실해석학 3장

March 29, 2026 43 분 소요

3 NUMERICAL SEQUENCES AND SERIES

제목에서 알 수 있듯이, 이 장에서는 주로 complex number의 sequence와 series를 다룰 것이다. 그러나 convergence에 대한 기본적인 사실들은 더 일반적인 설정에서도 쉽게 설명된다. 따라서 처음 세 섹션은 euclidean space 또는 심지어 metric space에서의 sequence를 다룰 것이다.

CONVERGENT SEQUENCES

3.1 Definition metric space $X$의 sequence ${p_n}$은 다음 성질을 가진 점 $p \in X$가 존재할 때 converge한다고 한다: 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge N$이면 $d(p_n, p) < \epsilon$이 되는 정수 $N$이 존재한다. (여기서 $d$는 $X$에서의 distance를 나타낸다.)

이 경우 우리는 ${p_n}$이 $p$로 converge한다고 하거나, $p$가 ${p_n}$의 limit이라고 하며 [Theorem 3.2(b) 참조], $p_n \to p$ 또는 $\lim_{n\to\infty} p_n = p$ 로 쓴다.

만약 ${p_n}$이 converge하지 않으면, diverge한다고 한다.

우리의 ‘convergent sequence’에 대한 정의가 ${p_n}$뿐만 아니라 $X$에도 의존한다는 점을 지적하는 것이 좋을 것이다. 예를 들어, sequence ${1/n}$은 $R^1$에서 (0으로) converge하지만, 모든 양의 실수 집합 [$d(x, y) = \vert x - y \vert $인 경우]에서는 converge하지 않는다. 모호할 가능성이 있는 경우, 우리는 단순히 ‘convergent’라기보다는 ‘convergent in $X$’라고 명시하여 더 정확하게 표현할 수 있다.

모든 점 $p_n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)의 집합이 ${p_n}$의 range임을 상기하자. sequence의 range는 유한 집합일 수도 있고, 무한할 수도 있다. sequence ${p_n}$은 그 range가 bounded일 때 bounded라고 한다.

예를 들어, 다음과 같은 complex number의 sequence (즉, $X = R^2$)를 고려해 보자:

(a) $s_n = 1/n$이면, $\lim_{n\to\infty} s_n = 0$이다; range는 무한하며, sequence는 bounded이다. (b) $s_n = n^2$이면, sequence ${s_n}$은 unbounded이고, diverge하며, 무한한 range를 갖는다. (c) $s_n = 1 + [(-1)^n/n]$이면, sequence ${s_n}$은 1로 converge하고, bounded이며, 무한한 range를 갖는다. (d) $s_n = i^n$이면, sequence ${s_n}$은 diverge하고, bounded이며, 유한한 range를 갖는다. (e) $s_n = 1$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)이면, sequence ${s_n}$은 1로 converge하고, bounded이며, 유한한 range를 갖는다.

이제 metric space에서 convergent sequence의 몇 가지 중요한 성질을 요약한다.

3.2 Theorem ${p_n}$을 metric space $X$의 sequence라고 하자.

(a) ${p_n}$이 $p \in X$로 converge할 필요충분조건은 $p$의 모든 neighborhood가 유한 개의 $n$을 제외한 모든 $p_n$을 포함하는 것이다. (b) $p \in X$, $p’ \in X$이고 ${p_n}$이 $p$와 $p’$로 converge하면, $p’ = p$이다. (c) ${p_n}$이 converge하면, ${p_n}$은 bounded이다. (d) $E \subset X$이고 $p$가 $E$의 limit point이면, $p = \lim_{n\to\infty} p_n$이 되는 $E$의 sequence ${p_n}$이 존재한다.

Proof (a) $p_n \to p$라 가정하고 $V$를 $p$의 neighborhood라고 하자. 어떤 $\epsilon > 0$에 대해, 조건 $d(q, p) < \epsilon, q \in X$는 $q \in V$를 의미한다. 이 $\epsilon$에 대응하여, $n \ge N$이면 $d(p_n, p) < \epsilon$이 되는 $N$이 존재한다. 따라서 $n \ge N$이면 $p_n \in V$이다.

역으로, $p$의 모든 neighborhood가 유한 개의 $p_n$을 제외한 모든 것을 포함한다고 가정하자. $\epsilon > 0$을 고정하고, $V$를 $d(p, q) < \epsilon$인 모든 $q \in X$의 집합이라고 하자. 가정에 의해, $n \ge N$이면 $p_n \in V$가 되는 $N$ (이 $V$에 대응하는)이 존재한다. 따라서 $n \ge N$이면 $d(p_n, p) < \epsilon$이다; 그러므로 $p_n \to p$이다.

(b) $\epsilon > 0$이 주어졌다고 하자. 다음을 만족하는 정수 $N, N’$이 존재한다. $n \ge N \implies d(p_n, p) < \frac{\epsilon}{2},$ $n \ge N' \implies d(p_n, p') < \frac{\epsilon}{2}.$ 따라서 $n \ge \max(N, N’)$이면, 다음을 얻는다. $d(p, p') \le d(p, p_n) + d(p_n, p') < \epsilon.$ $\epsilon$은 임의적이므로, $d(p, p’) = 0$이라는 결론을 내린다.

(c) $p_n \to p$라 가정하자. $n > N$이면 $d(p_n, p) < 1$이 되는 정수 $N$이 존재한다. 다음과 같이 두자. $r = \max\{1, d(p_1, p), \dots, d(p_N, p)\}.$ 그러면 $n = 1, 2, 3, \dots$에 대해 $d(p_n, p) \le r$이다.

(d) 각각의 양의 정수 $n$에 대해, $d(p_n, p) < 1/n$인 점 $p_n \in E$가 존재한다. $\epsilon > 0$이 주어지면, $N\epsilon > 1$이 되도록 $N$을 선택한다. $n > N$이면, $d(p_n, p) < \epsilon$이 성립한다. 따라서 $p_n \to p$이다.

이것으로 증명이 완료된다.

$R^k$의 sequence에 대해 우리는 한편으로는 convergence와 다른 한편으로는 대수적 연산 사이의 관계를 연구할 수 있다. 먼저 complex number의 sequence를 고려한다.

3.3 Theorem ${s_n}, {t_n}$이 complex sequence이고, $\lim_{n\to\infty} s_n = s$, $\lim_{n\to\infty} t_n = t$라고 가정하자. 그러면

(a) $\lim_{n\to\infty} (s_n + t_n) = s + t$; (b) 임의의 수 $c$에 대해 $\lim_{n\to\infty} c s_n = c s$, $\lim_{n\to\infty} (c + s_n) = c + s$; (c) $\lim_{n\to\infty} s_n t_n = s t$; (d) $s_n \neq 0$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)이고 $s \neq 0$이면, $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{s_n} = \frac{1}{s}$.

Proof (a) $\epsilon > 0$이 주어지면, 다음을 만족하는 정수 $N_1, N_2$가 존재한다. $n \ge N_1 \implies \vert s_n - s \vert < \frac{\epsilon}{2},$ $n \ge N_2 \implies \vert t_n - t \vert < \frac{\epsilon}{2}.$ $N = \max(N_1, N_2)$이면, $n \ge N$은 다음을 의미한다. $\vert (s_n + t_n) - (s + t) \vert \le \vert s_n - s \vert + \vert t_n - t \vert < \epsilon.$ 이것은 (a)를 증명한다. (b)의 증명은 자명하다.

(c) 우리는 다음 항등식을 사용한다. $(1) \quad s_n t_n - s t = (s_n - s)(t_n - t) + s(t_n - t) + t(s_n - s).$ $\epsilon > 0$이 주어지면, 다음을 만족하는 정수 $N_1, N_2$가 존재한다. $n \ge N_1 \implies \vert s_n - s \vert < \sqrt{\epsilon},$ $n \ge N_2 \implies \vert t_n - t \vert < \sqrt{\epsilon}.$ $N = \max(N_1, N_2)$로 잡으면, $n \ge N$은 다음을 의미한다. $\vert (s_n - s)(t_n - t) \vert < \epsilon,$ 따라서 $\lim_{n\to\infty} (s_n - s)(t_n - t) = 0.$ 이제 (1)에 (a)와 (b)를 적용하여 다음 결론을 내린다. $\lim_{n\to\infty} (s_n t_n - s t) = 0.$

(d) $n \ge m$일 때 $\ \vert s_n - s\ \vert < \frac{1}{2}\ \vert s\ \vert $가 되도록 $m$을 선택하면, 다음을 알 수 있다. $\vert s_n \vert > \frac{1}{2} \vert s \vert \quad (n \ge m).$ $\epsilon > 0$이 주어지면, $n \ge N$일 때 다음을 만족하는 정수 $N > m$이 존재한다. $\vert s_n - s \vert < \frac{1}{2} \vert s \vert ^2 \epsilon.$ 따라서 $n \ge N$에 대해, $\left \vert \frac{1}{s_n} - \frac{1}{s} \right \vert = \left \vert \frac{s_n - s}{s_n s} \right \vert < \frac{2}{ \vert s \vert ^2} \vert s_n - s \vert < \epsilon.$

3.4 Theorem (a) $\mathbf{x}_n \in R^k$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)이고 $\mathbf{x}_n = (\alpha_{1,n}, \dots, \alpha_{k,n})$ 이라고 가정하자. 그러면 ${\mathbf{x}_n}$이 $\mathbf{x} = (\alpha_1, \dots, \alpha_k)$로 converge할 필요충분조건은 다음과 같다. $(2) \quad \lim_{n\to\infty} \alpha_{j,n} = \alpha_j \quad (1 \le j \le k).$ (b) ${\mathbf{x}_n}, {\mathbf{y}_n}$이 $R^k$의 sequence이고, ${\beta_n}$이 실수 sequence이며, $\mathbf{x}_n \to \mathbf{x}, \mathbf{y}_n \to \mathbf{y}, \beta_n \to \beta$라고 가정하자. 그러면 $\lim_{n\to\infty} (\mathbf{x}_n + \mathbf{y}_n) = \mathbf{x} + \mathbf{y}, \quad \lim_{n\to\infty} \mathbf{x}_n \cdot \mathbf{y}_n = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}, \quad \lim_{n\to\infty} \beta_n \mathbf{x}_n = \beta \mathbf{x}.$

Proof (a) $\mathbf{x}_n \to \mathbf{x}$이면, $R^k$에서의 norm의 정의로부터 즉시 도출되는 부등식 $\vert \alpha_{j,n} - \alpha_j \vert \le \vert \mathbf{x}_n - \mathbf{x} \vert ,$ 은 (2)가 성립함을 보여준다.

