실해석학 6장

THE RIEMANN-STIELTJES INTEGRAL

현재 chapter는 real line의 order structure에 매우 명시적으로 의존하는 Riemann integral의 definition을 기반으로 합니다. 따라서, 우리는 intervals에서 real-valued functions의 integration을 논의하는 것으로 시작합니다. intervals에서 complex- 및 vector-valued functions로의 extensions는 이후 sections에서 다룹니다. intervals 이외의 sets에 대한 integration은 Chaps. 10과 11에서 논의됩니다.

DEFINITION AND EXISTENCE OF THE INTEGRAL

6.1 Definition 주어진 interval \([a, b]\)가 있다고 합시다. interval \([a, b]\)의 partition \(P\)는 points \(x_0, x_1, \dots, x_n\)의 finite set을 의미하며, 이때

\[a = x_0 \le x_1 \le \dots \le x_{n-1} \le x_n = b\]

입니다. 우리는 다음과 같이 씁니다.

\[\Delta x_i = x_i - x_{i-1} \quad (i = 1, \dots, n)\]

이제 \([a, b]\)에서 정의된 bounded real function \(f\)가 있다고 가정합시다. \([a, b]\)의 각 partition \(P\)에 대해 우리는 다음을 설정합니다.

\(M_i = \sup f(x) \quad (x_{i-1} \le x \le x_i)\) \(m_i = \inf f(x) \quad (x_{i-1} \le x \le x_i)\)

그리고

\(U(P, f) = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta x_i\) \(L(P, f) = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta x_i\)

마지막으로

(1) \(\overline{\int_a^b} f dx = \inf U(P, f)\)

(2) \(\underline{\int_a^b} f dx = \sup L(P, f)\)

여기서 inf와 sup는 모든 partitions \(P\)에 대해 취해집니다. (1)과 (2)의 왼쪽 members는 각각 \([a, b]\)에 대한 \(f\)의 upper 및 lower Riemann integrals라고 불립니다.

만약 upper 및 lower integrals가 같다면, 우리는 \(f\)가 \([a, b]\)에서 Riemann-integrable이라고 말하고, \(f \in \mathcal{R}\)로 씁니다 (즉, \(\mathcal{R}\)은 Riemann-integrable functions의 set을 나타냅니다). 그리고 (1)과 (2)의 common value를 다음으로 나타냅니다.

(3) \(\int_a^b f dx\)

또는

(4) \(\int_a^b f(x) dx\)

이것은 \([a, b]\)에 대한 \(f\)의 Riemann integral입니다. \(f\)는 bounded이므로, 다음을 만족하는 두 numbers \(m\)과 \(M\)이 존재합니다.

\[m \le f(x) \le M \quad (a \le x \le b)\]

따라서, 모든 \(P\)에 대해

\[m(b - a) \le L(P, f) \le U(P, f) \le M(b - a)\]

이므로, numbers \(L(P, f)\)와 \(U(P, f)\)는 bounded set을 형성합니다. 이것은 upper 및 lower integrals가 모든 bounded function \(f\)에 대해 정의됨을 보여줍니다. 그들의 equality 문제, 즉 \(f\)의 integrability 문제는 더 미묘합니다. Riemann integral에 대해 별도로 조사하는 대신, 우리는 즉시 더 일반적인 상황을 고려할 것입니다.

6.2 Definition \(\alpha\)가 \([a, b]\)에서 monotonically increasing function이라고 합시다 (\(\alpha(a)\)와 \(\alpha(b)\)는 finite이므로, \(\alpha\)는 \([a, b]\)에서 bounded입니다). \([a, b]\)의 각 partition \(P\)에 대해 우리는 다음을 씁니다.

\[\Delta \alpha_i = \alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})\]

\(\Delta \alpha_i \ge 0\)임은 분명합니다. \([a, b]\)에서 bounded인 모든 real function \(f\)에 대해 우리는 다음을 설정합니다.

\(U(P, f, \alpha) = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta \alpha_i\) \(L(P, f, \alpha) = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta \alpha_i\)

여기서 \(M_i, m_i\)는 Definition 6.1과 동일한 의미를 가지며, 우리는 다음을 정의합니다.

(5) \(\overline{\int_a^b} f d\alpha = \inf U(P, f, \alpha)\)

(6) \(\underline{\int_a^b} f d\alpha = \sup L(P, f, \alpha)\)

inf와 sup는 다시 모든 partitions에 대해 취해집니다.

만약 (5)와 (6)의 왼쪽 members가 같다면, 우리는 그들의 common value를 다음으로 나타냅니다.

(7) \(\int_a^b f d\alpha\)

또는 때로는

(8) \(\int_a^b f(x) d\alpha(x)\)

이것은 \([a, b]\)에 대한 \(\alpha\)에 대한 \(f\)의 Riemann-Stieltjes integral (또는 단순히 Stieltjes integral)입니다.

만약 (7)이 존재한다면, 즉 (5)와 (6)이 같다면, 우리는 \(f\)가 Riemann sense에서 \(\alpha\)에 대해 integrable이라고 말하고, \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)로 씁니다.

\(\alpha(x) = x\)를 취함으로써, Riemann integral은 Riemann-Stieltjes integral의 special case로 보입니다. 그러나 general case에서 \(\alpha\)는 continuous일 필요조차 없다는 점을 명시적으로 언급합시다.

notation에 대해 몇 마디 해야 합니다. 우리는 (8)에 나타나는 letter \(x\)가 (7)의 내용에 아무것도 추가하지 않으므로 (8)보다 (7)을 선호합니다. 소위 “variable of integration“을 나타내기 위해 어떤 letter를 사용하든 중요하지 않습니다. 예를 들어, (8)은 다음과 같습니다.

\[\int_a^b f(y) d\alpha(y)\]

integral은 \(f, \alpha, a\) 및 \(b\)에 의존하지만, variable of integration에는 의존하지 않으며, 이는 생략될 수도 있습니다.

variable of integration이 수행하는 역할은 index of summation의 역할과 매우 유사합니다. 두 symbols

\[\sum_{i=1}^{n} c_i, \quad \sum_{k=1}^{n} c_k\]

는 각각 \(c_1 + c_2 + \dots + c_n\)을 의미하므로 같은 것을 의미합니다.

물론, variable of integration을 삽입한다고 해서 해가 되는 것은 아니며, 많은 경우 실제로 그렇게 하는 것이 편리합니다.

이제 우리는 integral (7)의 존재를 조사할 것입니다. 매번 언급하지는 않겠지만, \(f\)는 real이고 bounded이며, \(\alpha\)는 \([a, b]\)에서 monotonically increasing이라고 가정할 것입니다. 그리고 오해가 없을 경우, 우리는 \(\int_a^b\) 대신 \(\int\)로 쓸 것입니다.

6.3 Definition partition \(P^*\)가 P의 refinement라고 말하는 것은 \(P^* \supset P\) (즉, \(P\)의 모든 point가 \(P^*\)의 point인 경우)를 의미합니다. 두 partitions \(P_1\)과 \(P_2\)가 주어졌을 때, P*가 그들의 common refinement라고 말하는 것은 \(P^* = P_1 \cup P_2\)를 의미합니다.

6.4 Theorem 만약 \(P^*\)가 \(P\)의 refinement라면, 다음이 성립합니다.

(9) \(L(P, f, \alpha) \le L(P^*, f, \alpha)\) (10) \(U(P^*, f, \alpha) \le U(P, f, \alpha)\)

Proof (9)를 증명하기 위해, 먼저 \(P^*\)가 \(P\)보다 단 하나의 point만 더 포함한다고 가정합시다. 이 추가 point를 \(x^*\)라고 하고, \(x_{i-1} < x^* < x_i\)라고 가정합시다. 여기서 \(x_{i-1}\)과 \(x_i\)는 \(P\)의 두 consecutive points입니다. 다음을 설정합니다.

