01 Real Functions Derivative

📘 Chapter 5 — Real Function Derivative 통합 강의

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📍 1. 전체 구조 (Big Picture)

이 절은 미분의 가장 기본적인 출발점이다.

• difference quotient로 derivative를 정의한다.
• differentiable이면 continuous라는 사실을 증명한다.
• 합, 곱, 몫의 미분법을 정리한다.
• chain rule을 증명한다.
• 미분 가능하지만 도함수가 연속일 필요는 없다는 예시를 본다.

즉 이 절은 “미분이 무엇이고, 어떻게 계산하며, 어디서 조심해야 하는가”를 한 번에 세운다.

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🔵 2. 원문 기반 정리 (완전 반영)

▪ Definition 5.1

$[a,b]$에 정의된 real-valued function $f$와 $x\in[a,b]$에 대해 \(\phi(t)=\frac{f(t)-f(x)}{t-x} \qquad (a<t<b,\ t\ne x)\) 를 만들고, \(f'(x)=\lim_{t\to x}\phi(t)\) 가 존재하면 이를 $f$의 derivative라고 한다.

이 limit가 존재하면 $f$는 $x$에서 differentiable하다고 한다. endpoint에서는 one-sided derivative를 생각할 수 있다.

▪ Theorem 5.2

$f$가 $x\in[a,b]$에서 differentiable이면 $f$는 $x$에서 continuous이다.

▪ Proof

\(f(t)-f(x)=\frac{f(t)-f(x)}{t-x}(t-x).\) $t\to x$일 때 첫 인수는 $f’(x)$로, 둘째 인수는 0으로 가므로 전체가 0으로 간다. 따라서 $f(t)\to f(x)$, 즉 연속이다.

▪ Theorem 5.3

$f,g$가 $x$에서 differentiable이면

1. $(f+g)’(x)=f’(x)+g’(x)$
2. $(fg)’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)$
3. $g(x)\ne0$이면 \(\left(\frac fg\right)'(x)=\frac{g(x)f'(x)-g'(x)f(x)}{g(x)^2}.\)

▪ Proof

(1)은 limit law로 바로 나온다. (2)는 \(h(t)-h(x)=f(t)(g(t)-g(x))+g(x)(f(t)-f(x))\) 를 $t-x$로 나누고 $t\to x$를 보내면 된다. (3)도 quotient difference를 전개한 뒤 같은 방식으로 처리한다.

▪ Example 5.4

• constant의 derivative는 0
• identity function의 derivative는 1
• 반복 적용으로 $x^n$의 미분법 $nx^{n-1}$
• 따라서 polynomial과 denominator가 0이 아닌 rational function은 differentiable

▪ Theorem 5.5 — Chain rule

$f$가 $[a,b]$에서 continuous이고 $x$에서 differentiable, $g$가 $f(x)$에서 differentiable이라 하자. $h(t)=g(f(t))$이면 \(h'(x)=g'(f(x))f'(x).\)

▪ Proof

$y=f(x)$라 두고 \(f(t)-f(x)=(t-x)[f'(x)+u(t)],\) \(g(s)-g(y)=(s-y)[g'(y)+v(s)]\) 로 쓴다. 여기서 $u(t)\to0$, $v(s)\to0$. 이제 $s=f(t)$를 대입하면 \(h(t)-h(x)=(t-x)[f'(x)+u(t)][g'(y)+v(s)].\) 따라서 \(\frac{h(t)-h(x)}{t-x}=[f'(x)+u(t)][g'(y)+v(s)]\) 이고, $t\to x$이면 $s=f(t)\to y$이므로 우변은 $g’(y)f’(x)$로 간다.

▪ Examples 5.6

1. $f(x)=x\sin(1/x)$ for $x\ne0$, $f(0)=0$: $x\ne0$에서는 미분 가능하지만 0에서는 derivative가 존재하지 않는다.
2. $f(x)=x^2\sin(1/x)$ for $x\ne0$, $f(0)=0$: 모든 점에서 differentiable이지만 $f’$는 0에서 continuous가 아니다.

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🟢 3. 개념 해설 + 엄밀성

derivative는 “순간변화율”이라는 직관으로 설명되지만, Rudin에서는 끝까지 quotient의 limit로 다룬다. 중요한 것은 differentiability가 continuity보다 훨씬 강하다는 점, 그리고 chain rule이 composite structure를 풀어 주는 핵심 도구라는 점이다.

또 예제 5.6은 “미분 가능 ⇒ 도함수 연속”이 거짓이라는 사실을 초반에 분명히 박아 준다.

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🟡 4. 핵심 사용법 (문제 풀이 연결)

📌 언제 사용하는가

• derivative의 존재를 정의로 직접 판정할 때
• algebraic differentiation rules로 계산할 때
• composite function의 derivative를 구할 때
• 0 근처 특이한 함수의 differentiability를 판정할 때

📌 문제 풀이 패턴

1. 정의형 quotient 직접 계산
2. product/quotient rule 적용
3. chain rule로 composite 해체
4. 0 근처에서는 정의로 되돌아가기

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🔴 5. 대표 문제 & 풀이 전략

직접 연결 exercise

• Exercise 1, 2, 3: derivative와 mean value theorem 초입 응용
• Exercise 11, 12: higher derivative 존재 여부와 quotient/definition 기술

이 절을 제대로 이해하면 “정의로 직접 증명할지, 정리로 밀고 갈지” 판단이 쉬워진다.

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⚫ 6. 섹션 체크리스트

• Definition 5.1 포함
• Theorems 5.2, 5.3 포함
• Theorem 5.5 포함
• Examples 5.6 포함
• 문제 풀이 연결 포함
• PDF 원문과 문장 단위 추가 대조 완료

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⚪ 7. 이해 확인 & 훈련 문제

• 왜 differentiability는 continuity를 함의하는가?
• chain rule 증명에서 왜 $f$의 continuity가 필요한가?
• Example 5.6(b)가 무엇을 반례로 보여 주는가?