우리는 이로써 everywhere discontinuous limit function을 얻었으며, 이는 Riemann-integrable이 아닙니다 (Exercise 4, Chap. 6).

7.5 Example

다음과 같이 정의하고

(9) \(f_n(x) = \frac{\sin nx}{\sqrt{n}} \quad (x \text{ real}, n = 1, 2, 3, \dots)\)

다음과 같습니다.

\[f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0\]

그러면 \(f'(x) = 0\)이고

\[f_n'(x) = \sqrt{n} \cos nx\]

이므로 \(\{f_n'\}\)은 \(f'\)에 converge하지 않습니다. 예를 들어,

\[f_n'(0) = \sqrt{n} \to +\infty\]

\(n \to \infty\)일 때, 반면에 \(f'(0) = 0\)입니다.

7.6 Example

다음과 같이 정의합니다.

(10) \(f_n(x) = n^2x(1 - x^2)^n \quad (0 \le x \le 1, n = 1, 2, 3, \dots)\)

\(0 < x \le 1\)에 대해, Theorem 3.20(d)에 의해 다음이 성립합니다.

\[\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0\]

\(f_n(0) = 0\)이므로 다음을 알 수 있습니다.

(11) \(\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \quad (0 \le x \le 1)\)

간단한 계산을 통해 다음이 성립함을 알 수 있습니다.

\[\int_0^1 x(1 - x^2)^n dx = \frac{1}{2n + 2}\]

따라서 (11)에도 불구하고

\[\int_0^1 f_n(x) dx = \frac{n^2}{2n + 2} \to \infty\]

\(n \to \infty\)일 때.

(10)에서 \(n^2\)을 \(n\)으로 바꾸면 (11)은 여전히 성립하지만, 이제 다음이 성립합니다.

\[\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x) dx = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n + 2} = \frac{1}{2}\]

반면에

\[\int_0^1 \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx = 0\]

입니다.

따라서 integral의 limit는 limit의 integral과 같을 필요가 없으며, 두 limit가 모두 finite인 경우에도 마찬가지입니다.

limit process를 부주의하게 교환하면 무엇이 잘못될 수 있는지 보여주는 이러한 예시들 후에, 이제 우리는 Definition 7.1에 정의된 pointwise convergence보다 더 강력한 새로운 convergence mode를 정의할 것이며, 이는 긍정적인 결과를 얻을 수 있도록 해줄 것입니다.

UNIFORM CONVERGENCE

7.7 Definition

function의 sequence \(\{f_n\}\), \(n = 1, 2, 3, \dots\)이 set \(E\)에서 function \(f\)로 uniformly converge한다고 말하는 것은 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 integer \(N\)이 존재하여 \(n \ge N\)일 때 다음이 성립하는 경우입니다.

(12) \(\vert f_n(x) - f(x) \vert \le \varepsilon\)

모든 \(x \in E\)에 대해.

모든 uniformly convergent sequence는 pointwise convergent임이 분명합니다. 두 개념의 차이점은 다음과 같습니다. 만약 \(\{f_n\}\)이 \(E\)에서 pointwise converge한다면, 모든 \(\varepsilon > 0\)과 모든 \(x \in E\)에 대해, \(n \ge N\)일 때 (12)가 성립하는 integer \(N\)이 존재하며, 이 \(N\)은 \(\varepsilon\)와 \(x\)에 따라 달라집니다. 만약 \(\{f_n\}\)이 \(E\)에서 uniformly converge한다면, 각 \(\varepsilon > 0\)에 대해 모든 \(x \in E\)에 대해 적용될 수 있는 하나의 integer \(N\)을 찾을 수 있습니다.

partial sum의 sequence \(\{s_n\}\)이 다음으로 정의될 때, series \(\sum f_n(x)\)가 \(E\)에서 uniformly converge한다고 말합니다.

\[s_n(x) = \sum_{i=1}^n f_i(x)\]

이것이 \(E\)에서 uniformly converge하는 경우입니다.

uniform convergence에 대한 Cauchy criterion은 다음과 같습니다.

7.8 Theorem

set \(E\)에 정의된 function의 sequence \(\{f_n\}\)은 \(E\)에서 uniformly converge하는 것은 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 integer \(N\)이 존재하여 \(m \ge N\), \(n \ge N\), \(x \in E\)일 때 다음이 성립하는 경우에만 해당합니다.

(13) \(\vert f_n(x) - f_m(x) \vert \le \varepsilon\)

Proof \(\{f_n\}\)이 \(E\)에서 uniformly converge한다고 가정하고, \(f\)를 limit function이라고 합시다. 그러면 integer \(N\)이 존재하여 \(n \ge N\), \(x \in E\)일 때 다음이 성립합니다.

\[\vert f_n(x) - f(x) \vert \le \frac{\varepsilon}{2}\]

따라서

\[\vert f_n(x) - f_m(x) \vert \le \vert f_n(x) - f(x) \vert + \vert f(x) - f_m(x) \vert \le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\]

\(n \ge N\), \(m \ge N\), \(x \in E\)일 때.

반대로, Cauchy condition이 성립한다고 가정합니다. Theorem 3.11에 의해, sequence \(\{f_n(x)\}\)는 모든 \(x\)에 대해 limit로 converge하며, 이를 \(f(x)\)라고 부를 수 있습니다. 따라서 sequence \(\{f_n\}\)은 \(E\)에서 \(f\)로 converge합니다. 우리는 convergence가 uniform임을 증명해야 합니다.

\(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 하고, (13)이 성립하는 \(N\)을 선택합니다. \(n\)을 고정하고, (13)에서 \(m \to \infty\)로 보냅니다. \(f_m(x) \to f(x)\)이 \(m \to \infty\)일 때 성립하므로, 다음을 얻습니다.

(14) \(\vert f_n(x) - f(x) \vert \le \varepsilon\)

모든 \(n \ge N\)과 모든 \(x \in E\)에 대해, 이는 proof를 완료합니다.

다음 criterion은 때때로 유용합니다.

7.9 Theorem

다음을 가정합니다.

\[\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) \quad (x \in E)\]

다음을 정의합니다.

\[M_n = \sup_{x \in E} \vert f_n(x) - f(x) \vert\]

그러면 \(f_n \to f\)가 \(E\)에서 uniformly 성립하는 것은 \(M_n \to 0\)이 \(n \to \infty\)일 때 성립하는 경우에만 해당합니다.

이는 Definition 7.7의 직접적인 결과이므로, proof의 세부 사항은 생략합니다.

series에 대해서는 Weierstrass에 의한 매우 편리한 uniform convergence test가 있습니다.

7.10 Theorem

set \(E\)에 정의된 function의 sequence \(\{f_n\}\)이 있고, 다음을 가정합니다.

\[\vert f_n(x) \vert \le M_n \quad (x \in E, n = 1, 2, 3, \dots)\]

그러면 \(\sum f_n\)이 \(E\)에서 uniformly converge하는 것은 \(\sum M_n\)이 converge하는 경우에 해당합니다.

역은 주장되지 않으며 (실제로 사실이 아닙니다).

Proof 만약 \(\sum M_n\)이 converge한다면, 임의의 \(\varepsilon > 0\)에 대해

\[\left\vert \sum_{i=n}^m f_i(x) \right\vert \le \sum_{i=n}^m M_i \le \varepsilon \quad (x \in E)\]

\(m\)과 \(n\)이 충분히 클 때 성립합니다. uniform convergence는 이제 Theorem 7.8로부터 따릅니다.

UNIFORM CONVERGENCE AND CONTINUITY

7.11 Theorem

metric space의 set \(E\)에서 \(f_n \to f\)가 uniformly 성립한다고 가정합니다. \(x\)를 \(E\)의 limit point라고 하고, 다음을 가정합니다.

(15) \(\lim_{t \to x} f_n(t) = A_n \quad (n = 1, 2, 3, \dots)\)

그러면 \(\{A_n\}\)은 converge하고

(16) \(\lim_{t \to x} f(t) = \lim_{n \to \infty} A_n\)

다른 말로 하면, 결론은 다음과 같습니다.

(17) \(\lim_{t \to x} \lim_{n \to \infty} f_n(t) = \lim_{n \to \infty} \lim_{t \to x} f_n(t)\)

Proof \(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 합시다. \(\{f_n\}\)의 uniform convergence에 의해, \(N\)이 존재하여 \(n \ge N\), \(m \ge N\), \(t \in E\)일 때 다음이 성립합니다.

(18) \(\vert f_n(t) - f_m(t) \vert \le \varepsilon\)

(18)에서 \(t \to x\)로 보내면 다음을 얻습니다.

\[\vert A_n - A_m \vert \le \varepsilon\]

\(n \ge N\), \(m \ge N\)에 대해, 따라서 \(\{A_n\}\)은 Cauchy sequence이고 converge합니다. 이를 \(A\)라고 합시다.

다음으로,

(19) \(\vert f(t) - A \vert \le \vert f(t) - f_n(t) \vert + \vert f_n(t) - A_n \vert + \vert A_n - A \vert\)

우리는 먼저 \(n\)을 다음과 같이 선택합니다.

(20) \(\vert f(t) - f_n(t) \vert \le \frac{\varepsilon}{3}\)

모든 \(t \in E\)에 대해 (이는 uniform convergence에 의해 가능합니다), 그리고 다음이 성립하도록 합니다.

(21) \(\vert A_n - A \vert \le \frac{\varepsilon}{3}\)

그러면 이 \(n\)에 대해, 우리는 \(x\)의 neighborhood \(V\)를 다음과 같이 선택합니다.

(22) \(\vert f_n(t) - A_n \vert \le \frac{\varepsilon}{3}\)

\(t \in V \cap E\), \(t \neq x\)일 때.

