실해석학 2장

2 BASIC TOPOLOGY

FINITE, COUNTABLE, AND UNCOUNTABLE SETS

우리는 function 개념의 정의와 함께 이 섹션을 시작한다.

2.1 Definition 두 set $A$와 $B$를 고려하자. 이들의 원소는 어떤 객체든 될 수 있으며, $A$의 각 원소 $x$에 대해 어떤 방식으로든 $B$의 원소가 연관되어 있다고 가정하고, 이를 $f(x)$로 표기하자. 이때 $f$를 $A$에서 $B$로의 function(또는 $A$에서 $B$로의 mapping)이라고 한다. set $A$를 $f$의 domain이라고 부르며($f$가 $A$에 정의되어 있다고도 말한다), 원소 $f(x)$를 $f$의 values라고 부른다. $f$의 모든 values의 set을 $f$의 range라고 부른다.

2.2 Definition $A$와 $B$를 두 set이라 하고, $f$를 $A$에서 $B$로의 mapping이라 하자. 만약 $E \subset A$라면, $f(E)$는 $x \in E$에 대한 모든 원소 $f(x)$의 set으로 정의된다. 우리는 $f(E)$를 $f$ 하에서 $E$의 image라고 부른다. 이 표기법에서 $f(A)$는 $f$의 range이다. $f(A) \subset B$임은 분명하다. 만약 $f(A) = B$라면, 우리는 $f$가 $A$를 $B$ 위로 onto 매핑한다고 말한다. (이 용법에 따르면, onto는 into보다 더 구체적임에 유의하라.)

만약 $E \subset B$라면, $f^{-1}(E)$는 $f(x) \in E$를 만족하는 모든 $x \in A$의 set을 나타낸다. 우리는 $f^{-1}(E)$를 $f$ 하에서 $E$의 inverse image라고 부른다. 만약 $y \in B$라면, $f^{-1}(y)$는 $f(x) = y$를 만족하는 모든 $x \in A$의 set이다. 만약 각 $y \in B$에 대해 $f^{-1}(y)$가 기껏해야 하나의 $A$ 원소로 구성된다면, $f$는 $A$에서 $B$로의 1-1(one-to-one) mapping이라고 한다. 이는 다음과 같이 표현될 수도 있다: $x_1 \neq x_2$, $x_1 \in A$, $x_2 \in A$일 때마다 $f(x_1) \neq f(x_2)$가 성립하면 $f$는 $A$에서 $B$로의 1-1 mapping이다.

($x_1 \neq x_2$ 표기는 $x_1$과 $x_2$가 서로 다른 원소임을 의미하며, 그렇지 않으면 $x_1 = x_2$로 쓴다.)

2.3 Definition 만약 $A$에서 $B$로의 1-1 mapping이 존재하며 그것이 onto라면, 우리는 $A$와 $B$가 1-1 correspondence에 놓일 수 있다고 말하거나, $A$와 $B$가 같은 cardinal number를 가진다고 말하며, 간단히 $A$와 $B$가 equivalent하다고 말하고 $A \sim B$로 쓴다. 이 관계는 분명히 다음 성질들을 가진다:

이것은 reflexive하다: $A \sim A$. 이것은 symmetric하다: 만약 $A \sim B$라면, $B \sim A$. 이것은 transitive하다: 만약 $A \sim B$이고 $B \sim C$라면, $A \sim C$.

이 세 가지 성질을 가진 모든 관계를 equivalence relation이라고 부른다.

2.4 Definition 임의의 양의 정수 $n$에 대해, $J_n$을 정수 $1, 2, \dots, n$을 원소로 가지는 set이라 하자. $J$를 모든 양의 정수로 구성된 set이라 하자. 임의의 set $A$에 대해, 우리는 다음과 같이 말한다:

$(a)$ 어떤 $n$에 대해 $A \sim J_n$이면 $A$는 finite하다 (공집합도 finite한 것으로 간주된다). $(b)$ $A$가 finite하지 않으면 $A$는 infinite하다. $(c)$ $A \sim J$이면 $A$는 countable하다. $(d)$ $A$가 finite하지도 않고 countable하지도 않으면 $A$는 uncountable하다. $(e)$ $A$가 finite하거나 countable하면 $A$는 at most countable하다.

Countable set은 때때로 enumerable 또는 denumerable이라고도 불린다. 두 finite set $A$와 $B$에 대해, $A$와 $B$가 같은 수의 원소를 포함할 때 그리고 오직 그때에만 $A \sim B$가 성립함은 명백하다. 그러나 infinite set의 경우, ‘같은 수의 원소를 가진다’는 개념은 상당히 모호해지는 반면, 1-1 correspondence의 개념은 그 명확성을 유지한다.

2.5 Example $A$를 모든 정수의 set이라 하자. 그러면 $A$는 countable하다. 이를 위해 set $A$와 $J$의 다음 배열을 고려해 보자:

$A: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots$ $J: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, \dots$

이 예제에서 우리는 $J$에서 $A$로의 1-1 correspondence를 설정하는 function $f$에 대한 명시적인 공식을 제공할 수도 있다:

\[f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} & (n \text{ even}), \\ -\frac{n-1}{2} & (n \text{ odd}). \end{cases}\]

2.6 Remark finite set은 자신의 proper subset 중 하나와 equivalent할 수 없다. 그러나 이것이 infinite set에 대해서는 가능하다는 것이 Example 2.5에 의해 보여지며, 여기서 $J$는 $A$의 proper subset이다. 사실, 우리는 Definition 2.4$(b)$를 다음 문장으로 대체할 수 있다: $A$가 자신의 proper subset 중 하나와 equivalent하다면 $A$는 infinite하다.

2.7 Definition sequence란 모든 양의 정수의 set $J$에 정의된 function $f$를 의미한다. 만약 $n \in J$에 대해 $f(n) = x_n$이라면, sequence $f$를 기호 ${x_n}$으로, 또는 때로는 $x_1, x_2, x_3, \dots$로 나타내는 것이 관례이다. $f$의 values, 즉 원소 $x_n$을 sequence의 terms라고 부른다. 만약 $A$가 하나의 set이고 모든 $n \in J$에 대해 $x_n \in A$라면, ${x_n}$은 $A$ 안의 sequence, 또는 $A$의 원소들의 sequence라고 한다. sequence의 terms $x_1, x_2, x_3, \dots$가 반드시 서로 다를 필요는 없음에 유의하라. 모든 countable set은 $J$에 정의된 1-1 function의 range이므로, 우리는 모든 countable set을 서로 다른 terms로 이루어진 sequence의 range로 간주할 수 있다. 더 느슨하게 말하자면, 임의의 countable set의 원소들은 ‘sequence로 배열될’ 수 있다고 말할 수 있다. 때로는 이 정의에서 $J$를 모든 음이 아닌 정수의 set으로 대체하는 것, 즉 $1$ 대신 $0$부터 시작하는 것이 편리하다.

2.8 Theorem countable set $A$의 모든 infinite subset은 countable하다.

Proof $E \subset A$이고, $E$가 infinite하다고 가정하자. $A$의 원소 $x$를 서로 다른 원소들의 sequence ${x_n}$으로 배열하자. 다음과 같이 sequence ${n_k}$를 구성한다: $x_{n_1} \in E$를 만족하는 가장 작은 양의 정수를 $n_1$이라 하자. $n_1, \dots, n_{k-1}$ ($k = 2, 3, 4, \dots$)이 선택되었다고 할 때, $x_{n_k} \in E$를 만족하는 $n_{k-1}$보다 큰 가장 작은 정수를 $n_k$라 하자. $f(k) = x_{n_k}$ ($k = 1, 2, 3, \dots$)로 두면, 우리는 $E$와 $J$ 사이의 1-1 correspondence를 얻는다. 이 정리는 대략적으로 말해서 countable set이 ‘가장 작은’ 무한대를 나타냄을 보여준다: 어떠한 uncountable set도 countable set의 subset이 될 수 없다.