역으로, (2)가 성립하면, 각각의 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge N$일 때 다음을 만족하는 정수 $N$이 대응된다. $\vert \alpha_{j,n} - \alpha_j \vert < \frac{\epsilon}{\sqrt{k}} \quad (1 \le j \le k).$ 따라서 $n \ge N$은 다음을 의미한다. $\vert \mathbf{x}_n - \mathbf{x} \vert = \left\{ \sum_{j=1}^k \vert \alpha_{j,n} - \alpha_j \vert ^2 \right\}^{1/2} < \epsilon,$ 따라서 $\mathbf{x}_n \to \mathbf{x}$이다. 이것은 (a)를 증명한다.

부분 (b)는 (a)와 Theorem 3.3으로부터 도출된다.

SUBSEQUENCES

3.5 Definition sequence ${p_n}$이 주어졌을 때, $n_1 < n_2 < n_3 < \dots$를 만족하는 양의 정수 sequence ${n_k}$를 고려하자. 그러면 sequence ${p_{n_k}}$를 ${p_n}$의 subsequence라고 부른다. 만약 ${p_{n_k}}$가 converge하면, 그 limit을 ${p_n}$의 subsequential limit이라고 부른다.

${p_n}$이 $p$로 converge할 필요충분조건은 ${p_n}$의 모든 subsequence가 $p$로 converge하는 것임이 분명하다. 증명의 세부 사항은 독자에게 맡긴다.

3.6 Theorem (a) ${p_n}$이 compact metric space $X$의 sequence이면, ${p_n}$의 어떤 subsequence는 $X$의 한 점으로 converge한다. (b) $R^k$의 모든 bounded sequence는 convergent subsequence를 포함한다.

Proof (a) $E$를 ${p_n}$의 range라고 하자. 만약 $E$가 유한하면, $p \in E$와 $n_1 < n_2 < n_3 < \dots$인 sequence ${n_i}$가 존재하여 다음을 만족한다. $p_{n_1} = p_{n_2} = \dots = p.$ 이렇게 얻은 subsequence ${p_{n_i}}$는 명백히 $p$로 converge한다.

만약 $E$가 무한하면, Theorem 2.37은 $E$가 limit point $p \in X$를 가짐을 보여준다. $d(p, p_{n_1}) < 1$이 되도록 $n_1$을 선택한다. $n_1, \dots, n_{i-1}$이 선택되었을 때, Theorem 2.20으로부터 $d(p, p_{n_i}) < 1/i$가 되는 정수 $n_i > n_{i-1}$이 존재함을 알 수 있다. 그러면 ${p_{n_i}}$는 $p$로 converge한다.

(b) 이것은 (a)로부터 도출되는데, 왜냐하면 Theorem 2.41은 $R^k$의 모든 bounded subset이 $R^k$의 compact subset 안에 놓임을 의미하기 때문이다.

3.7 Theorem metric space $X$에서 sequence ${p_n}$의 subsequential limit들은 $X$의 closed subset을 형성한다.

Proof $E^*$를 ${p_n}$의 모든 subsequential limit의 집합이라 하고 $q$를 $E^*$의 limit point라고 하자. 우리는 $q \in E^*$임을 보여야 한다.

$p_{n_1} \neq q$가 되도록 $n_1$을 선택한다. (만약 그러한 $n_1$이 존재하지 않으면, $E^*$는 단 하나의 점만 가지며, 증명할 것이 없다.) $\delta = d(q, p_{n_1})$로 두자. $n_1, \dots, n_{i-1}$이 선택되었다고 가정하자. $q$가 $E^*$의 limit point이므로, $d(x, q) < 2^{-i}\delta$인 $x \in E^*$가 존재한다. $x \in E^*$이므로, $d(x, p_{n_i}) < 2^{-i}\delta$인 $n_i > n_{i-1}$이 존재한다. 따라서 $d(q, p_{n_i}) \le 2^{1-i}\delta$ $i = 1, 2, 3, \dots$에 대해 성립한다. 이것은 ${p_{n_i}}$가 $q$로 converge함을 말해준다. 따라서 $q \in E^*$이다.

CAUCHY SEQUENCES

3.8 Definition metric space $X$의 sequence ${p_n}$은 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge N$이고 $m \ge N$이면 $d(p_n, p_m) < \epsilon$이 되는 정수 $N$이 존재할 때 Cauchy sequence라고 한다.

Cauchy sequence에 대한 논의뿐만 아니라 나중에 발생할 다른 상황에서도 다음의 기하학적 개념이 유용할 것이다.

3.9 Definition $E$를 metric space $X$의 nonempty subset이라 하고, $S$를 $p \in E$이고 $q \in E$인 $d(p, q)$ 형태의 모든 실수의 집합이라고 하자. $S$의 sup을 $E$의 diameter라고 부른다.

만약 ${p_n}$이 $X$의 sequence이고 $E_N$이 점 $p_N, p_{N+1}, p_{N+2}, \dots$로 구성된다면, 앞의 두 정의로부터 ${p_n}$이 Cauchy sequence일 필요충분조건은 다음과 같음이 분명하다. $\lim_{N\to\infty} \text{diam } E_N = 0.$

3.10 Theorem (a) $\bar{E}$가 metric space $X$에서 집합 $E$의 closure이면, $\text{diam } \bar{E} = \text{diam } E.$ (b) $K_n$이 $X$에서 $K_n \supset K_{n+1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)을 만족하는 compact set의 sequence이고 만약 $\lim_{n\to\infty} \text{diam } K_n = 0,$ 이면, $\bigcap_{n=1}^\infty K_n$은 정확히 하나의 점으로 구성된다.

Proof (a) $E \subset \bar{E}$이므로, 다음은 분명하다. $\text{diam } E \le \text{diam } \bar{E}.$ $\epsilon > 0$을 고정하고, $p \in \bar{E}, q \in \bar{E}$를 선택하자. $\bar{E}$의 정의에 의해, $E$에는 $d(p, p’) < \epsilon, d(q, q’) < \epsilon$을 만족하는 점 $p’, q’$이 존재한다. 따라서 $d(p, q) \le d(p, p') + d(p', q') + d(q', q)$ $< 2\epsilon + d(p', q') \le 2\epsilon + \text{diam } E.$ 따라서 다음이 성립한다. $\text{diam } \bar{E} \le 2\epsilon + \text{diam } E,$ 그리고 $\epsilon$은 임의적이므로, (a)가 증명된다.

(b) $K = \bigcap_{n=1}^\infty K_n$으로 두자. Theorem 2.36에 의해, $K$는 비어 있지 않다. 만약 $K$가 하나 이상의 점을 포함한다면, $\text{diam } K > 0$이다. 그러나 각 $n$에 대해 $K_n \supset K$이므로, $\text{diam } K_n \ge \text{diam } K$이다. 이것은 $\text{diam } K_n \to 0$이라는 가정과 모순된다.

3.11 Theorem (a) 임의의 metric space $X$에서, 모든 convergent sequence는 Cauchy sequence이다. (b) $X$가 compact metric space이고 ${p_n}$이 $X$의 Cauchy sequence이면, ${p_n}$은 $X$의 어떤 점으로 converge한다. (c) $R^k$에서, 모든 Cauchy sequence는 converge한다.

참고: convergence의 정의와 Cauchy sequence의 정의 사이의 차이점은 전자에는 limit이 명시적으로 포함되어 있지만 후자에는 그렇지 않다는 것이다. 따라서 Theorem 3.11(b)는 우리가 주어진 sequence가 수렴할 수 있는 limit에 대한 지식 없이도 그것이 converge하는지 여부를 결정할 수 있게 해줄 수 있다.

sequence가 $R^k$에서 converge할 필요충분조건이 그것이 Cauchy sequence라는 사실(Theorem 3.11에 포함됨)은 보통 convergence에 대한 Cauchy criterion이라고 불린다.

Proof (a) $p_n \to p$이고 $\epsilon > 0$이면, 모든 $n \ge N$에 대해 $d(p, p_n) < \epsilon$이 되는 정수 $N$이 존재한다. 따라서 $d(p_n, p_m) \le d(p_n, p) + d(p, p_m) < 2\epsilon$ $n \ge N$이고 $m \ge N$이자마자 성립한다. 따라서 ${p_n}$은 Cauchy sequence이다.

(b) ${p_n}$을 compact space $X$의 Cauchy sequence라고 하자. $N = 1, 2, 3, \dots$에 대해, $E_N$을 $p_N, p_{N+1}, p_{N+2}, \dots$로 구성된 집합이라고 하자. 그러면 $(3) \quad \lim_{N\to\infty} \text{diam } \bar{E}_N = 0,$ Definition 3.9와 Theorem 3.10(a)에 의해 성립한다. compact space $X$의 closed subset이므로, 각 $\bar{E}_N$은 compact이다 (Theorem 2.35). 또한 $E_N \supset E_{N+1}$이므로, $\bar{E}_N \supset \bar{E}_{N+1}$이다.

이제 Theorem 3.10(b)는 모든 $\bar{E}_N$에 놓여 있는 유일한 $p \in X$가 존재함을 보여준다.

$\epsilon > 0$이 주어졌다고 하자. (3)에 의해 $N \ge N_0$이면 $\text{diam } \bar{E}_N < \epsilon$이 되는 정수 $N_0$가 존재한다. $p \in \bar{E}_N$이므로, 모든 $q \in \bar{E}_N$에 대해 $d(p, q) < \epsilon$이고, 따라서 모든 $q \in E_N$에 대해 성립한다. 다시 말해, $n \ge N_0$이면 $d(p, p_n) < \epsilon$이다. 이것은 정확히 $p_n \to p$를 말해준다.

(c) ${\mathbf{x}_n}$을 $R^k$의 Cauchy sequence라고 하자. (b)에서와 같이 $E_N$을 정의하되, $p_i$ 대신 $\mathbf{x}_i$를 사용한다. 어떤 $N$에 대해, $\text{diam } E_N < 1$이다. ${\mathbf{x}_n}$의 range는 $E_N$과 유한 집합 ${\mathbf{x}_1, \dots, \mathbf{x}_{N-1}}$의 합집합이다. 따라서 ${\mathbf{x}_n}$은 bounded이다. $R^k$의 모든 bounded subset은 $R^k$에서 compact closure를 가지므로 (Theorem 2.41), (c)는 (b)로부터 도출된다.

3.12 Definition 모든 Cauchy sequence가 converge하는 metric space를 complete라고 한다.

따라서 Theorem 3.11은 모든 compact metric space와 모든 Euclidean space가 complete임을 말해준다. Theorem 3.11은 또한 complete metric space $X$의 모든 closed subset $E$가 complete임을 의미한다. ($E$의 모든 Cauchy sequence는 $X$의 Cauchy sequence이므로, 어떤 $p \in X$로 converge하며, $E$가 closed이므로 실제로는 $p \in E$이다.) complete가 아닌 metric space의 예로는 $d(x, y) = \vert x - y \vert $인 모든 유리수의 공간이 있다.

