01 Convergent Sequences
📘 Chapter 3 — Convergent Sequences 통합 강의
📍 1. 전체 구조 (Big Picture)
이 절의 흐름은 다음과 같다.
- 먼저 metric space에서 수열이 수렴한다는 정의를 세운다.
- 그 다음, 수렴의 가장 기본 성질인 근방 판정, 극한의 유일성, boundedness를 증명한다.
- 이어서 complex sequence와 vector-valued sequence에 대해, 수렴이 합·곱·스칼라배·좌표별 수렴과 어떻게 연결되는지 정리한다.
이 절을 제대로 이해하면 이후 장들에서 계속 쓰이는 다음 감각이 생긴다.
- “수렴”은 결국 거리가 0으로 가는 것이다.
- 극한 계산은 complex number와 Euclidean vector에서는 대수적으로 밀고 갈 수 있다.
- 나중의 함수의 극한, 연속성, 급수, power series의 대부분은 이 절의 논리를 재활용한다.
🔵 2. 원문 기반 정리 (완전 반영)
▪ Definition 3.1 — Convergent sequence
metric space $X$의 sequence ${p_n}$가 어떤 점 $p\in X$에 대해 다음 성질을 가지면 ${p_n}$는 converge한다고 한다.
모든 $\varepsilon>0$에 대해, $n\ge N$이면 \(d(p_n,p)<\varepsilon\) 가 되게 하는 정수 $N$이 존재한다.
이 경우 \(p_n\to p, \qquad \lim_{n\to\infty}p_n=p\) 라고 쓴다.
수렴하지 않으면 diverge한다고 한다.
▪ Remark / Example
- 이 정의는 수열뿐 아니라 어느 공간에서 보느냐에도 의존한다.
- 예를 들어 ${1/n}$은 $\mathbb R^1$에서는 0으로 수렴하지만, 양의 유리수만 모은 공간에서는 그 limit이 공간 안에 없으므로 수렴하지 않는다.
- sequence의 range는 항들의 집합이다.
- range가 bounded이면 sequence도 bounded라고 한다.
예시:
- $s_n=1/n$: 수렴, bounded, range는 무한.
- $s_n=n^2$: diverge, unbounded.
- $s_n=1+(-1)^n/n$: 1로 수렴.
- $s_n=i^n$: bounded지만 diverge.
- $s_n=1$: 상수수열이므로 1로 수렴.
▪ Theorem 3.2
${p_n}$을 metric space $X$의 sequence라고 하자.
- ${p_n}$이 $p\in X$로 수렴할 필요충분조건은, $p$의 모든 neighborhood가 유한 개의 항을 제외한 모든 $p_n$을 포함하는 것이다.
- 만약 ${p_n}$이 $p$와 $p’$ 둘 다로 수렴하면 $p=p’$이다.
- 수렴하는 sequence는 bounded이다.
- $E\subset X$이고 $p$가 $E$의 limit point이면, $E$ 안의 어떤 sequence ${p_n}$가 존재하여 $p_n\to p$가 된다.
▪ Proof
(1) 먼저 $p_n\to p$라고 하자. $V$를 $p$의 neighborhood라고 하자. 어떤 $\varepsilon>0$가 있어서 \(d(q,p)<\varepsilon \implies q\in V\) 가 된다. 수렴의 정의에 의해 $n\ge N$이면 $d(p_n,p)<\varepsilon$가 되는 $N$이 있으므로, 결국 $n\ge N$이면 $p_n\in V$이다.
이제 역을 보자. $p$의 모든 neighborhood가 유한 개를 제외한 모든 $p_n$을 포함한다고 하자. 임의의 $\varepsilon>0$에 대해 \(V=\{q\in X:d(q,p)<\varepsilon\}\) 를 잡으면, 가정에 의해 어떤 $N$ 이후로는 $p_n\in V$이다. 즉 $n\ge N$이면 $d(p_n,p)<\varepsilon$. 따라서 $p_n\to p$.
(2) $\varepsilon>0$를 택하자. 수렴 가정에 의해 \(n\ge N \implies d(p_n,p)<\varepsilon/2, \qquad n\ge N' \implies d(p_n,p')<\varepsilon/2\) 가 되는 $N,N’$가 있다. 그러면 $n\ge \max(N,N’)$일 때 \(d(p,p')\le d(p,p_n)+d(p_n,p')<\varepsilon.\) $\varepsilon$가 임의이므로 $d(p,p’)=0$, 따라서 $p=p’$.