\(w_1 = \inf f(x) \quad (x_{i-1} \le x \le x^*)\) \(w_2 = \inf f(x) \quad (x^* \le x \le x_i)\)

분명히 \(w_1 \ge m_i\)이고 \(w_2 \ge m_i\)입니다. 여기서 이전과 마찬가지로

\[m_i = \inf f(x) \quad (x_{i-1} \le x \le x_i)\]

입니다. 따라서

\(L(P^*, f, \alpha) - L(P, f, \alpha)\) \(= w_1[\alpha(x^*) - \alpha(x_{i-1})] + w_2[\alpha(x_i) - \alpha(x^*)] - m_i[\alpha(x_i) - \alpha(x_{i-1})]\) \(= (w_1 - m_i)[\alpha(x^*) - \alpha(x_{i-1})] + (w_2 - m_i)[\alpha(x_i) - \alpha(x^*)] \ge 0\)

만약 \(P^*\)가 \(P\)보다 \(k\)개의 points를 더 포함한다면, 우리는 이 추론을 \(k\)번 반복하여 (9)에 도달합니다. (10)의 증명은 유사합니다.

6.5 Theorem \(\underline{\int_a^b} f d\alpha \le \overline{\int_a^b} f d\alpha\)

Proof \(P_1\)과 \(P_2\)의 common refinement를 \(P^*\)라고 합시다. Theorem 6.4에 의해,

\[L(P_1, f, \alpha) \le L(P^*, f, \alpha) \le U(P^*, f, \alpha) \le U(P_2, f, \alpha)\]

Hence

(11) \(L(P_1, f, \alpha) \le U(P_2, f, \alpha)\)

만약 \(P_2\)가 fixed되고 모든 \(P_1\)에 대해 sup가 취해진다면, (11)은 다음을 제공합니다.

(12) \(\underline{\int_a^b} f d\alpha \le U(P_2, f, \alpha)\)

Theorem은 (12)에서 모든 \(P_2\)에 대해 inf를 취함으로써 따릅니다.

6.6 Theorem \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)는 \([a, b]\)에서 if and only if 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 다음을 만족하는 partition \(P\)가 존재한다는 것입니다.

(13) \(U(P, f, \alpha) - L(P, f, \alpha) < \varepsilon\)

Proof 모든 \(P\)에 대해 우리는 다음을 가집니다.

\[L(P, f, \alpha) \le \underline{\int_a^b} f d\alpha \le \overline{\int_a^b} f d\alpha \le U(P, f, \alpha)\]

따라서 (13)은 다음을 의미합니다.

\[0 \le \overline{\int_a^b} f d\alpha - \underline{\int_a^b} f d\alpha < \varepsilon\]

Hence, 만약 (13)이 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 만족될 수 있다면, 우리는 다음을 가집니다.

\[\overline{\int_a^b} f d\alpha = \underline{\int_a^b} f d\alpha\]

즉, \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)입니다.

Conversely, \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)라고 가정하고, \(\varepsilon > 0\)가 주어졌다고 합시다. 그러면 다음을 만족하는 partitions \(P_1\)과 \(P_2\)가 존재합니다.

(14) \(U(P_2, f, \alpha) - \overline{\int_a^b} f d\alpha < \frac{\varepsilon}{2}\)

(15) \(\overline{\int_a^b} f d\alpha - L(P_1, f, \alpha) < \frac{\varepsilon}{2}\)

우리는 \(P_1\)과 \(P_2\)의 common refinement를 \(P\)로 선택합니다. 그러면 Theorem 6.4는 (14) 및 (15)와 함께 다음을 보여줍니다.

\[U(P, f, \alpha) \le U(P_2, f, \alpha) < \overline{\int_a^b} f d\alpha + \frac{\varepsilon}{2} < L(P_1, f, \alpha) + \varepsilon \le L(P, f, \alpha) + \varepsilon\]

따라서 (13)은 이 partition \(P\)에 대해 성립합니다.

Theorem 6.6은 integrability에 대한 편리한 criterion을 제공합니다. 이를 적용하기 전에, 몇 가지 밀접하게 관련된 사실들을 언급하겠습니다.

6.7 Theorem (a) 만약 (13)이 어떤 \(P\)와 어떤 \(\varepsilon\)에 대해 성립한다면, (13)은 (동일한 \(\varepsilon\)로) \(P\)의 모든 refinement에 대해 성립합니다. (b) 만약 (13)이 \(P = \{x_0, \dots, x_n\}\)에 대해 성립하고 \(s_i, t_i\)가 \([x_{i-1}, x_i]\)의 arbitrary points라면, 다음이 성립합니다.

\[\sum_{i=1}^{n} \vert f(s_i) - f(t_i) \vert \Delta \alpha_i < \varepsilon\]

(c) 만약 \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)이고 (b)의 hypotheses가 성립한다면, 다음이 성립합니다.

\[\vert \sum_{i=1}^{n} f(s_i) \Delta \alpha_i - \int_a^b f d\alpha \vert < \varepsilon\]

Proof Theorem 6.4는 (a)를 의미합니다. (b)에서 만들어진 assumptions 하에서, \(f(s_i)\)와 \(f(t_i)\)는 모두 \([m_i, M_i]\)에 있으므로, \(\vert f(s_i) - f(t_i) \vert \le M_i - m_i\)입니다. 따라서

\[\sum_{i=1}^{n} \vert f(s_i) - f(t_i) \vert \Delta \alpha_i \le U(P, f, \alpha) - L(P, f, \alpha)\]

이는 (b)를 증명합니다. 명백한 inequalities

\[L(P, f, \alpha) \le \sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta \alpha_i \le U(P, f, \alpha)\]

및

\[L(P, f, \alpha) \le \int_a^b f d\alpha \le U(P, f, \alpha)\]

는 (c)를 증명합니다.

6.8 Theorem 만약 \(f\)가 \([a, b]\)에서 continuous라면 \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)는 \([a, b]\)에서 성립합니다.

Proof \(\varepsilon > 0\)가 주어졌다고 합시다. 다음을 만족하는 \(\eta > 0\)를 선택합니다.

\[[\alpha(b) - \alpha(a)]\eta < \varepsilon\]

\(f\)는 \([a, b]\)에서 uniformly continuous이므로 (Theorem 4.19), 다음을 만족하는 \(\delta > 0\)가 존재합니다.

(16) \(\vert f(x) - f(t) \vert < \eta\)

만약 \(x \in [a, b], t \in [a, b]\)이고 \(\vert x - t \vert < \delta\)라면. 만약 \([a, b]\)의 어떤 partition \(P\)가 모든 \(i\)에 대해 \(\Delta x_i < \delta\)를 만족한다면, (16)은 다음을 의미합니다.

(17) \(M_i - m_i \le \eta \quad (i = 1, \dots, n)\)

그리고 따라서

\(U(P, f, \alpha) - L(P, f, \alpha) = \sum_{i=1}^{n} (M_i - m_i) \Delta \alpha_i\) \(\le \eta \sum_{i=1}^{n} \Delta \alpha_i = \eta[\alpha(b) - \alpha(a)] < \varepsilon\)

Theorem 6.6에 의해, \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)입니다.

6.9 Theorem 만약 \(f\)가 \([a, b]\)에서 monotonic이고, \(\alpha\)가 \([a, b]\)에서 continuous라면, \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)입니다. (물론, 우리는 여전히 \(\alpha\)가 monotonic이라고 가정합니다.)

Proof \(\varepsilon > 0\)가 주어졌다고 합시다. 어떤 positive integer \(n\)에 대해, 다음을 만족하는 partition을 선택합니다.

\[\Delta \alpha_i = \frac{\alpha(b) - \alpha(a)}{n} \quad (i = 1, \dots, n)\]

이것은 \(\alpha\)가 continuous이므로 (Theorem 4.23) 가능합니다.

우리는 \(f\)가 monotonically increasing이라고 가정합니다 (다른 경우의 증명은 유사합니다). 그러면

\[M_i = f(x_i), \quad m_i = f(x_{i-1}) \quad (i = 1, \dots, n)\]

이므로

\(U(P, f, \alpha) - L(P, f, \alpha) = \frac{\alpha(b) - \alpha(a)}{n} \sum_{i=1}^{n} [f(x_i) - f(x_{i-1})]\) \(= \frac{\alpha(b) - \alpha(a)}{n} [f(b) - f(a)] < \varepsilon\)

만약 \(n\)이 충분히 크게 취해진다면. Theorem 6.6에 의해, \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)입니다.

