09 Root And Ratio Tests

📘 Chapter 3 — The Root and Ratio Tests 통합 강의

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📍 1. 전체 구조 (Big Picture)

이 절은 급수 판정법의 대표 선수 둘을 소개한다.

• Root Test
• Ratio Test

둘 다 결국 항의 크기가 기하급수적으로 줄어드는지를 판정하는 도구다. 그리고 마지막에는 두 판정법의 세기를 비교한다.

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🔵 2. 원문 기반 정리 (완전 반영)

▪ Theorem 3.33 — Root Test

series $\sum a_n$에 대해 \(\alpha=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\) 로 두자. 그러면

1. $\alpha<1$이면 $\sum a_n$은 수렴한다.
2. $\alpha>1$이면 $\sum a_n$은 발산한다.
3. $\alpha=1$이면 이 test는 결론을 주지 않는다.

▪ Proof

(1) $\alpha<1$이면 $\alpha<\beta<1$인 $\beta$를 택할 수 있다. Theorem 3.17(b)에 의해 충분히 큰 $n$에서는 \(\sqrt[n]{|a_n|}<\beta,\) 즉 \(|a_n|<\beta^n.\) 그런데 $\sum \beta^n$은 geometric series이므로 수렴한다. comparison test로 $\sum a_n$이 수렴한다.

(2) $\alpha>1$이면 $\sqrt[n_k]{

a_{n_k}

}\to\alpha$인 subsequence를 잡을 수 있다. 따라서 무한히 많은 $n$에 대해 $

a_n

>1$, 특히 $a_n\to0$가 성립하지 않는다. Theorem 3.23에 의해 급수는 발산한다.

(3) $\alpha=1$일 때는 두 반례를 보면 된다. \(\sum \frac1n\quad \text{(발산)}, \qquad \sum \frac1{n^2}\quad \text{(수렴)}.\) 둘 다 $\alpha=1$이다.

▪ Theorem 3.34 — Ratio Test

1. \(\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1\) 이면 $\sum a_n$은 수렴한다.

2. 어떤 고정된 $n_0$ 이후로 항상 \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge1\) 이면 $\sum a_n$은 발산한다.

▪ Proof

(1) $\beta<1$와 충분히 큰 $N$이 있어 \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<\beta \qquad(n\ge N)\) 라 하자. 그러면 반복해서 \(|a_{N+p}|<\beta^p|a_N|.\) 즉 충분히 뒤에서는 $|a_n|$가 geometric sequence보다 더 빨리 작아진다. 따라서 comparison test로 수렴.

(2) 어떤 시점 이후로 $

a_{n+1}

\ge

a_n

$이면, 뒤쪽 항들의 크기가 더 이상 0으로 가지지 못한다. 따라서 necessary condition $a_n\to0$이 깨지고, 급수는 발산한다.

▪ Remarks 3.35–3.36

• ratio test는 계산이 쉬운 경우가 많다.
• root test는 더 넓은 범위를 포괄한다.
• 둘 다 divergence에 대해서는 사실상 $a_n\to0$ 실패를 통해 결론내린다.

▪ Theorem 3.37

양수수열 ${c_n}$에 대해 \(\liminf \frac{c_{n+1}}{c_n} \le \liminf \sqrt[n]{c_n}, \qquad \limsup \sqrt[n]{c_n} \le \limsup \frac{c_{n+1}}{c_n}.\)

▪ Proof idea

본문은 두 번째 부등식을 증명한다. $\alpha=\limsup c_{n+1}/c_n$라 두고, $\beta>\alpha$를 택하면 결국 \(c_n\le C\beta^n\) 형태의 estimate를 얻는다. 그러면 \(\sqrt[n]{c_n}\le \sqrt[n]{C}\,\beta\) 이므로 limsup이 $\beta$ 이하이고, $\beta>\alpha$ arbitrary로부터 결론이 나온다.

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🟢 3. 개념 해설 + 엄밀성

root test의 철학

$\sqrt[n]{

a_n

}$는 항 $

a_n

$가 대략 어느 비율의 geometric decay를 가지는지 보는 도구다. 만약 이 값이 1보다 작으면, 결국 $

a_n

$는 $\beta^n$보다 작아진다.

ratio test의 철학

$

a_{n+1}/a_n

$는 연속된 항 사이의 상대 비율이다. 이게 eventually 1보다 작으면 항들은 geometric하게 감소한다.

왜 $=1$이면 실패하는가

경계선에서는 양쪽 사례가 모두 가능하다. 즉 test가 충분히 미세하지 않다. 그래서 다른 판정법이 필요하다.

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🟡 4. 핵심 사용법 (문제 풀이 연결)

📌 언제 사용하는가

• factorial, power, exponential이 섞인 급수일 때
• power series의 radius of convergence를 잡을 때
• 비교판정을 직접 쓰기 번거로울 때

📌 문제 풀이 패턴

1. ratio first pattern
   factorial이 보이면 ratio test를 먼저 의심한다.

2. root first pattern
   $n$승, $c_n^n$ 구조가 보이면 root test를 쓴다.

3. boundary failure awareness
   결과가 1이면 멈추고 다른 test로 넘어간다.

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🔴 5. 대표 문제 & 풀이 전략

power series와 직접 연결

다음 절의 radius of convergence는 결국 root test를 coefficient에 적용한 것이다. 따라서 이 절은 power series의 바로 전 준비 절이다.

대표 예시

• $\sum z^n/n!$: ratio test가 매우 쉽다.
• $\sum 1/n^p$: root test나 ratio test는 경계에서 약할 수 있다.

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⚫ 6. 섹션 체크리스트

• Theorem 3.33 포함
• Theorem 3.34 포함
• Remarks 요지 포함
• Theorem 3.37 포함
• 문제 풀이 연결 포함
• PDF 원문과 문장 단위 추가 대조 완료

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⚪ 7. 이해 확인 & 훈련 문제

개념 확인 질문

1. root test는 왜 결국 geometric series와의 비교인가?
2. ratio test가 계산상 쉬운 이유는 무엇인가?
3. test 값이 1이면 왜 결론을 못 내리는가?

간단한 훈련 문제

1. $\sum 1/n!$에 ratio test를 적용하라.
2. $\sum (3/4)^n$에 root test를 적용하라.
3. $\sum 1/n$과 $\sum 1/n^2$가 왜 둘 다 경계값 1을 주는지 확인하라.