부등식 (20)부터 (22)를 (19)에 대입하면 다음을 알 수 있습니다.

\[\vert f(t) - A \vert \le \varepsilon\]

\(t \in V \cap E\), \(t \neq x\)일 때. 이는 (16)과 동등합니다.

7.12 Theorem

만약 \(\{f_n\}\)이 \(E\)에서 continuous function의 sequence이고, \(f_n \to f\)가 \(E\)에서 uniformly 성립한다면, \(f\)는 \(E\)에서 continuous입니다.

이 매우 중요한 결과는 Theorem 7.11의 직접적인 corollary입니다.

역은 사실이 아닙니다. 즉, continuous function의 sequence는 continuous function으로 converge할 수 있지만, convergence는 uniform이 아닐 수 있습니다. Example 7.6이 이러한 종류입니다 (이를 확인하려면 Theorem 7.9를 적용하십시오). 그러나 역을 주장할 수 있는 경우가 있습니다.

7.13 Theorem

\(K\)가 compact이고,

(a) \(\{f_n\}\)이 \(K\)에서 continuous function의 sequence이고, (b) \(\{f_n\}\)이 \(K\)에서 continuous function \(f\)로 pointwise converge하고, (c) 모든 \(x \in K\), \(n = 1, 2, 3, \dots\)에 대해 \(f_n(x) \ge f_{n+1}(x)\)라면,

그러면 \(f_n \to f\)는 \(K\)에서 uniformly 성립합니다.

Proof \(g_n = f_n - f\)로 놓습니다. 그러면 \(g_n\)은 continuous이고, \(g_n \to 0\)은 pointwise이며, \(g_n \ge g_{n+1}\)입니다. 우리는 \(g_n \to 0\)이 \(K\)에서 uniformly 성립함을 증명해야 합니다.

\(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 합시다. \(K_n\)을 \(g_n(x) \ge \varepsilon\)인 모든 \(x \in K\)의 set이라고 합시다. \(g_n\)은 continuous이므로, \(K_n\)은 closed입니다 (Theorem 4.8), 따라서 compact입니다 (Theorem 2.35). \(g_n \ge g_{n+1}\)이므로, \(K_n \supset K_{n+1}\)입니다. \(x \in K\)를 고정합니다. \(g_n(x) \to 0\)이므로, \(n\)이 충분히 크면 \(x \notin K_n\)임을 알 수 있습니다. 따라서 \(\bigcap K_n\)은 empty입니다. 그러므로 Theorem 2.36에 의해 어떤 \(N\)에 대해 \(K_N\)은 empty입니다. 이는 모든 \(x \in K\)와 모든 \(n \ge N\)에 대해 \(0 \le g_n(x) < \varepsilon\)임을 의미합니다. 이는 theorem을 증명합니다.

여기서 compactness가 정말로 필요하다는 점에 유의합시다. 예를 들어,

\[f_n(x) = \frac{1}{nx + 1} \quad (0 < x < 1; n = 1, 2, 3, \dots)\]

이라면, \(f_n(x) \to 0\)은 \((0, 1)\)에서 monotonically 성립하지만, convergence는 uniform이 아닙니다.

7.14 Definition

\(X\)가 metric space일 때, \(\mathscr{C}(X)\)는 domain이 \(X\)인 모든 complex-valued, continuous, bounded function의 set을 나타냅니다.

[Note: \(X\)가 compact이면 boundedness는 중복됩니다 (Theorem 4.15). 따라서 \(X\)가 compact이면 \(\mathscr{C}(X)\)는 \(X\)에서 모든 complex continuous function으로 구성됩니다.]

각 \(f \in \mathscr{C}(X)\)에 supremum norm을 연결합니다.

\[\Vert f \Vert = \sup_{x \in X} \vert f(x) \vert\]

\(f\)는 bounded로 가정되므로 \(\Vert f \Vert < \infty\)입니다. \(\Vert f \Vert = 0\)은 모든 \(x \in X\)에 대해 \(f(x) = 0\)인 경우에만, 즉 \(f = 0\)인 경우에만 성립함이 분명합니다. 만약 \(h = f + g\)라면,

\[\vert h(x) \vert \le \vert f(x) \vert + \vert g(x) \vert \le \Vert f \Vert + \Vert g \Vert\]

모든 \(x \in X\)에 대해 성립하므로

\[\Vert f + g \Vert \le \Vert f \Vert + \Vert g \Vert\]

입니다.

만약 우리가 \(f \in \mathscr{C}(X)\)와 \(g \in \mathscr{C}(X)\) 사이의 distance를 \(\Vert f - g \Vert\)로 정의한다면, metric에 대한 Axiom 2.15가 충족됨을 알 수 있습니다.

우리는 이로써 \(\mathscr{C}(X)\)를 metric space로 만들었습니다.

Theorem 7.9는 다음과 같이 다시 표현될 수 있습니다.

sequence \(\{f_n\}\)이 \(\mathscr{C}(X)\)의 metric에 대해 \(f\)로 converge하는 것은 \(f_n \to f\)가 \(X\)에서 uniformly 성립하는 경우에만 해당합니다.

따라서 \(\mathscr{C}(X)\)의 closed subset은 때때로 uniformly closed라고 불리며, set \(\mathscr{A} \subset \mathscr{C}(X)\)의 closure는 uniform closure라고 불립니다.

7.15 Theorem

위의 metric은 \(\mathscr{C}(X)\)를 complete metric space로 만듭니다.

Proof \(\{f_n\}\)이 \(\mathscr{C}(X)\)의 Cauchy sequence라고 합시다. 이는 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(N\)이 존재하여 \(n \ge N\)이고 \(m \ge N\)일 때 \(\Vert f_n - f_m \Vert < \varepsilon\)임을 의미합니다. Theorem 7.8에 의해, \(\{f_n\}\)이 uniformly converge하는 domain이 \(X\)인 function \(f\)가 존재합니다. Theorem 7.12에 의해, \(f\)는 continuous입니다. 또한, \(n\)이 존재하여 모든 \(x \in X\)에 대해 \(\vert f_n(x) - f(x) \vert < 1\)이고 \(f_n\)이 bounded이므로, \(f\)는 bounded입니다.

따라서 \(f \in \mathscr{C}(X)\)이고, \(f_n \to f\)가 \(X\)에서 uniformly 성립하므로, \(\Vert f - f_n \Vert \to 0\)이 \(n \to \infty\)일 때 성립합니다.

UNIFORM CONVERGENCE AND INTEGRATION

7.16 Theorem

\(\alpha\)가 \([a, b]\)에서 monotonically increasing한다고 가정합니다. \(\int_a^b f_n d\alpha\)가 \([a, b]\)에서 \(n = 1, 2, 3, \dots\)에 대해 Riemann-Stieltjes integrable이고, \(f_n \to f\)가 \([a, b]\)에서 uniformly 성립한다고 가정합니다. 그러면 \(f\)는 \([a, b]\)에서 Riemann-Stieltjes integrable이고

(23) \(\int_a^b f d\alpha = \lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n d\alpha\)

(limit의 존재는 결론의 일부입니다.)

Proof real \(f_n\)에 대해 이것을 증명하는 것으로 충분합니다. 다음을 정의합니다.

(24) \(\varepsilon_n = \sup_{a \le x \le b} \vert f_n(x) - f(x) \vert\)

supremum은 \(a \le x \le b\)에 대해 취해집니다. 그러면

\[f_n - \varepsilon_n \le f \le f_n + \varepsilon_n\]

이므로 \(f\)의 upper integral과 lower integral (Definition 6.2 참조)은 다음을 만족합니다.

\[\int_a^b (f_n - \varepsilon_n) d\alpha \le \int_a^b f d\alpha \le \overline{\int_a^b} f d\alpha \le \int_a^b (f_n + \varepsilon_n) d\alpha\]

따라서

(25) \(0 \le \overline{\int_a^b} f d\alpha - \underline{\int_a^b} f d\alpha \le 2\varepsilon_n [\alpha(b) - \alpha(a)]\)

\(\varepsilon_n \to 0\)이 \(n \to \infty\)일 때 성립하므로 (Theorem 7.9), \(f\)의 upper integral과 lower integral은 같습니다.

따라서 \(f \in \mathscr{R}(\alpha)\)입니다. (25)의 또 다른 적용은 다음을 산출합니다.

(26) \(\left\vert \int_a^b f d\alpha - \int_a^b f_n d\alpha \right\vert \le \varepsilon_n [\alpha(b) - \alpha(a)]\)

이는 (23)을 의미합니다.

Corollary 만약 \(f_n \in \mathscr{R}(\alpha)\)가 \([a, b]\)에서 성립하고

\[f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \quad (a \le x \le b)\]

series가 \([a, b]\)에서 uniformly converge한다면,

\[\int_a^b f d\alpha = \sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b f_n d\alpha\]

다른 말로 하면, series는 term by term으로 integrate될 수 있습니다.

UNIFORM CONVERGENCE AND DIFFERENTIATION

우리는 이미 Example 7.5에서 \(\{f_n\}\)의 uniform convergence가 \(\{f_n'\}\) sequence에 대해 아무것도 의미하지 않음을 보았습니다. 따라서 \(f_n' \to f'\)가 \(f_n \to f\)일 때 성립한다는 주장을 위해서는 더 강력한 가설이 필요합니다.

7.17 Theorem

\(\{f_n\}\)이 \([a, b]\)에서 differentiable function의 sequence이고, \(\{f_n(x_0)\}\)가 \([a, b]\)의 어떤 point \(x_0\)에 대해 converge한다고 가정합니다. 만약 \(\{f_n'\}\)이 \([a, b]\)에서 uniformly converge한다면, \(\{f_n\}\)은 \([a, b]\)에서 function \(f\)로 uniformly converge하고

(27) \(f'(x) = \lim_{n \to \infty} f_n'(x) \quad (a \le x \le b)\)

Proof \(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 합시다. \(N\)을 선택하여 \(n \ge N\), \(m \ge N\)일 때 다음이 성립하도록 합니다.