2.9 Definition $A$와 $\Omega$를 set이라 하고, $A$의 각 원소 $\alpha$에 대해 우리가 $E_\alpha$로 표기하는 $\Omega$의 subset이 연관되어 있다고 가정하자. 원소가 set $E_\alpha$인 set은 ${E_\alpha}$로 표기될 것이다. set들의 set이라고 말하는 대신, 우리는 때때로 set들의 collection, 또는 set들의 family라고 말할 것이다. set $E_\alpha$들의 union은 적어도 하나의 $\alpha \in A$에 대해 $x \in E_\alpha$일 때 그리고 오직 그때에만 $x \in S$를 만족하는 set $S$로 정의된다. 우리는 다음 표기법을 사용한다:

\[(1) \quad S = \bigcup_{\alpha \in A} E_\alpha.\]

만약 $A$가 정수 $1, 2, \dots, n$으로 구성되어 있다면, 보통 다음과 같이 쓴다.

\[(2) \quad S = \bigcup_{m=1}^n E_m\]

또는

\[(3) \quad S = E_1 \cup E_2 \cup \cdots \cup E_n.\]

만약 $A$가 모든 양의 정수의 set이라면, 일반적인 표기법은 다음과 같다.

\[(4) \quad S = \bigcup_{m=1}^\infty E_m.\]

$(4)$의 기호 $\infty$는 단지 set들의 countable collection의 union이 취해짐을 나타낼 뿐이며, Definition 1.23에서 도입된 기호 $+\infty, -\infty$와 혼동되어서는 안 된다. set $E_\alpha$들의 intersection은 모든 $\alpha \in A$에 대해 $x \in E_\alpha$일 때 그리고 오직 그때에만 $x \in P$를 만족하는 set $P$로 정의된다. 우리는 다음 표기법을 사용한다:

\[(5) \quad P = \bigcap_{\alpha \in A} E_\alpha,\]

또는

\[(6) \quad P = \bigcap_{m=1}^n E_m = E_1 \cap E_2 \cap \cdots \cap E_n,\]

또는

\[(7) \quad P = \bigcap_{m=1}^\infty E_m,\]

union의 경우와 마찬가지이다. 만약 $A \cap B$가 공집합이 아니라면, 우리는 $A$와 $B$가 intersect한다고 말한다; 그렇지 않으면 그것들은 disjoint하다.

2.10 Examples

$(a)$ $E_1$이 $1, 2, 3$으로 구성되고 $E_2$가 $2, 3, 4$로 구성된다고 가정하자. 그러면 $E_1 \cup E_2$는 $1, 2, 3, 4$로 구성되는 반면, $E_1 \cap E_2$는 $2, 3$으로 구성된다. $(b)$ $A$를 $0 < x \le 1$을 만족하는 실수 $x$의 set이라 하자. 모든 $x \in A$에 대해, $E_x$를 $0 < y < x$를 만족하는 실수 $y$의 set이라 하자. 그러면

$(i) \quad 0 < x \le z \le 1$일 때 그리고 오직 그때에만 $E_x \subset E_z$; $(ii) \quad \bigcup_{x \in A} E_x = E_1$; $(iii) \quad \bigcap_{x \in A} E_x$는 공집합이다;

$(i)$와 $(ii)$는 명확하다. $(iii)$을 증명하기 위해, 모든 $y > 0$에 대해 $x < y$이면 $y \notin E_x$임에 주목하자. 따라서 $y \notin \bigcap_{x \in A} E_x$이다.

2.11 Remarks union과 intersection의 많은 성질들은 합과 곱의 성질들과 매우 유사하다; 사실, 이와 관련하여 합과 곱이라는 단어가 때때로 사용되었으며, $\bigcup$와 $\bigcap$ 대신 기호 $\Sigma$와 $\Pi$가 쓰이기도 했다. commutative law와 associative law는 자명하다:

\((8) \quad A \cup B = B \cup A; \quad A \cap B = B \cap A.\) \((9) \quad (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C); \quad (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C).\)

따라서 $(3)$과 $(6)$에서 괄호의 생략은 정당화된다. distributive law 또한 성립한다:

\[(10) \quad A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C).\]

이를 증명하기 위해, $(10)$의 좌변과 우변을 각각 $E$와 $F$로 표기하자. $x \in E$라고 가정하자. 그러면 $x \in A$이고 $x \in B \cup C$이다, 즉 $x \in B$ 또는 $x \in C$이다(둘 다일 수도 있다). 따라서 $x \in A \cap B$ 또는 $x \in A \cap C$이므로, $x \in F$이다. 따라서 $E \subset F$이다. 다음으로, $x \in F$라고 가정하자. 그러면 $x \in A \cap B$ 또는 $x \in A \cap C$이다. 즉, $x \in A$이고 $x \in B \cup C$이다. 따라서 $x \in A \cap (B \cup C)$이므로, $F \subset E$이다. 결과적으로 $E = F$이다. 쉽게 검증되는 몇 가지 관계를 더 나열한다:

\((11) \quad A \subset A \cup B,\) \((12) \quad A \cap B \subset A.\)

만약 $0$이 공집합을 나타낸다면,

\[(13) \quad A \cup 0 = A, \quad A \cap 0 = 0.\]

만약 $A \subset B$라면,

\[(14) \quad A \cup B = B, \quad A \cap B = A.\]

2.12 Theorem ${E_n}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)을 countable set들의 sequence라 하고, 다음과 같이 두자.

\[(15) \quad S = \bigcup_{n=1}^\infty E_n.\]

그러면 $S$는 countable하다.

Proof 모든 set $E_n$이 sequence ${x_{nk}}$ ($k = 1, 2, 3, \dots$)로 배열되었다고 하고, 다음 무한 배열을 고려하자.

\[(16) \quad \begin{matrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & \dots \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} & x_{24} & \dots \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} & x_{34} & \dots \\ x_{41} & x_{42} & x_{43} & x_{44} & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \end{matrix}\]

여기서 $E_n$의 원소들은 $n$번째 행을 형성한다. 이 배열은 $S$의 모든 원소를 포함한다. 화살표로 표시된 바와 같이, 이 원소들은 하나의 sequence로 배열될 수 있다.

\[(17) \quad x_{11}; x_{21}, x_{12}; x_{31}, x_{22}, x_{13}; x_{41}, x_{32}, x_{23}, x_{14}; \dots\]

만약 $E_n$ 중 임의의 두 set이 공통 원소를 가진다면, 이들은 $(17)$에서 한 번 이상 나타날 것이다. 따라서 $S \sim T$를 만족하는 모든 양의 정수들의 set의 subset $T$가 존재하며, 이는 $S$가 at most countable함을 보여준다(Theorem 2.8). $E_1 \subset S$이고 $E_1$이 infinite하므로, $S$는 infinite하며, 따라서 countable하다.

Corollary $A$가 at most countable이고, 모든 $\alpha \in A$에 대해 $B_\alpha$가 at most countable하다고 가정하자. 다음과 같이 두자.

\[T = \bigcup_{\alpha \in A} B_\alpha.\]

그러면 $T$는 at most countable하다. 왜냐하면 $T$는 $(15)$의 subset과 equivalent하기 때문이다.

2.13 Theorem $A$를 countable set이라 하고, $B_n$을 모든 $n$-튜플 $(a_1, \dots, a_n)$의 set이라 하자. 여기서 $a_k \in A$ ($k = 1, \dots, n$)이며, 원소 $a_1, \dots, a_n$은 서로 다를 필요가 없다. 그러면 $B_n$은 countable하다.

Proof $B_1 = A$이므로 $B_1$이 countable함은 명백하다. $B_{n-1}$이 countable하다고 가정하자 ($n = 2, 3, 4, \dots$). $B_n$의 원소들은 다음 형태를 띤다.

\[(18) \quad (b, a) \quad (b \in B_{n-1}, a \in A).\]

고정된 모든 $b$에 대해, 쌍 $(b, a)$의 set은 $A$와 equivalent하며, 따라서 countable하다. 그러므로 $B_n$은 countable set들의 countable set의 union이다. Theorem 2.12에 의해 $B_n$은 countable하다. 이 정리는 귀납법에 의해 성립한다.

Corollary 모든 유리수의 set은 countable하다.

Proof 모든 유리수 $r$이 $b/a$ 형태($a$와 $b$는 정수)임을 유의하며 $n = 2$에 대해 Theorem 2.13을 적용한다. 쌍 $(a, b)$의 set, 그리고 따라서 분수 $b/a$의 set은 countable하다.

사실, 모든 대수적 수의 set조차도 countable하다(Exercise 2 참조). 그러나 모든 infinite set이 countable한 것은 아니라는 점이 다음 정리에 의해 보여진다.

2.14 Theorem $A$를 원소가 숫자 $0$과 $1$인 모든 sequence의 set이라 하자. 이 set $A$는 uncountable하다. $A$의 원소들은 $1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, \dots$와 같은 sequence들이다.

Proof $E$를 $A$의 countable subset이라 하고, $E$가 sequence $s_1, s_2, s_3, \dots$로 구성되어 있다고 하자. 우리는 다음과 같이 sequence $s$를 구성한다. 만약 $s_n$의 $n$번째 숫자가 $1$이라면, $s$의 $n$번째 숫자를 $0$으로 두고, 그 반대의 경우도 마찬가지로 한다. 그러면 sequence $s$는 $E$의 모든 멤버와 적어도 한 자리에서 다르다; 따라서 $s \notin E$이다. 그러나 분명히 $s \in A$이므로, $E$는 $A$의 proper subset이다. 우리는 $A$의 모든 countable subset이 $A$의 proper subset임을 보였다. 결과적으로 $A$는 uncountable하다(그렇지 않다면 $A$가 $A$의 proper subset이 될 것인데, 이는 모순이다).

위 증명의 아이디어는 Cantor에 의해 처음 사용되었으며, Cantor의 대각선 논법(diagonal process)이라고 불린다; 왜냐하면 sequence $s_1, s_2, s_3, \dots$가 $(16)$과 같은 배열로 놓일 때, 새로운 sequence의 구성에 관여하는 것이 바로 대각선 상의 원소들이기 때문이다. 실수의 이진 표현($10$진법 대신 $2$진법)에 익숙한 독자들은 Theorem 2.14가 모든 실수의 set이 uncountable함을 암시한다는 것을 알아차릴 것이다. 우리는 Theorem 2.43에서 이 사실에 대한 두 번째 증명을 제공할 것이다.