Theorem 3.2(c)와 Definition 3.1의 예제 (d)는 convergent sequence가 bounded임을 보여주지만, $R^k$의 bounded sequence가 반드시 converge할 필요는 없음을 보여준다. 그러나 convergence가 boundedness와 동치인 중요한 경우가 하나 있는데, 이것은 $R^1$의 monotonic sequence에서 발생한다.

3.13 Definition 실수 sequence ${s_n}$은 다음과 같을 때 (a) $s_n \le s_{n+1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)이면 monotonically increasing이라고 한다; (b) $s_n \ge s_{n+1}$ ($n = 1, 2, 3, \dots$)이면 monotonically decreasing이라고 한다.

monotonic sequence의 클래스는 increasing sequence와 decreasing sequence로 구성된다.

3.14 Theorem ${s_n}$이 monotonic이라고 가정하자. 그러면 ${s_n}$이 converge할 필요충분조건은 그것이 bounded인 것이다.

Proof $s_n \le s_{n+1}$이라고 가정하자 (다른 경우의 증명도 유사하다). $E$를 ${s_n}$의 range라고 하자. 만약 ${s_n}$이 bounded이면, $s$를 $E$의 least upper bound라고 하자. 그러면 $s_n \le s \quad (n = 1, 2, 3, \dots).$ 모든 $\epsilon > 0$에 대해, 다음을 만족하는 정수 $N$이 존재한다. $s - \epsilon < s_N \le s,$ 그렇지 않으면 $s - \epsilon$이 $E$의 upper bound가 될 것이기 때문이다. ${s_n}$이 증가하므로, $n \ge N$은 따라서 다음을 의미한다. $s - \epsilon < s_n \le s,$ 이것은 ${s_n}$이 ($s$로) converge함을 보여준다.

역은 Theorem 3.2(c)로부터 도출된다.

UPPER AND LOWER LIMITS

3.15 Definition ${s_n}$을 다음 성질을 가진 실수 sequence라고 하자: 모든 실수 $M$에 대해 $n \ge N$이면 $s_n \ge M$이 되는 정수 $N$이 존재한다. 우리는 이때 다음과 같이 쓴다. $s_n \to +\infty.$ 유사하게, 모든 실수 $M$에 대해 $n \ge N$이면 $s_n \le M$이 되는 정수 $N$이 존재하면, 우리는 다음과 같이 쓴다. $s_n \to -\infty.$

우리가 이제 기호 $\to$ (Definition 3.1에서 도입됨)를 convergent sequence뿐만 아니라 특정 유형의 divergent sequence에 대해서도 사용하지만, Definition 3.1에 주어진 convergence와 limit의 정의는 결코 변경되지 않았음에 유의해야 한다.

3.16 Definition ${s_n}$을 실수 sequence라고 하자. 어떤 subsequence ${s_{n_k}}$에 대해 $s_{n_k} \to x$가 되는 숫자 $x$ (extended real number system에서)의 집합을 $E$라고 하자. 이 집합 $E$는 Definition 3.5에서 정의된 모든 subsequential limit과 더불어 아마도 숫자 $+\infty, -\infty$를 포함한다.

이제 Definition 1.8과 1.23을 상기하고 다음과 같이 두자. $s^* = \sup E,$ $s_* = \inf E.$ 숫자 $s^*, s_*$는 ${s_n}$의 upper limit과 lower limit이라고 불린다; 우리는 다음 표기법을 사용한다. $\limsup_{n\to\infty} s_n = s^*, \quad \liminf_{n\to\infty} s_n = s_*.$

3.17 Theorem ${s_n}$을 실수 sequence라고 하자. $E$와 $s^*$가 Definition 3.16에서와 같은 의미를 갖는다고 하자. 그러면 $s^*$는 다음 두 가지 성질을 갖는다:

(a) $s^* \in E$. (b) $x > s^*$이면, $n \ge N$일 때 $s_n < x$가 되는 정수 $N$이 존재한다.

게다가, $s^*$는 성질 (a)와 (b)를 가진 유일한 숫자이다.

물론, $s_*$에 대해서도 유사한 결과가 참이다.

Proof (a) $s^* = +\infty$이면, $E$는 위로 bounded가 아니다; 따라서 ${s_n}$은 위로 bounded가 아니며, $s_{n_k} \to +\infty$인 subsequence ${s_{n_k}}$가 존재한다.

만약 $s^*$가 실수이면, $E$는 위로 bounded이고, 적어도 하나의 subsequential limit이 존재하므로, (a)는 Theorem 3.7과 2.28로부터 도출된다.

만약 $s^* = -\infty$이면, $E$는 단 하나의 원소, 즉 $-\infty$만을 포함하며, subsequential limit은 존재하지 않는다. 따라서 임의의 실수 $M$에 대해, 유한 개의 $n$ 값에 대해서만 $s_n > M$이므로, $s_n \to -\infty$이다.

이것으로 모든 경우에 대해 (a)가 확립된다.

(b) 무한히 많은 $n$ 값에 대해 $s_n \ge x$가 되는 숫자 $x > s^*$가 존재한다고 가정하자. 그 경우, $y \ge x > s^*$인 숫자 $y \in E$가 존재하게 되어, $s^*$의 정의와 모순된다.

따라서 $s^*$는 (a)와 (b)를 만족한다.

유일성을 보여주기 위해, (a)와 (b)를 만족하는 두 숫자 $p$와 $q$가 존재한다고 가정하고, $p < q$라고 가정하자. $p < x < q$가 되도록 $x$를 선택한다. $p$가 (b)를 만족하므로, $n \ge N$에 대해 $s_n < x$이다. 그러나 그러면 $q$는 (a)를 만족할 수 없다.

3.18 Examples (a) ${s_n}$을 모든 유리수를 포함하는 sequence라고 하자. 그러면 모든 실수는 subsequential limit이며, $\limsup_{n\to\infty} s_n = +\infty, \quad \liminf_{n\to\infty} s_n = -\infty.$ (b) $s_n = (-1)^n / [1 + (1/n)]$이라고 하자. 그러면 $\limsup_{n\to\infty} s_n = 1, \quad \liminf_{n\to\infty} s_n = -1.$ (c) 실숫값 sequence ${s_n}$에 대해, $\lim_{n\to\infty} s_n = s$일 필요충분조건은 $\limsup_{n\to\infty} s_n = \liminf_{n\to\infty} s_n = s.$

우리는 유용하면서도 그 증명이 아주 자명한 정리로 이 섹션을 마무리한다:

3.19 Theorem 고정된 $N$에 대해 $n \ge N$일 때 $s_n \le t_n$이면, 다음이 성립한다. $\liminf_{n\to\infty} s_n \le \liminf_{n\to\infty} t_n,$ $\limsup_{n\to\infty} s_n \le \limsup_{n\to\infty} t_n.$

SOME SPECIAL SEQUENCES

우리는 이제 자주 발생하는 몇 가지 sequence의 limit을 계산할 것이다. 증명은 모두 다음의 관찰에 기초할 것이다: 어떤 고정된 숫자 $N$에 대해 $n \ge N$일 때 $0 \le x_n \le s_n$이고, $s_n \to 0$이면, $x_n \to 0$이다.

3.20 Theorem (a) $p > 0$이면, $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^p} = 0$. (b) $p > 0$이면, $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{p} = 1$. (c) $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1$. (d) $p > 0$이고 $\alpha$가 실수이면, $\lim_{n\to\infty} \frac{n^\alpha}{(1 + p)^n} = 0$. (e) $ \vert x \vert < 1$이면, $\lim_{n\to\infty} x^n = 0$.

Proof (a) $n > (1/\epsilon)^{1/p}$로 잡는다. (여기서 실수계의 archimedean property가 사용됨에 유의하라.) (b) $p > 1$이면, $x_n = \sqrt[n]{p} - 1$로 둔다. 그러면 $x_n > 0$이고, 이항정리에 의해, $1 + n x_n \le (1 + x_n)^n = p,$ 따라서 $0 < x_n \le \frac{p - 1}{n}.$ 그러므로 $x_n \to 0$이다. $p = 1$이면 (b)는 자명하고, $0 < p < 1$이면 역수를 취하여 결과를 얻는다. (c) $x_n = \sqrt[n]{n} - 1$로 둔다. 그러면 $x_n \ge 0$이고, 이항정리에 의해, $n = (1 + x_n)^n \ge \frac{n(n - 1)}{2} x_n^2.$ 따라서 $0 \le x_n \le \sqrt{\frac{2}{n - 1}} \quad (n \ge 2).$ (d) $k > \alpha, k > 0$인 정수 $k$를 고려하자. $n > 2k$에 대해, $(1 + p)^n > \binom{n}{k} p^k = \frac{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}{k!} p^k > \frac{n^k p^k}{2^k k!}.$ 따라서 $0 < \frac{n^\alpha}{(1 + p)^n} < \frac{2^k k!}{p^k} n^{\alpha - k} \quad (n > 2k).$ $\alpha - k < 0$이므로, (a)에 의해 $n^{\alpha - k} \to 0$이다. (e) (d)에서 $\alpha = 0$으로 잡는다.

SERIES

이 장의 나머지 부분에서 고려되는 모든 sequence와 series는 반대되는 명시적인 언급이 없는 한 complex-valued일 것이다. 뒤따르는 정리 중 일부를 $R^k$의 항을 갖는 series로 확장하는 것은 Exercise 15에서 언급된다.

3.21 Definition sequence ${a_n}$이 주어졌을 때, 우리는 표기법 $\sum_{n=p}^q a_n \quad (p \le q)$ 을 사용하여 합 $a_p + a_{p+1} + \dots + a_q$를 나타낸다. ${a_n}$과 함께 우리는 sequence ${s_n}$을 연관시키며, 여기서 $s_n = \sum_{k=1}^n a_k.$ ${s_n}$에 대해 우리는 또한 다음과 같은 기호적 표현을 사용한다. $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ 또는, 더 간결하게, $(4) \quad \sum_{n=1}^\infty a_n.$ 기호 (4)를 우리는 infinite series, 또는 단순히 series라고 부른다. 숫자 $s_n$은 series의 partial sum이라고 불린다. 만약 ${s_n}$이 $s$로 converge하면, 우리는 series가 converge한다고 말하고 다음과 같이 쓴다. $\sum_{n=1}^\infty a_n = s.$ 숫자 $s$는 series의 sum이라고 불린다; 그러나 $s$는 합들의 sequence의 limit이며, 단순히 덧셈에 의해 얻어지는 것이 아님을 명확히 이해해야 한다.

만약 ${s_n}$이 diverge하면, series는 diverge한다고 한다.

때때로, 표기의 편의를 위해, 우리는 다음과 같은 형태의 series를 고려할 것이다. $(5) \quad \sum_{n=0}^\infty a_n.$ 그리고 종종, 모호할 가능성이 없거나 구분이 중요하지 않을 때, 우리는 (4)나 (5) 대신 단순히 $\sum a_n$이라고 쓸 것이다.

sequence에 대한 모든 정리는 series의 관점에서 진술될 수 있으며 ($a_1 = s_1$로, $n > 1$에 대해 $a_n = s_n - s_{n-1}$로 두어), 그 역도 마찬가지임이 분명하다. 그러나 그럼에도 불구하고 두 개념을 모두 고려하는 것이 유용하다.