(28) \(\vert f_n(x_0) - f_m(x_0) \vert < \frac{\varepsilon}{2}\)

그리고

(29) \(\vert f_n'(t) - f_m'(t) \vert < \frac{\varepsilon}{2(b - a)} \quad (a \le t \le b)\)

function \(f_n - f_m\)에 mean value theorem 5.19를 적용하면, (29)는 다음을 보여줍니다.

(30) \(\vert (f_n(x) - f_m(x)) - (f_n(t) - f_m(t)) \vert \le \frac{\vert x - t \vert \varepsilon}{2(b - a)} \le \frac{\varepsilon}{2}\)

모든 \(x\)와 \(t\)가 \([a, b]\)에 있고, \(n \ge N\), \(m \ge N\)일 때. 부등식

\[\vert f_n(x) - f_m(x) \vert \le \vert (f_n(x) - f_m(x)) - (f_n(x_0) - f_m(x_0)) \vert + \vert f_n(x_0) - f_m(x_0) \vert\]

은 (28)과 (30)에 의해 다음을 의미합니다.

\[\vert f_n(x) - f_m(x) \vert < \varepsilon \quad (a \le x \le b, n \ge N, m \ge N)\]

따라서 \(\{f_n\}\)은 \([a, b]\)에서 uniformly converge합니다. 다음을 정의합니다.

\[f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \quad (a \le x \le b)\]

이제 \([a, b]\)의 point \(x\)를 고정하고 다음을 정의합니다.

(31) \(\phi_n(t) = \frac{f_n(t) - f_n(x)}{t - x}, \quad \phi(t) = \frac{f(t) - f(x)}{t - x}\)

\(a \le t \le b\), \(t \neq x\)에 대해. 그러면

(32) \(\lim_{t \to x} \phi_n(t) = f_n'(x) \quad (n = 1, 2, 3, \dots)\)

(30)의 첫 번째 부등식은 다음을 보여줍니다.

\[\vert \phi_n(t) - \phi_m(t) \vert \le \frac{\varepsilon}{2(b - a)} \quad (n \ge N, m \ge N)\]

따라서 \(\{\phi_n\}\)은 \(t \neq x\)에 대해 uniformly converge합니다. \(\{f_n\}\)이 \(f\)로 converge하므로, (31)로부터 다음을 결론 내릴 수 있습니다.

(33) \(\lim_{n \to \infty} \phi_n(t) = \phi(t)\)

\(a \le t \le b\), \(t \neq x\)에 대해 uniformly 성립합니다.

이제 Theorem 7.11을 \(\{\phi_n\}\)에 적용하면, (32)와 (33)은 다음을 보여줍니다.

\[\lim_{t \to x} \phi(t) = \lim_{n \to \infty} f_n'(x)\]

그리고 이는 \(\phi(t)\)의 정의에 의해 (27)입니다.

Remark: 만약 function \(f_n'\)의 continuity가 위의 가설에 추가로 가정된다면, (27)의 훨씬 짧은 proof는 Theorem 7.16과 fundamental theorem of calculus에 기반할 수 있습니다.

7.18 Theorem

real line에 nowhere differentiable인 real continuous function이 존재합니다.

Proof 다음을 정의합니다.

(34) \(\varphi(x) = \vert x \vert \quad (-1 \le x \le 1)\)

그리고 \(\varphi(x + 2) = \varphi(x)\)를 요구함으로써 \(\varphi(x)\)의 정의를 모든 real \(x\)로 확장합니다.

(35) \(\varphi(x + 2) = \varphi(x)\)

그러면 모든 \(s\)와 \(t\)에 대해

(36) \(\vert \varphi(s) - \varphi(t) \vert \le \vert s - t \vert\)

특히, \(\varphi\)는 \(R^1\)에서 continuous입니다. 다음을 정의합니다.

(37) \(f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n \varphi(4^n x)\)

\(0 \le 3/4 \le 1\)이므로, Theorem 7.10은 series (37)이 \(R^1\)에서 uniformly converge함을 보여줍니다. Theorem 7.12에 의해, \(f\)는 \(R^1\)에서 continuous입니다.

이제 real number \(x\)와 positive integer \(m\)을 고정합니다. 다음을 정의합니다.

(38) \(\delta_m = \pm 4^{-m}\)

여기서 sign은 \(4^m x\)와 \(4^m(x + \delta_m)\) 사이에 integer가 없도록 선택됩니다. 이는 \(4^m \vert \delta_m \vert = 1\)이므로 가능합니다. 다음을 정의합니다.

(39) \(\gamma_n = \frac{\varphi(4^n(x + \delta_m)) - \varphi(4^n x)}{\delta_m}\)

\(n > m\)일 때, \(4^n \delta_m\)은 even integer이므로 \(\gamma_n = 0\)입니다. \(0 \le n \le m\)일 때, (36)은 \(\vert \gamma_n \vert \le 4^n\)을 의미합니다.

\(\vert \gamma_m \vert = 4^m\)이므로, 다음을 결론 내릴 수 있습니다.

\[\left\vert \frac{f(x + \delta_m) - f(x)}{\delta_m} \right\vert = \left\vert \sum_{n=0}^m \left(\frac{3}{4}\right)^n \gamma_n \right\vert \ge \left(\frac{3}{4}\right)^m 4^m - \sum_{n=0}^{m-1} \left(\frac{3}{4}\right)^n 4^n = 3^m - \sum_{n=0}^{m-1} 3^n = 3^m - \frac{3^m - 1}{3 - 1} = 3^m - \frac{3^m - 1}{2} = \frac{2 \cdot 3^m - 3^m + 1}{2} = \frac{3^m + 1}{2}\]

\(m \to \infty\)일 때, \(\delta_m \to 0\)입니다. 이는 \(f\)가 \(x\)에서 differentiable이 아님을 의미합니다.

EQUICONTINUOUS FAMILIES OF FUNCTIONS

Theorem 3.6에서 우리는 모든 bounded sequence의 complex number가 convergent subsequence를 포함한다는 것을 보았고, function의 sequence에 대해서도 비슷한 것이 사실인지 의문이 생깁니다. 질문을 더 정확하게 하기 위해, 우리는 두 가지 종류의 boundedness를 정의할 것입니다.

7.19 Definition

set \(E\)에 정의된 function의 sequence \(\{f_n\}\)이 있다고 합시다.

우리는 \(\{f_n\}\)이 \(E\)에서 pointwise bounded라고 말하는 것은 sequence \(\{f_n(x)\}\)가 모든 \(x \in E\)에 대해 bounded인 경우, 즉 finite-valued function \(\phi\)가 \(E\)에 정의되어 다음이 성립하는 경우입니다.

\[\vert f_n(x) \vert < \phi(x) \quad (x \in E, n = 1, 2, 3, \dots)\]

우리는 \(\{f_n\}\)이 \(E\)에서 uniformly bounded라고 말하는 것은 number \(M\)이 존재하여 다음이 성립하는 경우입니다.

\[\vert f_n(x) \vert < M \quad (x \in E, n = 1, 2, 3, \dots)\]

이제 만약 \(\{f_n\}\)이 \(E\)에서 pointwise bounded이고 \(E_1\)이 \(E\)의 countable subset이라면, 모든 \(x \in E_1\)에 대해 \(\{f_{n_k}(x)\}\)가 converge하는 subsequence \(\{f_{n_k}\}\)를 항상 찾을 수 있습니다. 이는 Theorem 7.23의 proof에 사용되는 diagonal process를 통해 수행될 수 있습니다.

그러나, 만약 \(\{f_n\}\)이 compact set \(E\)에서 continuous function의 uniformly bounded sequence라 할지라도, pointwise converge하는 subsequence가 존재할 필요는 없습니다. 다음 예시에서는, 우리가 현재 가지고 있는 도구로는 이를 증명하기가 상당히 어려울 것이지만, Chap. 11의 theorem에 의존하면 proof는 상당히 간단합니다.

7.20 Example

다음과 같이 정의합니다.

\[f_n(x) = \sin nx \quad (0 \le x \le 2\pi, n = 1, 2, 3, \dots)\]

\(\{n_k\}\) sequence가 존재하여 \(\{\sin n_k x\}\)가 모든 \(x \in [0, 2\pi]\)에 대해 converge한다고 가정합니다. 이 경우 다음이 성립해야 합니다.

\[\lim_{k \to \infty} (\sin n_k x - \sin n_{k+1} x) = 0 \quad (0 \le x \le 2\pi)\]

따라서

(40) \(\lim_{k \to \infty} (\sin n_k x - \sin n_{k+1} x)^2 = 0 \quad (0 \le x \le 2\pi)\)

boundedly convergent sequence의 integration에 관한 Lebesgue’s theorem (Theorem 11.32)에 의해, (40)은 다음을 의미합니다.

(41) \(\lim_{k \to \infty} \int_0^{2\pi} (\sin n_k x - \sin n_{k+1} x)^2 dx = 0\)

그러나 간단한 계산은 다음을 보여줍니다.

\[\int_0^{2\pi} (\sin n_k x - \sin n_{k+1} x)^2 dx = 2\pi\]

이는 (41)과 모순됩니다.

또 다른 질문은 모든 convergent sequence가 uniformly convergent subsequence를 포함하는지 여부입니다. 다음 예시는 sequence가 compact set에서 uniformly bounded인 경우에도 이것이 사실이 아닐 수 있음을 보여줄 것입니다. (Example 7.6은 bounded function의 sequence가 uniformly bounded가 아니면서 converge할 수 있음을 보여주지만, bounded function의 sequence의 uniform convergence가 uniform boundedness를 의미한다는 것은 자명합니다.)

