실해석학 중간고사 대비 Definition 모음집

제1장: 실수 및 복소수 체계 (The Real and Complex Number Systems)

• 1.3 정의 (집합과 원소): $x$가 집합 $A$의 원소이면 $x \in A$로 표기하고, 속하지 않으면 $x \notin A$로 표기합니다. 원소가 없는 집합은 공집합(empty set)이라 합니다. $A$의 모든 원소가 $B$의 원소이면 $A$를 $B$의 부분집합(subset)이라 하고 $A \subset B$로 표기하며, $B$에 $A$에 없는 원소가 존재하면 진부분집합(proper subset)이라 합니다. $A \subset B$이고 $B \subset A$이면 $A=B$입니다.
• 1.4 정의 (유리수): 모든 유리수(rational numbers)의 집합을 $Q$로 표기합니다.
• 1.5 정의 (순서): 집합 $S$ 상의 순서(order)란 다음 두 성질을 만족하는 관계 ‘$<$’를 의미합니다. 첫째, 임의의 $x, y \in S$에 대해 $x<y, x=y, y<x$ 중 오직 하나만 참입니다. 둘째, $x<y$이고 $y<z$이면 $x<z$입니다.
• 1.6 정의 (순서 집합): 순서가 정의된 집합 $S$를 순서 집합(ordered set)이라고 합니다.
• 1.7 정의 (유계와 상계/하계): 순서 집합 $S$의 부분집합 $E$에 대해, $E$의 모든 원소 $x$에 대하여 $x \le \beta$를 만족하는 $\beta \in S$가 존재하면 $E$는 위로 유계(bounded above)라 하고 $\beta$를 상계(upper bound)라 합니다. 하계(lower bound)와 아래로 유계(bounded below)도 동일한 방식으로 정의됩니다.
• 1.8 정의 (상한과 하한): 위로 유계인 집합 $E$에 대해, $\alpha$가 $E$의 상계이면서 $\alpha$보다 작은 어떤 $y$도 상계가 아닐 때, $\alpha$를 $E$의 최소상계(least upper bound) 또는 상한(supremum)이라 하고 $\alpha = \sup E$로 표기합니다. 하한(infimum, greatest lower bound)도 같은 방식으로 정의되며 $\alpha = \inf E$로 표기합니다.
• 1.10 정의 (최소상계 성질): 순서 집합 $S$의 공집합이 아닌 위로 유계인 부분집합이 항상 $S$ 안에서 상한을 가질 때, $S$는 최소상계 성질(least-upper-bound property)을 갖는다고 합니다.
• 1.12 정의 (체): 체(field)는 덧셈과 곱셈이라는 두 연산이 정의된 집합 $F$로, 덧셈과 곱셈에 대한 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙을 만족하며, 항등원($0, 1$)과 역원(음수, 역수)이 존재하는 공리계를 만족하는 집합입니다.
• 1.17 정의 (순서체): 순서체(ordered field)는 순서 집합인 체 $F$로, $y<z$일 때 $x+y<x+z$를 만족하고, $x>0$ 및 $y>0$일 때 $xy>0$을 만족하는 구조입니다.
• 1.23 정의 (확장된 실수 체계): 실수체 $R$에 두 기호 $+\infty$와 $-\infty$를 추가하고, 모든 실수 $x$에 대해 $-\infty < x < +\infty$의 순서를 보존한 체계를 확장된 실수 체계(extended real number system)라고 합니다.
• 1.24 정의 (복소수): 복소수는 실수의 순서쌍 $(a, b)$입니다. 덧셈과 곱셈은 $x+y = (a+c, b+d)$ 및 $xy = (ac-bd, ad+bc)$로 정의됩니다.
• 1.27 정의 (허수 단위): $i = (0, 1)$로 정의합니다.
• 1.30 정의 (켤레 복소수): $z=a+bi$일 때 켤레 복소수(conjugate)는 $\bar{z}=a-bi$로 정의되며, $a$와 $b$는 각각 실수부(Re)와 허수부(Im)라 부릅니다.
• 1.32 정의 (복소수의 절댓값): 복소수 $z$의 절댓값 $ \vert z \vert $는 음이 아닌 실수 $(z\bar{z})^{1/2}$로 정의됩니다.
• 1.36 정의 (유클리드 공간): 양의 정수 $k$에 대해 유클리드 공간 $R^k$는 $k$개의 실수들의 순서쌍 ${\bf x} = (x_1, \dots, x_k)$의 집합입니다. 이들의 원소를 점 또는 벡터라 부르며, 벡터의 덧셈과 스칼라 곱셈, 내적(${\bf x} \cdot {\bf y} = \sum x_i y_i$), 그리고 노름($ \vert {\bf x} \vert = ({\bf x} \cdot {\bf x})^{1/2}$)이 정의됩니다.

