03 Cauchy Sequences

📘 Chapter 3 — Cauchy Sequences 통합 강의

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📍 1. 전체 구조 (Big Picture)

이 절의 중심 질문은 다음이다.

극한점을 미리 모르더라도, 수열이 수렴하는지 판정할 수 있는가?

이를 위해 Cauchy sequence를 정의한다. 이 개념은 “뒤쪽 항들끼리 서로 가까워진다”는 조건만으로 수렴을 판정하려는 시도다.

이 절의 흐름은 다음과 같다.

• Cauchy sequence를 정의한다.
• diameter를 도입해 tail의 크기를 기하적으로 측정한다.
• compact case에서 nested compact sets와 diameter shrinking을 이용해 Cauchy sequence의 수렴을 증명한다.
• $\mathbb R^k$에서는 모든 Cauchy sequence가 수렴한다는 Cauchy criterion을 얻는다.
• 마지막으로 complete metric space를 정의한다.

이 절은 해석학 전체의 기초다. “실수의 완비성”이 sequence 언어로 어떻게 나타나는지 보여 주기 때문이다.

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🔵 2. 원문 기반 정리 (완전 반영)

▪ Definition 3.8 — Cauchy sequence

metric space $X$의 sequence ${p_n}$가 다음을 만족하면 Cauchy sequence라고 한다.

모든 $\varepsilon>0$에 대해, 어떤 정수 $N$이 존재하여 \(n\ge N,\ m\ge N \implies d(p_n,p_m)<\varepsilon.\)

즉 충분히 뒤쪽 항들끼리는 서로 임의로 가깝다.

▪ Definition 3.9 — Diameter

$E$를 metric space $X$의 nonempty subset이라 하자. $p,q\in E$인 모든 거리 \(d(p,q)\) 의 집합의 supremum을 $E$의 diameter라고 한다.

만약 $E_N={p_N,p_{N+1},p_{N+2},\dots}$라면, \(\{p_n\}\ \text{is Cauchy} \iff \lim_{N\to\infty}\operatorname{diam}E_N=0.\)

▪ Theorem 3.10

1. $\overline E$가 metric space $X$에서 $E$의 closure이면 \(\operatorname{diam}(\overline E)=\operatorname{diam}(E).\)
2. $K_n$이 compact set의 sequence이고 \(K_n\supset K_{n+1}, \qquad \lim_{n\to\infty}\operatorname{diam}K_n=0,\) 이면 \(\bigcap_{n=1}^{\infty}K_n\) 은 정확히 한 점으로 이루어진다.

▪ Proof

(1) 먼저 $E\subset\overline E$이므로 \(\operatorname{diam}E\le \operatorname{diam}\overline E.\)

반대로 임의의 $\varepsilon>0$를 잡고 $p,q\in\overline E$를 택하자. closure의 정의에 의해 $E$ 안에서 \(d(p,p')<\varepsilon, \qquad d(q,q')<\varepsilon\) 인 $p’,q’$를 찾을 수 있다. 그러면 triangle inequality로 \(d(p,q) \le d(p,p')+d(p',q')+d(q',q) <2\varepsilon+d(p',q') \le 2\varepsilon+\operatorname{diam}E.\) 따라서 \(\operatorname{diam}\overline E\le 2\varepsilon+\operatorname{diam}E.\) $\varepsilon$가 arbitrary이므로 \(\operatorname{diam}\overline E\le \operatorname{diam}E.\) 결국 equality가 성립한다.

(2) \(K=\bigcap_{n=1}^{\infty}K_n\) 로 두자. nested compact sets의 교집합은 비어 있지 않다. 만약 $K$가 둘 이상의 점을 가진다면 \(\operatorname{diam}K>0.\) 그런데 $K\subset K_n$이므로 모든 $n$에 대해 \(\operatorname{diam}K_n\ge \operatorname{diam}K>0.\) 이것은 $\operatorname{diam}K_n\to0$와 모순이다. 따라서 $K$는 정확히 한 점만 가진다.

▪ Theorem 3.11

1. 임의의 metric space에서, convergent sequence는 Cauchy sequence이다.
2. $X$가 compact metric space이고 ${p_n}$이 $X$의 Cauchy sequence이면, ${p_n}$은 $X$의 어떤 점으로 수렴한다.
3. $\mathbb R^k$에서 모든 Cauchy sequence는 수렴한다.

▪ Proof

(1) $p_n\to p$라 하자. 임의의 $\varepsilon>0$에 대해 충분히 큰 $n,m$이면 \(d(p_n,p)<\varepsilon, \qquad d(p_m,p)<\varepsilon.\) 따라서 \(d(p_n,p_m)\le d(p_n,p)+d(p,p_m)<2\varepsilon.\) 즉 Cauchy이다.

(2) $E_N={p_N,p_{N+1},\dots}$라 하자. Cauchy 성질과 Definition 3.9에 의해 \(\operatorname{diam}E_N\to0.\) 그리고 Theorem 3.10(a)에 의해 \(\operatorname{diam}(\overline E_N)\to0.\) 각 $\overline E_N$은 compact이고, \(\overline E_N\supset \overline E_{N+1}.\) 따라서 Theorem 3.10(b)에 의해 모든 $\overline E_N$에 공통으로 들어가는 유일한 점 $p\in X$가 존재한다.