7.21 Example

다음과 같이 정의합니다.

\[f_n(x) = \frac{x^2}{x^2 + (1 - nx)^2} \quad (0 \le x \le 1, n = 1, 2, 3, \dots)\]

그러면 \(\vert f_n(x) \vert \le 1\)이므로 \(\{f_n\}\)은 \([0, 1]\)에서 uniformly bounded입니다. 또한

\[\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \quad (0 \le x \le 1)\]

이지만

\[f_n\left(\frac{1}{n}\right) = 1 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)\]

이므로 어떤 subsequence도 \([0, 1]\)에서 uniformly converge할 수 없습니다.

이러한 맥락에서 필요한 개념은 equicontinuity입니다. 이는 다음 definition에 주어져 있습니다.

7.22 Definition

metric space \(X\)의 set \(E\)에 정의된 complex function의 family \(\mathscr{F}\)가 \(E\)에서 equicontinuous라고 말하는 것은 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(\delta > 0\)이 존재하여 다음이 성립하는 경우입니다.

\[\vert f(x) - f(y) \vert < \varepsilon\]

\(d(x, y) < \delta\), \(x \in E\), \(y \in E\), 그리고 \(f \in \mathscr{F}\)일 때마다. 여기서 \(d\)는 \(X\)의 metric을 나타냅니다.

equicontinuous family의 모든 member는 uniformly continuous임이 분명합니다.

Example 7.21의 sequence는 equicontinuous가 아닙니다.

Theorem 7.24와 7.25는 equicontinuity와 continuous function의 sequence의 uniform convergence 사이에 매우 밀접한 관계가 있음을 보여줄 것입니다. 그러나 먼저 continuity와는 관련 없는 selection process를 설명합니다.

7.23 Theorem

만약 \(\{f_n\}\)이 countable set \(E\)에서 complex function의 pointwise bounded sequence라면, \(\{f_n\}\)은 모든 \(x \in E\)에 대해 \(\{f_{n_k}(x)\}\)가 converge하는 subsequence \(\{f_{n_k}\}\)를 가집니다.

Proof \(E\)의 point들을 sequence로 배열하여 \(\{x_i\}\), \(i = 1, 2, 3, \dots\)라고 합시다. \(\{f_n(x_1)\}\)은 bounded이므로, subsequence \(\{f_{1,k}\}\)가 존재하여 \(\{f_{1,k}(x_1)\}\)이 \(k \to \infty\)일 때 converge합니다.

이제 sequence \(S_1, S_2, S_3, \dots\)를 고려합니다. 이를 array로 나타내면 다음과 같습니다.

\(S_1: f_{1,1} \quad f_{1,2} \quad f_{1,3} \quad f_{1,4} \quad \dots\) \(S_2: f_{2,1} \quad f_{2,2} \quad f_{2,3} \quad f_{2,4} \quad \dots\) \(S_3: f_{3,1} \quad f_{3,2} \quad f_{3,3} \quad f_{3,4} \quad \dots\) \(\dots\)

그리고 다음 property를 가집니다.

(a) \(S_n\)은 \(S_{n-1}\)의 subsequence입니다 (\(n = 2, 3, 4, \dots\)). (b) \(\{f_{n,k}(x_n)\}\)은 \(k \to \infty\)일 때 converge합니다 (\(\{f_n(x_n)\}\)의 boundedness로 인해 \(S_n\)을 이 방식으로 선택할 수 있습니다). (c) function이 나타나는 순서는 각 sequence에서 동일합니다. 즉, \(S_1\)에서 한 function이 다른 function보다 먼저 나타나면, 그들은 삭제되기 전까지 모든 \(S_n\)에서 동일한 관계를 유지합니다. 따라서 위 array에서 한 row에서 다음 row로 이동할 때, function은 왼쪽으로 이동할 수 있지만 오른쪽으로는 절대 이동할 수 없습니다.

이제 array의 diagonal을 따라 내려갑니다. 즉, sequence

\[S: f_{1,1} \quad f_{2,2} \quad f_{3,3} \quad f_{4,4} \quad \dots\]

를 고려합니다.

(c)에 의해, sequence \(S\) (아마도 첫 \(n-1\)개 term을 제외하고)는 \(n = 1, 2, 3, \dots\)에 대해 \(S_n\)의 subsequence입니다. 따라서 (b)는 \(\{f_{n,n}(x_i)\}\)가 모든 \(x_i \in E\)에 대해 \(n \to \infty\)일 때 converge함을 의미합니다.

7.24 Theorem

만약 \(K\)가 compact metric space이고, \(f_n \in \mathscr{C}(K)\)가 \(n = 1, 2, 3, \dots\)에 대해 성립하며, \(\{f_n\}\)이 \(K\)에서 uniformly converge한다면, \(\{f_n\}\)은 \(K\)에서 equicontinuous입니다.

Proof \(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 합시다. \(\{f_n\}\)이 uniformly converge하므로, integer \(N\)이 존재하여 다음이 성립합니다.

(42) \(\Vert f_n - f_N \Vert < \varepsilon \quad (n > N)\)

(Definition 7.14 참조). continuous function은 compact set에서 uniformly continuous이므로, \(\delta > 0\)이 존재하여 다음이 성립합니다.

(43) \(\vert f_i(x) - f_i(y) \vert < \varepsilon\)

\(1 \le i \le N\)이고 \(d(x, y) < \delta\)일 때.

만약 \(n > N\)이고 \(d(x, y) < \delta\)라면, 다음이 성립합니다.

\[\vert f_n(x) - f_n(y) \vert \le \vert f_n(x) - f_N(x) \vert + \vert f_N(x) - f_N(y) \vert + \vert f_N(y) - f_n(y) \vert < \varepsilon + \varepsilon + \varepsilon = 3\varepsilon\]

(43)과 함께, 이는 theorem을 증명합니다.

7.25 Theorem

만약 \(K\)가 compact이고, \(f_n \in \mathscr{C}(K)\)가 \(n = 1, 2, 3, \dots\)에 대해 성립하며, \(\{f_n\}\)이 \(K\)에서 pointwise bounded이고 equicontinuous라면,

(a) \(\{f_n\}\)은 \(K\)에서 uniformly bounded이고, (b) \(\{f_n\}\)은 uniformly convergent subsequence를 포함합니다.

Proof (a) \(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 하고, Definition 7.22에 따라 \(\delta > 0\)을 선택하여 다음이 성립하도록 합니다.

(44) \(\vert f_n(x) - f_n(y) \vert < \varepsilon\)

모든 \(n\)에 대해, \(d(x, y) < \delta\)일 때.

\(K\)는 compact이므로, \(K\)에는 finite한 point \(p_1, \dots, p_r\)이 존재하여 \(K\)의 모든 \(x\)에 대해 \(d(x, p_i) < \delta\)인 point \(p_i\)가 적어도 하나 존재합니다. \(\{f_n\}\)은 pointwise bounded이므로, 모든 \(n\)에 대해 \(\vert f_n(p_i) \vert < M_i < \infty\)인 \(M_i\)가 존재합니다. 만약 \(M = \max(M_1, \dots, M_r)\)이라면, 모든 \(x \in K\)에 대해 \(\vert f_n(x) \vert < M + \varepsilon\)입니다. 이는 (a)를 증명합니다.

(b) \(E\)를 \(K\)의 countable dense subset이라고 합시다. (이러한 set \(E\)의 존재에 대해서는 Exercise 25, Chap. 2를 참조하십시오.) Theorem 7.23은 \(\{f_n\}\)이 모든 \(x \in E\)에 대해 \(\{f_{n_k}(x)\}\)가 converge하는 subsequence \(\{f_{n_k}\}\)를 가짐을 보여줍니다.

표기법을 단순화하기 위해 \(f_{n_k} = g_k\)로 놓습니다. 우리는 \(\{g_k\}\)가 \(K\)에서 uniformly converge함을 증명할 것입니다.

\(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 하고, 이 proof의 시작 부분에서와 같이 \(\delta > 0\)을 선택합니다. \(V(x, \delta)\)를 \(d(x, y) < \delta\)인 모든 \(y \in K\)의 set이라고 합시다. \(E\)는 \(K\)에서 dense이고, \(K\)는 compact이므로, \(E\)에는 finite한 point \(x_1, \dots, x_m\)이 존재하여

(45) \(K \subset V(x_1, \delta) \cup \dots \cup V(x_m, \delta)\)

입니다.

\(\{g_k(x)\}\)는 모든 \(x \in E\)에 대해 converge하므로, integer \(N\)이 존재하여 다음이 성립합니다.

(46) \(\vert g_i(x_s) - g_j(x_s) \vert < \varepsilon\)

\(i \ge N\), \(j \ge N\), \(1 \le s \le m\)일 때.

만약 \(x \in K\)라면, (45)는 \(x \in V(x_s, \delta)\)인 어떤 \(s\)가 존재함을 보여주므로,

\[\vert g_i(x) - g_i(x_s) \vert < \varepsilon\]

모든 \(i\)에 대해 성립합니다. 만약 \(i \ge N\)이고 \(j \ge N\)이라면, (46)으로부터 다음이 성립합니다.

\[\vert g_i(x) - g_j(x) \vert \le \vert g_i(x) - g_i(x_s) \vert + \vert g_i(x_s) - g_j(x_s) \vert + \vert g_j(x_s) - g_j(x) \vert < \varepsilon + \varepsilon + \varepsilon = 3\varepsilon\]

이는 proof를 완료합니다.

THE STONE-WEIERSTRASS THEOREM

7.26 Theorem

만약 \(f\)가 \([a, b]\)에서 continuous complex function이라면, polynomial의 sequence \(P_n\)이 존재하여

\[\lim_{n \to \infty} P_n(x) = f(x)\]

\([a, b]\)에서 uniformly 성립합니다. 만약 \(f\)가 real이라면, \(P_n\)도 real로 취할 수 있습니다.