METRIC SPACES

2.15 Definition 원소들을 points라고 부를 set $X$는, $X$의 임의의 두 points $p$와 $q$에 대해 $p$에서 $q$까지의 distance라고 불리는 실수 $d(p, q)$가 연관되어 다음을 만족할 때 metric space라고 한다.

$(a) \quad p \neq q$이면 $d(p, q) > 0$; $d(p, p) = 0$; $(b) \quad d(p, q) = d(q, p)$; $(c) \quad$ 임의의 $r \in X$에 대해 $d(p, q) \le d(p, r) + d(r, q)$.

이 세 가지 성질을 가진 모든 function을 distance function, 또는 metric이라고 부른다.

2.16 Examples 우리의 관점에서 metric space의 가장 중요한 예는 유클리드 공간 $R^k$, 특히 $R^1$(실수선)과 $R^2$(복소평면)이다; $R^k$에서의 distance는 다음과 같이 정의된다.

\[(19) \quad d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \vert \mathbf{x} - \mathbf{y} \vert \quad (\mathbf{x}, \mathbf{y} \in R^k).\]

Theorem 1.37에 의해, Definition 2.15의 조건들은 $(19)$에 의해 만족된다. metric space $X$의 모든 subset $Y$가 동일한 distance function을 가지는 그 자체로 하나의 metric space라는 점을 관찰하는 것은 중요하다. 왜냐하면 Definition 2.15의 조건 $(a)$부터 $(c)$가 $p, q, r \in X$에 대해 성립한다면, $p, q, r$이 $Y$에 속하도록 제한하더라도 동일하게 성립함이 명백하기 때문이다. 따라서 유클리드 공간의 모든 subset은 metric space이다. 다른 예로는 각각 Chap. 7과 11에서 논의되는 공간 $\mathscr{C}(K)$와 $\mathscr{L}^2(\mu)$가 있다.

2.17 Definition segment $(a, b)$란 $a < x < b$를 만족하는 모든 실수 $x$의 set을 의미한다. interval $[a, b]$란 $a \le x \le b$를 만족하는 모든 실수 $x$의 set을 의미한다. 때때로 우리는 ‘반개구간(half-open intervals)’ $[a, b)$와 $(a, b]$도 접하게 될 것이다; 첫 번째는 $a \le x < b$를 만족하는 모든 $x$로 구성되고, 두 번째는 $a < x \le b$를 만족하는 모든 $x$로 구성된다. $i = 1, \dots, k$에 대해 $a_i < b_i$일 때, 좌표가 부등식 $a_i \le x_i \le b_i$ ($1 \le i \le k$)를 만족하는 $R^k$의 모든 points $\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_k)$의 set을 $k$-cell이라고 부른다. 따라서 $1$-cell은 interval이고, $2$-cell은 직사각형 등이다. $\mathbf{x} \in R^k$이고 $r > 0$일 때, $\mathbf{x}$를 중심으로 하고 반지름이 $r$인 open (또는 closed) ball $B$는 $ \vert \mathbf{y} - \mathbf{x} \vert < r$ (또는 $ \vert \mathbf{y} - \mathbf{x} \vert \le r$)을 만족하는 모든 $\mathbf{y} \in R^k$의 set으로 정의된다. $\mathbf{x} \in E$, $\mathbf{y} \in E$, 그리고 $0 < \lambda < 1$일 때마다 $\lambda \mathbf{x} + (1 - \lambda)\mathbf{y} \in E$가 성립하면, 우리는 set $E \subset R^k$를 convex하다고 부른다. 예를 들어, ball들은 convex하다. 왜냐하면 $ \vert \mathbf{y} - \mathbf{x} \vert < r$, $ \vert \mathbf{z} - \mathbf{x} \vert < r$, 그리고 $0 < \lambda < 1$일 때, 다음을 얻기 때문이다.

\(\vert \lambda \mathbf{y} + (1 - \lambda)\mathbf{z} - \mathbf{x} \vert = \vert \lambda(\mathbf{y} - \mathbf{x}) + (1 - \lambda)(\mathbf{z} - \mathbf{x}) \vert\) \(\le \lambda \vert \mathbf{y} - \mathbf{x} \vert + (1 - \lambda) \vert \mathbf{z} - \mathbf{x} \vert < \lambda r + (1 - \lambda)r\) \(= r.\)

동일한 증명이 closed ball에도 적용된다. $k$-cell들이 convex하다는 것도 쉽게 알 수 있다.

2.18 Definition $X$를 metric space라 하자. 아래에 언급된 모든 points와 set들은 $X$의 원소 및 subset으로 이해된다.

$(a)$ $p$의 neighborhood는 어떤 $r > 0$에 대해 $d(p, q) < r$을 만족하는 모든 $q$로 구성된 set $N_r(p)$이다. 숫자 $r$을 $N_r(p)$의 radius라고 부른다. $(b)$ $p$의 모든 neighborhood가 $q \in E$를 만족하는 $q \neq p$인 point $q$를 포함한다면, point $p$는 set $E$의 limit point이다. $(c)$ $p \in E$이고 $p$가 $E$의 limit point가 아니라면, $p$는 $E$의 isolated point라고 불린다. $(d)$ $E$의 모든 limit point가 $E$의 point라면 $E$는 closed이다. $(e)$ $N \subset E$를 만족하는 $p$의 neighborhood $N$이 존재한다면, point $p$는 $E$의 interior point이다. $(f)$ $E$의 모든 point가 $E$의 interior point라면 $E$는 open이다. $(g)$ $E$의 complement($E^c$로 표기됨)는 $p \notin E$를 만족하는 모든 points $p \in X$의 set이다. $(h)$ $E$가 closed이고 $E$의 모든 point가 $E$의 limit point라면 $E$는 perfect이다. $(i)$ 모든 $p \in E$에 대해 $d(p, q) < M$을 만족하는 실수 $M$과 point $q \in X$가 존재한다면 $E$는 bounded이다. $(j)$ $X$의 모든 point가 $E$의 limit point이거나 $E$의 point(또는 둘 다)라면 $E$는 $X$에서 dense하다.

$R^1$에서 neighborhood는 segment인 반면, $R^2$에서 neighborhood는 원의 내부라는 점에 유의하자.

2.19 Theorem 모든 neighborhood는 open set이다.

Proof neighborhood $E = N_r(p)$를 고려하고, $q$를 $E$의 임의의 point라 하자. 그러면 $d(p, q) = r - h$를 만족하는 양의 실수 $h$가 존재한다. $d(q, s) < h$를 만족하는 모든 points $s$에 대해, 우리는 다음을 얻는다.

\[d(p, s) \le d(p, q) + d(q, s) < r - h + h = r,\]

따라서 $s \in E$이다. 그러므로 $q$는 $E$의 interior point이다.

2.20 Theorem $p$가 set $E$의 limit point라면, $p$의 모든 neighborhood는 무한히 많은 $E$의 points를 포함한다.

Proof $E$의 points를 유한 개만 포함하는 $p$의 neighborhood $N$이 존재한다고 가정하자. $p$와 다른 $N \cap E$의 points를 $q_1, \dots, q_n$이라 하고, 다음과 같이 두자.

\[r = \min_{1 \le m \le n} d(p, q_m)\]

[우리는 이 표기법을 숫자 $d(p, q_1), \dots, d(p, q_n)$ 중 가장 작은 것을 나타내기 위해 사용한다]. 양수들의 finite set의 최솟값은 분명히 양수이므로, $r > 0$이다. neighborhood $N_r(p)$는 $q \neq p$인 $E$의 어떠한 point $q$도 포함하지 않으므로, $p$는 $E$의 limit point가 아니다. 이 모순이 정리를 확립한다.

Corollary finite point set은 limit point를 가지지 않는다.

2.21 Examples $R^2$의 다음 subset들을 고려해 보자:

$(a)$ $ \vert z \vert < 1$을 만족하는 모든 복소수 $z$의 set. $(b)$ $ \vert z \vert \le 1$을 만족하는 모든 복소수 $z$의 set. $(c)$ 공집합이 아닌 finite set. $(d)$ 모든 정수의 set. $(e)$ 숫자 $1/n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)으로 구성된 set. 이 set $E$는 limit point(즉, $z = 0$)를 가지지만 $E$의 어떤 point도 $E$의 limit point가 아님에 유의하자; 우리는 limit point를 가지는 것과 그것을 포함하는 것 사이의 차이를 강조하고자 한다. $(f)$ 모든 복소수의 set(즉, $R^2$). $(g)$ segment $(a, b)$.