이제 임의의 $\varepsilon>0$에 대해 충분히 큰 $N$이면 \(\operatorname{diam}(\overline E_N)<\varepsilon.\) 그런데 $p\in\overline E_N$이고 $p_n\in E_N\subset\overline E_N$ for $n\ge N$ 이므로 \(d(p_n,p)<\varepsilon \qquad(n\ge N).\) 따라서 $p_n\to p$.

(3) ${\mathbf x_n}$을 $\mathbb R^k$의 Cauchy sequence라 하자. 어떤 $N$ 이후 tail의 diameter가 1보다 작다. 따라서 tail은 bounded이고, 앞의 유한 개 항과 합치면 전체 수열이 bounded이다. $\mathbb R^k$의 bounded subset은 compact closure를 가지므로, (2)를 적용하면 ${\mathbf x_n}$은 수렴한다.

▪ Definition 3.12 — Complete metric space

모든 Cauchy sequence가 수렴하는 metric space를 complete하다고 한다.

▪ Remark

• 모든 compact metric space는 complete이다.
• 모든 Euclidean space $\mathbb R^k$도 complete이다.
• complete space의 closed subset 역시 complete이다.
• 유리수 전체 $\mathbb Q$는 usual metric 아래 complete하지 않다.

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🟢 3. 개념 해설 + 엄밀성

Cauchy가 왜 좋은가

수렴의 정의는 limit $p$를 미리 알아야 한다. 하지만 실제 문제에서는 limit를 모르는 경우가 많다. Cauchy 정의는 그런 점을 피한다.

즉 \(\text{convergence: “어떤 }p\text{에 가까워진다”}\) 를 \(\text{Cauchy: “서로서로 가까워진다”}\) 로 바꾼 것이다.

complete의 의미

complete하다는 것은 “서로 가까워질 가능성이 있는 수열은 실제로 공간 안에서 limit를 가진다”는 뜻이다. 그래서 완비성은 구멍이 없는 공간이라는 직관과 연결된다.

예를 들어 $\sqrt2$로 가는 유리수 수열은 $\mathbb Q$ 안에서는 Cauchy이지만, limit가 $\mathbb Q$ 안에 없으므로 $\mathbb Q$는 complete하지 않다.

diameter를 왜 쓰는가

tail 전체가 얼마나 퍼져 있는지 한 숫자로 측정하려면 diameter가 편하다. Cauchy의 정의를 tail diameter가 0으로 가는 조건으로 다시 쓰면, nested compact set argument와 바로 연결된다.

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🟡 4. 핵심 사용법 (문제 풀이 연결)

📌 언제 사용하는가

• limit를 직접 guess하기 어려울 때
• 수열의 수렴을 “tail끼리 가까움”으로 판정하고 싶을 때
• complete / incomplete 여부를 보일 때
• fixed-point iteration, function space, improper integral convergence 등 후반부 도구의 기반으로 쓸 때

📌 문제 풀이 패턴

1. 수렴 ⇒ Cauchy
   triangle inequality 한 번이면 끝난다.

2. Cauchy + convergent subsequence ⇒ full convergence
   Chapter 3 Exercise 20의 표준 패턴이다.

3. tail diameter shrinking 패턴
   nested sets와 complete/compactness를 연결할 때 쓴다.

4. complete하지 않음 보이기
   Cauchy지만 공간 안에서 수렴하지 않는 수열을 하나 제시한다.

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🔴 5. 대표 문제 & 풀이 전략

Exercise 20과 직접 연결

문제: 어떤 Cauchy sequence가 수렴하는 subsequence를 가지면 전체가 같은 점으로 수렴함을 보여라.

전략:

• Cauchy 성질로 전체 꼬리를 subsequence의 한 뒤쪽 항과 가깝게 만든다.
• subsequence convergence로 그 한 항을 limit와 가깝게 만든다.
• triangle inequality로 전체 항도 limit와 가깝게 만든다.

Exercise 21과 직접 연결

nested closed bounded sets in a complete space에서 diameter가 0으로 가면 교집합이 한 점이라는 문제는 바로 이 절의 핵심 논리를 연습시키는 문제다.

이 절을 배우고 나면 익혀야 할 감각

• 실수/유클리드 공간에서는 Cauchy 판정이 매우 강력하다.
• 하지만 일반 metric space에서는 Cauchy라고 해서 자동 수렴하지 않는다. complete가 필요하다.

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⚫ 6. 섹션 체크리스트

• Definition 3.8 포함
• Definition 3.9 포함
• Theorem 3.10 포함
• Theorem 3.11 포함
• Definition 3.12 포함
• 완비성 설명 포함
• 문제 풀이 연결 포함
• PDF 원문과 문장 단위 추가 대조 완료

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⚪ 7. 이해 확인 & 훈련 문제

개념 확인 질문

1. Cauchy sequence와 convergent sequence의 차이는 무엇인가?
2. 왜 complete space에서는 Cauchy가 곧 convergence가 되는가?
3. $\mathbb Q$가 complete하지 않다는 말은 구체적으로 무슨 뜻인가?

간단한 훈련 문제

1. convergent sequence가 반드시 Cauchy임을 직접 증명하라.
2. $1,1.4,1.41,1.414,\dots$가 $\mathbb Q$ 안에서 Cauchy임을 설명하라.
3. complete metric space의 closed subset이 complete임을 보여라.