이것은 theorem이 Weierstrass에 의해 처음 발견된 형태입니다.

Proof 우리는 일반성을 잃지 않고 \([a, b] = [0, 1]\)이라고 가정할 수 있습니다. 또한 \(f(0) = f(1) = 0\)이라고 가정할 수 있습니다. 만약 이 경우에 theorem이 증명된다면, 다음을 고려합니다.

\[g(x) = f(x) - f(0) - x[f(1) - f(0)] \quad (0 \le x \le 1)\]

여기서 \(g(0) = g(1) = 0\)이고, 만약 \(g\)가 uniformly convergent sequence의 polynomial의 limit로 얻어질 수 있다면, \(f - g\)가 polynomial이므로 \(f\)에 대해서도 마찬가지임이 분명합니다.

더 나아가, 우리는 \([0, 1]\) 외부의 \(x\)에 대해 \(f(x)\)를 0으로 정의합니다. 그러면 \(f\)는 전체 line에서 uniformly continuous입니다.

우리는 다음을 정의합니다.

(47) \(Q_n(x) = c_n(1 - x^2)^n \quad (n = 1, 2, 3, \dots)\)

여기서 \(c_n\)은 다음이 성립하도록 선택됩니다.

(48) \(\int_{-1}^1 Q_n(x) dx = 1 \quad (n = 1, 2, 3, \dots)\)

우리는 \(c_n\)의 magnitude order에 대한 정보가 필요합니다.

\[\int_{-1}^1 (1 - x^2)^n dx = 2 \int_0^1 (1 - x^2)^n dx \ge 2 \int_0^{1/\sqrt{n}} (1 - x^2)^n dx \ge 2 \int_0^{1/\sqrt{n}} (1 - nx^2) dx = 2 \left[ x - \frac{nx^3}{3} \right]_0^{1/\sqrt{n}} = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{n}{3n\sqrt{n}} \right) = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{3\sqrt{n}} \right) = \frac{4}{3\sqrt{n}}\]

(48)로부터 다음이 따릅니다.

(49) \(c_n < \sqrt{n}\)

우리가 위에서 사용한 부등식 \((1 - x^2)^n \ge 1 - nx^2\)은 function \((1 - x^2)^n - 1 + nx^2\)를 고려함으로써 쉽게 증명될 수 있습니다. 이 function은 \(x = 0\)에서 0이고, \((0, 1)\)에서 derivative가 positive입니다.

임의의 \(\delta > 0\)에 대해, (49)는 다음을 의미합니다.

(50) \(Q_n(x) \le \sqrt{n} (1 - \delta^2)^n \quad (\delta \le \vert x \vert \le 1)\)

따라서 \(Q_n \to 0\)은 \(\delta \le \vert x \vert \le 1\)에서 uniformly 성립합니다.

이제 다음을 정의합니다.

(51) \(P_n(x) = \int_{-1}^1 f(x + t) Q_n(t) dt \quad (0 \le x \le 1)\)

\(f\)에 대한 우리의 가정은 간단한 variable change에 의해 다음을 보여줍니다.

\[P_n(x) = \int_{-x}^{1-x} f(x + t) Q_n(t) dt = \int_0^1 f(t) Q_n(t - x) dt\]

그리고 마지막 integral은 \(x\)에 대한 polynomial임이 분명합니다. 따라서 \(\{P_n\}\)은 polynomial의 sequence이며, \(f\)가 real이면 real입니다.

\(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 하고, \(\vert y - x \vert < \delta\)가 다음을 의미하는 \(\delta > 0\)을 선택합니다.

\[\vert f(y) - f(x) \vert < \frac{\varepsilon}{2}\]

\(M = \sup \vert f(x) \vert\)로 놓습니다. (48), (50), 그리고 \(Q_n(x) \ge 0\)이라는 사실을 사용하여, \(0 \le x \le 1\)에 대해 다음을 알 수 있습니다.

\(\vert P_n(x) - f(x) \vert = \left\vert \int_{-1}^1 [f(x + t) - f(x)] Q_n(t) dt \right\vert \le \int_{-1}^1 \vert f(x + t) - f(x) \vert Q_n(t) dt\) \(\le \int_{-1}^{-\delta} \vert f(x + t) - f(x) \vert Q_n(t) dt + \int_{-\delta}^\delta \vert f(x + t) - f(x) \vert Q_n(t) dt + \int_\delta^1 \vert f(x + t) - f(x) \vert Q_n(t) dt\) \(\le 2M \int_{-1}^{-\delta} Q_n(t) dt + \frac{\varepsilon}{2} \int_{-\delta}^\delta Q_n(t) dt + 2M \int_\delta^1 Q_n(t) dt\) \(\le 4M \sqrt{n} (1 - \delta^2)^n + \frac{\varepsilon}{2}\) \(< \varepsilon\)

\(n\)이 충분히 클 때, 이는 theorem을 증명합니다.

몇몇 \(n\) 값에 대한 \(Q_n\)의 graph를 스케치하는 것은 유익합니다. 또한, 우리는 \(\{P_n\}\)의 uniform convergence를 추론하기 위해 \(f\)의 uniform continuity가 필요했다는 점에 유의하십시오.

Theorem 7.32의 proof에서는 Theorem 7.26의 완전한 강도가 필요하지 않고, corollary로 제시하는 다음 특수한 경우만 필요합니다.

7.27 Corollary

모든 interval \([-a, a]\)에 대해 real polynomial의 sequence \(P_n\)이 존재하여 \(P_n(0) = 0\)이고 다음이 성립합니다.

\[\lim_{n \to \infty} P_n(x) = \vert x \vert\]

\([-a, a]\)에서 uniformly 성립합니다.

Proof Theorem 7.26에 의해, real polynomial의 sequence \(\{P_n^*\}\)이 존재하여 \([-a, a]\)에서 \(\vert x \vert\)로 uniformly converge합니다. 특히, \(P_n^*(0) \to 0\)이 \(n \to \infty\)일 때 성립합니다. polynomial

\[P_n(x) = P_n^*(x) - P_n^*(0) \quad (n = 1, 2, 3, \dots)\]

은 원하는 property를 가집니다.

이제 Weierstrass theorem을 가능하게 하는 polynomial의 property를 분리할 것입니다.

7.28 Definition

set \(E\)에 정의된 complex function의 family \(\mathscr{A}\)가 algebra라고 말하는 것은 (i) \(f + g \in \mathscr{A}\), (ii) \(fg \in \mathscr{A}\), 그리고 (iii) 모든 \(f \in \mathscr{A}\), \(g \in \mathscr{A}\) 및 모든 complex constant \(c\)에 대해 \(cf \in \mathscr{A}\)인 경우입니다. 즉, \(\mathscr{A}\)가 addition, multiplication, scalar multiplication에 대해 closed인 경우입니다. 우리는 또한 real function의 algebra를 고려해야 합니다. 이 경우, (iii)은 물론 모든 real \(c\)에 대해서만 요구됩니다.

만약 \(\mathscr{A}\)가 \(f_n \in \mathscr{A}\) (\(n = 1, 2, 3, \dots\))이고 \(f_n \to f\)가 \(E\)에서 uniformly 성립할 때마다 \(f \in \mathscr{A}\)라는 property를 가진다면, \(\mathscr{A}\)는 uniformly closed라고 말합니다.

\(\mathscr{B}\)를 \(\mathscr{A}\)의 member의 uniformly convergent sequence의 limit인 모든 function의 set이라고 합시다. 그러면 \(\mathscr{B}\)는 \(\mathscr{A}\)의 uniform closure라고 불립니다. (Definition 7.14 참조).

예를 들어, 모든 polynomial의 set은 algebra이며, Weierstrass theorem은 \([a, b]\)에서 continuous function의 set이 polynomial의 set의 uniform closure라고 말함으로써 진술될 수 있습니다.

7.29 Theorem

bounded function의 algebra \(\mathscr{A}\)의 uniform closure \(\mathscr{B}\)는 uniformly closed algebra입니다.

Proof 만약 \(f \in \mathscr{B}\)이고 \(g \in \mathscr{B}\)라면, uniformly convergent sequence \(\{f_n\}\), \(\{g_n\}\)이 존재하여 \(f_n \to f\), \(g_n \to g\)이고 \(f_n \in \mathscr{A}\), \(g_n \in \mathscr{A}\)입니다. 우리는 bounded function을 다루고 있으므로, 다음을 보여주기 쉽습니다.

\[f_n + g_n \to f + g, \quad f_n g_n \to fg, \quad c f_n \to cf\]

여기서 \(c\)는 임의의 constant이며, 각 경우에 convergence는 uniform입니다. 따라서 \(f + g \in \mathscr{B}\), \(fg \in \mathscr{B}\), 그리고 \(cf \in \mathscr{B}\)이므로, \(\mathscr{B}\)는 algebra입니다.

Theorem 2.27에 의해, \(\mathscr{B}\)는 (uniformly) closed입니다.

7.30 Definition

set \(E\)에 정의된 function의 family \(\mathscr{A}\)가 \(E\)에서 point를 separate한다고 말하는 것은 distinct point의 모든 쌍 \(x_1, x_2 \in E\)에 대해 \(f(x_1) \neq f(x_2)\)인 function \(f \in \mathscr{A}\)가 존재하는 경우입니다.

만약 모든 \(x \in E\)에 대해 \(g(x) \neq 0\)인 function \(g \in \mathscr{A}\)가 존재한다면, 우리는 \(\mathscr{A}\)가 \(E\)의 어떤 point에서도 vanish하지 않는다고 말합니다.