6.10 Theorem \(f\)가 \([a, b]\)에서 bounded이고, \(f\)가 \([a, b]\)에서 finitely many points of discontinuity만 가지며, \(\alpha\)가 \(f\)가 discontinuous인 모든 point에서 continuous라고 가정합시다. 그러면 \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)입니다.

Proof \(\varepsilon > 0\)가 주어졌다고 합시다. \(M = \sup \vert f(x) \vert\)로 설정하고, \(E\)를 \(f\)가 discontinuous인 points의 set이라고 합시다. \(E\)는 finite이고 \(\alpha\)는 \(E\)의 모든 point에서 continuous이므로, 우리는 \(E\)를 finitely many disjoint intervals \([u_j, v_j] \subset [a, b]\)로 덮을 수 있습니다. 이때 해당 differences \(\alpha(v_j) - \alpha(u_j)\)의 sum은 \(\varepsilon\)보다 작습니다. 또한, 우리는 이러한 intervals를 \(E \cap (a, b)\)의 모든 point가 어떤 \([u_j, v_j]\)의 interior에 있도록 배치할 수 있습니다.

segments \((u_j, v_j)\)를 \([a, b]\)에서 제거합니다. 남은 set \(K\)는 compact입니다. Hence \(f\)는 \(K\)에서 uniformly continuous이며, 다음을 만족하는 \(\delta > 0\)가 존재합니다. \(\vert f(s) - f(t) \vert < \varepsilon\) (만약 \(s \in K, t \in K, \vert s - t \vert < \delta\)라면).

이제 \([a, b]\)의 partition \(P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}\)을 다음과 같이 형성합니다. 각 \(u_j\)는 \(P\)에 나타납니다. 각 \(v_j\)는 \(P\)에 나타납니다. 어떤 segment \((u_j, v_j)\)의 point도 \(P\)에 나타나지 않습니다. 만약 \(x_{i-1}\)이 어떤 \(u_j\)가 아니라면, \(\Delta x_i < \delta\)입니다.

\(M_i - m_i \le 2M\)이 모든 \(i\)에 대해 성립하고, \(x_{i-1}\)이 어떤 \(u_j\)가 아닌 한 \(M_i - m_i \le \varepsilon\)임을 주목하십시오. Hence, Theorem 6.8의 증명에서와 같이,

\[U(P, f, \alpha) - L(P, f, \alpha) \le [\alpha(b) - \alpha(a)]\varepsilon + 2M\varepsilon\]

\(\varepsilon\)는 arbitrary이므로, Theorem 6.6은 \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)임을 보여줍니다.

Note: 만약 \(f\)와 \(\alpha\)가 common point of discontinuity를 가진다면, \(f\)는 \(\mathcal{R}(\alpha)\)에 속하지 않을 수 있습니다. Exercise 3이 이를 보여줍니다.

6.11 Theorem 만약 \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)가 \([a, b]\)에서 성립하고, \(m \le f \le M\)이며, \(\phi\)가 \([m, M]\)에서 continuous이고, \(h(x) = \phi(f(x))\)가 \([a, b]\)에서 성립한다면, \(h \in \mathcal{R}(\alpha)\)는 \([a, b]\)에서 성립합니다.

Proof \(\varepsilon > 0\)를 선택합니다. \(\phi\)는 \([m, M]\)에서 uniformly continuous이므로, 다음을 만족하는 \(\delta > 0\)가 존재합니다. \(\delta < \varepsilon\)이고 \(\vert \phi(s) - \phi(t) \vert < \varepsilon\) (만약 \(\vert s - t \vert \le \delta\)이고 \(s, t \in [m, M]\)라면).

\(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)이므로, 다음을 만족하는 partition \(P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}\)이 \([a, b]\)에 존재합니다.

(18) \(U(P, f, \alpha) - L(P, f, \alpha) < \delta^2\)

Definition 6.1과 동일한 의미를 가지는 \(M_i, m_i\)를 사용하고, \(h\)에 대한 유사한 numbers를 \(M_i^*, m_i^*\)라고 합시다. numbers \(1, \dots, n\)을 두 classes로 나눕니다. \(i \in A\)는 \(M_i - m_i < \delta\)인 경우이고, \(i \in B\)는 \(M_i - m_i \ge \delta\)인 경우입니다.

\(i \in A\)에 대해, 우리의 \(\delta\) 선택은 \(M_i^* - m_i^* \le \varepsilon\)임을 보여줍니다. \(i \in B\)에 대해, \(M_i^* - m_i^* \le 2K\)입니다. 여기서 \(K = \sup \vert \phi(t) \vert, m \le t \le M\)입니다. (18)에 의해, 우리는 다음을 가집니다.

(19) \(\delta \sum_{i \in B} \Delta \alpha_i \le \sum_{i \in B} (M_i - m_i) \Delta \alpha_i < \delta^2\)

따라서 \(\sum_{i \in B} \Delta \alpha_i < \delta\)입니다. 다음이 성립합니다.

\(U(P, h, \alpha) - L(P, h, \alpha)\) \(= \sum_{i \in A} (M_i^* - m_i^*) \Delta \alpha_i + \sum_{i \in B} (M_i^* - m_i^*) \Delta \alpha_i\) \(\le \varepsilon[\alpha(b) - \alpha(a)] + 2K\delta < \varepsilon[\alpha(b) - \alpha(a) + 2K]\)

\(\varepsilon\)는 arbitrary이므로, Theorem 6.6은 \(h \in \mathcal{R}(\alpha)\)임을 의미합니다.

Remark: 이 theorem은 Riemann-integrable인 functions가 정확히 무엇인지에 대한 질문을 제기합니다. 답은 Theorem 11.33(b)에 주어져 있습니다.

PROPERTIES OF THE INTEGRAL

6.12 Theorem (a) 만약 \(f_1 \in \mathcal{R}(\alpha)\)와 \(f_2 \in \mathcal{R}(\alpha)\)가 \([a, b]\)에서 성립한다면,

\[f_1 + f_2 \in \mathcal{R}(\alpha)\]

모든 constant \(c\)에 대해 \(cf \in \mathcal{R}(\alpha)\)이며,

\[\int_a^b (f_1 + f_2) d\alpha = \int_a^b f_1 d\alpha + \int_a^b f_2 d\alpha\] \[\int_a^b cf d\alpha = c \int_a^b f d\alpha\]

(b) 만약 \(f_1(x) \le f_2(x)\)가 \([a, b]\)에서 성립한다면,

\[\int_a^b f_1 d\alpha \le \int_a^b f_2 d\alpha\]

(c) 만약 \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)가 \([a, b]\)에서 성립하고 \(a < c < b\)라면, \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)는 \([a, c]\)와 \([c, b]\)에서 성립하며,

\[\int_a^c f d\alpha + \int_c^b f d\alpha = \int_a^b f d\alpha\]

(d) 만약 \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)가 \([a, b]\)에서 성립하고 \(\vert f(x) \vert \le M\)이 \([a, b]\)에서 성립한다면,

\[\vert \int_a^b f d\alpha \vert \le M[\alpha(b) - \alpha(a)]\]

(e) 만약 \(f \in \mathcal{R}(\alpha_1)\)와 \(f \in \mathcal{R}(\alpha_2)\)가 성립한다면, \(f \in \mathcal{R}(\alpha_1 + \alpha_2)\)이며,

\[\int_a^b f d(\alpha_1 + \alpha_2) = \int_a^b f d\alpha_1 + \int_a^b f d\alpha_2\]

만약 \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)이고 \(c\)가 positive constant라면, \(f \in \mathcal{R}(c\alpha)\)이며,

\[\int_a^b f d(c\alpha) = c \int_a^b f d\alpha\]

Proof 만약 \(f = f_1 + f_2\)이고 \(P\)가 \([a, b]\)의 어떤 partition이라면, 우리는 다음을 가집니다.