Cauchy criterion (Theorem 3.11)은 다음과 같은 형태로 다시 진술될 수 있다:

3.22 Theorem $\sum a_n$이 converge할 필요충분조건은 모든 $\epsilon > 0$에 대해 다음을 만족하는 정수 $N$이 존재하는 것이다. $(6) \quad \left \vert \sum_{k=n}^m a_k \right \vert \le \epsilon$ $m \ge n \ge N$일 때.

특히, $m = n$으로 잡으면, (6)은 다음과 같이 된다. $\vert a_n \vert \le \epsilon \quad (n \ge N).$ 다시 말해:

3.23 Theorem $\sum a_n$이 converge하면, $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$이다.

그러나 조건 $a_n \to 0$은 $\sum a_n$의 convergence를 보장하기에 충분하지 않다. 예를 들어, series $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ 는 diverge한다; 증명은 Theorem 3.28을 참조하라.

monotonic sequence에 관한 Theorem 3.14는 또한 series에 대한 즉각적인 대응물을 갖는다.

3.24 Theorem nonnegative^1 항들의 series가 converge할 필요충분조건은 그 partial sum들이 bounded sequence를 형성하는 것이다.

우리는 이제 다른 성질의 convergence test, 이른바 ‘comparison test’로 넘어간다.

3.25 Theorem (a) 어떤 고정된 정수 $N_0$에 대해 $n \ge N_0$일 때 $ \vert a_n \vert \le c_n$이고, $\sum c_n$이 converge하면, $\sum a_n$은 converge한다. (b) $n \ge N_0$에 대해 $a_n \ge d_n \ge 0$이고, $\sum d_n$이 diverge하면, $\sum a_n$은 diverge한다.

(b)는 nonnegative 항 $a_n$의 series에만 적용됨에 유의하라.

Proof $\epsilon > 0$이 주어지면, Cauchy criterion에 의해 $m \ge n \ge N$일 때 다음을 의미하는 $N \ge N_0$가 존재한다. $\sum_{k=n}^m c_k \le \epsilon,$ 따라서 $\left \vert \sum_{k=n}^m a_k \right \vert \le \sum_{k=n}^m \vert a_k \vert \le \sum_{k=n}^m c_k \le \epsilon,$ 이고 (a)가 도출된다.

다음으로, (b)는 (a)로부터 도출되는데, 왜냐하면 $\sum a_n$이 converge하면 $\sum d_n$도 그래야 하기 때문이다 [(b)는 Theorem 3.24로부터도 도출됨에 유의하라].

^1 ‘nonnegative’라는 표현은 항상 실수를 가리킨다.

comparison test는 매우 유용한 것이다; 이를 효율적으로 사용하기 위해, 우리는 convergence나 divergence가 알려진 여러 nonnegative 항의 series에 익숙해져야 한다.

SERIES OF NONNEGATIVE TERMS

모든 것 중 가장 단순한 것은 아마도 geometric series일 것이다.

3.26 Theorem $0 \le x < 1$이면, $\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1 - x}.$ $x \ge 1$이면, series는 diverge한다.

Proof $x \neq 1$이면, $s_n = \sum_{k=0}^n x^k = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}.$ $n \to \infty$로 보내면 결과가 도출된다. $x = 1$에 대해, 우리는 다음을 얻는다. $1 + 1 + 1 + \dots,$ 이는 명백히 diverge한다.

응용에서 발생하는 많은 경우에, series의 항들은 monotonically 감소한다. 따라서 다음의 Cauchy 정리는 특별한 흥미를 끈다. 이 정리의 놀라운 특징은 ${a_n}$의 다소 ‘얇은’ subsequence가 $\sum a_n$의 convergence 또는 divergence를 결정한다는 것이다.

3.27 Theorem $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \dots \ge 0$이라고 가정하자. 그러면 series $\sum_{n=1}^\infty a_n$이 converge할 필요충분조건은 다음 series가 converge하는 것이다. $(7) \quad \sum_{k=0}^\infty 2^k a_{2^k} = a_1 + 2a_2 + 4a_4 + 8a_8 + \dots$

Proof Theorem 3.24에 의해, partial sum의 boundedness를 고려하는 것으로 충분하다. 다음과 같이 두자. $s_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n,$ $t_k = a_1 + 2a_2 + \dots + 2^k a_{2^k}.$ $n < 2^k$에 대해, $s_n \le a_1 + (a_2 + a_3) + \dots + (a_{2^k} + \dots + a_{2^{k+1}-1})$ $\le a_1 + 2a_2 + \dots + 2^k a_{2^k}$ $= t_k,$ 따라서 $(8) \quad s_n \le t_k.$ 반면에, $n > 2^k$이면, $s_n \ge a_1 + a_2 + (a_3 + a_4) + \dots + (a_{2^{k-1}+1} + \dots + a_{2^k})$ $\ge \frac{1}{2} a_1 + a_2 + 2a_4 + \dots + 2^{k-1} a_{2^k}$ $= \frac{1}{2} t_k,$ 따라서 $(9) \quad 2s_n \ge t_k.$ (8)과 (9)에 의해, sequence ${s_n}$과 ${t_k}$는 둘 다 bounded이거나 둘 다 unbounded이다. 이것으로 증명이 완료된다.

3.28 Theorem $\sum \frac{1}{n^p}$는 $p > 1$이면 converge하고 $p \le 1$이면 diverge한다.

Proof $p \le 0$이면, divergence는 Theorem 3.23으로부터 도출된다. $p > 0$이면, Theorem 3.27이 적용 가능하며, 우리는 다음 series로 이끌린다. $\sum_{k=0}^\infty 2^k \cdot \frac{1}{2^{kp}} = \sum_{k=0}^\infty 2^{(1-p)k}.$ 이제, $2^{1-p} < 1$일 필요충분조건은 $1 - p < 0$이며, 결과는 geometric series와의 비교에 의해 도출된다 (Theorem 3.26에서 $x = 2^{1-p}$로 잡는다).

Theorem 3.27의 추가적인 응용으로서, 우리는 다음을 증명한다:

3.29 Theorem $p > 1$이면, $(10) \quad \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(\log n)^p}$ 는 converge한다; $p \le 1$이면, series는 diverge한다.

Remark ‘$\log n$’은 밑이 $e$인 $n$의 logarithm을 나타낸다 (Chap. 1의 Exercise 7 비교); 숫자 $e$는 잠시 후에 정의될 것이다 (Definition 3.30 참조). $\log 1 = 0$이므로, 우리는 series가 $n = 2$부터 시작하도록 한다.

Proof logarithmic function의 monotonicity (Chap. 8에서 더 자세히 논의될 것이다)는 ${\log n}$이 증가함을 의미한다. 따라서 ${1 / n \log n}$은 감소하며, 우리는 (10)에 Theorem 3.27을 적용할 수 있다; 이것은 우리를 다음 series로 이끈다. $(11) \quad \sum_{k=1}^\infty 2^k \cdot \frac{1}{2^k(\log 2^k)^p} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k \log 2)^p} = \frac{1}{(\log 2)^p} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^p},$ 그리고 Theorem 3.29는 Theorem 3.28로부터 도출된다.

이 절차는 명백히 계속될 수 있다. 예를 들어, $(12) \quad \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n \log n \log \log n}$ 는 diverge하는 반면, $(13) \quad \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n \log n (\log \log n)^2}$ 는 converge한다.

우리는 이제 series (12)의 항들이 (13)의 항들과 아주 조금 다르다는 것을 관찰할 수 있다. 그럼에도 불구하고, 하나는 diverge하고 다른 하나는 converge한다. 만약 우리가 Theorem 3.28에서 Theorem 3.29로, 그리고 이어서 (12)와 (13)으로 이끈 과정을 계속한다면, 우리는 그 항들이 (12)와 (13)의 항들보다 훨씬 덜 차이 나는 convergent series와 divergent series의 쌍을 얻게 된다. 따라서 적어도 monotonic coefficient를 가진 series에 관한 한, 한쪽에는 모든 convergent series가 있고 다른 쪽에는 모든 divergent series가 있는 일종의 극한 상황, 즉 ‘경계(boundary)’가 존재한다는 추측에 이르게 될 수 있다. 이 ‘경계’라는 개념은 물론 꽤 모호하다. 우리가 하고자 하는 요점은 이것이다: 우리가 이 개념을 아무리 정확하게 만들더라도, 그 추측은 거짓이다. Exercise 11(b)와 12(b)가 예시로 쓰일 수 있다.

우리는 convergence theory의 이 측면에 대해 더 깊이 들어가고 싶지 않으며, 독자에게 Knopp의 ‘Theory and Application of Infinite Series,’ Chap. IX, 특히 Sec. 41을 참조할 것을 권한다.

THE NUMBER $e$

3.30 Definition $e = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}$.

여기서 $n \ge 1$이면 $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n$이고, $0! = 1$이다.

다음이 성립하므로 $s_n = 1 + 1 + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdots n}$ $< 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}} < 3,$ series는 converge하며, 그 정의는 타당하다. 사실, 이 series는 매우 빠르게 converge하여 우리가 $e$를 매우 정확하게 계산할 수 있게 해준다.

$e$가 다른 limit 과정을 통해서도 정의될 수 있다는 점에 주목하는 것은 흥미롭다; 그 증명은 limit을 사용한 연산의 좋은 예시를 제공한다:

3.31 Theorem $\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$.

Proof 다음과 같이 두자. $s_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}, \quad t_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.$ 이항정리에 의해, $t_n = 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!} \left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right) + \dots$ $+ \frac{1}{n!} \left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{n-1}{n}\right).$ 따라서 $t_n \le s_n$이므로, $(14) \quad \limsup_{n\to\infty} t_n \le e,$ Theorem 3.19에 의해 성립한다. 다음으로, $n \ge m$이면, $t_n \ge 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) + \dots + \frac{1}{m!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{m-1}{n}\right).$ $m$을 고정하고 $n \to \infty$로 보내자. 우리는 다음을 얻는다. $\liminf_{n\to\infty} t_n \ge 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{m!},$ 따라서 $s_m \le \liminf_{n\to\infty} t_n.$ $m \to \infty$로 보내면, 우리는 마침내 다음을 얻는다. $(15) \quad e \le \liminf_{n\to\infty} t_n.$ 이 정리는 (14)와 (15)로부터 도출된다.

series $\sum \frac{1}{n!}$이 converge하는 속도는 다음과 같이 추정될 수 있다: $s_n$이 위와 같은 의미를 갖는다면, 우리는 다음을 얻는다. $e - s_n = \frac{1}{(n + 1)!} + \frac{1}{(n + 2)!} + \frac{1}{(n + 3)!} + \dots$ $< \frac{1}{(n + 1)!} \left\{ 1 + \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{(n + 1)^2} + \dots \right\} = \frac{1}{n!n}$ 따라서 $(16) \quad 0 < e - s_n < \frac{1}{n!n}.$ 따라서 예를 들어 $s_{10}$은 $10^{-7}$ 미만의 오차로 $e$를 근사한다. 부등식 (16)은 우리가 $e$의 무리수성(irrationality)을 매우 쉽게 증명할 수 있게 해주므로 이론적인 흥미도 있다.