하나의 variable에 대한 모든 polynomial의 algebra는 \(R^1\)에서 이러한 property를 가집니다. point를 separate하지 않는 algebra의 예시는 모든 even polynomial의 set입니다. 예를 들어 \([-1, 1]\)에서, 모든 even function \(f\)에 대해 \(f(-x) = f(x)\)이기 때문입니다.

다음 theorem은 이러한 개념을 더 자세히 설명할 것입니다.

7.31 Theorem

\(\mathscr{A}\)가 set \(E\)에 대한 function의 algebra이고, \(\mathscr{A}\)가 \(E\)에서 point를 separate하며, \(\mathscr{A}\)가 \(E\)의 어떤 point에서도 vanish하지 않는다고 가정합니다. \(x_1, x_2\)가 \(E\)의 distinct point이고, \(c_1, c_2\)가 constant (\(\mathscr{A}\)가 real algebra이면 real)라고 가정합니다. 그러면 \(\mathscr{A}\)는 다음을 만족하는 function \(f\)를 포함합니다.

\[f(x_1) = c_1, \quad f(x_2) = c_2\]

Proof 가정은 \(\mathscr{A}\)가 다음을 만족하는 function \(g, h, k\)를 포함함을 보여줍니다.

\[g(x_1) \neq g(x_2), \quad h(x_1) \neq 0, \quad k(x_2) \neq 0\]

다음을 정의합니다.

\[u = gk - g(x_1)k, \quad v = gh - g(x_2)h\]

그러면 \(u \in \mathscr{A}\), \(v \in \mathscr{A}\), \(u(x_1) = v(x_2) = 0\), \(u(x_2) \neq 0\), 그리고 \(v(x_1) \neq 0\)입니다. 따라서

\[f = \frac{c_1 u}{v(x_1)} + \frac{c_2 v}{u(x_2)}\]

는 원하는 property를 가집니다.

이제 Stone’s generalization인 Weierstrass theorem에 필요한 모든 자료를 갖추었습니다.

7.32 Theorem

compact set \(K\)에 대한 real continuous function의 algebra \(\mathscr{A}\)가 있다고 합시다. 만약 \(\mathscr{A}\)가 \(K\)에서 point를 separate하고, \(\mathscr{A}\)가 \(K\)의 어떤 point에서도 vanish하지 않는다면, \(\mathscr{A}\)의 uniform closure \(\mathscr{B}\)는 \(K\)의 모든 real continuous function으로 구성됩니다.

우리는 proof를 네 단계로 나눌 것입니다.

STEP 1 만약 \(f \in \mathscr{B}\)라면, \(\vert f \vert \in \mathscr{B}\)입니다.

Proof 다음을 정의합니다.

(52) \(a = \sup_{x \in K} \vert f(x) \vert\)

그리고 \(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 합시다. Corollary 7.27에 의해 real number \(c_1, \dots, c_n\)이 존재하여 다음이 성립합니다.

(53) \(\left\vert \sum_{i=1}^n c_i y^i - \vert y \vert \right\vert < \varepsilon \quad (-a \le y \le a)\)

\(\mathscr{B}\)는 algebra이므로, function

\[g = \sum_{i=1}^n c_i f^i\]

는 \(\mathscr{B}\)의 member입니다. (52)와 (53)에 의해, 다음이 성립합니다.

\[\vert g(x) - \vert f(x) \vert \vert < \varepsilon \quad (x \in K)\]

\(\mathscr{B}\)는 uniformly closed이므로, 이는 \(\vert f \vert \in \mathscr{B}\)임을 보여줍니다.

STEP 2 만약 \(f \in \mathscr{B}\)이고 \(g \in \mathscr{B}\)라면, \(\max(f, g) \in \mathscr{B}\)이고 \(\min(f, g) \in \mathscr{B}\)입니다.

\(\max(f, g)\)는 다음으로 정의되는 function \(h\)를 의미합니다.

\[h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{if } f(x) \ge g(x) \\ g(x) & \text{if } f(x) < g(x) \end{cases}\]

그리고 \(\min(f, g)\)도 마찬가지로 정의됩니다.

Proof Step 2는 Step 1과 다음 identity로부터 따릅니다.

\(\max(f, g) = \frac{f + g}{2} + \frac{\vert f - g \vert}{2}\) \(\min(f, g) = \frac{f + g}{2} - \frac{\vert f - g \vert}{2}\)

iteration에 의해, 이 결과는 물론 임의의 finite set의 function으로 확장될 수 있습니다. 만약 \(f_1, \dots, f_n \in \mathscr{B}\)라면, \(\max(f_1, \dots, f_n) \in \mathscr{B}\)이고 \(\min(f_1, \dots, f_n) \in \mathscr{B}\)입니다.

STEP 3 K에서 continuous인 real function \(f\), K의 point \(x\), 그리고 \(\varepsilon > 0\)이 주어졌을 때, 다음을 만족하는 function \(g_x \in \mathscr{B}\)가 존재합니다.

\[g_x(x) = f(x)\]

그리고

(54) \(g_x(t) > f(t) - \varepsilon \quad (t \in K)\)

Proof \(\mathscr{A} \subset \mathscr{B}\)이고 \(\mathscr{A}\)가 Theorem 7.31의 가설을 만족하므로 \(\mathscr{B}\)도 만족합니다. 따라서 모든 \(y \in K\)에 대해 다음을 만족하는 function \(h_y \in \mathscr{B}\)를 찾을 수 있습니다.

(55) \(h_y(x) = f(x), \quad h_y(y) = f(y)\)

\(h_y\)의 continuity에 의해, \(y\)를 포함하는 open set \(J_y\)가 존재하여 다음이 성립합니다.

(56) \(h_y(t) > f(t) - \varepsilon \quad (t \in J_y)\)

\(K\)는 compact이므로, finite set의 point \(y_1, \dots, y_r\)이 존재하여 다음이 성립합니다.

(57) \(K \subset J_{y_1} \cup \dots \cup J_{y_r}\)

다음을 정의합니다.

\[g_x = \max(h_{y_1}, \dots, h_{y_r})\]

Step 2에 의해, \(g_x \in \mathscr{B}\)이고, (55)부터 (57)까지의 관계는 \(g_x\)가 다른 필요한 property를 가짐을 보여줍니다.

STEP 4 K에서 continuous인 real function \(f\), 그리고 \(\varepsilon > 0\)이 주어졌을 때, 다음을 만족하는 function \(h \in \mathscr{B}\)가 존재합니다.

(58) \(\vert h(x) - f(x) \vert < \varepsilon \quad (x \in K)\)

\(\mathscr{B}\)는 uniformly closed이므로, 이 진술은 theorem의 결론과 동등합니다.

Proof Step 3에서 구성된 각 \(x \in K\)에 대한 function \(g_x\)를 고려합시다. \(g_x\)의 continuity에 의해, \(x\)를 포함하는 open set \(V_x\)가 존재하여 다음이 성립합니다.

(59) \(g_x(t) < f(t) + \varepsilon \quad (t \in V_x)\)

\(K\)는 compact이므로, finite set의 point \(x_1, \dots, x_m\)이 존재하여 다음이 성립합니다.

(60) \(K \subset V_{x_1} \cup \dots \cup V_{x_m}\)

다음을 정의합니다.

\[h = \min(g_{x_1}, \dots, g_{x_m})\]

Step 2에 의해, \(h \in \mathscr{B}\)이고, (54)는 다음을 의미합니다.

(61) \(h(t) > f(t) - \varepsilon \quad (t \in K)\)

반면에 (59)와 (60)은 다음을 의미합니다.

(62) \(h(t) < f(t) + \varepsilon \quad (t \in K)\)

마지막으로, (58)은 (61)과 (62)로부터 따릅니다.

Theorem 7.32는 complex algebra에 대해서는 성립하지 않습니다. counterexample은 Exercise 21에 주어져 있습니다. 그러나 theorem의 결론은 complex algebra에 대해서도 성립하며, 만약 \(\mathscr{A}\)에 추가 조건, 즉 \(\mathscr{A}\)가 self-adjoint라는 조건이 부과된다면 그렇습니다. 이는 모든 \(f \in \mathscr{A}\)에 대해 complex conjugate \(\bar{f}\)도 \(\mathscr{A}\)에 속해야 함을 의미합니다. \(\bar{f}\)는 \(\bar{f}(x) = \overline{f(x)}\)로 정의됩니다.

7.33 Theorem

\(\mathscr{A}\)가 compact set \(K\)에 대한 complex continuous function의 self-adjoint algebra이고, \(\mathscr{A}\)가 \(K\)에서 point를 separate하며, \(\mathscr{A}\)가 \(K\)의 어떤 point에서도 vanish하지 않는다고 가정합니다. 그러면 \(\mathscr{A}\)의 uniform closure \(\mathscr{B}\)는 \(K\)의 모든 complex continuous function으로 구성됩니다. 다른 말로 하면, \(\mathscr{A}\)는 \(\mathscr{C}(K)\)에서 dense입니다.

Proof \(\mathscr{A}_R\)을 \(\mathscr{A}\)에 속하는 \(K\)의 모든 real function의 set이라고 합시다.

만약 \(f \in \mathscr{A}\)이고 \(f = u + iv\) (여기서 \(u, v\)는 real)라면, \(2u = f + \bar{f}\)이고, \(\mathscr{A}\)는 self-adjoint이므로 \(u \in \mathscr{A}_R\)임을 알 수 있습니다. 만약 \(x_1 \neq x_2\)라면, \(f(x_1) = 1, f(x_2) = 0\)인 \(f \in \mathscr{A}\)가 존재합니다. 따라서 \(0 = u(x_2) \neq u(x_1) = 1\)이므로, \(\mathscr{A}_R\)은 \(K\)에서 point를 separate함을 보여줍니다. 만약 \(x \in K\)라면, 어떤 \(g \in \mathscr{A}\)에 대해 \(g(x) \neq 0\)이고, \(\vert g(x) \vert > 0\)인 complex number \(\lambda\)가 존재합니다. 만약 \(f = \lambda g\)라면, \(f = u + iv\)이고, \(u(x) > 0\)이므로, \(\mathscr{A}_R\)은 \(K\)의 어떤 point에서도 vanish하지 않습니다.