\(L(P, f_1, \alpha) + L(P, f_2, \alpha) \le L(P, f, \alpha)\) \(\le U(P, f, \alpha) \le U(P, f_1, \alpha) + U(P, f_2, \alpha)\)

만약 \(f_1 \in \mathcal{R}(\alpha)\)와 \(f_2 \in \mathcal{R}(\alpha)\)라면, \(\varepsilon > 0\)가 주어졌다고 합시다. 다음을 만족하는 partitions \(P_j\) (\(j = 1, 2\))가 존재합니다.

\[U(P_j, f_j, \alpha) - L(P_j, f_j, \alpha) < \varepsilon\]

이러한 inequalities는 \(P_1\)과 \(P_2\)가 그들의 common refinement \(P\)로 대체되어도 유지됩니다. 그러면 (20)은 다음을 의미합니다.

\[U(P, f, \alpha) - L(P, f, \alpha) < 2\varepsilon\]

이는 \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)임을 증명합니다. 이 동일한 \(P\)로 우리는 다음을 가집니다.

\[U(P, f_j, \alpha) < \int_a^b f_j d\alpha + \varepsilon \quad (j = 1, 2)\]

hence (20)은 다음을 의미합니다.

\[\int_a^b f d\alpha \le U(P, f, \alpha) < \int_a^b f_1 d\alpha + \int_a^b f_2 d\alpha + 2\varepsilon\]

\(\varepsilon\)는 arbitrary이므로, 우리는 다음을 결론 내립니다.

\[\int_a^b f d\alpha \le \int_a^b f_1 d\alpha + \int_a^b f_2 d\alpha\]

만약 (21)에서 \(f_1\)과 \(f_2\)를 \(-f_1\)과 \(-f_2\)로 대체하면, inequality는 반전되고, equality가 증명됩니다.

Theorem 6.12의 다른 assertions의 증명은 매우 유사하므로 세부 사항은 생략합니다. (c) 부분의 point는 (세분화를 통해) 우리가 integral \(\int_a^b f d\alpha\)를 근사할 때 point \(c\)를 포함하는 partitions로 자신을 제한할 수 있다는 것입니다.

6.13 Theorem 만약 \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)와 \(g \in \mathcal{R}(\alpha)\)가 \([a, b]\)에서 성립한다면, (a) \(fg \in \mathcal{R}(\alpha)\)입니다. (b) \(\vert f \vert \in \mathcal{R}(\alpha)\)이고 \(\vert \int_a^b f d\alpha \vert \le \int_a^b \vert f \vert d\alpha\)입니다.

Proof 만약 우리가 \(\phi(t) = t^2\)를 취한다면, Theorem 6.11은 \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)이면 \(f^2 \in \mathcal{R}(\alpha)\)임을 보여줍니다. identity

\[4fg = (f+g)^2 - (f-g)^2\]

는 (a)의 증명을 완료합니다. 만약 우리가 \(\phi(t) = \vert t \vert\)를 취한다면, Theorem 6.11은 유사하게 \(\vert f \vert \in \mathcal{R}(\alpha)\)임을 보여줍니다. \(c = \pm 1\)을 선택하면, 다음이 성립합니다.

\[c \int_a^b f d\alpha \ge 0\]

그러면

\[\vert \int_a^b f d\alpha \vert = c \int_a^b f d\alpha = \int_a^b cf d\alpha \le \int_a^b \vert f \vert d\alpha\]

\(cf \le \vert f \vert\)이므로.

6.14 Definition unit step function \(I\)는 다음과 같이 정의됩니다.

\[I(x) = \begin{cases} 0 & (x \le 0) \\ 1 & (x > 0) \end{cases}\]

6.15 Theorem 만약 \(a < s < b\)이고, \(f\)가 \([a, b]\)에서 bounded이며, \(f\)가 \(s\)에서 continuous이고, \(\alpha(x) = I(x - s)\)라면, 다음이 성립합니다.

\[\int_a^b f d\alpha = f(s)\]

Proof partitions \(P = \{x_0, x_1, x_2, x_3\}\)를 고려합시다. 여기서 \(x_0 = a\)이고 \(x_1 = s < x_2 < x_3 = b\)입니다. 그러면

\(U(P, f, \alpha) = M_2\) \(L(P, f, \alpha) = m_2\)

\(f\)는 \(s\)에서 continuous이므로, 우리는 \(x_2 \to s\)일 때 \(M_2\)와 \(m_2\)가 \(f(s)\)로 converge함을 알 수 있습니다.

6.16 Theorem 만약 \(c_n \ge 0\)가 \(1, 2, 3, \dots\)에 대해 성립하고, \(\sum c_n\)이 converges하며, \(\{s_n\}\)이 \((a, b)\)의 distinct points의 sequence이고,

(22) \(\alpha(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n I(x - s_n)\)

라면, \(f\)가 \([a, b]\)에서 continuous라고 합시다. 그러면

(23) \(\int_a^b f d\alpha = \sum_{n=1}^{\infty} c_n f(s_n)\)

Proof comparison test는 series (22)가 모든 \(x\)에 대해 converges함을 보여줍니다. 그 sum \(\alpha(x)\)는 분명히 monotonic이며, \(\alpha(a) = 0, \alpha(b) = \sum c_n\)입니다. (이것은 Remark 4.31에 나타난 function의 type입니다.) \(\varepsilon > 0\)가 주어졌다고 합시다. 그리고 다음을 만족하는 \(N\)을 선택합니다.

\[\sum_{N+1}^{\infty} c_n < \varepsilon\]

Put

\[\alpha_1(x) = \sum_{n=1}^{N} c_n I(x - s_n), \quad \alpha_2(x) = \sum_{N+1}^{\infty} c_n I(x - s_n)\]

Theorems 6.12와 6.15에 의해,

(24) \(\int_a^b f d\alpha_1 = \sum_{n=1}^{N} c_n f(s_n)\)

\(\alpha_2(b) - \alpha_2(a) < \varepsilon\)이므로,

(25) \(\vert \int_a^b f d\alpha_2 \vert \le M\varepsilon\)

여기서 \(M = \sup \vert f(x) \vert\)입니다. \(\alpha = \alpha_1 + \alpha_2\)이므로, (24)와 (25)로부터 다음이 따릅니다.

\[\vert \int_a^b f d\alpha - \sum_{i=1}^{N} c_n f(s_n) \vert \le M\varepsilon\]

만약 우리가 \(N \to \infty\)로 놓으면, (23)을 얻습니다.

6.17 Theorem \(\alpha\)가 monotonically 증가하고 \(\alpha' \in \mathcal{R}\)가 \([a, b]\)에서 성립한다고 가정합시다. \(f\)가 \([a, b]\)에서 bounded real function이라고 합시다. 그러면 \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)는 if and only if \(f\alpha' \in \mathcal{R}\)입니다. 그 경우

(27) \(\int_a^b f d\alpha = \int_a^b f(x)\alpha'(x) dx\)

입니다.

Proof \(\varepsilon > 0\)가 주어졌다고 합시다. 그리고 Theorem 6.6을 \(\alpha'\)에 적용합니다. 다음을 만족하는 partition \(P = \{x_0, \dots, x_n\}\)이 \([a, b]\)에 존재합니다.

\[U(P, \alpha') - L(P, \alpha') < \varepsilon\]

Mean Value Theorem은 \(t_i \in [x_{i-1}, x_i]\)를 제공하여 다음을 만족합니다.

\[\Delta \alpha_i = \alpha'(t_i) \Delta x_i\]

\(i = 1, \dots, n\)에 대해. 만약 \(s_i \in [x_{i-1}, x_i]\)라면,

(28) \(\vert \sum_{i=1}^{n} f(s_i) \Delta \alpha_i - \sum_{i=1}^{n} f(s_i)\alpha'(s_i) \Delta x_i \vert \le M\varepsilon\)

(28)과 Theorem 6.7(b)에 의해. \(M = \sup \vert f(x) \vert\)로 설정합니다.

\[\sum_{i=1}^{n} f(s_i) \Delta \alpha_i = \sum_{i=1}^{n} f(s_i)\alpha'(t_i) \Delta x_i\]

이므로 (29)로부터 다음이 따릅니다.