$(d), (e), (g)$는 $R^1$의 subset으로도 간주될 수 있음에 유의하자. 이 set들의 몇 가지 성질이 아래에 표로 정리되어 있다:

$(g)$에서 우리는 두 번째 항목을 비워 두었다. 그 이유는 segment $(a, b)$를 $R^2$의 subset으로 간주하면 open이 아니지만, $R^1$의 open subset이기 때문이다.

2.22 Theorem ${E_\alpha}$를 set $E_\alpha$들의 (finite 또는 infinite) collection이라 하자. 그러면

\[(20) \quad \left(\bigcup_\alpha E_\alpha\right)^c = \bigcap_\alpha (E_\alpha^c).\]

Proof $A$와 $B$를 $(20)$의 좌변과 우변이라 하자. 만약 $x \in A$라면, $x \notin \bigcup_\alpha E_\alpha$이고, 따라서 임의의 $\alpha$에 대해 $x \notin E_\alpha$이며, 따라서 모든 $\alpha$에 대해 $x \in E_\alpha^c$이므로, $x \in \bigcap_\alpha E_\alpha^c$이다. 그러므로 $A \subset B$이다. 역으로, 만약 $x \in B$라면, 모든 $\alpha$에 대해 $x \in E_\alpha^c$이고, 따라서 임의의 $\alpha$에 대해 $x \notin E_\alpha$이며, 따라서 $x \notin \bigcup_\alpha E_\alpha$이므로, $x \in \left(\bigcup_\alpha E_\alpha\right)^c$이다. 그러므로 $B \subset A$이다. 결과적으로 $A = B$이다.

2.23 Theorem set $E$가 open일 필요충분조건은 그것의 complement가 closed인 것이다.

Proof 먼저, $E^c$가 closed라고 가정하자. $x \in E$를 선택하자. 그러면 $x \notin E^c$이고, $x$는 $E^c$의 limit point가 아니다. 따라서 $E^c \cap N$이 공집합이 되는, 즉 $N \subset E$를 만족하는 $x$의 neighborhood $N$이 존재한다. 그러므로 $x$는 $E$의 interior point이고, $E$는 open이다. 다음으로, $E$가 open이라고 가정하자. $x$를 $E^c$의 limit point라 하자. 그러면 $x$의 모든 neighborhood는 $E^c$의 point를 포함하므로, $x$는 $E$의 interior point가 아니다. $E$가 open이므로, 이는 $x \in E^c$임을 의미한다. 결과적으로 $E^c$는 closed이다.

Corollary set $F$가 closed일 필요충분조건은 그것의 complement가 open인 것이다.

2.24 Theorem

$(a)$ open set들의 임의의 collection ${G_\alpha}$에 대해, $\bigcup_\alpha G_\alpha$는 open이다. $(b)$ closed set들의 임의의 collection ${F_\alpha}$에 대해, $\bigcap_\alpha F_\alpha$는 closed이다. $(c)$ open set들의 임의의 finite collection $G_1, \dots, G_n$에 대해, $\bigcap_{i=1}^n G_i$는 open이다. $(d)$ closed set들의 임의의 finite collection $F_1, \dots, F_n$에 대해, $\bigcup_{i=1}^n F_i$는 closed이다.

Proof $G = \bigcup_\alpha G_\alpha$라 두자. 만약 $x \in G$라면, 어떤 $\alpha$에 대해 $x \in G_\alpha$이다. $x$가 $G_\alpha$의 interior point이므로, $x$는 $G$의 interior point이기도 하며, $G$는 open이다. 이것이 $(a)$를 증명한다. Theorem 2.22에 의해,

\[(21) \quad \left(\bigcap_\alpha F_\alpha\right)^c = \bigcup_\alpha (F_\alpha^c),\]

그리고 Theorem 2.23에 의해 $F_\alpha^c$는 open이다. 따라서 $(a)$는 $(21)$이 open임을 암시하므로 $\bigcap_\alpha F_\alpha$는 closed이다. 다음으로, $H = \bigcap_{i=1}^n G_i$라 두자. 임의의 $x \in H$에 대해, $N_i \subset G_i$ ($i = 1, \dots, n$)를 만족하는 반지름 $r_i$인 $x$의 neighborhood $N_i$가 존재한다. 다음과 같이 두자.

\[r = \min (r_1, \dots, r_n),\]

그리고 $N$을 반지름이 $r$인 $x$의 neighborhood라 하자. 그러면 $i = 1, \dots, n$에 대해 $N \subset G_i$이므로, $N \subset H$이고 $H$는 open이다. complement를 취함으로써, $(c)$로부터 $(d)$가 도출된다:

\[\left(\bigcup_{i=1}^n F_i\right)^c = \bigcap_{i=1}^n (F_i^c).\]

2.25 Examples 앞선 정리의 $(c)$와 $(d)$ 부분에서, collection의 유한성은 필수적이다. 왜냐하면 $G_n$을 segment $\left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right)$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)이라 하자. 그러면 $G_n$은 $R^1$의 open subset이다. $G = \bigcap_{n=1}^\infty G_n$이라 두자. 그러면 $G$는 단일 point(즉, $x = 0$)로 구성되며 따라서 $R^1$의 open subset이 아니다. 따라서 open set들의 infinite collection의 intersection은 반드시 open일 필요는 없다. 유사하게, closed set들의 infinite collection의 union은 반드시 closed일 필요는 없다.

2.26 Definition $X$가 metric space이고, $E \subset X$이며, $E’$가 $X$에서 $E$의 모든 limit point들의 set을 나타낸다면, $E$의 closure는 set $\bar{E} = E \cup E’$이다.

2.27 Theorem $X$가 metric space이고 $E \subset X$라면,

$(a)$ $\bar{E}$는 closed이다, $(b)$ $E = \bar{E}$일 필요충분조건은 $E$가 closed인 것이다, $(c)$ $E \subset F$를 만족하는 모든 closed set $F \subset X$에 대해 $\bar{E} \subset F$이다.

$(a)$와 $(c)$에 의해, $\bar{E}$는 $E$를 포함하는 $X$의 가장 작은 closed subset이다.

Proof

$(a)$ 만약 $p \in X$이고 $p \notin \bar{E}$라면 $p$는 $E$의 point도 아니고 $E$의 limit point도 아니다. 따라서 $p$는 $E$와 intersect하지 않는 neighborhood를 가진다. 그러므로 $\bar{E}$의 complement는 open이다. 따라서 $\bar{E}$는 closed이다. $(b)$ 만약 $E = \bar{E}$라면, $(a)$는 $E$가 closed임을 암시한다. 만약 $E$가 closed라면, $E’ \subset E$이고 [Definitions 2.18$(d)$와 2.26에 의해], 따라서 $\bar{E} = E$이다. $(c)$ 만약 $F$가 closed이고 $F \supset E$라면, $F \supset F’$이고, 따라서 $F \supset E’$이다. 그러므로 $F \supset \bar{E}$이다.

2.28 Theorem $E$를 위로 bounded인 공집합이 아닌 실수의 set이라 하자. $y = \sup E$라 하자. 그러면 $y \in \bar{E}$이다. 따라서 $E$가 closed라면 $y \in E$이다.

이것을 Sec. 1.9의 예제들과 비교해 보라.

Proof 만약 $y \in E$라면 $y \in \bar{E}$이다. $y \notin E$라고 가정하자. 그러면 모든 $h > 0$에 대해 $y - h < x < y$를 만족하는 point $x \in E$가 존재하는데, 그렇지 않으면 $y - h$가 $E$의 상계가 될 것이기 때문이다. 따라서 $y$는 $E$의 limit point이다. 그러므로 $y \in \bar{E}$이다.

2.29 Remark $E \subset Y \subset X$라고 가정하자, 여기서 $X$는 metric space이다. $E$가 $X$의 open subset이라고 말하는 것은 각 point $p \in E$에 대해 조건 $d(p, q) < r$, $q \in X$가 $q \in E$를 암시하도록 하는 양수 $r$이 연관되어 있음을 의미한다. 그러나 우리는 이미 $Y$ 또한 metric space임을 관찰했으므로(Sec. 2.16), 우리의 정의들은 $Y$ 내에서도 동일하게 잘 만들어질 수 있다. 아주 명확히 하자면, 각 $p \in E$에 대해 $d(p, q) < r$이고 $q \in Y$일 때마다 $q \in E$가 되도록 하는 $r > 0$이 연관되어 있다면, $E$가 $Y$에 대해 상대적으로 open(open relative to $Y$)이라고 말하자. Example 2.21$(g)$는 어떤 set이 $X$의 open subset이 아니면서도 $Y$에 대해 상대적으로 open일 수 있음을 보여주었다. 그러나 이 개념들 사이에는 간단한 관계가 있으며, 이를 이제 서술한다.

2.30 Theorem $Y \subset X$라고 가정하자. $Y$의 subset $E$가 $Y$에 대해 상대적으로 open일 필요충분조건은 $X$의 어떤 open subset $G$에 대해 $E = Y \cap G$인 것이다.