제2장: 기초 위상수학 (Basic Topology)

• 2.1 정의 (함수/사상): 집합 $A$의 각 원소 $x$에 집합 $B$의 원소 $f(x)$를 대응시키는 것을 함수(function) 또는 사상(mapping)이라 합니다. $A$는 정의역(domain), $f(x)$는 함숫값(values), 함숫값들의 집합을 치역(range)이라 합니다.
• 2.2 정의 (상, 역상, 1-1 사상): $E \subset A$일 때 $f(E)$는 상(image)이라 하고, $E \subset B$일 때 $f^{-1}(E)$는 역상(inverse image)이라 합니다. 각각의 $y \in B$에 대해 대응하는 $A$의 원소가 최대 1개일 때 $f$를 1-1 사상(one-to-one mapping)이라 합니다.
• 2.3 정의 (1-1 대응과 대등): $A$에서 $B$로의 전단사(1-1 onto) 사상이 존재하면 두 집합은 1-1 대응 관계에 있으며, 같은 기수(cardinal number)를 가지거나 대등(equivalent)하다고 하며 $A \sim B$로 씁니다.
• 2.4 정의 (가부번성): 집합이 자연수 부분집합과 대등하면 유한(finite), 그렇지 않으면 무한(infinite)입니다. 양의 정수 전체 집합 $J$와 대등하면 가부번(countable)이라 하고, 유한도 가부번도 아니면 비가부번(uncountable)이라 합니다.
• 2.7 정의 (수열): 양의 정수 집합 $J$에서 정의된 함수 $f$를 수열(sequence)이라 하며, $f(n)=x_n$은 수열의 항(terms)이라 부릅니다.
• 2.9 정의 (집합족의 합집합과 교집합): 집합들의 모임을 집합족(family of sets)이라 합니다. 합집합(union)은 적어도 하나의 집합에 속하는 원소들의 집합이며, 교집합(intersection)은 모든 집합에 공통으로 속하는 원소들의 집합입니다. 교집합이 공집합이면 서로소(disjoint)라 합니다.
• 2.15 정의 (거리 공간): 임의의 두 점 $p, q$에 대해 거리 $d(p, q)$가 정의되고, 다음 세 성질 (1. $p \neq q$이면 $d>0$ 및 $d(p,p)=0$, 2. 대칭성, 3. 삼각 부등식)을 만족하는 집합을 거리 공간(metric space)이라 합니다.
• 2.17 정의 (구간과 세포): 실수형의 구간(segment, interval), 반개구간이 정의됩니다. $R^k$ 공간에서 부등식 $a_i \le x_i \le b_i$를 만족하는 점들의 집합을 $k$-세포($k$-cell)라 부릅니다. 거리 반경 $r$ 이내의 점들로 열린/닫힌 구(ball)를 정의하고, 두 점을 잇는 선분이 집합 내에 포함되는 볼록(convex) 집합을 정의합니다.
• 2.18 정의 (위상적 성질들):
  • 근방(Neighborhood): $d(p, q) < r$인 모든 점 $q$의 집합.
  • 극한점(Limit point): $p$의 모든 근방이 $p$가 아닌 $E$의 점을 포함할 때 $p$를 $E$의 극한점이라 함.
  • 고립점(Isolated point): $E$의 원소이면서 극한점이 아닌 점.
  • 닫힌 집합(Closed): 집합의 모든 극한점이 집합에 포함되는 집합.
  • 내항(Interior point): $p$의 어떤 근방이 집합 $E$에 완전히 포함될 때 $p$를 $E$의 내항이라 함.
  • 열린 집합(Open): 집합의 모든 점이 내항인 집합.
  • 여집합(Complement): 집합 $E$에 속하지 않는 모든 점의 집합.
  • 완전 집합(Perfect): 닫힌 집합이면서 집합의 모든 점이 극한점인 집합.
  • 유계(Bounded): 모든 점이 특정 점으로부터 고정된 거리 $M$ 미만 내에 존재하는 집합.
  • 조밀한 집합(Dense): 공간 $X$의 모든 점이 $E$의 극한점이거나 $E$의 원소인 경우 $E$는 조밀하다고 함.
• 2.26 정의 (폐포): 집합 $E$와 그 극한점들의 집합 $E’$의 합집합을 폐포(closure)라 부르며 $\bar{E}$로 표기합니다.
• 2.31 정의 (열린 덮개): 집합 $E$를 덮는 열린 부분집합들의 모임을 열린 덮개(open cover)라 합니다.
• 2.32 정의 (콤팩트): 집합의 모든 열린 덮개가 유한 개의 부분덮개(finite subcover)를 포함할 때 이를 콤팩트(compact)라 합니다.
• 2.45 정의 (분리 및 연결 집합): 두 집합 $A, B$ 중 어느 한 집합의 폐포가 다른 집합과 교차하지 않을 때 분리된 집합(separated)이라 합니다. 두 개의 비어 있지 않은 분리된 집합의 합집합으로 표현할 수 없는 집합을 연결 집합(connected set)이라 합니다.