(30) \(\vert \sum_{i=1}^{n} f(s_i) \Delta \alpha_i - \sum_{i=1}^{n} f(s_i)\alpha'(s_i) \Delta x_i \vert \le M\varepsilon\)

In particular,

\[\sum_{i=1}^{n} f(s_i) \Delta \alpha_i \le U(P, f\alpha') + M\varepsilon\]

모든 \(s_i \in [x_{i-1}, x_i]\)의 choices에 대해, 따라서

\[U(P, f, \alpha) \le U(P, f\alpha') + M\varepsilon\]

동일한 argument는 (30)으로부터 다음을 이끌어냅니다.

\[U(P, f\alpha') \le U(P, f, \alpha) + M\varepsilon\]

Thus

(31) \(\vert U(P, f, \alpha) - U(P, f\alpha') \vert \le M\varepsilon\)

이제 (28)은 \(P\)가 어떤 refinement로 대체되어도 true로 남는다는 점에 주목하십시오. Hence (31)도 true로 남습니다. 우리는 다음을 결론 내립니다.

\[\vert \int_a^b f d\alpha - \int_a^b f(x)\alpha'(x) dx \vert \le M\varepsilon\]

그러나 \(\varepsilon\)는 arbitrary입니다. Hence

(32) \(\int_a^b f d\alpha = \int_a^b f(x)\alpha'(x) dx\)

모든 bounded \(f\)에 대해. lower integrals의 equality는 (30)으로부터 정확히 같은 방식으로 따릅니다. Theorem이 따릅니다.

6.18 Remark 앞의 두 theorems는 Stieltjes process of integration에 내재된 generality와 flexibility를 보여줍니다. 만약 \(\alpha\)가 pure step function (이것은 종종 (22)의 form을 가진 functions에 주어지는 이름입니다)이라면, integral은 finite 또는 infinite series로 축소됩니다. 만약 \(\alpha\)가 integrable derivative를 가진다면, integral은 ordinary Riemann integral로 축소됩니다. 이것은 많은 경우에 series와 integrals를 동시에, 분리하지 않고 연구하는 것을 가능하게 합니다.

이 point를 설명하기 위해, physical example을 고려해 봅시다. unit length의 straight wire의 moment of inertia는 endpoint를 통과하고 wire에 right angles인 axis에 대해 다음과 같습니다.

(33) \(\int_0^1 x^2 dm\)

여기서 \(m(x)\)는 interval \([0, x]\)에 포함된 mass입니다. 만약 wire가 continuous density \(\rho\)를 가진다고 간주된다면, 즉 \(m'(x) = \rho(x)\)라면, (33)은 다음으로 바뀝니다.

(34) \(\int_0^1 x^2 \rho(x) dx\)

다른 한편으로, 만약 wire가 points \(x_i\)에 concentrated된 masses \(m_i\)로 구성된다면, (33)은 다음이 됩니다.

(35) \(\sum x_i^2 m_i\)

따라서 (33)은 (34)와 (35)를 special cases로 포함하지만, 훨씬 더 많은 것을 포함합니다. 예를 들어, \(m\)이 continuous이지만 모든 곳에서 differentiable하지 않은 경우도 포함합니다.

6.19 Theorem (change of variable) \(\phi\)가 strictly increasing continuous function으로 interval \([A, B]\)를 \([a, b]\)로 maps한다고 가정합시다. \(\alpha\)는 \([a, b]\)에서 monotonically increasing이고 \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)는 \([a, b]\)에서 성립한다고 가정합시다. \(\beta\)와 \(g\)를 \([A, B]\)에서 다음과 같이 정의합니다.

(36) \(\beta(y) = \alpha(\phi(y)), \quad g(y) = f(\phi(y))\)

그러면 \(g \in \mathcal{R}(\beta)\)이고

(37) \(\int_A^B g d\beta = \int_a^b f d\alpha\)

Proof \([a, b]\)의 각 partition \(P = \{x_0, \dots, x_n\}\)에 대해 \([A, B]\)의 partition \(Q = \{y_0, \dots, y_n\}\)이 correspond하며, \(x_i = \phi(y_i)\)입니다. \([A, B]\)의 모든 partitions는 이러한 방식으로 얻어집니다. \(f\)가 \([x_{i-1}, x_i]\)에서 취하는 values가 \(g\)가 \([y_{i-1}, y_i]\)에서 취하는 values와 정확히 같으므로, 우리는 다음을 알 수 있습니다.

(38) \(U(Q, g, \beta) = U(P, f, \alpha), \quad L(Q, g, \beta) = L(P, f, \alpha)\)

\(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)이므로, \(P\)는 \(U(P, f, \alpha)\)와 \(L(P, f, \alpha)\)가 모두 \(\int_a^b f d\alpha\)에 가깝도록 선택될 수 있습니다. Hence (38)은 Theorem 6.6과 결합되어 \(g \in \mathcal{R}(\beta)\)이고 (37)이 성립함을 보여줍니다. 이것으로 증명이 완료됩니다.

다음 special case에 주목합시다. \(\alpha(x) = x\)를 취합니다. 그러면 \(\beta = \phi\)입니다. \(\phi' \in \mathcal{R}\)가 \([A, B]\)에서 성립한다고 가정합시다. 만약 Theorem 6.17이 (37)의 왼쪽 side에 적용된다면, 우리는 다음을 얻습니다.

(39) \(\int_a^b f(x) dx = \int_A^B f(\phi(y))\phi'(y) dy\)

INTEGRATION AND DIFFERENTIATION

우리는 이 section에서 여전히 real functions에 국한됩니다. 우리는 integration과 differentiation이 어떤 의미에서는 inverse operations임을 보여줄 것입니다.

6.20 Theorem \(f \in \mathcal{R}\)가 \([a, b]\)에서 성립한다고 합시다. \(a \le x \le b\)에 대해, 다음을 설정합니다.

\[F(x) = \int_a^x f(t) dt\]

그러면 \(F\)는 \([a, b]\)에서 continuous입니다. 또한, 만약 \(f\)가 \([a, b]\)의 point \(x_0\)에서 continuous라면, \(F\)는 \(x_0\)에서 differentiable이며,

\[F'(x_0) = f(x_0)\]

Proof \(f \in \mathcal{R}\)이므로, \(f\)는 bounded입니다. \(\vert f(t) \vert \le M\)이 \(a \le t \le b\)에 대해 성립한다고 가정합시다. 만약 \(a \le x < y < b\)라면,

\[\vert F(y) - F(x) \vert = \vert \int_x^y f(t) dt \vert \le M(y - x)\]

Theorem 6.12(c)와 (d)에 의해. \(\varepsilon > 0\)가 주어졌을 때, 우리는 다음을 알 수 있습니다.

\[\vert F(y) - F(x) \vert < \varepsilon\]

만약 \(\vert y - x \vert < \delta/M\)가 제공된다면. 이것은 \(F\)의 continuity (그리고 사실, uniform continuity)를 증명합니다.

이제 \(f\)가 \(x_0\)에서 continuous라고 가정합시다. \(\varepsilon > 0\)가 주어졌을 때, 다음을 만족하는 \(\delta > 0\)를 선택합니다.

\[\vert f(t) - f(x_0) \vert < \varepsilon\]

만약 \(\vert t - x_0 \vert < \delta\)이고 \(a \le t \le b\)라면. Hence, 만약

\[x_0 - \delta < s \le x_0 \le t < x_0 + \delta\]

이고 \(a \le s < t \le b\)라면, 우리는 Theorem 6.12(d)에 의해 다음을 가집니다.

\[\vert \frac{F(t) - F(s)}{t-s} - f(x_0) \vert = \vert \frac{1}{t-s} \int_s^t [f(u) - f(x_0)] du \vert < \varepsilon\]

이것으로부터 \(F'(x_0) = f(x_0)\)가 따릅니다.