따라서 \(\mathscr{A}_R\)은 Theorem 7.32의 가설을 만족합니다. 이는 \(K\)의 모든 real continuous function이 \(\mathscr{A}_R\)의 uniform closure에 속하고, 따라서 \(\mathscr{B}\)에 속함을 의미합니다. 만약 \(f\)가 \(K\)의 complex continuous function이라면, \(f = u + iv\)이고, \(u \in \mathscr{B}\), \(v \in \mathscr{B}\)이므로 \(f \in \mathscr{B}\)입니다. 이는 proof를 완료합니다.

EXERCISES

1. 모든 uniformly convergent sequence의 bounded function은 uniformly bounded임을 증명하십시오.
2. 만약 \(\{f_n\}\)과 \(\{g_n\}\)이 set \(E\)에서 uniformly converge한다면, \(\{f_n + g_n\}\)이 \(E\)에서 uniformly converge함을 증명하십시오. 추가적으로, 만약 \(\{f_n\}\)과 \(\{g_n\}\)이 bounded function의 sequence라면, \(\{f_n g_n\}\)이 \(E\)에서 uniformly converge함을 증명하십시오.
3. set \(E\)에서 uniformly converge하지만, \(\{f_n g_n\}\)이 \(E\)에서 uniformly converge하지 않는 sequence \(\{f_n\}\), \(\{g_n\}\)을 구성하십시오 (물론 \(\{f_n g_n\}\)은 \(E\)에서 converge해야 합니다).

4. 다음을 고려하십시오.

   \[f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^2 x}\]

   이 series는 어떤 \(x\) 값에 대해 absolutely converge합니까? 어떤 interval에서 uniformly converge합니까? 어떤 interval에서 uniformly converge하지 않습니까? series가 converge하는 모든 곳에서 \(f\)는 continuous입니까? \(f\)는 bounded입니까?

5. 다음을 정의합니다.

   \[f_n(x) = \begin{cases} 0 & \left(x < \frac{1}{n+1}\right) \\ \sin^2 \frac{\pi}{x} & \left(\frac{1}{n+1} \le x \le \frac{1}{n}\right) \\ 0 & \left(x > \frac{1}{n}\right) \end{cases}\]

   \(\{f_n\}\)이 continuous function으로 converge하지만 uniformly는 아님을 보여주십시오. series \(\sum f_n\)을 사용하여 absolute convergence가 모든 \(x\)에 대해 성립하더라도 uniform convergence를 의미하지 않음을 보여주십시오.

6. series

   \[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^2 + n}{n^2}\]

   가 모든 bounded interval에서 uniformly converge하지만, 어떤 \(x\) 값에 대해서도 absolutely converge하지 않음을 증명하십시오.

7. \(n = 1, 2, 3, \dots\), real \(x\)에 대해 다음을 정의합니다.

   \[f_n(x) = \frac{x}{1 + nx^2}\]

   \(\{f_n\}\)이 function \(f\)로 uniformly converge하고, equation

   \[f'(x) = \lim_{n \to \infty} f_n'(x)\]

   가 \(x \neq 0\)일 때는 옳지만, \(x = 0\)일 때는 틀림을 보여주십시오.

8. 만약

   \[I(x) = \begin{cases} 0 & (x \le 0) \\ 1 & (x > 0) \end{cases}\]

   이고, \(\{x_n\}\)이 \((a, b)\)의 distinct point의 sequence이며, \(\sum \vert c_n \vert\)이 converge한다면, series

   \[f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n I(x - x_n) \quad (a \le x \le b)\]

   가 uniformly converge하고, \(f\)는 \(x \neq x_n\)인 모든 \(x\)에 대해 continuous임을 증명하십시오.

9. \(\{f_n\}\)이 set \(E\)에서 function \(f\)로 uniformly converge하는 continuous function의 sequence라고 가정합니다. 모든 point의 sequence \(x_n \in E\)에 대해 \(x_n \to x\)이고 \(x \in E\)일 때 \(\lim_{n \to \infty} f_n(x_n) = f(x)\)임을 증명하십시오. 이의 역은 참입니까?

10. \((x)\)를 real number \(x\)의 fractional part라고 할 때 (Exercise 16, Chap. 4 참조), function

    \[f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(nx)}{n^2} \quad (x \text{ real})\]

    를 고려하십시오. \(f\)의 모든 discontinuity를 찾고, 그것들이 countable dense set을 형성함을 보여주십시오. 그럼에도 불구하고 \(f\)가 모든 bounded interval에서 Riemann-integrable임을 보여주십시오.

11. \(\{f_n\}\), \(\{g_n\}\)이 \(E\)에 정의되어 있고, 다음을 가정합니다. (a) \(\sum f_n\)은 uniformly bounded partial sum을 가집니다. (b) \(g_n \to 0\)은 \(E\)에서 uniformly 성립합니다. (c) 모든 \(x \in E\)에 대해 \(g_1(x) \ge g_2(x) \ge g_3(x) \ge \dots\)입니다.

    \(\sum f_n g_n\)이 \(E\)에서 uniformly converge함을 증명하십시오. Hint: Theorem 3.42와 비교하십시오.

12. \(g\)와 \(f_n\) (\(n = 1, 2, 3, \dots\))이 \((0, \infty)\)에 정의되어 있고, \(0 < t < T < \infty\)일 때마다 \([t, T]\)에서 Riemann-integrable이며, \(\vert f_n \vert \le g\), \(f_n \to f\)가 \((0, \infty)\)의 모든 compact subset에서 uniformly 성립하고,

    \[\int_0^\infty g(x) dx < \infty\]

    라고 가정합니다. 다음을 증명하십시오.

    \[\lim_{n \to \infty} \int_0^\infty f_n(x) dx = \int_0^\infty f(x) dx\]

    (Chap. 6의 관련 definition에 대해서는 Exercise 7과 8을 참조하십시오.)

    이것은 Lebesgue’s dominated convergence theorem (Theorem 11.32)의 다소 약한 형태입니다. Riemann integral의 맥락에서도, 만약 \(f \in \mathscr{R}\)로 가정된다면 uniform convergence는 pointwise convergence로 대체될 수 있습니다. (F. Cunningham의 Math. Mag., vol. 40, 1967, pp. 179-186, 그리고 H. Kestelman의 Amer. Math. Monthly, vol. 77, 1970, pp. 182-187의 논문을 참조하십시오.)

13. \(\{f_n\}\)이 \(R^1\)에서 monotonically increasing function의 sequence이고, 모든 \(x\)와 모든 \(n\)에 대해 \(0 \le f_n(x) \le 1\)이라고 가정합니다.

    (a) 다음을 만족하는 function \(f\)와 sequence \(\{n_k\}\)가 존재함을 증명하십시오.

    \[f(x) = \lim_{k \to \infty} f_{n_k}(x)\]

    모든 \(x \in R^1\)에 대해. (이러한 pointwise convergent subsequence의 존재는 일반적으로 Helly’s selection theorem이라고 불립니다.)

    (b) 추가적으로, 만약 \(f\)가 continuous라면, \(f_{n_k} \to f\)가 compact set에서 uniformly 성립함을 증명하십시오. Hint: (i) 어떤 subsequence \(\{f_{n_k}\}\)는 모든 rational point \(r\)에서 \(f(r)\)로 converge합니다. (ii) 모든 \(r \le x\)에 대해 sup \(f(r)\)을 취하여 모든 \(x \in R^1\)에 대해 \(f(x)\)를 정의합니다. (iii) \(f\)가 continuous인 모든 \(x\)에서 \(f_{n_k}(x) \to f(x)\)임을 보여주십시오. (여기서 monotonicity가 강력하게 사용됩니다.) (iv) \(f\)의 discontinuity point는 많아야 countable이므로, \(\{f_{n_k}\}\)의 subsequence는 모든 discontinuity point에서 converge합니다. 이는 (a)를 증명합니다. (b)를 증명하려면 (iii)의 proof를 적절히 수정하십시오.

14. \(f\)를 \(R^1\)에서 continuous real function이라고 합시다. 다음 property를 가집니다. \(0 \le f(t) \le 1\), 모든 \(t\)에 대해 \(f(t + 2) = f(t)\), 그리고

    \[f(t) = \begin{cases} 0 & (0 \le t \le 1) \\ t - 1 & (1 \le t \le 2) \end{cases}\]

    \(\Phi(t) = (x(t), y(t))\)로 놓습니다. 여기서

    \[x(t) = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} f(3^{2n-1} t), \quad y(t) = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} f(3^{2n} t)\]

    \(\Phi\)가 continuous이고 \(\Phi\)가 interval \(I = [0, 1]\)을 unit square \(I^2 \subset R^2\)로 map함을 증명하십시오. 사실, \(\Phi\)가 Cantor set을 \(I^2\)로 map함을 보여주십시오. Hint: 모든 \((x_0, y_0) \in I^2\)는 다음 형태를 가집니다.

    \[x_0 = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} a_{2n-1}, \quad y_0 = \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n} a_{2n}\]

    여기서 각 \(a_i\)는 0 또는 1입니다. 만약

    \[t_0 = \sum_{i=1}^{\infty} 3^{-i-1} (2a_i)\]

    라면, \(f(3^k t_0) = a_k\)이고, 따라서 \(x(t_0) = x_0, y(t_0) = y_0\)임을 보여주십시오. (이 간단한 “공간 채우기 곡선”의 예시는 I. J. Schoenberg, Bull. A.M.S., vol. 44, 1938, pp. 519에 의한 것입니다.)