제3장: 수열과 급수 (Numerical Sequences and Series)

• 3.1 정의 (수열의 수렴과 발산): 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 정수 $N$이 존재하여 $n \ge N$일 때 $d(p_n, p) < \epsilon$을 만족하면 수열 ${p_n}$은 $p$로 수렴(converge)한다고 하며 $p$를 극한(limit)이라 합니다. 수렴하지 않으면 발산(diverge)한다고 합니다.
• 3.5 정의 (부분수열): 양의 정수 수열 $n_1 < n_2 < \dots$에 대하여, 수열 ${p_{n_k}}$를 부분수열(subsequence)이라 하며, 이 부분수열의 극한을 부분수열적 극한(subsequential limit)이라 합니다.
• 3.8 정의 (코시 수열): 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 정수 $N$이 존재하여 $n \ge N, m \ge N$일 때 항상 $d(p_n, p_m) < \epsilon$을 만족하는 수열을 코시 수열(Cauchy sequence)이라 합니다.
• 3.9 정의 (지름): 집합에 속한 두 점 사이의 거리 $d(p, q)$들의 상한을 해당 집합의 지름(diameter)이라 합니다.
• 3.12 정의 (완비성): 모든 코시 수열이 수렴하는 거리 공간을 완비 거리 공간(complete metric space)이라 합니다.
• 3.13 정의 (단조 수열): 모든 항이 $s_n \le s_{n+1}$이면 단조 증가(monotonically increasing), $s_n \ge s_{n+1}$이면 단조 감소(monotonically decreasing)라 합니다.
• 3.15 정의 (무한대로의 발산): 임의의 실수 $M$에 대하여 정수 $N$이 존재해 $n \ge N$일 때 $s_n \ge M$을 만족하면 $s_n \to +\infty$라 표기합니다 (음의 무한대의 경우도 동일함).
• 3.16 정의 (상극한과 하극한): 수열 ${s_n}$의 모든 부분수열적 극한(무한대 포함)의 집합을 $E$라 할 때, 상한 $\sup E$를 상극한(upper limit, $\limsup$), 하한 $\inf E$를 하극한(lower limit, $\liminf$)이라 합니다.
• 3.21 정의 (무한 급수): 수열 ${a_n}$에 대한 부분합(partial sums) 수열 $s_n = \sum_{k=1}^n a_k$을 생성했을 때, 기호 $\sum a_n$을 무한 급수(infinite series)라 합니다. 부분합 수열이 수렴할 때 급수가 수렴한다고 하며, 그 극한을 급수의 합(sum)이라 합니다.
• 3.30 정의 (자연상수 e): 수 $e$는 $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ 로 정의됩니다.
• 3.38 정의 (거듭제곱 급수): 복소수 수열 ${c_n}$과 복소수 $z$에 대해 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n$ 형태의 급수를 거듭제곱 급수(power series)라 부르며, $c_n$을 계수(coefficients)라 합니다.
• 절대 수렴 (Absolute Convergence): 본문 내에서 $\sum \vert a_n \vert $이 수렴하는 경우 원래 급수 $\sum a_n$은 절대 수렴(converge absolutely)한다고 정의됩니다.
• 3.48 정의 (코시 곱): 두 급수 $\sum a_n$과 $\sum b_n$에 대하여 $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$ 로 정의될 때, 새로운 급수 $\sum c_n$을 두 급수의 곱(product)으로 정의합니다.
• 3.52 정의 (재배열): 양의 정수 집합에 대한 1-1 전사 대응 수열 ${k_n}$을 이용해 $a_n’ = a_{k_n}$으로 새로운 급수 $\sum a_n’$를 형성하는 것을 $\sum a_n$의 재배열(rearrangement)이라 합니다.