Proof $E$가 $Y$에 대해 상대적으로 open이라고 가정하자. 각 $p \in E$에 대해 조건 $d(p, q) < r_p$, $q \in Y$가 $q \in E$를 암시하도록 하는 양수 $r_p$가 존재한다. $V_p$를 $d(p, q) < r_p$를 만족하는 모든 $q \in X$의 set이라 하고, 다음과 같이 정의하자.

\[G = \bigcup_{p \in E} V_p.\]

그러면 Theorems 2.19와 2.24에 의해 $G$는 $X$의 open subset이다. 모든 $p \in E$에 대해 $p \in V_p$이므로, $E \subset G \cap Y$임은 명백하다. 우리의 $V_p$ 선택에 의해, 모든 $p \in E$에 대해 $V_p \cap Y \subset E$를 가지므로, $G \cap Y \subset E$이다. 따라서 $E = G \cap Y$이며, 정리의 절반이 증명되었다. 역으로, 만약 $G$가 $X$에서 open이고 $E = G \cap Y$라면, 모든 $p \in E$는 neighborhood $V_p \subset G$를 가진다. 그러면 $V_p \cap Y \subset E$이므로, $E$는 $Y$에 대해 상대적으로 open이다.

COMPACT SETS

2.31 Definition metric space $X$ 안의 set $E$의 open cover란 $E \subset \bigcup_\alpha G_\alpha$를 만족하는 $X$의 open subset들의 collection ${G_\alpha}$를 의미한다.

2.32 Definition metric space $X$의 subset $K$는 $K$의 모든 open cover가 finite subcover를 포함할 때 compact하다고 한다. 더 명시적으로, 요구사항은 ${G_\alpha}$가 $K$의 open cover라면, 다음을 만족하는 유한 개의 인덱스 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$이 존재한다는 것이다.

\[K \subset G_{\alpha_1} \cup \cdots \cup G_{\alpha_n}.\]

compactness의 개념은 해석학에서, 특히 연속성(Chap. 4)과 관련하여 매우 중요하다. 모든 finite set이 compact함은 명백하다. $R^k$에서 infinite compact set들의 큰 클래스의 존재성은 Theorem 2.41로부터 도출될 것이다. 우리는 앞서(Sec. 2.29에서) $E \subset Y \subset X$일 때, $E$가 $X$에 대해 상대적으로 open이 아니면서 $Y$에 대해 상대적으로 open일 수 있음을 관찰했다. 따라서 open이라는 성질은 $E$가 임베딩된 공간에 의존한다. closed라는 성질에 대해서도 마찬가지이다. 그러나 compactness는 우리가 이제 보게 될 것처럼 더 잘 작동한다. 다음 정리를 공식화하기 위해, Definition 2.32의 요구사항이 충족된다면 임시로 $K$가 $X$에 대해 상대적으로 compact하다고 말하자.

2.33 Theorem $K \subset Y \subset X$라고 가정하자. 그러면 $K$가 $X$에 대해 상대적으로 compact일 필요충분조건은 $K$가 $Y$에 대해 상대적으로 compact인 것이다.

이 정리에 덕분에 우리는 많은 상황에서 임베딩 공간에 전혀 주의를 기울이지 않고 compact set들을 그 자체로 metric space로 간주할 수 있다. 특히, open space나 closed space에 대해 이야기하는 것은 거의 의미가 없지만(모든 metric space $X$는 그 자신의 open subset이며, 그 자신의 closed subset이다), compact metric space에 대해 이야기하는 것은 의미가 있다.

Proof $K$가 $X$에 대해 상대적으로 compact라고 가정하고, ${V_\alpha}$를 $K \subset \bigcup_\alpha V_\alpha$를 만족하는, $Y$에 대해 상대적으로 open인 set들의 collection이라 하자. Theorem 2.30에 의해, 모든 $\alpha$에 대해 $V_\alpha = Y \cap G_\alpha$를 만족하는, $X$에 대해 상대적으로 open인 set $G_\alpha$들이 존재한다; 그리고 $K$가 $X$에 대해 상대적으로 compact이므로, 우리는 다음을 얻는다.

\[(22) \quad K \subset G_{\alpha_1} \cup \cdots \cup G_{\alpha_n}\]

유한 개의 인덱스 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$의 어떤 선택에 대해. $K \subset Y$이므로, $(22)$는 다음을 암시한다.

\[(23) \quad K \subset V_{\alpha_1} \cup \cdots \cup V_{\alpha_n}.\]

이것은 $K$가 $Y$에 대해 상대적으로 compact임을 증명한다. 역으로, $K$가 $Y$에 대해 상대적으로 compact라고 가정하고, ${G_\alpha}$를 $K$를 덮는 $X$의 open subset들의 collection이라 하며, $V_\alpha = Y \cap G_\alpha$라 두자. 그러면 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$의 어떤 선택에 대해 $(23)$이 성립할 것이다; 그리고 $V_\alpha \subset G_\alpha$이므로, $(23)$은 $(22)$를 암시한다. 이것으로 증명이 완료된다.

2.34 Theorem metric space의 compact subset들은 closed이다.

Proof $K$를 metric space $X$의 compact subset이라 하자. 우리는 $K$의 complement가 $X$의 open subset임을 증명할 것이다. $p \in X$, $p \notin K$라고 가정하자. 만약 $q \in K$라면, $V_q$와 $W_q$를 각각 반지름이 $\frac{1}{2}d(p, q)$보다 작은 $p$와 $q$의 neighborhood라 하자 [Definition 2.18$(a)$ 참조]. $K$가 compact이므로, 다음을 만족하는 유한 개의 points $q_1, \dots, q_n$이 $K$ 안에 존재한다.

\[K \subset W_{q_1} \cup \cdots \cup W_{q_n} = W.\]

만약 $V = V_{q_1} \cap \cdots \cap V_{q_n}$이라면, $V$는 $W$와 intersect하지 않는 $p$의 neighborhood이다. 따라서 $V \subset K^c$이므로, $p$는 $K^c$의 interior point이다. 정리가 도출된다.

2.35 Theorem compact set의 closed subset들은 compact이다.

Proof $F \subset K \subset X$이고, $F$가 ($X$에 대해 상대적으로) closed이며, $K$가 compact라고 가정하자. ${V_\alpha}$를 $F$의 open cover라 하자. 만약 $F^c$가 ${V_\alpha}$에 추가된다면, 우리는 $K$의 open cover $\Omega$를 얻는다. $K$가 compact이므로, $K$를 덮고 따라서 $F$를 덮는 $\Omega$의 finite subcollection $\Phi$가 존재한다. 만약 $F^c$가 $\Phi$의 멤버라면, 우리는 그것을 $\Phi$에서 제거하더라도 여전히 $F$의 open cover를 유지할 수 있다. 따라서 우리는 ${V_\alpha}$의 finite subcollection이 $F$를 덮음을 보였다.

Corollary 만약 $F$가 closed이고 $K$가 compact라면, $F \cap K$는 compact이다.

Proof Theorems 2.24$(b)$와 2.34는 $F \cap K$가 closed임을 보여준다; $F \cap K \subset K$이므로, Theorem 2.35는 $F \cap K$가 compact임을 보여준다.

2.36 Theorem ${K_\alpha}$가 metric space $X$의 compact subset들의 collection이고, ${K_\alpha}$의 모든 finite subcollection의 intersection이 공집합이 아니라면, $\bigcap K_\alpha$는 공집합이 아니다.

Proof ${K_\alpha}$의 멤버 $K_1$을 고정하고 $G_\alpha = K_\alpha^c$라 두자. $K_1$의 어떤 point도 모든 $K_\alpha$에 속하지 않는다고 가정하자. 그러면 set $G_\alpha$들은 $K_1$의 open cover를 형성한다; 그리고 $K_1$이 compact이므로, $K_1 \subset G_{\alpha_1} \cup \cdots \cup G_{\alpha_n}$을 만족하는 유한 개의 인덱스 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$이 존재한다. 그러나 이것은

\[K_1 \cap K_{\alpha_1} \cap \cdots \cap K_{\alpha_n}\]

이 공집합임을 의미하며, 이는 우리의 가설에 모순된다.

Corollary ${K_n}$이 $K_n \supset K_{n+1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)을 만족하는 공집합이 아닌 compact set들의 sequence라면, $\bigcap_1^\infty K_n$은 공집합이 아니다.

2.37 Theorem $E$가 compact set $K$의 infinite subset이라면, $E$는 $K$ 안에 limit point를 가진다.

Proof 만약 $K$의 어떤 point도 $E$의 limit point가 아니라면, 각 $q \in K$는 기껏해야 하나의 $E$의 point(즉, $q \in E$라면 $q$)를 포함하는 neighborhood $V_q$를 가질 것이다. ${V_q}$의 어떠한 finite subcollection도 $E$를 덮을 수 없음은 명백하다; 그리고 $E \subset K$이므로 $K$에 대해서도 마찬가지이다. 이는 $K$의 compactness에 모순된다.

2.38 Theorem ${I_n}$이 $I_n \supset I_{n+1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)을 만족하는 $R^1$ 안의 interval들의 sequence라면, $\bigcap_1^\infty I_n$은 공집합이 아니다.