6.21 Theorem (The fundamental theorem of calculus) 만약 \(f \in \mathcal{R}\)가 \([a, b]\)에서 성립하고, \(F' = f\)를 만족하는 differentiable function \(F\)가 \([a, b]\)에 존재한다면,

\[\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\]

Proof \(\varepsilon > 0\)가 주어졌다고 합시다. 다음을 만족하는 partition \(P = \{x_0, \dots, x_n\}\)이 \([a, b]\)에 존재합니다. \(U(P, f) - L(P, f) < \varepsilon\)입니다. mean value theorem은 \(t_i \in [x_{i-1}, x_i]\)를 제공하여 다음을 만족합니다.

\[F(x_i) - F(x_{i-1}) = f(t_i) \Delta x_i\]

\(i = 1, \dots, n\)에 대해. Thus

\[\sum_{i=1}^{n} f(t_i) \Delta x_i = F(b) - F(a)\]

이제 Theorem 6.7(c)로부터 다음이 따릅니다.

\[\vert F(b) - F(a) - \int_a^b f(x) dx \vert < \varepsilon\]

이것은 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 성립하므로, 증명이 완료됩니다.

6.22 Theorem (integration by parts) 만약 \(F\)와 \(G\)가 \([a, b]\)에서 differentiable functions이고, \(F' = f \in \mathcal{R}\)이며, \(G' = g \in \mathcal{R}\)라면,

\[\int_a^b F(x)g(x) dx = F(b)G(b) - F(a)G(a) - \int_a^b f(x)G(x) dx\]

Proof \(H(x) = F(x)G(x)\)로 설정하고 Theorem 6.21을 \(H\)와 그 derivative에 적용합니다. Theorem 6.13에 의해 \(H' \in \mathcal{R}\)임을 주목하십시오.

INTEGRATION OF VECTOR-VALUED FUNCTIONS

6.23 Definition \(f_1, \dots, f_k\)가 \([a, b]\)에서 real functions라고 하고, \(f = (f_1, \dots, f_k)\)를 \([a, b]\)에서 \(\mathbb{R}^k\)로의 corresponding mapping이라고 합시다. 만약 \(\alpha\)가 \([a, b]\)에서 monotonically 증가한다면, \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)라고 말하는 것은 \(j = 1, \dots, k\)에 대해 \(f_j \in \mathcal{R}(\alpha)\)를 의미합니다. 이 경우, 우리는 다음을 정의합니다.

\[\int_a^b f d\alpha = \left( \int_a^b f_1 d\alpha, \dots, \int_a^b f_k d\alpha \right)\]

다시 말해, \(\int_a^b f d\alpha\)는 \(j\)번째 coordinate가 \(\int_a^b f_j d\alpha\)인 \(\mathbb{R}^k\)의 point입니다.

Theorem 6.12의 (a), (c), (e) 부분은 이러한 vector-valued integrals에 대해 유효하다는 것이 분명합니다. 우리는 단순히 각 coordinate에 이전 results를 적용합니다. Theorems 6.17, 6.20, 6.21도 마찬가지입니다. 예를 들어, Theorem 6.21의 analogue를 언급하겠습니다.

6.24 Theorem 만약 \(f\)와 \(F\)가 \([a, b]\)를 \(\mathbb{R}^k\)로 map하고, \(f \in \mathcal{R}\)가 \([a, b]\)에서 성립하며, \(F' = f\)라면,

\[\int_a^b f(t) dt = F(b) - F(a)\]

그러나 Theorem 6.13(b)의 analogue는 적어도 그 proof에서 몇 가지 새로운 features를 제공합니다.

6.25 Theorem 만약 \(f\)가 \([a, b]\)를 \(\mathbb{R}^k\)로 map하고, 어떤 monotonically increasing function \(\alpha\)에 대해 \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)가 \([a, b]\)에서 성립한다면, \(\vert f \vert \in \mathcal{R}(\alpha)\)이며,

(40) \(\vert \int_a^b f d\alpha \vert \le \int_a^b \vert f \vert d\alpha\)

Proof 만약 \(f_1, \dots, f_k\)가 \(f\)의 components라면,

(41) \(\vert f \vert = (f_1^2 + \dots + f_k^2)^{1/2}\)

Theorem 6.11에 의해, 각 function \(f_j^2\)는 \(\mathcal{R}(\alpha)\)에 속합니다. hence 그들의 sum도 마찬가지입니다. \(x^2\)는 continuous function이므로, Theorem 4.17은 square-root function이 모든 real \(M\)에 대해 \([0, M]\)에서 continuous임을 보여줍니다. 만약 우리가 Theorem 6.11을 한 번 더 적용한다면, (41)은 \(\vert f \vert \in \mathcal{R}(\alpha)\)임을 보여줍니다.

(40)을 증명하기 위해, \(y = (y_1, \dots, y_k)\)로 설정합니다. 여기서 \(y_j = \int_a^b f_j d\alpha\)입니다. 그러면 우리는 \(y = \int_a^b f d\alpha\)를 가집니다.

\[\vert y \vert^2 = \sum y_j^2 = \sum y_j \int_a^b f_j d\alpha = \int_a^b (\sum y_j f_j) d\alpha\]

Schwarz inequality에 의해,

(42) \(\vert \sum y_j f_j(t) \vert \le \vert y \vert \vert f(t) \vert \quad (a \le t \le b)\)

hence Theorem 6.12(b)는 다음을 의미합니다.

(43) \(\vert y \vert^2 \le \vert y \vert \int_a^b \vert f \vert d\alpha\)

만약 \(y = 0\)이라면, (40)은 trivial합니다. 만약 \(y \ne 0\)이라면, (43)을 \(\vert y \vert\)로 나누면 (40)을 얻습니다.

RECTIFIABLE CURVES

우리는 이 chapter를 geometric interest의 topic으로 마무리할 것입니다. 이는 이전 theory의 일부 application을 제공합니다. case \(k = 2\) (즉, plane curves의 case)는 complex variable의 analytic functions 연구에서 상당한 중요성을 가집니다.

6.26 Definition interval \([a, b]\)에서 \(\mathbb{R}^k\)로의 continuous mapping \(\gamma\)를 \(\mathbb{R}^k\)의 curve라고 부릅니다. parameter interval \([a, b]\)를 강조하기 위해, 우리는 \(\gamma\)가 \([a, b]\)의 curve라고 말할 수도 있습니다.

만약 \(\gamma\)가 one-to-one이라면, \(\gamma\)는 arc라고 불립니다. 만약 \(\gamma(a) = \gamma(b)\)라면, \(\gamma\)는 closed curve라고 말합니다.

우리는 curve를 mapping으로 정의하며, point set이 아님을 주목해야 합니다. 물론, \(\mathbb{R}^k\)의 각 curve \(\gamma\)에는 \(\mathbb{R}^k\)의 subset, 즉 \(\gamma\)의 range가 associated되지만, 다른 curves가 동일한 range를 가질 수 있습니다.

우리는 \([a, b]\)의 각 partition \(P = \{x_0, \dots, x_n\}\)과 \([a, b]\)의 각 curve \(\gamma\)에 대해 다음 number를 associate합니다.

\[\Lambda(P, \gamma) = \sum_{i=1}^{n} \vert \gamma(x_i) - \gamma(x_{i-1}) \vert\]

이 sum의 \(i\)번째 term은 points \(\gamma(x_{i-1})\)과 \(\gamma(x_i)\) 사이의 (\(\mathbb{R}^k\)에서의) distance입니다. Hence \(\Lambda(P, \gamma)\)는 vertices가 \(\gamma(x_0), \gamma(x_1), \dots, \gamma(x_n)\)인 polygonal path의 length입니다. 우리의 partition이 점점 더 finer해질수록, 이 polygon은 \(\gamma\)의 range에 점점 더 가깝게 approach합니다. 이것은 \(\gamma\)의 length를 다음과 같이 정의하는 것이 합리적으로 보이게 합니다.

\[\Lambda(\gamma) = \sup \Lambda(P, \gamma)\]

여기서 supremum은 \([a, b]\)의 모든 partitions에 대해 취해집니다.

만약 \(\Lambda(\gamma) < \infty\)라면, 우리는 \(\gamma\)가 rectifiable이라고 말합니다.

어떤 경우에는 \(\Lambda(\gamma)\)가 Riemann integral로 주어집니다. 우리는 이것을 continuously differentiable curves, 즉 derivative \(\gamma'\)가 continuous인 curves에 대해 증명할 것입니다.