3.32 Theorem $e$는 무리수이다.

Proof $e$가 유리수라고 가정하자. 그러면 $e = p/q$이고, 여기서 $p$와 $q$는 양의 정수이다. (16)에 의해, $(17) \quad 0 < q!(e - s_q) < \frac{1}{q}.$ 우리의 가정에 의해, $q!e$는 정수이다. 다음 식이 $q!s_q = q! \left( 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{q!} \right)$ 정수이므로, 우리는 $q!(e - s_q)$가 정수임을 알 수 있다.

$q \ge 1$이므로, (17)은 0과 1 사이의 정수가 존재함을 의미한다. 따라서 우리는 모순에 도달했다.

사실, $e$는 대수적 수(algebraic number)조차 아니다. 이에 대한 간단한 증명은 Bibliography에 인용된 Niven의 책 25페이지나 Herstein의 책 176페이지를 참조하라.

THE ROOT AND RATIO TESTS

3.33 Theorem (Root Test) $\sum a_n$이 주어졌을 때, $\alpha = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{ \vert a_n \vert }$으로 두자. 그러면

(a) $\alpha < 1$이면, $\sum a_n$은 converge한다; (b) $\alpha > 1$이면, $\sum a_n$은 diverge한다; (c) $\alpha = 1$이면, 이 test는 아무런 정보도 주지 않는다.

Proof $\alpha < 1$이면, $\alpha < \beta < 1$이 되도록 $\beta$를 선택할 수 있고, 다음을 만족하는 정수 $N$을 선택할 수 있다. $\sqrt[n]{ \vert a_n \vert } < \beta$ $n \ge N$에 대해 [Theorem 3.17(b)에 의해]. 즉, $n \ge N$은 다음을 의미한다. $\vert a_n \vert < \beta^n.$ $0 < \beta < 1$이므로, $\sum \beta^n$은 converge한다. 이제 $\sum a_n$의 convergence는 comparison test로부터 도출된다.

만약 $\alpha > 1$이면, 다시 Theorem 3.17에 의해, 다음을 만족하는 sequence ${n_k}$가 존재한다. $\sqrt[n_k]{ \vert a_{n_k} \vert } \to \alpha.$ 따라서 무한히 많은 $n$ 값에 대해 $ \vert a_n \vert > 1$이므로, $\sum a_n$의 convergence에 필요한 조건인 $a_n \to 0$이 성립하지 않는다 (Theorem 3.23).

(c)를 증명하기 위해, 우리는 다음 series를 고려한다. $\sum \frac{1}{n}, \quad \sum \frac{1}{n^2}.$ 이러한 각각의 series에 대해 $\alpha = 1$이지만, 첫 번째 것은 diverge하고 두 번째 것은 converge한다.

3.34 Theorem (Ratio Test) series $\sum a_n$은

(a) $\limsup_{n\to\infty} \left \vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right \vert < 1$이면 converge한다. (b) 어떤 고정된 정수 $n_0$에 대해 모든 $n \ge n_0$일 때 $\left \vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right \vert \ge 1$이면 diverge한다.

Proof 조건 (a)가 성립하면, 우리는 $\beta < 1$과 다음을 만족하는 정수 $N$을 찾을 수 있다. $\left \vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right \vert < \beta$ $n \ge N$에 대해. 특히, $\vert a_{N+1} \vert < \beta \vert a_N \vert ,$ $\vert a_{N+2} \vert < \beta \vert a_{N+1} \vert < \beta^2 \vert a_N \vert ,$ $\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ $\vert a_{N+p} \vert < \beta^p \vert a_N \vert .$ 즉, $\vert a_n \vert < \vert a_N \vert \beta^{-N} \cdot \beta^n$ $n \ge N$에 대해 성립하며, $\sum \beta^n$이 converge하므로 comparison test로부터 (a)가 도출된다.

$n \ge n_0$에 대해 $ \vert a_{n+1} \vert \ge \vert a_n \vert $이면, 조건 $a_n \to 0$이 성립하지 않음을 쉽게 알 수 있으며, (b)가 도출된다.

참고: $\lim a_{n+1}/a_n = 1$이라는 지식은 $\sum a_n$의 convergence에 대해 아무것도 의미하지 않는다. series $\sum 1/n$과 $\sum 1/n^2$이 이를 보여준다.

3.35 Examples (a) 다음 series를 고려하자. $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \dots,$ 이 series에 대해 $\liminf_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0,$ $\liminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[2n]{\frac{1}{3^n}} = \frac{1}{\sqrt{3}},$ $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[2n]{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{\sqrt{2}},$ $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2} \left(\frac{3}{2}\right)^n = +\infty.$ root test는 convergence를 나타낸다; ratio test는 적용되지 않는다.

(b) 다음 series에 대해서도 마찬가지이다. $\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{1}{32} + \frac{1}{16} + \frac{1}{128} + \frac{1}{64} + \dots,$ 여기서 $\liminf_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{8},$ $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2,$ 하지만 $\lim \sqrt[n]{a_n} = \frac{1}{2}.$

3.36 Remarks ratio test는 종종 root test보다 적용하기 쉬운데, 왜냐하면 일반적으로 $n$번째 root를 계산하는 것보다 ratio를 계산하는 것이 더 쉽기 때문이다. 그러나 root test가 더 넓은 범위를 갖는다. 더 정확히 말하자면: ratio test가 convergence를 보여줄 때마다 root test도 그러하다; root test가 결론을 내리지 못할 때마다 ratio test도 그러하다. 이것은 Theorem 3.37의 결과이며, 위의 예제들에 의해 설명된다.

두 test 모두 divergence와 관련하여 미묘하지 않다. 둘 다 $n \to \infty$일 때 $a_n$이 0으로 향하지 않는다는 사실로부터 divergence를 연역한다.

3.37 Theorem 양수들의 임의의 sequence ${c_n}$에 대해, $\liminf_{n\to\infty} \frac{c_{n+1}}{c_n} \le \liminf_{n\to\infty} \sqrt[n]{c_n},$ $(18) \quad \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{c_n} \le \limsup_{n\to\infty} \frac{c_{n+1}}{c_n}.$

Proof 우리는 두 번째 부등식을 증명할 것이다; 첫 번째 부등식의 증명은 아주 유사하다. 다음과 같이 두자. $\alpha = \limsup_{n\to\infty} \frac{c_{n+1}}{c_n}.$ $\alpha = +\infty$이면, 증명할 것이 없다. $\alpha$가 유한하면, $\beta > \alpha$를 선택하자. 다음을 만족하는 정수 $N$이 존재한다. $\frac{c_{n+1}}{c_n} \le \beta$ $n \ge N$에 대해. 특히, 임의의 $p > 0$에 대해, $c_{N+k+1} \le \beta c_{N+k} \quad (k = 0, 1, \dots, p - 1).$ 이 부등식들을 곱하면, 우리는 다음을 얻는다. $c_{N+p} \le \beta^p c_N,$ 또는 $c_n \le c_N \beta^{-N} \cdot \beta^n \quad (n \ge N).$ 따라서 $\sqrt[n]{c_n} \le \sqrt[n]{c_N \beta^{-N}} \cdot \beta,$ 따라서 $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{c_n} \le \beta,$ Theorem 3.20(b)에 의해 성립한다. (18)은 모든 $\beta > \alpha$에 대해 참이므로, 우리는 다음을 얻는다. $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{c_n} \le \alpha.$

POWER SERIES

3.38 Definition complex number의 sequence ${c_n}$이 주어졌을 때, series $(19) \quad \sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ 은 power series라고 불린다. 숫자 $c_n$은 series의 coefficient라고 불린다; $z$는 complex number이다.

일반적으로, series는 $z$의 선택에 따라 converge하거나 diverge할 것이다. 더 구체적으로, 모든 power series에는 circle of convergence라는 원이 연관되어 있어서, $z$가 원의 내부에 있으면 (19)가 converge하고 $z$가 외부에 있으면 diverge한다 (모든 경우를 다루기 위해, 우리는 평면을 무한한 반지름을 가진 원의 내부로, 점을 반지름이 0인 원으로 고려해야 한다). circle of convergence 위에서의 동작은 훨씬 더 다양하며 그렇게 간단하게 설명될 수 없다.

3.39 Theorem power series $\sum c_n z^n$이 주어졌을 때, 다음과 같이 두자. $\alpha = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{ \vert c_n \vert }, \quad R = \frac{1}{\alpha}.$ ($\alpha = 0$이면 $R = +\infty$; $\alpha = +\infty$이면 $R = 0$.) 그러면 $\sum c_n z^n$은 $ \vert z \vert < R$이면 converge하고, $ \vert z \vert > R$이면 diverge한다.

Proof $a_n = c_n z^n$으로 두고, root test를 적용하자: $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{ \vert a_n \vert } = \vert z \vert \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{ \vert c_n \vert } = \frac{ \vert z \vert }{R}.$

참고: $R$은 $\sum c_n z^n$의 radius of convergence라고 불린다.

3.40 Examples (a) series $\sum n^n z^n$은 $R = 0$을 갖는다. (b) series $\sum \frac{z^n}{n!}$은 $R = +\infty$를 갖는다. (이 경우 root test보다 ratio test를 적용하는 것이 더 쉽다.) (c) series $\sum z^n$은 $R = 1$을 갖는다. $ \vert z \vert = 1$이면, $n \to \infty$일 때 ${z^n}$이 0으로 향하지 않으므로 series는 diverge한다. (d) series $\sum \frac{z^n}{n}$은 $R = 1$을 갖는다. $z = 1$이면 diverge한다. $ \vert z \vert = 1$인 다른 모든 $z$에 대해서는 converge한다. (마지막 주장은 Theorem 3.44에서 증명될 것이다.) (e) series $\sum \frac{z^n}{n^2}$은 $R = 1$을 갖는다. $ \vert z^n/n^2 \vert = 1/n^2$이므로, comparison test에 의해 $ \vert z \vert = 1$인 모든 $z$에 대해 converge한다.