Proof $I_n = [a_n, b_n]$이라면, $E$를 모든 $a_n$의 set이라 하자. 그러면 $E$는 공집합이 아니고 위로 bounded이다($b_1$에 의해). $x$를 $E$의 $\sup$이라 하자. 만약 $m$과 $n$이 양의 정수라면, 다음이 성립한다.

\[a_n \le a_{m+n} \le b_{m+n} \le b_m,\]

따라서 각 $m$에 대해 $x \le b_m$이다. $a_m \le x$임은 명백하므로, 우리는 $m = 1, 2, 3, \dots$에 대해 $x \in I_m$임을 알 수 있다.

2.39 Theorem $k$를 양의 정수라 하자. ${I_n}$이 $I_n \supset I_{n+1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)을 만족하는 $k$-cell들의 sequence라면, $\bigcap_1^\infty I_n$은 공집합이 아니다.

Proof $I_n$이 다음을 만족하는 모든 points $\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_k)$로 구성된다고 하자.

\[a_{n,j} \le x_j \le b_{n,j} \quad (1 \le j \le k; n = 1, 2, 3, \dots),\]

그리고 $I_{n,j} = [a_{n,j}, b_{n,j}]$라 두자. 각 $j$에 대해, sequence ${I_{n,j}}$는 Theorem 2.38의 가설들을 만족한다. 따라서 다음을 만족하는 실수 $x_j^*$ ($1 \le j \le k$)가 존재한다.

\[a_{n,j} \le x_j^* \le b_{n,j} \quad (1 \le j \le k; n = 1, 2, 3, \dots).\]

$\mathbf{x}^* = (x_1^, \dots, x_k^)$로 설정하면, 우리는 $n = 1, 2, 3, \dots$에 대해 $\mathbf{x}^* \in I_n$임을 알 수 있다. 정리가 도출된다.

2.40 Theorem 모든 $k$-cell은 compact이다.

Proof $I$를 $a_j \le x_j \le b_j$ ($1 \le j \le k$)를 만족하는 모든 points $\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_k)$로 구성된 $k$-cell이라 하자. 다음과 같이 두자.

\[\delta = \left\{ \sum_1^k (b_j - a_j)^2 \right\}^{1/2}.\]

그러면 $\mathbf{x} \in I, \mathbf{y} \in I$일 때 $ \vert \mathbf{x} - \mathbf{y} \vert \le \delta$이다. 모순을 이끌어내기 위해, $I$의 finite subcover를 포함하지 않는 $I$의 open cover ${G_\alpha}$가 존재한다고 가정하자. $c_j = (a_j + b_j)/2$라 두자. 그러면 interval $[a_j, c_j]$와 $[c_j, b_j]$는 그들의 union이 $I$인 $2^k$개의 $k$-cell $Q_i$를 결정한다. 이 set $Q_i$ 중 적어도 하나, 이를 $I_1$이라 부르자, 는 ${G_\alpha}$의 어떠한 finite subcollection으로도 덮일 수 없다(그렇지 않다면 $I$가 그렇게 덮일 수 있을 것이다). 우리는 다음으로 $I_1$을 세분화하고 이 과정을 계속한다. 우리는 다음 성질들을 가진 sequence ${I_n}$을 얻는다:

$(a) \quad I \supset I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \cdots;$ $(b) \quad I_n$은 ${G_\alpha}$의 어떠한 finite subcollection으로도 덮이지 않는다; $(c) \quad \mathbf{x} \in I_n$이고 $\mathbf{y} \in I_n$이면, $ \vert \mathbf{x} - \mathbf{y} \vert \le 2^{-n}\delta$이다.

$(a)$와 Theorem 2.39에 의해, 모든 $I_n$에 놓여 있는 point $\mathbf{x}^$가 존재한다. 어떤 $\alpha$에 대해, $\mathbf{x}^ \in G_\alpha$이다. $G_\alpha$가 open이므로, $ \vert \mathbf{y} - \mathbf{x}^* \vert < r$이 $\mathbf{y} \in G_\alpha$를 암시하도록 하는 $r > 0$이 존재한다. 만약 $n$이 충분히 커서 $2^{-n}\delta < r$이라면(그러한 $n$이 존재하는데, 그렇지 않다면 모든 양의 정수 $n$에 대해 $2^n \le \delta/r$이 될 것이며, 이는 $R$이 아르키메데스 성질을 가지므로 모순이다), $(c)$는 $I_n \subset G_\alpha$를 암시하며, 이는 $(b)$에 모순된다. 이것으로 증명이 완료된다.

다음 정리에서 $(a)$와 $(b)$의 동치성은 하이네-보렐(Heine-Borel) 정리로 알려져 있다.

2.41 Theorem $R^k$ 안의 set $E$가 다음 세 가지 성질 중 하나를 가진다면, 나머지 두 가지도 가진다:

$(a) \quad E$는 closed이고 bounded이다. $(b) \quad E$는 compact이다. $(c) \quad E$의 모든 infinite subset은 $E$ 안에 limit point를 가진다.

Proof 만약 $(a)$가 성립한다면, 어떤 $k$-cell $I$에 대해 $E \subset I$이고, $(b)$는 Theorems 2.40과 2.35로부터 도출된다. Theorem 2.37은 $(b)$가 $(c)$를 암시함을 보여준다. $(c)$가 $(a)$를 암시함을 보이는 것이 남아있다. 만약 $E$가 bounded가 아니라면, $E$는 다음을 만족하는 points $\mathbf{x}_n$을 포함한다.

\[\vert \mathbf{x}_n \vert > n \quad (n = 1, 2, 3, \dots).\]

이 points $\mathbf{x}_n$으로 구성된 set $S$는 infinite하며 분명히 $R^k$ 안에 limit point를 가지지 않으므로, $E$ 안에도 가지지 않는다. 따라서 $(c)$는 $E$가 bounded임을 암시한다. 만약 $E$가 closed가 아니라면, $E$의 limit point이지만 $E$의 point는 아닌 point $\mathbf{x}_0 \in R^k$가 존재한다. $n = 1, 2, 3, \dots$에 대해, $ \vert \mathbf{x}_n - \mathbf{x}_0 \vert < 1/n$을 만족하는 points $\mathbf{x}_n \in E$가 존재한다. $S$를 이 points $\mathbf{x}_n$의 set이라 하자. 그러면 $S$는 infinite하고(그렇지 않다면 무한히 많은 $n$에 대해 $ \vert \mathbf{x}_n - \mathbf{x}_0 \vert $가 일정한 양수 값을 가질 것이다), $S$는 $\mathbf{x}_0$를 limit point로 가지며, $S$는 $R^k$ 안에 다른 어떤 limit point도 가지지 않는다. 왜냐하면 만약 $\mathbf{y} \in R^k$, $\mathbf{y} \neq \mathbf{x}_0$라면, 다음이 성립하기 때문이다.

\(\vert \mathbf{x}_n - \mathbf{y} \vert \ge \vert \mathbf{x}_0 - \mathbf{y} \vert - \vert \mathbf{x}_n - \mathbf{x}_0 \vert\) \(\ge \vert \mathbf{x}_0 - \mathbf{y} \vert - \frac{1}{n} \ge \frac{1}{2} \vert \mathbf{x}_0 - \mathbf{y} \vert\)

유한 개의 $n$을 제외한 모든 $n$에 대해; 이는 $\mathbf{y}$가 $S$의 limit point가 아님을 보여준다(Theorem 2.20). 따라서 $S$는 $E$ 안에 limit point를 가지지 않는다; 그러므로 $(c)$가 성립한다면 $E$는 반드시 closed이어야 한다.

이 시점에서 우리는 $(b)$와 $(c)$가 임의의 metric space에서 동치이지만(Exercise 26), $(a)$가 일반적으로 $(b)$와 $(c)$를 암시하지는 않는다는 점을 언급해야 한다. 예제들은 Exercise 16과 Chap. 11에서 논의되는 공간 $\mathscr{L}^2$에 의해 제공된다.

2.42 Theorem (Weierstrass) $R^k$의 모든 bounded infinite subset은 $R^k$ 안에 limit point를 가진다.

Proof bounded이므로, 문제의 set $E$는 $k$-cell $I \subset R^k$의 subset이다. Theorem 2.40에 의해 $I$는 compact이고, 따라서 Theorem 2.37에 의해 $E$는 $I$ 안에 limit point를 가진다.