(3) $p_n\to p$라 하자. 어떤 $N$ 이후에는 $d(p_n,p)<1$이다. 이제 \(r=\max\{1,d(p_1,p),\dots,d(p_N,p)\}\) 로 두면 모든 $n$에 대해 $d(p_n,p)\le r$. 따라서 bounded.
(4) $p$가 $E$의 limit point이면, 각 양의 정수 $n$에 대해 \(d(p_n,p)<1/n\) 을 만족하는 $p_n\in E$를 고를 수 있다. 그러면 $\varepsilon>0$에 대해 $1/N<\varepsilon$가 되는 $N$ 이후에는 \(d(p_n,p)<1/n<\varepsilon.\) 따라서 $p_n\to p$.
▪ Theorem 3.3
${s_n},{t_n}$이 complex sequence이고 \(s_n\to s, \qquad t_n\to t\) 라 하자. 그러면
- $s_n+t_n\to s+t$
- 임의의 상수 $c$에 대해 $cs_n\to cs$, 또 $c+s_n\to c+s$
- $s_nt_n\to st$
- 모든 $n$에 대해 $s_n\ne0$이고 $s\ne0$이면 \(\frac1{s_n}\to \frac1s\)
▪ Proof
(1) $\varepsilon>0$에 대해 충분히 큰 $n$이면 \(|s_n-s|<\varepsilon/2, \qquad |t_n-t|<\varepsilon/2.\) 그러면 \(|(s_n+t_n)-(s+t)| \le |s_n-s|+|t_n-t|<\varepsilon.\)
(2) 스칼라배와 상수 더하기는 위 부등식과 절댓값 성질로 바로 따라온다.
(3) 항등식 \(s_nt_n-st=(s_n-s)(t_n-t)+s(t_n-t)+t(s_n-s)\) 를 쓴다. 첫 항은 두 작은 양의 곱이라 0으로 가고, 나머지 둘도 각각 0으로 간다. 따라서 전체가 0으로 간다.
(4) 먼저 충분히 큰 $n$에 대해 $|s_n-s|<|s|/2$가 되게 하면 \(|s_n|>|s|/2\) 이다. 이제 \(\left|\frac1{s_n}-\frac1s\right| =\left|\frac{s-s_n}{ss_n}\right| \le \frac{2}{|s|^2}|s_n-s|.\) 우변이 0으로 가므로 결론이 따른다.
▪ Theorem 3.4
$\mathbf x_n\in\mathbb R^k$이고 \(\mathbf x_n=(\alpha_{1,n},\dots,\alpha_{k,n})\) 라 하자.
- $\mathbf x_n\to \mathbf x=(\alpha_1,\dots,\alpha_k)$일 필요충분조건은 모든 $j$에 대해 \(\alpha_{j,n}\to \alpha_j\) 가 성립하는 것이다.
- 만약 $\mathbf x_n\to\mathbf x$, $\mathbf y_n\to\mathbf y$, $\beta_n\to\beta$이면 \(\mathbf x_n+\mathbf y_n\to \mathbf x+\mathbf y, \quad \mathbf x_n\cdot \mathbf y_n\to \mathbf x\cdot\mathbf y, \quad \beta_n\mathbf x_n\to \beta\mathbf x.\)
▪ Proof
(1) 만약 $\mathbf x_n\to\mathbf x$이면 \(|\alpha_{j,n}-\alpha_j|\le |\mathbf x_n-\mathbf x|\) 이므로 각 좌표가 수렴한다.
반대로 각 좌표가 수렴한다고 하자. 임의의 $\varepsilon>0$에 대해 충분히 큰 $n$이면 각 $j$에 대해 \(|\alpha_{j,n}-\alpha_j|<\varepsilon/\sqrt{k}.\) 그러면 \(|\mathbf x_n-\mathbf x| =\left(\sum_{j=1}^k |\alpha_{j,n}-\alpha_j|^2\right)^{1/2} <\varepsilon.\) 따라서 $\mathbf x_n\to\mathbf x$.
(2) 좌표별 수렴을 (1)로 바꾼 뒤, 각 좌표마다 Theorem 3.3을 적용하면 된다.