6.27 Theorem 만약 \(\gamma'\)가 \([a, b]\)에서 continuous라면, \(\gamma\)는 rectifiable이며,

\[\Lambda(\gamma) = \int_a^b \vert \gamma'(t) \vert dt\]

Proof 만약 \(a \le x_{i-1} < x_i \le b\)라면,

\[\vert \gamma(x_i) - \gamma(x_{i-1}) \vert = \vert \int_{x_{i-1}}^{x_i} \gamma'(t) dt \vert \le \int_{x_{i-1}}^{x_i} \vert \gamma'(t) \vert dt\]

Hence

\[\Lambda(P, \gamma) \le \int_a^b \vert \gamma'(t) \vert dt\]

모든 partition \(P\)에 대해. Consequently,

\[\Lambda(\gamma) \le \int_a^b \vert \gamma'(t) \vert dt\]

opposite inequality를 증명하기 위해, \(\varepsilon > 0\)가 주어졌다고 합시다. \(\gamma'\)는 \([a, b]\)에서 uniformly continuous이므로, 다음을 만족하는 \(\delta > 0\)가 존재합니다. \(\vert \gamma'(s) - \gamma'(t) \vert < \varepsilon\) (만약 \(\vert s - t \vert < \delta\)라면). \([a, b]\)의 partition \(P = \{x_0, \dots, x_n\}\)을 \(\Delta x_i < \delta\)가 모든 \(i\)에 대해 성립하도록 합시다. 만약 \(x_{i-1} \le t \le x_i\)라면, 다음이 따릅니다.

\[\vert \gamma'(t) \vert \le \vert \gamma'(x_i) \vert + \varepsilon\]

Hence

\(\int_{x_{i-1}}^{x_i} \vert \gamma'(t) \vert dt \le \vert \gamma'(x_i) \vert \Delta x_i + \varepsilon \Delta x_i\) \(= \int_{x_{i-1}}^{x_i} [\gamma'(t) + \gamma'(x_i) - \gamma'(t)] dt + \varepsilon \Delta x_i\) \(\le \vert \int_{x_{i-1}}^{x_i} \gamma'(t) dt \vert + \int_{x_{i-1}}^{x_i} \vert \gamma'(x_i) - \gamma'(t) \vert dt + \varepsilon \Delta x_i\) \(\le \vert \gamma(x_i) - \gamma(x_{i-1}) \vert + 2\varepsilon \Delta x_i\)

만약 우리가 이러한 inequalities를 더한다면, 우리는 다음을 얻습니다.

\(\int_a^b \vert \gamma'(t) \vert dt \le \Lambda(P, \gamma) + 2\varepsilon(b - a)\) \(\le \Lambda(\gamma) + 2\varepsilon(b - a)\)

\(\varepsilon\)는 arbitrary이므로,

\[\int_a^b \vert \gamma'(t) \vert dt \le \Lambda(\gamma)\]

이것으로 증명이 완료됩니다.

EXERCISES

1. \(\alpha\)가 \([a, b]\)에서 increases하고, \(a \le x_0 \le b\)이며, \(\alpha\)가 \(x_0\)에서 continuous이고, \(f(x_0) = 1\)이며, \(x \ne x_0\)이면 \(f(x) = 0\)이라고 가정합시다. \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)이고 \(\int_a^b f d\alpha = 0\)임을 Prove하십시오.
2. \(f \ge 0\)이고, \(f\)가 \([a, b]\)에서 continuous이며, \(\int_a^b f(x) dx = 0\)이라고 가정합시다. \(f(x) = 0\)이 모든 \(x \in [a, b]\)에 대해 성립함을 Prove하십시오. (이것을 Exercise 1과 비교하십시오.)

3. 세 functions \(\beta_1, \beta_2, \beta_3\)를 다음과 같이 정의합니다. \(j = 1, 2, 3\)에 대해 \(x < 0\)이면 \(\beta_j(x) = 0\)이고, \(x > 0\)이면 \(\beta_j(x) = 1\)입니다. 그리고 \(\beta_1(0) = 0, \beta_2(0) = 1, \beta_3(0) = 1\)입니다. \(f\)를 \([-1, 1]\)에서 bounded function이라고 합시다. (a) \(f \in \mathcal{R}(\beta_1)\)는 if and only if \(f(0+) = f(0)\)이고, 그 경우

   \[\int f d\beta_1 = f(0)\]

   임을 Prove하십시오. (b) \(\beta_2\)에 대한 유사한 result를 State하고 prove하십시오. (c) \(f \in \mathcal{R}(\beta_3)\)는 if and only if \(f\)가 \(0\)에서 continuous임을 Prove하십시오. (d) 만약 \(f\)가 \(0\)에서 continuous라면 다음을 prove하십시오.

   \[\int f d\beta_1 = \int f d\beta_2 = \int f d\beta_3 = f(0)\]
4. 만약 \(f(x) = 0\)이 모든 irrational \(x\)에 대해 성립하고, \(f(x) = 1\)이 모든 rational \(x\)에 대해 성립한다면, \(f \notin \mathcal{R}\)가 어떤 \(a < b\)에 대해 \([a, b]\)에서 성립함을 prove하십시오.
5. \(f\)가 \([a, b]\)에서 bounded real function이고, \(f^2 \in \mathcal{R}\)가 \([a, b]\)에서 성립한다고 가정합시다. \(f \in \mathcal{R}\)가 따릅니까? 만약 우리가 \(f^3 \in \mathcal{R}\)라고 assume한다면 답이 바뀝니까?
6. Sec. 2.44에서 구성된 Cantor set을 \(P\)라고 합시다. \(f\)를 \([0, 1]\)에서 bounded real function으로, \(P\) 외부의 모든 point에서 continuous라고 합시다. \(f \in \mathcal{R}\)가 \([0, 1]\)에서 성립함을 Prove하십시오. Hint: \(P\)는 finitely many segments로 덮일 수 있으며, 그 total length는 원하는 만큼 작게 만들 수 있습니다. Theorem 6.10에서와 같이 진행하십시오.

7. \(f\)가 \((0, 1]\)에서 real function이고, 모든 \(c > 0\)에 대해 \(f \in \mathcal{R}\)가 \([c, 1]\)에서 성립한다고 가정합시다. 다음을 정의합니다.

   \[\int_0^1 f(x) dx = \lim_{c \to 0} \int_c^1 f(x) dx\]

   만약 이 limit가 존재하고 (finite라면). (a) 만약 \(f \in \mathcal{R}\)가 \([0, 1]\)에서 성립한다면, 이 integral의 definition이 이전 definition과 일치함을 Show하십시오. (b) 위 limit가 존재하지만, \(\vert f \vert\) 대신 \(f\)로 대체했을 때 존재하지 않는 function \(f\)를 Construct하십시오.

8. \(f \in \mathcal{R}\)가 \(a\)가 fixed된 모든 \(b > a\)에 대해 \([a, b]\)에서 성립한다고 가정합시다. 다음을 정의합니다.

   \[\int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) dx\]

   만약 이 limit가 존재하고 (finite라면). 이 경우, 우리는 왼쪽의 integral이 converges한다고 말합니다. 만약 \(f\)가 \(\vert f \vert\)로 대체된 후에도 converges한다면, 그것은 absolutely converge한다고 말합니다.

   \(f(x) \ge 0\)이고 \(f\)가 \([1, \infty)\)에서 monotonically decreases한다고 가정합시다. 다음을 Prove하십시오.

   \[\int_1^\infty f(x) dx\]

   는 if and only if

   \[\sum_{n=1}^\infty f(n)\]

   이 converges합니다. (이것은 series의 convergence에 대한 소위 “integral test“입니다.)

9. integration by parts가 Exercises 7과 8에 정의된 “improper integrals“에 때때로 적용될 수 있음을 Show하십시오. (appropriate hypotheses를 State하고, theorem을 formulate하고, prove하십시오.) 예를 들어 다음을 show하십시오.

   \[\int_0^\infty \frac{\cos x}{1+x} dx = \int_0^\infty \frac{\sin x}{x^2} dx\]

   이러한 integrals 중 하나는 absolutely converge하지만, 다른 하나는 그렇지 않음을 Show하십시오.

