05 Rectifiable Curves

📘 Chapter 6 — Rectifiable Curves 통합 강의

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📍 1. 전체 구조 (Big Picture)

이 절은 앞의 벡터 적분을 기하에 적용한다. 연속 곡선의 길이를 polygonal approximation의 supremum으로 정의하고, continuously differentiable curve의 길이가 \(\int_a^b |\gamma'(t)|dt\) 라는 친숙한 공식으로 계산된다는 것을 증명한다.

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🔵 2. 원문 기반 정리 (완전 반영)

▪ Definition 6.26

$[a,b]\to\mathbb R^k$의 continuous mapping $\gamma$를 curve라고 한다. one-to-one이면 arc, $\gamma(a)=\gamma(b)$면 closed curve라고 한다.

partition $P={x_0,\dots,x_n}$에 대해 \(\Lambda(P,\gamma)=\sum_{i=1}^n |\gamma(x_i)-\gamma(x_{i-1})|\) 를 정의하고, \(\Lambda(\gamma)=\sup_P \Lambda(P,\gamma)\) 를 curve의 length로 정의한다. 이 supremum이 finite이면 rectifiable이라 한다.

▪ Theorem 6.27

$\gamma’$가 $[a,b]$에서 continuous이면 $\gamma$는 rectifiable이고 \(\Lambda(\gamma)=\int_a^b |\gamma'(t)|dt.\)

▪ Proof

한쪽 부등식은 \(\gamma(x_i)-\gamma(x_{i-1})=\int_{x_{i-1}}^{x_i}\gamma'(t)dt\) 와 Theorem 6.25로부터 \(|\gamma(x_i)-\gamma(x_{i-1})| \le \int_{x_{i-1}}^{x_i}|\gamma'(t)|dt\) 를 얻고 모두 더하면 된다. 따라서 \(\Lambda(\gamma)\le \int_a^b |\gamma'(t)|dt.\)

반대 부등식은 $\gamma’$의 uniform continuity를 이용해 partition을 충분히 잘게 쪼개면 각 작은 구간에서 $|\gamma’|$의 적분이 chord length에 가깝도록 만든다. 합쳐서 \(\int_a^b |\gamma'(t)|dt\le \Lambda(\gamma)+2\varepsilon(b-a)\) 를 얻고 $\varepsilon\to0$를 보내면 된다.

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🟢 3. 개념 해설 + 엄밀성

curve length를 바로 정의하지 않고 polygonal approximation의 supremum으로 정의하는 이유는 일반 continuous curve에는 속도 개념이 항상 주어지지 않기 때문이다. 하지만 derivative가 continuous하면 속도 $

\gamma’

$를 적분해 길이를 계산할 수 있다. 이 정리가 두 정의를 연결해 준다.

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🟡 4. 핵심 사용법 (문제 풀이 연결)

📌 언제 사용하는가

• 매끄러운 곡선의 길이를 계산할 때
• reparameterization invariance를 볼 때
• curve geometry를 적분으로 바꿀 때

📌 문제 풀이 패턴

1. polygonal length 정의
2. 벡터 FTC와 norm inequality로 upper bound
3. derivative의 uniform continuity로 reverse estimate

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🔴 5. 대표 문제 & 풀이 전략

• Exercise 19는 곡선의 reparameterization이 arc/closed/rectifiable 성질과 길이를 보존함을 묻는다. 이 절의 정의와 정리를 정확히 써야 한다.

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⚫ 6. 섹션 체크리스트

• Definition 6.26 포함
• Theorem 6.27 포함
• 길이 공식 설명 포함
• 문제 풀이 연결 포함
• PDF 원문과 문장 단위 추가 대조 완료

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⚪ 7. 이해 확인 & 훈련 문제

• curve length를 왜 supremum으로 정의하는가?

• continuously differentiable curve에서 길이가 $\int

  \gamma’

  $가 되는 이유를 설명하라.

• 왜 uniform continuity가 reverse inequality에서 중요한가?