15. \(f\)가 \(R^1\)에서 real continuous function이고, \(f_n(t) = f(nt)\)가 \(n = 1, 2, 3, \dots\)에 대해 성립하며, \(\{f_n\}\)이 \([0, 1]\)에서 equicontinuous라고 가정합니다. \(f\)에 대해 어떤 결론을 내릴 수 있습니까?
16. \(\{f_n\}\)이 compact set \(K\)에서 equicontinuous sequence의 function이고, \(\{f_n\}\)이 \(K\)에서 pointwise converge한다고 가정합니다. \(\{f_n\}\)이 \(K\)에서 uniformly converge함을 증명하십시오.
17. 임의의 metric space로의 mapping에 대한 uniform convergence와 equicontinuity의 개념을 정의하십시오. Theorem 7.9와 7.12가 임의의 metric space로의 mapping에 대해 유효하고, Theorem 7.8과 7.11이 임의의 complete metric space로의 mapping에 대해 유효하며, Theorem 7.10, 7.16, 7.17, 7.24, 7.25가 vector-valued function, 즉 임의의 \(R^k\)로의 mapping에 대해 성립함을 보여주십시오.

18. \(\{f_n\}\)이 \([a, b]\)에서 Riemann-integrable인 uniformly bounded sequence의 function이고, 다음을 정의합니다.

    \[F_n(x) = \int_a^x f_n(t) dt \quad (a \le x \le b)\]

    uniformly converge하는 subsequence \(\{F_{n_k}\}\)가 \([a, b]\)에 존재함을 증명하십시오.

19. \(K\)가 compact metric space이고, \(\mathscr{S}\)가 \(\mathscr{C}(K)\)의 subset이라고 합시다. \(\mathscr{S}\)가 compact인 것은 (Section 7.14에 정의된 metric에 대해) \(\mathscr{S}\)가 uniformly closed, pointwise bounded, 그리고 equicontinuous인 경우에만 해당함을 증명하십시오. (만약 \(\mathscr{S}\)가 equicontinuous가 아니라면, \(\mathscr{S}\)는 equicontinuous subsequence를 가지지 않는 sequence를 포함하며, 따라서 \(K\)에서 uniformly converge하는 subsequence를 가지지 않습니다.)

20. 만약 \(f\)가 \([0, 1]\)에서 continuous이고

    \[\int_0^1 f(x) x^n dx = 0 \quad (n = 0, 1, 2, \dots)\]

    라면, \(f(x) = 0\)이 \([0, 1]\)에서 성립함을 증명하십시오. Hint: \(f\)와 임의의 polynomial의 곱의 integral은 0입니다. Weierstrass theorem을 사용하여 \(\int_0^1 f^2(x) dx = 0\)임을 보여주십시오.

21. \(K\)를 complex plane의 unit circle (즉, \(\vert z \vert = 1\)인 모든 \(z\)의 set)이라고 하고, \(\mathscr{A}\)를 다음 형태의 모든 function의 algebra라고 합시다.

    \[f(e^{i\theta}) = \sum_{n=0}^N c_n e^{in\theta} \quad (\theta \text{ real})\]

    그러면 \(\mathscr{A}\)는 \(K\)에서 point를 separate하고 \(K\)의 어떤 point에서도 vanish하지 않지만, 그럼에도 불구하고 \(\mathscr{A}\)의 uniform closure에 속하지 않는 continuous function이 \(K\)에 존재함을 증명하십시오. Hint: 모든 \(f \in \mathscr{A}\)에 대해

    \[\int_0^{2\pi} f(e^{i\theta}) e^{i\theta} d\theta = 0\]

    이고, 이는 \(\mathscr{A}\)의 closure에 있는 모든 \(f\)에 대해서도 마찬가지입니다.

22. \(f \in \mathscr{R}(\alpha)\)가 \([a, b]\)에서 성립한다고 가정하고, 다음을 만족하는 polynomial \(P_n\)이 존재함을 증명하십시오.

    \[\lim_{n \to \infty} \int_a^b \vert f - P_n \vert^2 d\alpha = 0\]

    (Exercise 12, Chap. 6와 비교하십시오.)

23. \(P_0 = 0\)으로 놓고, \(n = 0, 1, 2, \dots\)에 대해 다음을 정의합니다.

    \[P_{n+1}(x) = P_n(x) + \frac{x^2 - P_n^2(x)}{2}\]

    다음이 성립함을 증명하십시오.

    \[\lim_{n \to \infty} P_n(x) = \vert x \vert\]

    \([-1, 1]\)에서 uniformly 성립합니다. (이는 Theorem 7.26을 먼저 증명하지 않고 Stone-Weierstrass theorem을 증명하는 것을 가능하게 합니다.) Hint: identity

    \[\vert x \vert - P_{n+1}(x) = [\vert x \vert - P_n(x)] \left(1 - \frac{\vert x \vert + P_n(x)}{2}\right)\]

    를 사용하여 \(0 \le P_n(x) \le P_{n+1}(x) \le \vert x \vert\)이 \(\vert x \vert \le 1\)일 때 성립하고,

    \[\vert x \vert - P_n(x) \le \vert x \vert \left(1 - \frac{\vert x \vert}{2}\right)^n < \frac{2}{n+1}\]

    이 \(\vert x \vert \le 1\)일 때 성립함을 증명하십시오.

24. \(X\)를 metric space라고 하고, metric \(d\)를 가집니다. point \(a \in X\)를 고정합니다. 각 \(p \in X\)에 function \(f_p\)를 다음으로 정의합니다.

    \[f_p(x) = d(x, p) - d(x, a) \quad (x \in X)\]

    모든 \(x \in X\)에 대해 \(\vert f_p(x) \vert \le d(a, p)\)이고, 따라서 \(f_p \in \mathscr{C}(X)\)임을 증명하십시오. 다음을 증명하십시오.

    \[\Vert f_p - f_q \Vert = d(p, q)\]

    모든 \(p, q \in X\)에 대해. 만약 \(\Phi(p) = f_p\)라면, \(\Phi\)는 \(X\)에서 \(\Phi(X) \subset \mathscr{C}(X)\)로의 isometry (distance-preserving mapping)임을 알 수 있습니다. \(\mathscr{C}(X)\)에서 \(\Phi(X)\)의 closure를 \(Y\)라고 합시다. \(Y\)가 complete임을 보여주십시오. Conclusion: \(X\)는 complete metric space \(Y\)의 dense subset에 isometric입니다. (Exercise 24, Chap. 3에는 이의 다른 proof가 포함되어 있습니다.)

25. \(\phi\)가 strip \(0 \le x \le 1, -\infty < y < \infty\)에 정의된 continuous bounded real function이라고 가정합니다. initial-value problem

    \[y' = \phi(x, y), \quad y(0) = c\]

    가 solution을 가짐을 증명하십시오. (Note: 이 existence theorem의 가설은 해당 uniqueness theorem의 가설보다 덜 엄격합니다. Exercise 27, Chap. 5를 참조하십시오.) Hint: \(n\)을 고정합니다. \(i = 0, \dots, n\)에 대해 \(x_i = i/n\)으로 놓습니다. \(f_n\)을 \([0, 1]\)에서 continuous function이라고 하고 \(f_n(0) = c\)이며,

    \[f_n'(t) = \phi(x_i, f_n(x_i)) \quad \text{if } x_i < t < x_{i+1}\]

    로 놓습니다. 그리고

    \[\Delta_n(t) = f_n'(t) - \phi(t, f_n(t))\]

    point \(x_i\)를 제외하고, 여기서 \(\Delta_n(t) = 0\)입니다. 그러면

    \[f_n(x) = c + \int_0^x [\phi(t, f_n(t)) + \Delta_n(t)] dt\]

    \(\Vert \phi \Vert \le M\)이 되도록 \(M < \infty\)를 선택합니다. 다음 주장을 확인하십시오.

    (a) \(\Vert f_n' \Vert < M\), \(\Vert \Delta_n \Vert \le 2M\), \(\Delta_n \in \mathscr{R}\), 그리고 \(\vert f_n \vert \le \vert c \vert + M = M_1\) (예를 들어) \([0, 1]\)에서 모든 \(n\)에 대해.

    (b) \(\{f_n\}\)은 \([0, 1]\)에서 equicontinuous입니다. 왜냐하면 \(\vert f_n' \vert < M\)이기 때문입니다.

    (c) 어떤 \(\{f_{n_k}\}\)는 \([0, 1]\)에서 uniformly 어떤 \(f\)로 converge합니다.

    (d) \(\phi\)는 rectangle \(0 \le x \le 1, \vert y \vert \le M_1\)에서 uniformly continuous이므로,

    \[\phi(t, f_{n_k}(t)) \to \phi(t, f(t))\]

    \([0, 1]\)에서 uniformly 성립합니다.

    (e) \(\Delta_n(t) = \phi(x_i, f_n(x_i)) - \phi(t, f_n(t))\)이므로 \(\Delta_n(t) \to 0\)은 \([0, 1]\)에서 uniformly 성립합니다.

    (f) 따라서

    \[f(x) = c + \int_0^x \phi(t, f(t)) dt\]

    이 \(f\)는 주어진 문제의 solution입니다.

26. initial-value problem

    \[y' = \Phi(x, y), \quad y(0) = c\]

    에 대한 유사한 existence theorem을 증명하십시오. 여기서 이제 \(c \in R^k\), \(y \in R^k\)이고, \(\Phi\)는 \(R^{k+1}\)의 \(0 \le x \le 1, y \in R^k\)로 정의된 부분에서 \(R^k\)로의 continuous bounded mapping입니다. (Exercise 28, Chap. 5와 비교하십시오.) Hint: Theorem 7.25의 vector-valued version을 사용하십시오.