PERFECT SETS

2.43 Theorem $P$를 $R^k$ 안의 공집합이 아닌 perfect set이라 하자. 그러면 $P$는 uncountable하다.

Proof $P$가 limit point들을 가지므로, $P$는 반드시 infinite이어야 한다. $P$가 countable이라고 가정하고, $P$의 points를 $\mathbf{x}1, \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3, \dots$로 나타내자. 우리는 다음과 같이 neighborhood들의 sequence ${V_n}$을 구성할 것이다. $V_1$을 $\mathbf{x}_1$의 임의의 neighborhood라 하자. 만약 $V_1$이 $ \vert \mathbf{y} - \mathbf{x}_1 \vert < r$을 만족하는 모든 $\mathbf{y} \in R^k$로 구성된다면, $V_1$의 closure $\bar{V}_1$은 $ \vert \mathbf{y} - \mathbf{x}_1 \vert \le r$을 만족하는 모든 $\mathbf{y} \in R^k$의 set이다. $V_n \cap P$가 공집합이 아니도록 $V_n$이 구성되었다고 가정하자. $P$의 모든 point가 $P$의 limit point이므로, $(i) \ \bar{V}{n+1} \subset V_n$, $(ii) \ \mathbf{x}n \notin \bar{V}{n+1}$, $(iii) \ V_{n+1} \cap P$가 공집합이 아님을 만족하는 neighborhood $V_{n+1}$이 존재한다. $(iii)$에 의해, $V_{n+1}$은 우리의 귀납법 가설을 만족하며, 구성이 진행될 수 있다. $K_n = \bar{V}n \cap P$라 두자. $\bar{V}_n$이 closed이고 bounded이므로, $\bar{V}_n$은 compact이다. $\mathbf{x}_n \notin K{n+1}$이므로, $P$의 어떤 point도 $\bigcap_1^\infty K_n$에 놓이지 않는다. $K_n \subset P$이므로, 이는 $\bigcap_1^\infty K_n$이 공집합임을 암시한다. 그러나 $(iii)$에 의해 각 $K_n$은 공집합이 아니며, $(i)$에 의해 $K_n \supset K_{n+1}$이다; 이는 Theorem 2.36의 Corollary에 모순된다.

Corollary 모든 interval $[a, b]$ ($a < b$)는 uncountable하다. 특히, 모든 실수의 set은 uncountable하다.

2.44 The Cantor set 우리가 지금 구성하려는 set은 $R^1$ 안에 어떠한 segment도 포함하지 않는 perfect set이 존재함을 보여준다. $E_0$를 interval $[0, 1]$이라 하자. segment $(1/3, 2/3)$을 제거하고, $E_1$을 다음 interval들의 union이라 하자.

\[[0, 1/3], \quad [2/3, 1].\]

이 interval들의 중간 3분의 1을 제거하고, $E_2$를 다음 interval들의 union이라 하자.

\[[0, 1/9], \quad [2/9, 3/9], \quad [6/9, 7/9], \quad [8/9, 1].\]

이런 방식으로 계속하여, 우리는 다음을 만족하는 compact set들의 sequence $E_n$을 얻는다.

$(a) \quad E_1 \supset E_2 \supset E_3 \supset \cdots;$ $(b) \quad E_n$은 각각 길이가 $3^{-n}$인 $2^n$개의 interval들의 union이다.

set

\[P = \bigcap_{n=1}^\infty E_n\]

은 Cantor set이라고 불린다. $P$는 분명히 compact하며, Theorem 2.36은 $P$가 공집합이 아님을 보여준다. 다음 형태의 어떠한 segment도 $P$와 공통인 point를 가지지 않는다.

\[(24) \quad \left( \frac{3k+1}{3^m}, \frac{3k+2}{3^m} \right),\]

여기서 $k$와 $m$은 양의 정수이다. 모든 segment $(\alpha, \beta)$는 만약

\[3^{-m} < \frac{\beta - \alpha}{6}\]

이라면 $(24)$ 형태의 segment를 포함하므로, $P$는 어떠한 segment도 포함하지 않는다. $P$가 perfect임을 보이기 위해서는, $P$가 어떠한 isolated point도 포함하지 않음을 보이는 것으로 충분하다. $x \in P$라 하고, $S$를 $x$를 포함하는 임의의 segment라 하자. $I_n$을 $x$를 포함하는 $E_n$의 그 interval이라 하자. $I_n \subset S$가 되도록 $n$을 충분히 크게 선택하자. $x_n \neq x$가 되도록 $I_n$의 끝점을 $x_n$이라 하자. $P$의 구성으로부터 $x_n \in P$임이 도출된다. 따라서 $x$는 $P$의 limit point이고, $P$는 perfect이다. Cantor set의 가장 흥미로운 성질 중 하나는 그것이 측도가 0인 uncountable set의 예를 우리에게 제공한다는 것이다(측도의 개념은 Chap. 11에서 논의될 것이다).

CONNECTED SETS

2.45 Definition metric space $X$의 두 subset $A$와 $B$는 $A \cap \bar{B}$와 $\bar{A} \cap B$가 모두 공집합일 때, 즉 $A$의 어떤 point도 $B$의 closure에 놓이지 않고 $B$의 어떤 point도 $A$의 closure에 놓이지 않을 때 separated라고 한다. set $E \subset X$는 $E$가 공집합이 아닌 두 separated set의 union이 아닐 때 connected라고 한다.

2.46 Remark separated set들은 당연히 disjoint하지만, disjoint set들이 반드시 separated인 것은 아니다. 예를 들어, interval $[0, 1]$과 segment $(1, 2)$는 separated가 아닌데, 왜냐하면 $1$이 $(1, 2)$의 limit point이기 때문이다. 그러나 segment $(0, 1)$과 $(1, 2)$는 separated이다. 선의 connected subset들은 특히 단순한 구조를 가진다:

2.47 Theorem 실수선 $R^1$의 subset $E$가 connected일 필요충분조건은 그것이 다음 성질을 가지는 것이다: 만약 $x \in E$, $y \in E$이고 $x < z < y$라면, $z \in E$이다.

Proof 만약 $x \in E$, $y \in E$이고 $z \notin E$를 만족하는 어떤 $z \in (x, y)$가 존재한다면, $E = A_z \cup B_z$이다. 여기서

\[A_z = E \cap (-\infty, z), \quad B_z = E \cap (z, \infty).\]

$x \in A_z$이고 $y \in B_z$이므로, $A_z$와 $B_z$는 공집합이 아니다. $A_z \subset (-\infty, z)$이고 $B_z \subset (z, \infty)$이므로, 이들은 separated이다. 따라서 $E$는 connected가 아니다. 역을 증명하기 위해, $E$가 connected가 아니라고 가정하자. 그러면 $A \cup B = E$를 만족하는 공집합이 아닌 separated set $A$와 $B$가 존재한다. $x \in A$, $y \in B$를 선택하고, (일반성을 잃지 않고) $x < y$라고 가정하자. 다음과 같이 정의하자.

\[z = \sup (A \cap [x, y]).\]

Theorem 2.28에 의해 $z \in \bar{A}$이다; 따라서 $z \notin B$이다. 특히, $x \le z < y$이다. 만약 $z \notin A$라면, $x < z < y$이고 $z \notin E$임이 도출된다. 만약 $z \in A$라면, $z \notin \bar{B}$이고, 따라서 $z < z_1 < y$이고 $z_1 \notin B$를 만족하는 $z_1$이 존재한다. 그러면 $x < z_1 < y$이고 $z_1 \notin E$이다.

EXERCISES

1. 공집합이 모든 set의 subset임을 증명하라.
2. 복소수 $z$는 모두가 $0$은 아닌 정수 $a_0, \dots, a_n$이 존재하여 다음을 만족할 때 대수적(algebraic)이라고 한다.

\[a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_{n-1} z + a_n = 0.\]

모든 대수적 수의 set이 countable함을 증명하라. Hint: 모든 양의 정수 $N$에 대해 다음을 만족하는 방정식은 유한 개만 존재한다.

\[n + \vert a_0 \vert + \vert a_1 \vert + \cdots + \vert a_n \vert = N.\]

1. 대수적이 아닌 실수가 존재함을 증명하라.
2. 모든 무리수인 실수의 set은 countable한가?
3. 정확히 세 개의 limit point를 가지는 실수의 bounded set을 구성하라.
4. $E’$를 set $E$의 모든 limit point들의 set이라 하자. $E’$가 closed임을 증명하라. $E$와 $\bar{E}$가 동일한 limit point들을 가짐을 증명하라. ($\bar{E} = E \cup E’$임을 상기하라.) $E$와 $E’$는 항상 동일한 limit point들을 가지는가?
5. $A_1, A_2, A_3, \dots$를 metric space의 subset들이라 하자. $(a)$ 만약 $B_n = \bigcup_{i=1}^n A_i$라면, $n = 1, 2, 3, \dots$에 대해 $\bar{B}n = \bigcup{i=1}^n \bar{A}i$임을 증명하라. $(b)$ 만약 $B = \bigcup{i=1}^\infty A_i$라면, $\bar{B} \supset \bigcup_{i=1}^\infty \bar{A}_i$임을 증명하라. 예제를 통해 이 포함 관계가 proper일 수 있음을 보여라.
6. $R^2$ 안의 모든 open set $E$의 모든 point는 $E$의 limit point인가? $R^2$ 안의 closed set들에 대해서도 동일한 질문에 답하라.
7. $E^\circ$를 set $E$의 모든 interior point들의 set이라 하자. [Definition 2.18$(e)$ 참조; $E^\circ$는 $E$의 interior라고 불린다.] $(a)$ $E^\circ$가 항상 open임을 증명하라. $(b)$ $E$가 open일 필요충분조건은 $E^\circ = E$인 것임을 증명하라. $(c)$ 만약 $G \subset E$이고 $G$가 open이라면, $G \subset E^\circ$임을 증명하라. $(d)$ $E^\circ$의 complement가 $E$의 complement의 closure임을 증명하라. $(e)$ $E$와 $\bar{E}$는 항상 동일한 interior를 가지는가? $(f)$ $E$와 $E^\circ$는 항상 동일한 closure를 가지는가?
8. $X$를 infinite set이라 하자. $p \in X$와 $q \in X$에 대해, 다음과 같이 정의하자.

\[d(p, q) = \begin{cases} 1 & (p \neq q\text{일 때}) \\ 0 & (p = q\text{일 때}). \end{cases}\]

이것이 metric임을 증명하라. 결과로 나오는 metric space의 어떤 subset들이 open인가? 어떤 것들이 closed인가? 어떤 것들이 compact인가?