SUMMATION BY PARTS

3.41 Theorem 두 sequence ${a_n}, {b_n}$이 주어졌을 때, 다음과 같이 두자. $A_n = \sum_{k=0}^n a_k$ $n \ge 0$이면; $A_{-1} = 0$으로 둔다. 그러면, $0 \le p \le q$이면, 우리는 다음을 얻는다. $(20) \quad \sum_{n=p}^q a_n b_n = \sum_{n=p}^{q-1} A_n(b_n - b_{n+1}) + A_q b_q - A_{p-1} b_p.$

Proof $\sum_{n=p}^q a_n b_n = \sum_{n=p}^q (A_n - A_{n-1}) b_n = \sum_{n=p}^q A_n b_n - \sum_{n=p-1}^{q-1} A_n b_{n+1},$ 그리고 오른쪽의 마지막 표현식은 명백히 (20)의 우변과 같다.

이른바 ‘partial summation formula’인 공식 (20)은 $\sum a_n b_n$ 형태의 series를 조사할 때, 특히 ${b_n}$이 monotonic일 때 유용하다. 우리는 이제 응용을 제시할 것이다.

3.42 Theorem 다음과 같다고 가정하자.

(a) $\sum a_n$의 partial sum $A_n$이 bounded sequence를 형성한다; (b) $b_0 \ge b_1 \ge b_2 \ge \dots$; (c) $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$.

그러면 $\sum a_n b_n$은 converge한다.

Proof 모든 $n$에 대해 $ \vert A_n \vert \le M$이 되도록 $M$을 선택하자. $\epsilon > 0$이 주어지면, $b_N \le (\epsilon/2M)$이 되는 정수 $N$이 존재한다. $N \le p \le q$에 대해, 우리는 다음을 얻는다. $\left \vert \sum_{n=p}^q a_n b_n \right \vert = \left \vert \sum_{n=p}^{q-1} A_n(b_n - b_{n+1}) + A_q b_q - A_{p-1} b_p \right \vert$ $\le M \left \vert \sum_{n=p}^{q-1} (b_n - b_{n+1}) + b_q + b_p \right \vert$ $= 2M b_p \le 2M b_N \le \epsilon.$ 이제 convergence는 Cauchy criterion으로부터 도출된다. 우리는 위의 사슬에서 첫 번째 부등식이 물론 $b_n - b_{n+1} \ge 0$이라는 사실에 의존한다는 점에 유의한다.

3.43 Theorem 다음과 같다고 가정하자.

(a) $ \vert c_1 \vert \ge \vert c_2 \vert \ge \vert c_3 \vert \ge \dots$; (b) $c_{2m-1} \ge 0, c_{2m} \le 0 \quad (m = 1, 2, 3, \dots)$; (c) $\lim_{n\to\infty} c_n = 0$.

그러면 $\sum c_n$은 converge한다.

(b)가 성립하는 series는 ‘alternating series’라고 불린다; 이 정리는 Leibnitz에게 알려져 있었다.

Proof $a_n = (-1)^{n+1}, b_n = \vert c_n \vert $으로 두고 Theorem 3.42를 적용하라.

3.44 Theorem $\sum c_n z^n$의 radius of convergence가 1이라고 가정하고, $c_0 \ge c_1 \ge c_2 \ge \dots, \lim_{n\to\infty} c_n = 0$이라고 가정하자. 그러면 $\sum c_n z^n$은 아마도 $z = 1$을 제외하고는 원 $ \vert z \vert = 1$ 위의 모든 점에서 converge한다.

Proof $a_n = z^n, b_n = c_n$으로 두자. 그러면 Theorem 3.42의 가설들이 만족되는데, 왜냐하면 $\vert A_n \vert = \left \vert \sum_{m=0}^n z^m \right \vert = \left \vert \frac{1 - z^{n+1}}{1 - z} \right \vert \le \frac{2}{ \vert 1 - z \vert },$ $ \vert z \vert = 1, z \neq 1$일 때 성립하기 때문이다.

ABSOLUTE CONVERGENCE

series $\sum \vert a_n \vert $이 converge하면 series $\sum a_n$은 converge absolutely한다고 한다.

3.45 Theorem $\sum a_n$이 converge absolutely하면, $\sum a_n$은 converge한다.

Proof 이 주장은 다음 부등식 $\left \vert \sum_{k=n}^m a_k \right \vert \le \sum_{k=n}^m \vert a_k \vert ,$ 과 Cauchy criterion으로부터 도출된다.

3.46 Remarks 양수 항들의 series에 대해, absolute convergence는 convergence와 같다.

만약 $\sum a_n$이 converge하지만 $\sum \vert a_n \vert $이 diverge한다면, 우리는 $\sum a_n$이 converge nonabsolutely한다고 말한다. 예를 들어, series $\sum \frac{(-1)^n}{n}$ 는 converge nonabsolutely한다 (Theorem 3.43).

comparison test는 root test 및 ratio test와 마찬가지로 실제로는 absolute convergence에 대한 test이며, 따라서 nonabsolutely convergent series에 대해서는 어떠한 정보도 줄 수 없다. summation by parts는 때때로 후자를 다루는 데 사용될 수 있다. 특히, power series는 circle of convergence의 내부에서 converge absolutely한다.

우리는 absolutely convergent series를 유한합과 매우 유사하게 연산할 수 있음을 보게 될 것이다. 우리는 그것들을 항별로 곱할 수 있고, series의 sum에 영향을 주지 않고 덧셈이 수행되는 순서를 바꿀 수 있다. 그러나 nonabsolutely convergent series의 경우 이것은 더 이상 참이 아니며, 그것들을 다룰 때 더 많은 주의를 기울여야 한다.

ADDITION AND MULTIPLICATION OF SERIES

3.47 Theorem $\sum a_n = A$이고 $\sum b_n = B$이면, $\sum (a_n + b_n) = A + B$이고, 임의의 고정된 $c$에 대해 $\sum c a_n = c A$이다.

Proof 다음과 같이 두자. $A_n = \sum_{k=0}^n a_k, \quad B_n = \sum_{k=0}^n b_k.$ 그러면 $A_n + B_n = \sum_{k=0}^n (a_k + b_k).$ $\lim_{n\to\infty} A_n = A$이고 $\lim_{n\to\infty} B_n = B$이므로, 우리는 다음을 알 수 있다. $\lim_{n\to\infty} (A_n + B_n) = A + B.$ 두 번째 주장의 증명은 훨씬 더 간단하다.

따라서 두 convergent series는 항별로 더해질 수 있으며, 결과 series는 두 series의 sum으로 converge한다. 두 series의 곱셈을 고려할 때 상황은 더 복잡해진다. 우선, 우리는 곱을 정의해야 한다. 이것은 여러 가지 방법으로 수행될 수 있다; 우리는 이른바 ‘Cauchy product’를 고려할 것이다.

3.48 Definition $\sum a_n$과 $\sum b_n$이 주어졌을 때, 다음과 같이 두고 $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$ $\sum c_n$을 주어진 두 series의 product라고 부른다.

이 정의는 다음과 같이 동기가 부여될 수 있다. 만약 우리가 두 power series $\sum a_n z^n$과 $\sum b_n z^n$을 취하여 항별로 곱하고, $z$의 같은 거듭제곱을 포함하는 항들을 모으면, 우리는 다음을 얻는다. $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n \cdot \sum_{n=0}^\infty b_n z^n = (a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + \dots)(b_0 + b_1 z + b_2 z^2 + \dots)$ $= a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0)z + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0)z^2 + \dots$ $= c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + \dots.$ $z = 1$로 설정하면, 우리는 위의 정의에 도달한다.

3.49 Example 만약 $A_n = \sum_{k=0}^n a_k, \quad B_n = \sum_{k=0}^n b_k, \quad C_n = \sum_{k=0}^n c_k,$ 이고 $A_n \to A, B_n \to B$이면, ${C_n}$이 $AB$로 converge할지는 전혀 명확하지 않은데, 왜냐하면 우리가 $C_n = A_n B_n$을 갖지 않기 때문이다. ${C_n}$이 ${A_n}$과 ${B_n}$에 의존하는 방식은 꽤 복잡하다 (Theorem 3.50의 증명 참조). 우리는 이제 두 convergent series의 product가 실제로 diverge할 수 있음을 보여줄 것이다.

series $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n + 1}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{4}} + \dots$ 는 converge한다 (Theorem 3.43). 우리는 이 series와 그 자신과의 product를 형성하여 다음을 얻는다. $\sum_{n=0}^\infty c_n = 1 - \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \left( \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ $- \left( \frac{1}{\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{4}} \right) + \dots,$ 따라서 $c_n = (-1)^n \sum_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{(n - k + 1)(k + 1)}}.$ 다음이 성립하므로 $(n - k + 1)(k + 1) = \left( \frac{n}{2} + 1 \right)^2 - \left( \frac{n}{2} - k \right)^2 \le \left( \frac{n}{2} + 1 \right)^2,$ 우리는 다음을 얻는다. $\vert c_n \vert \ge \sum_{k=0}^n \frac{2}{n + 2} = \frac{2(n + 1)}{n + 2},$ 따라서 $\sum c_n$의 convergence에 필요한 조건인 $c_n \to 0$이 만족되지 않는다.

Mertens에 의한 다음 정리에 비추어 볼 때, 우리는 여기서 두 nonabsolutely convergent series의 product를 고려했음에 유의한다.

3.50 Theorem 다음과 같다고 가정하자.

(a) $\sum_{n=0}^\infty a_n$이 converge absolutely한다, (b) $\sum_{n=0}^\infty a_n = A$, (c) $\sum_{n=0}^\infty b_n = B$, (d) $c_n = \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$.

그러면 $\sum_{n=0}^\infty c_n = AB.$ 즉, 두 convergent series의 product는 두 series 중 적어도 하나가 converge absolutely하면 converge하며, 올바른 값으로 수렴한다.

Proof 다음과 같이 두자. $A_n = \sum_{k=0}^n a_k, \quad B_n = \sum_{k=0}^n b_k, \quad C_n = \sum_{k=0}^n c_k, \quad \beta_n = B_n - B.$ 그러면 $C_n = a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) + \dots + (a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \dots + a_n b_0)$ $= a_0 B_n + a_1 B_{n-1} + \dots + a_n B_0$ $= a_0(B + \beta_n) + a_1(B + \beta_{n-1}) + \dots + a_n(B + \beta_0)$ $= A_n B + a_0 \beta_n + a_1 \beta_{n-1} + \dots + a_n \beta_0$ 다음과 같이 두자. $\gamma_n = a_0 \beta_n + a_1 \beta_{n-1} + \dots + a_n \beta_0.$ 우리는 $C_n \to AB$임을 보여주고자 한다. $A_n B \to AB$이므로, 다음을 보여주는 것으로 충분하다. $(21) \quad \lim_{n\to\infty} \gamma_n = 0.$ 다음과 같이 두자. $\alpha = \sum_{n=0}^\infty \vert a_n \vert .$ [우리가 (a)를 사용하는 곳이 바로 여기이다.] $\epsilon > 0$이 주어졌다고 하자. (c)에 의해, $\beta_n \to 0$이다. 따라서 우리는 $n \ge N$에 대해 $ \vert \beta_n \vert \le \epsilon$이 되도록 $N$을 선택할 수 있으며, 이 경우 $\vert \gamma_n \vert \le \vert \beta_0 a_n + \dots + \beta_N a_{n-N} \vert + \vert \beta_{N+1} a_{n-N-1} + \dots + \beta_n a_0 \vert$ $\le \vert \beta_0 a_n + \dots + \beta_N a_{n-N} \vert + \epsilon \alpha.$ $N$을 고정하고 $n \to \infty$로 보내면, 우리는 다음을 얻는다. $\limsup_{n\to\infty} \vert \gamma_n \vert \le \epsilon \alpha,$ $k \to \infty$일 때 $a_k \to 0$이기 때문이다. $\epsilon$은 임의적이므로, (21)이 도출된다.