10. \(p\)와 \(q\)가 다음을 만족하는 positive real numbers라고 합시다.

    \[\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1\]

    다음 statements를 Prove하십시오. (a) 만약 \(u \ge 0\)이고 \(v \ge 0\)라면,

    \[uv \le \frac{u^p}{p} + \frac{v^q}{q}\]

    Equality holds는 if and only if \(u^p = v^q\)입니다. (b) 만약 \(f \in \mathcal{R}(\alpha), g \in \mathcal{R}(\alpha), f \ge 0, g \ge 0\)이고,

    \[\int_a^b f^p d\alpha = 1 = \int_a^b g^q d\alpha\]

    라면,

    \[\int_a^b fg d\alpha \le 1\]

    입니다. (c) 만약 \(f\)와 \(g\)가 \(\mathcal{R}(\alpha)\)의 complex functions라면,

    \[\vert \int_a^b fg d\alpha \vert \le \left( \int_a^b \vert f \vert^p d\alpha \right)^{1/p} \left( \int_a^b \vert g \vert^q d\alpha \right)^{1/q}\]

    이것은 Hölder’s inequality입니다. \(p = q = 2\)일 때, 이것은 일반적으로 Schwarz inequality라고 불립니다. (Theorem 1.35가 이것의 매우 special case임을 주목하십시오.) (d) Hölder’s inequality가 Exercises 7과 8에 설명된 “improper integrals“에 대해서도 true임을 Show하십시오.

11. \(\alpha\)가 \([a, b]\)에서 fixed increasing function이라고 합시다. \(u \in \mathcal{R}(\alpha)\)에 대해, 다음을 정의합니다.

    \[\Vert u \Vert_2 = \left( \int_a^b u^2 d\alpha \right)^{1/2}\]

    \(f, g, h \in \mathcal{R}(\alpha)\)라고 가정하고, Schwarz inequality의 결과로 Theorem 1.37의 증명에서와 같이 triangle inequality

    \[\Vert f - h \Vert_2 \le \Vert f - g \Vert_2 + \Vert g - h \Vert_2\]

    를 prove하십시오.

12. Exercise 11의 notations를 사용하여, \(f \in \mathcal{R}(\alpha)\)이고 \(\varepsilon > 0\)이라고 가정합시다. 다음을 만족하는 \([a, b]\)에서 continuous function \(g\)가 존재함을 Prove하십시오. \(\Vert f - g \Vert_2 < \varepsilon\) Hint: \(P = \{x_0, \dots, x_n\}\)을 suitable partition이라고 하고, 다음을 정의합니다.

    \[g(t) = \frac{x_i - t}{\Delta x_i} f(x_{i-1}) + \frac{t - x_{i-1}}{\Delta x_i} f(x_i)\]

    만약 \(x_{i-1} \le t \le x_i\)라면.

13. 다음을 정의합니다.

    \[f(x) = \int_x^{x+1} \sin(t^2) dt\]

    (a) 만약 \(x > 0\)라면 \(\vert f(x) \vert < 1/x\)임을 Prove하십시오. Hint: \(t^2 = u\)로 설정하고 integration by parts를 사용하여 \(f(x)\)가 다음 equal임을 show하십시오.

    \[\frac{\cos(x^2)}{2x} - \frac{\cos[(x+1)^2]}{2(x+1)} - \int_{x^2}^{(x+1)^2} \frac{\cos u}{4u^{3/2}} du\]

    \(\cos u\)를 \(-1\)로 대체하십시오. (b) 다음을 Prove하십시오.

    \[2xf(x) = \cos(x^2) - \cos[(x+1)^2] + r(x)\]

    여기서 \(\vert r(x) \vert < c/x\)이고 \(c\)는 constant입니다. (c) \(x \to \infty\)일 때 \(xf(x)\)의 upper 및 lower limits를 Find하십시오. (d) \(\int_0^\infty \sin(t^2) dt\)가 converge합니까?

14. 다음으로 유사하게 Deal하십시오.

    \[f(x) = \int_x^{x+1} \sin(e^t) dt\]

    다음을 Show하십시오.

    \[e^x \vert f(x) \vert < 2\]

    그리고 다음을 Show하십시오.

    \[e^x f(x) = \cos(e^x) - e^{-1} \cos(e^{x+1}) + r(x)\]

    여기서 \(\vert r(x) \vert < Ce^{-x}\)이고 \(C\)는 어떤 constant입니다.

15. \(f\)가 \([a, b]\)에서 real, continuously differentiable function이고, \(f(a) = f(b) = 0\)이며,

    \[\int_a^b f^2(x) dx = 1\]

    이라고 가정합시다. 다음을 Prove하십시오.

    \[\int_a^b xf(x)f'(x) dx = -\frac{1}{2}\]

    그리고 다음을 Prove하십시오.

    \[\int_a^b [f'(x)]^2 dx \cdot \int_a^b x^2f^2(x) dx > \frac{1}{4}\]

16. \(1 < s < \infty\)에 대해, 다음을 정의합니다.

    \[\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}\]

    (이것은 Riemann’s zeta function이며, prime numbers의 distribution 연구에서 매우 중요합니다.) 다음을 Prove하십시오. (a) \(\zeta(s) = s \int_1^\infty \frac{[x]}{x^{s+1}} dx\) 그리고 다음을 Prove하십시오. (b) \(\zeta(s) = \frac{s}{s-1} - s \int_1^\infty \frac{x - [x]}{x^{s+1}} dx\) 여기서 \([x]\)는 greatest integer \(\le x\)를 나타냅니다. (b)의 integral이 모든 \(s > 0\)에 대해 converges함을 Prove하십시오. Hint: (a)를 증명하기 위해, \([1, N]\)에 대한 integral과 \(\zeta(s)\)를 정의하는 series의 \(N\)번째 partial sum 사이의 difference를 compute하십시오.

17. \(\alpha\)가 \([a, b]\)에서 monotonically increases하고, \(g\)가 continuous이며, \(g(x) = G'(x)\)가 \(a \le x \le b\)에 대해 성립한다고 가정합시다. 다음을 Prove하십시오.

    \[\int_a^b \alpha(x)g(x) dx = G(b)\alpha(b) - G(a)\alpha(a) - \int_a^b G d\alpha\]

    Hint: generality를 잃지 않고 \(g\)를 real로 취하십시오. \(P = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}\)이 주어졌을 때, \(t_i \in (x_{i-1}, x_i)\)를 선택하여 \(g(t_i) \Delta x_i = G(x_i) - G(x_{i-1})\)이 되도록 합니다. 다음을 Show하십시오.

    \[\sum_{i=1}^n \alpha(x_i)g(t_i) \Delta x_i = G(b)\alpha(b) - G(a)\alpha(a) - \sum_{i=1}^n G(x_{i-1}) \Delta \alpha_i\]

18. \(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\)를 complex plane에서 \([0, 2\pi]\)에 대해 정의된 curves라고 합시다.

    \[\gamma_1(t) = e^{it}, \quad \gamma_2(t) = e^{2it}, \quad \gamma_3(t) = e^{2\pi it \sin(1/t)}\]

    이 세 curves가 same range를 가지고 있음을 Show하십시오. \(\gamma_1\)과 \(\gamma_2\)는 rectifiable이고, \(\gamma_1\)의 length는 \(2\pi\)이고, \(\gamma_2\)의 length는 \(4\pi\)이며, \(\gamma_3\)는 not rectifiable임을 Show하십시오.

19. \(\gamma_1\)이 \(\mathbb{R}^k\)의 curve로 \([a, b]\)에서 정의되었다고 합시다. \(\phi\)를 \([c, d]\)를 \([a, b]\)로 onto하는 continuous 1-1 mapping으로, \(\phi(c) = a\)를 만족한다고 합시다. 그리고 \(\gamma_2(s) = \gamma_1(\phi(s))\)를 정의합니다. \(\gamma_2\)가 arc, closed curve, 또는 rectifiable curve인 것은 if and only if \(\gamma_1\)도 마찬가지임을 Prove하십시오. \(\gamma_2\)와 \(\gamma_1\)이 same length를 가짐을 Prove하십시오.