🟢 3. 개념 해설 + 엄밀성
왜 $\varepsilon$-정의가 핵심인가
수렴은 “언젠가부터 limit에 아주 가깝다”는 뜻이다. 여기서 “아주”를 수치화한 것이 $\varepsilon$이고, “언젠가부터”를 수치화한 것이 $N$이다.
즉 \(\forall \varepsilon>0\ \exists N\ \forall n\ge N: d(p_n,p)<\varepsilon\)
이 양화사 구조를 정확히 읽는 것이 제일 중요하다.
극한이 왜 유일한가
metric space에서 서로 다른 두 점은 양의 거리를 가진다. 그런데 한 sequence가 둘 다로 수렴한다면, 충분히 뒤쪽 항들은 두 점에 동시에 매우 가까워야 하므로, triangle inequality에 의해 두 점 사이 거리도 0이 되어야 한다. 그래서 결국 같은 점일 수밖에 없다.
좌표별 수렴이 왜 중요한가
$\mathbb R^k$에서는 벡터 전체의 수렴을 직접 다루기보다, 각 좌표의 수렴으로 바꾸면 계산이 쉬워진다. 이후 연속성, 미분, 적분에서도 같은 철학이 반복된다.
🟡 4. 핵심 사용법 (문제 풀이 연결)
📌 언제 사용하는가
- sequence의 수렴 여부를 정의로 직접 증명할 때
- limit가 유일함을 써서 역설을 만들 때
- complex sequence의 합, 곱, 역수 limit를 계산할 때
- vector sequence를 좌표별 문제로 분해할 때
📌 문제 풀이 패턴
정의 직공법
$\varepsilon>0$를 잡고, 원하는 부등식이 나오도록 $N$을 만든다.sandwich / triangle inequality 패턴
합의 극한, 유일성, boundedness 증명에서 반복된다.좌표 분해 패턴
$\mathbb R^k$ 문제를 각 coordinate limit로 바꾼다.대수 연산 패턴
complex sequence에서는 먼저 차이를 전개하고, 각 항이 0으로 가는지 확인한다.
🔴 5. 대표 문제 & 풀이 전략
Exercise 1과 연결
문제: If ${s_n}$ converges, prove that ${|s_n|}$ converges. Is the converse true?
전략:
- triangle inequality의 변형 \(||s_n|-|s||\le |s_n-s|\) 를 쓰면 바로 끝난다.
- 역은 $s_n=(-1)^n$로 반례를 준다.
Exercise 3과 연결
문제: \(s_{n+1}=\sqrt{2+s_n}\) 형 재귀수열의 수렴과 상계 증명.
전략:
- 먼저 $s_n<2$를 귀납으로 보인다.
- 그 다음 $s_{n+1}\ge s_n$를 보여 단조증가를 얻는다.
- bounded + monotone 이면 뒤 절의 Theorem 3.14를 써서 수렴한다.
이 문제는 현재 절과 다음 절·단조수열 절이 합쳐지는 대표 예시다.
이 절을 배우고 바로 풀 수 있어야 하는 기본 연습
- 상수수열의 수렴 증명
- $1/n\to0$의 정의형 증명
- 두 complex sequence의 합과 곱의 극한 계산
- $\mathbb R^2$에서 좌표별 수렴 판정
⚫ 6. 섹션 체크리스트
- Definition 3.1 포함
- Theorem 3.2 포함
- Theorem 3.3 포함
- Theorem 3.4 포함
- 예시와 핵심 remark 포함
- 문제 풀이 연결 포함
- PDF 원문과 문장 단위 추가 대조 완료
⚪ 7. 이해 확인 & 훈련 문제
개념 확인 질문
- 수렴의 정의에서 $N$은 왜 $\varepsilon$에 의존하지만 $n$에는 의존하지 않는가?
- 극한의 유일성 증명에서 왜 triangle inequality가 핵심인가?
- $\mathbb R^k$에서 좌표별 수렴과 벡터 수렴이 동치인 이유는 무엇인가?
간단한 훈련 문제
- $s_n=3+1/n$이 3으로 수렴함을 정의로 증명하라.
- $s_n\to s$, $t_n\to t$일 때 $s_n-t_n\to s-t$를 직접 보여라.
- $\mathbf x_n=(1/n,(-1)^n/n)$의 수렴 여부를 판정하라.
댓글남기기