1. $x \in R^1$과 $y \in R^1$에 대해, 다음과 같이 정의하자.

\(d_1(x, y) = (x - y)^2,\) \(d_2(x, y) = \sqrt{ \vert x - y \vert },\) \(d_3(x, y) = \vert x^2 - y^2 \vert ,\) \(d_4(x, y) = \vert x - 2y \vert ,\) \(d_5(x, y) = \frac{ \vert x - y \vert }{1 + \vert x - y \vert }.\)

이들 각각에 대해, 그것이 metric인지 아닌지 결정하라.

1. $K \subset R^1$이 $0$과 숫자 $1/n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)으로 구성된다고 하자. $K$가 compact임을 (하이네-보렐 정리를 사용하지 않고) 정의로부터 직접 증명하라.
2. limit point들이 countable set을 형성하는 실수의 compact set을 구성하라.
3. finite subcover를 가지지 않는 segment $(0, 1)$의 open cover의 예를 제시하라.
4. ‘compact’라는 단어가 ‘closed’나 ‘bounded’로 대체될 경우 Theorem 2.36과 그 Corollary가 (예를 들어 $R^1$에서) 거짓이 됨을 보여라.
5. 모든 유리수의 set $Q$를 $d(p, q) = \vert p - q \vert $를 가진 metric space로 간주하자. $E$를 $2 < p^2 < 3$을 만족하는 모든 $p \in Q$의 set이라 하자. $E$가 $Q$에서 closed이고 bounded이지만, $E$가 compact는 아님을 보여라. $E$는 $Q$에서 open인가?
6. $E$를 십진 전개가 오직 숫자 $4$와 $7$만 포함하는 모든 $x \in [0, 1]$의 set이라 하자. $E$는 countable인가? $E$는 $[0, 1]$에서 dense한가? $E$는 compact인가? $E$는 perfect인가?
7. $R^1$ 안에 유리수를 포함하지 않는 공집합이 아닌 perfect set이 존재하는가?
8. $(a)$ 만약 $A$와 $B$가 어떤 metric space $X$ 안의 disjoint closed set들이라면, 그들이 separated임을 증명하라. $(b)$ disjoint open set들에 대해서도 동일하게 증명하라. $(c)$ $p \in X$, $\delta > 0$을 고정하고, $A$를 $d(p, q) < \delta$인 모든 $q \in X$의 set으로 정의하며, $B$를 $<$ 대신 $>$를 사용하여 유사하게 정의하자. $A$와 $B$가 separated임을 증명하라. $(d)$ 적어도 두 개의 points를 가진 모든 connected metric space는 uncountable함을 증명하라. Hint: $(c)$를 사용하라.
9. connected set들의 closure와 interior는 항상 connected인가? ($R^2$의 subset들을 살펴보라.)
10. $A$와 $B$를 어떤 $R^k$의 separated subset들이라 하고, $\mathbf{a} \in A$, $\mathbf{b} \in B$라고 가정하며, $t \in R^1$에 대해 다음과 같이 정의하자.

\[\mathbf{p}(t) = (1 - t)\mathbf{a} + t\mathbf{b}\]

$A_0 = \mathbf{p}^{-1}(A)$, $B_0 = \mathbf{p}^{-1}(B)$라 두자. [따라서 $t \in A_0$일 필요충분조건은 $\mathbf{p}(t) \in A$인 것이다.] $(a)$ $A_0$와 $B_0$가 $R^1$의 separated subset들임을 증명하라. $(b)$ $\mathbf{p}(t_0) \notin A \cup B$를 만족하는 $t_0 \in (0, 1)$이 존재함을 증명하라. $(c)$ $R^k$의 모든 convex subset이 connected임을 증명하라.

1. metric space가 countable dense subset을 포함한다면 separable이라고 불린다. $R^k$가 separable임을 보여라. Hint: 오직 유리수 좌표만을 가지는 points의 set을 고려하라.
2. $X$의 open subset들의 collection ${V_\alpha}$는 다음이 참일 때 $X$의 base라고 불린다: 모든 $x \in X$와 $x \in G$를 만족하는 모든 open set $G \subset X$에 대해, 어떤 $\alpha$에 대해 $x \in V_\alpha \subset G$이다. 다시 말해, $X$ 안의 모든 open set은 ${V_\alpha}$의 subcollection의 union이다. 모든 separable metric space가 countable base를 가짐을 증명하라. Hint: $X$의 어떤 countable dense subset 안에 중심을 두고 유리수 반지름을 가지는 모든 neighborhood들을 취하라.
3. $X$를 모든 infinite subset이 limit point를 가지는 metric space라 하자. $X$가 separable임을 증명하라. Hint: $\delta > 0$을 고정하고, $x_1 \in X$를 선택하라. $x_1, \dots, x_j \in X$가 선택되었을 때, 가능하다면 $i = 1, \dots, j$에 대해 $d(x_i, x_{j+1}) \ge \delta$가 되도록 $x_{j+1} \in X$를 선택하라. 이 과정이 유한 번의 단계 후에 반드시 멈춰야 하며, 따라서 $X$가 반지름이 $\delta$인 유한 개의 neighborhood들로 덮일 수 있음을 보여라. $\delta = 1/n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)으로 취하고, 대응하는 neighborhood들의 중심들을 고려하라.
4. 모든 compact metric space $K$가 countable base를 가지며, 따라서 $K$가 separable임을 증명하라. Hint: 모든 양의 정수 $n$에 대해, 그들의 union이 $K$를 덮는 반지름 $1/n$인 유한 개의 neighborhood들이 존재한다.
5. $X$를 모든 infinite subset이 limit point를 가지는 metric space라 하자. $X$가 compact임을 증명하라. Hint: Exercises 23과 24에 의해, $X$는 countable base를 가진다. 결과적으로 $X$의 모든 open cover는 countable subcover ${G_n}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)을 가진다. 만약 ${G_n}$의 어떠한 finite subcollection도 $X$를 덮지 못한다면, $G_1 \cup \cdots \cup G_n$의 complement $F_n$은 각 $n$에 대해 공집합이 아니지만, $\bigcap F_n$은 공집합이다. 만약 $E$가 각 $F_n$으로부터의 point를 포함하는 set이라면, $E$의 limit point를 고려하여 모순을 얻어라.
6. metric space $X$ 안의 point $p$의 모든 neighborhood가 무수히 많은(uncountably many) $E$의 points를 포함한다면, $p$를 set $E \subset X$의 condensation point로 정의하자. $E \subset R^k$이고 $E$가 uncountable이라고 가정하며, $P$를 $E$의 모든 condensation point들의 set이라 하자. $P$가 perfect이고 기껏해야 countable하게 많은 $E$의 points만이 $P$에 속하지 않음을 증명하라. 다시 말해, $P^c \cap E$가 at most countable임을 보여라. Hint: ${V_n}$을 $R^k$의 countable base라 하고, $W$를 $E \cap V_n$이 at most countable인 그러한 $V_n$들의 union이라 하며, $P = W^c$임을 보여라.
7. separable metric space 안의 모든 closed set이 (아마도 공집합인) perfect set과 at most countable인 set의 union임을 증명하라. (Corollary: $R^k$ 안의 모든 countable closed set은 isolated point들을 가진다.) Hint: Exercise 27을 사용하라.
8. $R^1$ 안의 모든 open set이 disjoint segment들의 at most countable collection의 union임을 증명하라. Hint: Exercise 22를 사용하라.
9. Theorem 2.43의 증명을 모방하여 다음 결과를 얻어라: 만약 $R^k = \bigcup_1^\infty F_n$이고 여기서 각 $F_n$이 $R^k$의 closed subset이라면, 적어도 하나의 $F_n$은 공집합이 아닌 interior를 가진다. 동치인 명제: 만약 $G_n$이 $n = 1, 2, 3, \dots$에 대해 $R^k$의 dense open subset이라면, $\bigcap_1^\infty G_n$은 공집합이 아니다(사실, 이것은 $R^k$에서 dense하다). (이것은 베르의 정리(Baire’s theorem)의 특수한 경우이다; 일반적인 경우는 Chap. 3의 Exercise 22를 참조하라.)