질문될 수 있는 또 다른 문제는 series $\sum c_n$이 convergent일 경우 반드시 sum $AB$를 가져야 하는지 여부이다. Abel은 그 대답이 긍정적임을 보여주었다.

3.51 Theorem series $\sum a_n, \sum b_n, \sum c_n$이 $A, B, C$로 converge하고 $c_n = a_0 b_n + \dots + a_n b_0$이면, $C = AB$이다.

여기서는 absolute convergence에 관한 어떠한 가정도 하지 않는다. 우리는 Theorem 8.2 이후에 (power series의 continuity에 의존하는) 간단한 증명을 제시할 것이다.

REARRANGEMENTS

3.52 Definition ${k_n}, n = 1, 2, 3, \dots$를 모든 양의 정수가 정확히 한 번씩 나타나는 sequence라고 하자 (즉, ${k_n}$은 Definition 2.2의 표기법에서 $J$에서 $J$로의 1-1 function이다). 다음과 같이 두면 $a'_n = a_{k_n} \quad (n = 1, 2, 3, \dots),$ 우리는 $\sum a’_n$이 $\sum a_n$의 rearrangement라고 말한다.

만약 ${s_n}, {s’_n}$이 $\sum a_n, \sum a’_n$의 partial sum들의 sequence라면, 일반적으로 이 두 sequence는 완전히 다른 숫자들로 구성됨을 쉽게 알 수 있다. 따라서 우리는 convergent series의 모든 rearrangement가 어떤 조건 하에서 converge할 것인지, 그리고 그 sum들이 반드시 같은지 결정하는 문제로 이끌린다.

3.53 Example 다음 convergent series를 고려하자. $(22) \quad 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \dots$ 그리고 그것의 rearrangement 중 하나인 $(23) \quad 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11} - \frac{1}{6} + \dots$ 에서는 항상 두 개의 양수 항 뒤에 하나의 음수 항이 온다. 만약 $s$가 (22)의 sum이라면, 그러면 $s < 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}.$ 다음이 성립하므로 $\frac{1}{4k - 3} + \frac{1}{4k - 1} - \frac{1}{2k} > 0$ $k \ge 1$에 대해, 우리는 $s’_3 < s’_6 < s’_9 < \dots$임을 알 수 있으며, 여기서 $s’_n$은 (23)의 $n$번째 partial sum이다. 따라서 $\limsup_{n\to\infty} s'_n > s'_3 = \frac{5}{6},$ 따라서 (23)은 확실히 $s$로 converge하지 않는다 [그러나 (23)이 converge한다는 것을 확인하는 것은 독자에게 맡긴다].

이 예제는 Riemann에 의한 다음 정리를 설명한다.

3.54 Theorem $\sum a_n$을 converge하지만 converge absolutely하지는 않는 실수들의 series라고 하자. 다음과 같다고 가정하자. $-\infty \le \alpha \le \beta \le \infty.$ 그러면 다음을 만족하는 partial sum $s’_n$을 가진 rearrangement $\sum a’_n$이 존재한다. $(24) \quad \liminf_{n\to\infty} s'_n = \alpha, \quad \limsup_{n\to\infty} s'_n = \beta.$

Proof 다음과 같이 두자. $p_n = \frac{ \vert a_n \vert + a_n}{2}, \quad q_n = \frac{ \vert a_n \vert - a_n}{2} \quad (n = 1, 2, 3, \dots).$ 그러면 $p_n - q_n = a_n, p_n + q_n = \vert a_n \vert , p_n \ge 0, q_n \ge 0$이다. series $\sum p_n, \sum q_n$은 둘 다 diverge해야 한다.

만약 둘 다 convergent라면, 그러면 $\sum (p_n + q_n) = \sum \vert a_n \vert$ 이 converge할 것이며, 이는 가설에 모순된다. 다음이 성립하므로 $\sum_{n=1}^N a_n = \sum_{n=1}^N (p_n - q_n) = \sum_{n=1}^N p_n - \sum_{n=1}^N q_n,$ $\sum p_n$의 divergence와 $\sum q_n$의 convergence (또는 그 반대)는 $\sum a_n$의 divergence를 의미하며, 이 역시 가설에 모순된다.

이제 $P_1, P_2, P_3, \dots$를 $\sum a_n$의 nonnegative 항들이 나타나는 순서대로 나타낸다고 하고, $Q_1, Q_2, Q_3, \dots$를 $\sum a_n$의 음수 항들의 절댓값들이 역시 원래 순서대로 나타난 것이라고 하자.

series $\sum P_n, \sum Q_n$은 $\sum p_n, \sum q_n$과 0인 항들에서만 다르며, 따라서 divergent이다.

우리는 다음 series가 $(25) \quad P_1 + \dots + P_{m_1} - Q_1 - \dots - Q_{k_1} + P_{m_1+1} + \dots$ $+ P_{m_2} - Q_{k_1+1} - \dots - Q_{k_2} + \dots,$ 명백히 $\sum a_n$의 rearrangement이며, (24)를 만족하도록 sequence ${m_n}, {k_n}$을 구성할 것이다.

$\alpha_n \to \alpha, \beta_n \to \beta, \alpha_n < \beta_n, \beta_1 > 0$을 만족하는 실숫값 sequence ${\alpha_n}, {\beta_n}$을 선택하자.

$m_1, k_1$을 다음을 만족하는 가장 작은 정수라고 하자. $P_1 + \dots + P_{m_1} > \beta_1,$ $P_1 + \dots + P_{m_1} - Q_1 - \dots - Q_{k_1} < \alpha_1;$ $m_2, k_2$를 다음을 만족하는 가장 작은 정수라고 하자. $P_1 + \dots + P_{m_1} - Q_1 - \dots - Q_{k_1} + P_{m_1+1} + \dots + P_{m_2} > \beta_2,$ $P_1 + \dots + P_{m_1} - Q_1 - \dots - Q_{k_1} + P_{m_1+1} + \dots + P_{m_2} - Q_{k_1+1}$ $- \dots - Q_{k_2} < \alpha_2;$ 그리고 이런 식으로 계속한다. $\sum P_n$과 $\sum Q_n$이 diverge하므로 이것은 가능하다.

만약 $x_n, y_n$이 마지막 항이 $P_{m_n}, -Q_{k_n}$인 (25)의 partial sum을 나타낸다면, 그러면 $\vert x_n - \beta_n \vert \le P_{m_n}, \quad \vert y_n - \alpha_n \vert \le Q_{k_n}.$ $n \to \infty$일 때 $P_n \to 0$이고 $Q_n \to 0$이므로, 우리는 $x_n \to \beta, y_n \to \alpha$임을 알 수 있다.

마지막으로, $\alpha$보다 작거나 $\beta$보다 큰 어떤 숫자도 (25)의 partial sum들의 subsequential limit이 될 수 없음이 분명하다.

3.55 Theorem $\sum a_n$이 converge absolutely하는 complex number들의 series이면, $\sum a_n$의 모든 rearrangement는 converge하며, 그것들은 모두 같은 sum으로 converge한다.

Proof $\sum a’_n$을 partial sum $s’_n$을 가진 rearrangement라고 하자. $\epsilon > 0$이 주어지면, $m \ge n \ge N$일 때 다음을 의미하는 정수 $N$이 존재한다. $(26) \quad \sum_{i=n}^m \vert a_i \vert \le \epsilon.$ 이제 정수 $1, 2, \dots, N$이 모두 집합 $k_1, k_2, \dots, k_p$에 포함되도록 $p$를 선택하자 (우리는 Definition 3.52의 표기법을 사용한다). 그러면 $n > p$이면, 숫자 $a_1, \dots, a_N$은 차이 $s_n - s’_n$에서 상쇄될 것이므로, (26)에 의해 $ \vert s_n - s’_n \vert \le \epsilon$이다. 따라서 ${s’_n}$은 ${s_n}$과 같은 sum으로 converge한다.

EXERCISES

1. ${s_n}$의 convergence가 ${ \vert s_n \vert }$의 convergence를 의미함을 증명하라. 그 역도 참인가?

2. $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2 + n} - n)$을 계산하라.

3. $s_1 = \sqrt{2}$이고, $s_{n+1} = \sqrt{2 + \sqrt{s_n}} \quad (n = 1, 2, 3, \dots),$ 이면, ${s_n}$이 converge하고, $n = 1, 2, 3, \dots$에 대해 $s_n < 2$임을 증명하라.

4. 다음과 같이 정의된 sequence ${s_n}$의 upper limit과 lower limit을 구하라. $s_1 = 0; \quad s_{2m} = \frac{s_{2m-1}}{2}; \quad s_{2m+1} = \frac{1}{2} + s_{2m}.$

5. 임의의 두 실수 sequence ${a_n}, {b_n}$에 대해, 다음을 증명하라. $\limsup_{n\to\infty} (a_n + b_n) \le \limsup_{n\to\infty} a_n + \limsup_{n\to\infty} b_n,$ 단, 오른쪽의 합이 $\infty - \infty$ 형태가 아니어야 한다.

6. 다음과 같은 경우 $\sum a_n$의 동작(convergence 또는 divergence)을 조사하라. (a) $a_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$; (b) $a_n = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{n}$; (c) $a_n = (\sqrt[n]{n} - 1)^n$; (d) $a_n = \frac{1}{1 + z^n}$, complex value $z$에 대해.

7. $\sum a_n$의 convergence가 다음의 convergence를 의미함을 증명하라. $\sum \frac{\sqrt{a_n}}{n},$ 단, $a_n \ge 0$이다.

8. $\sum a_n$이 converge하고, ${b_n}$이 monotonic이고 bounded이면, $\sum a_n b_n$이 converge함을 증명하라.

9. 다음 각각의 power series의 radius of convergence를 구하라: (a) $\sum n^3 z^n$, (b) $\sum \frac{2^n}{n!} z^n$, (c) $\sum \frac{2^n}{n^2} z^n$, (d) $\sum \frac{n^3}{3^n} z^n$.

10. power series $\sum a_n z^n$의 coefficient들이 정수이고, 그 중 무한히 많은 것이 0과 다르다고 가정하자. radius of convergence가 최대 1임을 증명하라.

