헤비사이드 부분분수 분해

적분이나 라플라스 변환을 공부하다 보면 반드시 마주치는 것이 바로 부분분수 분해이다. 보통은 계수비교법이나 수치대입법을 사용해 연립방정식을 풀지만, 항이 많아질수록 계산량이 많아진다.

이런 번거로움을 획기적으로 줄여주는 헤비사이드 방법(Heaviside Cover-up Method)의 기본 사용법과 그 이면에 숨겨진 수학적 원리, 그리고 중근이 있을 때의 심화 미분법까지 한 번에 정리해보자.

기본 방법

가장 기본적인 형태는 분모가 서로 다른 일차식의 곱으로 이루어진 경우이다.

예시

\(\frac{3x - 1}{(x - 2)(x + 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 3}\)

1. $A$ 구하기: 좌변의 분모에서 구하고자 하는 항의 분모인 $(x-2)$를 가리고, $x=2$를 대입한다. \(A = \left[ \frac{3x - 1}{( \text{가림} )(x + 3)} \right]_{x=2} = \frac{3(2) - 1}{2 + 3} = 1\)
2. $B$ 구하기: 좌변의 분모에서 $(x+3)$을 가리고, $x=-3$을 대입한다. \(B = \left[ \frac{3x - 1}{(x - 2)( \text{가림} )} \right]_{x=-3} = \frac{3(-3) - 1}{-3 - 2} = 2\)

수학적 원리

헤비사이드 방법의 원리는 양변에 구하고자 하는 항의 분모를 곱하는 것이다.

아래와 같은 식에서 계수 $A$를 구하는 과정을 생각해보자. \(\frac{P(x)}{(x-a)Q(x)} = \frac{A}{x-a} + \frac{R(x)}{Q(x)}\)

양변에 $(x-a)$를 곱하면 다음과 같이 정리된다. \(\frac{P(x)}{Q(x)} = A + \frac{R(x)(x-a)}{Q(x)}\)

여기서 $x=a$를 대입하면 우변의 두 번째 항은 $(x-a)$ 인수로 인해 0이 되어 사라진다. 결국 좌변에 $(x-a)$를 약분하고 $a$를 대입한 값이 계수 $A$가 된다. 이 과정에서 분모를 지우는 동작이 시각적으로는 가리는 것과 같아 Cover-up이라 부른다.

심화: 중근과 미분

분모에 $(x-a)^n$과 같이 중근이 포함된 경우, 단순히 대입만으로는 모든 계수를 구할 수 없다. 이때는 미분을 활용한다.

\[\frac{P(x)}{(x-a)^2 Q(x)} = \frac{A}{(x-a)^2} + \frac{B}{x-a} + \cdots\]

1. 최고차 계수 ($A$): 양변에 $(x-a)^2$을 곱한 뒤 $x=a$를 대입한다.
2. 낮은 차수 계수 ($B$): 양변에 $(x-a)^2$을 곱한 식을 $x$에 대해 미분한 뒤 $x=a$를 대입한다. \(B = \frac{d}{dx} \left[ \frac{P(x)}{Q(x)} \right]_{x=a}\)

심화: 이차식($x^2+1$)과 복소수

분모에 실근이 없는 이차식이 포함된 경우, 허수 $i$를 대입하여 계수를 찾을 수 있다.

\[\frac{1}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{K}{x-1} + \frac{Ax+B}{x^2+1}\]

$(x^2+1)$을 가리고 $x=i$를 대입하면 좌변은 다음과 같이 복소수 형태가 된다. \(\left[ \frac{1}{x-1} \right]_{x=i} = \frac{1}{i-1} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i\)

복소수 상등에 의해 실수부는 $B$, 허수부 계수는 $A$가 된다.

• $A = -1/2$
• $B = -1/2$

총정리

상황에 따른 대입값과 전략을 요약하면 다음과 같다.

분모의 형태	분자의 형태	핵심 전략
일차식 $(x-a)$	$A$	분모 가리고 $x=a$ 대입
중근 $(x-a)^n$	$A, B, \dots$	최고차항 외에는 양변 미분 후 대입
이차식 $(x^2+1)$	$Ax+B$	허수 $i$ 대입 후 실수부/허수부 비교

헤비사이드 수법은 원리만 이해하면 계산 실수를 획기적으로 줄여주는 강력한 도구이다. 복잡한 항등식을 일일이 전개하기보다 상황에 맞는 적절한 전략을 선택하여 활용해보길 바란다.