11. $a_n > 0, s_n = a_1 + \dots + a_n$이고, $\sum a_n$이 diverge한다고 가정하자. (a) $\sum \frac{a_n}{1 + a_n}$이 diverge함을 증명하라. (b) 다음을 증명하고 $\frac{a_{n+1}}{s_{n+1}} + \dots + \frac{a_{n+k}}{s_{n+k}} \ge 1 - \frac{s_n}{s_{n+k}}$ $\sum \frac{a_n}{s_n}$이 diverge함을 연역하라. (c) 다음을 증명하고 $\frac{a_n}{s_n^2} \le \frac{1}{s_{n-1}} - \frac{1}{s_n}$ $\sum \frac{a_n}{s_n^2}$이 converge함을 연역하라. (d) 다음에 대해 무엇을 말할 수 있는가? $\sum \frac{a_n}{1 + n a_n} \quad \text{and} \quad \sum \frac{a_n}{1 + n^2 a_n}?$

12. $a_n > 0$이고 $\sum a_n$이 converge한다고 가정하자. 다음과 같이 두자. $r_n = \sum_{m=n}^\infty a_m.$ (a) $m < n$이면 다음을 증명하고 $\frac{a_m}{r_m} + \dots + \frac{a_n}{r_n} > 1 - \frac{r_n}{r_m}$ $\sum \frac{a_n}{r_n}$이 diverge함을 연역하라. (b) 다음을 증명하고 $\frac{a_n}{\sqrt{r_n}} < 2(\sqrt{r_n} - \sqrt{r_{n+1}})$ $\sum \frac{a_n}{\sqrt{r_n}}$이 converge함을 연역하라.

13. 두 absolutely convergent series의 Cauchy product가 converge absolutely함을 증명하라.

14. ${s_n}$이 complex sequence이면, 그것의 arithmetic mean $\sigma_n$을 다음과 같이 정의하자. $\sigma_n = \frac{s_0 + s_1 + \dots + s_n}{n + 1} \quad (n = 0, 1, 2, \dots).$ (a) $\lim s_n = s$이면, $\lim \sigma_n = s$임을 증명하라. (b) $\lim \sigma_n = 0$임에도 불구하고 converge하지 않는 sequence ${s_n}$을 구성하라. (c) $\lim \sigma_n = 0$임에도 불구하고 모든 $n$에 대해 $s_n > 0$이고 $\limsup s_n = \infty$인 일이 발생할 수 있는가? (d) $n \ge 1$에 대해 $a_n = s_n - s_{n-1}$로 두자. 다음을 보여라. $s_n - \sigma_n = \frac{1}{n + 1} \sum_{k=1}^n k a_k.$ $\lim (n a_n) = 0$이고 ${\sigma_n}$이 converge한다고 가정하자. ${s_n}$이 converge함을 증명하라. [이것은 (a)의 역을 제공하지만, $n a_n \to 0$이라는 추가적인 가정 하에서이다.] (e) 더 약한 가설로부터 마지막 결론을 도출하라: $M < \infty$이고 모든 $n$에 대해 $ \vert n a_n \vert \le M$이며, $\lim \sigma_n = \sigma$라고 가정하자. 다음 개요를 완성하여 $\lim s_n = \sigma$임을 증명하라: $m < n$이면, 그러면 $s_n - \sigma_n = \frac{m + 1}{n - m} (\sigma_n - \sigma_m) + \frac{1}{n - m} \sum_{i=m+1}^n (s_n - s_i).$ 이러한 $i$에 대해, $\vert s_n - s_i \vert \le \frac{(n - i)M}{i + 1} \le \frac{(n - m - 1)M}{m + 2}.$ $\epsilon > 0$을 고정하고 각 $n$에 대해 다음을 만족하는 정수 $m$을 연관시키자. $m \le \frac{n - \epsilon}{1 + \epsilon} < m + 1.$ 그러면 $(m + 1)/(n - m) \le 1/\epsilon$이고 $ \vert s_n - s_i \vert < M\epsilon$이다. 따라서 $\limsup_{n\to\infty} \vert s_n - \sigma \vert \le M\epsilon.$ $\epsilon$은 임의적이므로, $\lim s_n = \sigma$이다.

15. Definition 3.21은 $a_n$이 어떤 고정된 $R^k$에 놓이는 경우로 확장될 수 있다. absolute convergence는 $\sum \vert a_n \vert $의 convergence로 정의된다. Theorem 3.22, 3.23, 3.25(a), 3.33, 3.34, 3.42, 3.45, 3.47, 3.55가 이 더 일반적인 설정에서 참임을 보여라. (어느 증명에서든 약간의 수정만 필요하다.)

16. 양수 $\alpha$를 고정하자. $x_1 > \sqrt{\alpha}$를 선택하고, 다음 재귀 공식(recursion formula)에 의해 $x_2, x_3, x_4, \dots$를 정의하자. $x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{\alpha}{x_n} \right).$ (a) ${x_n}$이 monotonically 감소하고 $\lim x_n = \sqrt{\alpha}$임을 증명하라. (b) $\epsilon_n = x_n - \sqrt{\alpha}$로 두고, 다음을 보여라. $\epsilon_{n+1} = \frac{\epsilon_n^2}{2x_n} < \frac{\epsilon_n^2}{2\sqrt{\alpha}}$ 따라서, $\beta = 2\sqrt{\alpha}$로 설정하면, $\epsilon_{n+1} < \beta \left( \frac{\epsilon_1}{\beta} \right)^{2^n} \quad (n = 1, 2, 3, \dots).$ (c) 이것은 제곱근을 계산하기 위한 좋은 알고리즘인데, 왜냐하면 재귀 공식이 간단하고 convergence가 극도로 빠르기 때문이다. 예를 들어, $\alpha = 3$이고 $x_1 = 2$이면, $\epsilon_1/\beta < \frac{1}{10}$이고 따라서 다음이 성립함을 보여라. $\epsilon_5 < 4 \cdot 10^{-16}, \quad \epsilon_6 < 4 \cdot 10^{-32}.$

17. $\alpha > 1$을 고정하자. $x_1 > \sqrt{\alpha}$를 취하고, 다음과 같이 정의하자. $x_{n+1} = \frac{\alpha + x_n}{1 + x_n} = x_n + \frac{\alpha - x_n^2}{1 + x_n}.$ (a) $x_1 > x_3 > x_5 > \dots$임을 증명하라. (b) $x_2 < x_4 < x_6 < \dots$임을 증명하라. (c) $\lim x_n = \sqrt{\alpha}$임을 증명하라. (d) 이 과정의 convergence 속도를 Exercise 16에 설명된 것과 비교하라.

18. Exercise 16의 재귀 공식을 다음으로 대체하고 $x_{n+1} = \frac{p - 1}{p} x_n + \frac{\alpha}{p} x_n^{-p+1}$ 여기서 $p$는 고정된 양의 정수이며, 결과 sequence ${x_n}$의 동작을 설명하라.

19. $\alpha_n$이 0 또는 2인 각 sequence $a = {\alpha_n}$에 실수 $x(a) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\alpha_n}{3^n}.$ 을 연관시키자. 모든 $x(a)$의 집합이 정확히 Sec. 2.44에 설명된 Cantor set임을 증명하라.

20. ${p_n}$이 metric space $X$의 Cauchy sequence이고, 어떤 subsequence ${p_{n_i}}$가 점 $p \in X$로 converge한다고 가정하자. 전체 sequence ${p_n}$이 $p$로 converge함을 증명하라.

21. Theorem 3.10(b)의 다음 유사물을 증명하라: ${E_n}$이 complete metric space $X$에서 closed nonempty이고 bounded인 집합들의 sequence이고, $E_n \supset E_{n+1}$이며, 만약 $\lim_{n\to\infty} \text{diam } E_n = 0,$ 이면, $\bigcap_{1}^\infty E_n$은 정확히 하나의 점으로 구성된다.

22. $X$가 nonempty complete metric space이고, ${G_n}$이 $X$의 dense open subset들의 sequence라고 가정하자. Baire’s theorem, 즉 $\bigcap_1^\infty G_n$이 비어 있지 않음을 증명하라. (사실, 그것은 $X$에서 dense이다.) Hint: $\bar{E}_n \subset G_n$이 되도록 축소되는 neighborhood들의 sequence $E_n$을 찾고, Exercise 21을 적용하라.

23. ${p_n}$과 ${q_n}$이 metric space $X$의 Cauchy sequence라고 가정하자. sequence ${d(p_n, q_n)}$이 converge함을 보여라. Hint: 임의의 $m, n$에 대해, $d(p_n, q_n) \le d(p_n, p_m) + d(p_m, q_m) + d(q_m, q_n);$ 다음이 도출된다. $\vert d(p_n, q_n) - d(p_m, q_m) \vert$ 은 $m$과 $n$이 크면 작다.

24. $X$를 metric space라고 하자. (a) $X$의 두 Cauchy sequence ${p_n}$, ${q_n}$이 다음을 만족하면 equivalent라고 부르자. $\lim_{n\to\infty} d(p_n, q_n) = 0.$ 이것이 equivalence relation임을 증명하라. (b) $X^*$를 이렇게 얻은 모든 equivalence class의 집합이라고 하자. $P \in X^*, Q \in X^*, {p_n} \in P, {q_n} \in Q$이면, 다음과 같이 정의하자. $\Delta(P, Q) = \lim_{n\to\infty} d(p_n, q_n);$ Exercise 23에 의해, 이 limit은 존재한다. ${p_n}$과 ${q_n}$이 equivalent sequence로 대체되더라도 숫자 $\Delta(P, Q)$는 변하지 않으며, 따라서 $\Delta$가 $X^*$에서의 distance function임을 보여라. (c) 결과적인 metric space $X^*$가 complete임을 증명하라. (d) 각 $p \in X$에 대해, 모든 항이 $p$인 Cauchy sequence가 존재한다; $P_p$를 이 sequence를 포함하는 $X^*$의 원소라고 하자. 다음을 증명하라. $\Delta(P_p, P_q) = d(p, q)$ 모든 $p, q \in X$에 대해. 다시 말해, $\varphi(p) = P_p$로 정의된 mapping $\varphi$는 $X$에서 $X^*$로의 isometry (즉, distance-preserving mapping)이다. (e) $\varphi(X)$가 $X^*$에서 dense이고, $X$가 complete이면 $\varphi(X) = X^*$임을 증명하라. (d)에 의해, 우리는 $X$와 $\varphi(X)$를 동일시할 수 있으며 따라서 $X$가 complete metric space $X^*$에 내장된(embedded) 것으로 간주할 수 있다. 우리는 $X^*$를 $X$의 completion이라고 부른다.

25. $X$를 점들이 유리수이고 metric이 $d(x, y) = \vert x - y \vert $인 metric space라고 하자. 이 공간의 completion은 무엇인가? (Exercise 24 비교.)

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