실해석학 4장

4. CONTINUITY

function 개념과 일부 관련 terminology는 Definition 2.1과 2.2에서 소개되었습니다. 비록 우리가 (나중 장에서) 주로 real 및 complex functions (즉, 그 값이 real 또는 complex numbers인 함수)에 관심을 가질 것이지만, vector-valued functions (즉, \(R^k\)에 값을 가지는 함수)와 임의의 metric space에 값을 가지는 함수에 대해서도 논의할 것입니다. 우리가 이 일반적인 설정에서 논의할 theorems는 예를 들어 real functions에만 국한한다고 해서 더 쉬워지지 않을 것이며, 불필요한 hypotheses를 버리고 적절하게 일반적인 context에서 theorems를 진술하고 증명하는 것이 실제로 그림을 단순화하고 명확하게 합니다.

우리 함수의 domains of definition 또한 다양한 경우에 적절히 특수화된 metric spaces가 될 것입니다.

LIMITS OF FUNCTIONS

4.1 Definition \(X\)와 \(Y\)를 metric spaces라고 합시다. \(E \subset X\)이고, \(f\)는 \(E\)를 \(Y\)로 map하며, \(p\)는 \(E\)의 limit point라고 가정합니다. 우리는 \(f(x) \to q\)를 \(x \to p\)로 쓰거나,

(1) \(\lim_{x \to p} f(x) = q\)

다음과 같은 property를 가진 point \(q \in Y\)가 존재할 때입니다: 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 다음을 만족하는 \(\delta > 0\)가 존재합니다.

(2) \(d_Y(f(x), q) < \varepsilon\)

다음 조건을 만족하는 모든 point \(x \in E\)에 대해

(3) \(0 < d_X(x, p) < \delta\)

symbols \(d_X\)와 \(d_Y\)는 각각 \(X\)와 \(Y\)에서의 distances를 나타냅니다. 만약 \(X\) 및/또는 \(Y\)가 real line, complex plane, 또는 어떤 euclidean space \(R^k\)로 대체된다면, distances \(d_X\), \(d_Y\)는 당연히 absolute values 또는 norms of differences로 대체됩니다 (Sec. 2.16 참조).

p는 \(X\)에 속하지만, 위의 definition에서 p가 반드시 \(E\)의 point일 필요는 없다는 점에 유의해야 합니다. 더욱이, p가 \(E\)에 속하더라도, \(f(p) \neq \lim_{x \to p} f(x)\)일 수 있습니다.

이 definition을 sequences의 limits 관점에서 다시 표현할 수 있습니다:

4.2 Theorem Definition 4.1에서와 같이 \(X\), \(Y\), \(E\), \(f\), \(p\)를 정의합니다. 그러면

(4) \(\lim_{x \to p} f(x) = q\)

다음과 같은 경우에만 성립합니다.

(5) \(\lim_{n \to \infty} f(p_n) = q\)

다음 조건을 만족하는 \(E\) 내의 모든 sequence \(\{p_n\}\)에 대해

(6) \(p_n \neq p, \quad \lim_{n \to \infty} p_n = p\)

Proof (4)가 성립한다고 가정합니다. (6)을 만족하는 \(E\) 내의 \(\{p_n\}\)을 선택합니다. \(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 합시다. 그러면 \(d_Y(f(x), q) < \varepsilon\)를 만족하는 \(\delta > 0\)가 존재합니다. 이때 \(x \in E\)이고 \(0 < d_X(x, p) < \delta\)입니다. 또한, \(n > N\)일 때 \(0 < d_X(p_n, p) < \delta\)를 만족하는 \(N\)이 존재합니다. 따라서 \(n > N\)에 대해 \(d_Y(f(p_n), q) < \varepsilon\)가 성립하며, 이는 (5)가 성립함을 보여줍니다.

역으로, (4)가 거짓이라고 가정합니다. 그러면 어떤 \(\varepsilon > 0\)이 존재하여, 모든 \(\delta > 0\)에 대해 \(d_Y(f(x), q) \ge \varepsilon\)이지만 \(0 < d_X(x, p) < \delta\)를 만족하는 point \(x \in E\) (\(\delta\)에 따라 달라짐)가 존재합니다. \(\delta_n = 1/n\) (\(n = 1, 2, 3, \dots\))로 취하면, 우리는 (6)을 만족하지만 (5)가 거짓인 \(E\) 내의 sequence를 찾게 됩니다.

Corollary 만약 \(f\)가 \(p\)에서 limit를 가진다면, 이 limit는 unique합니다.

이는 Theorem 3.2(b)와 4.2로부터 도출됩니다.

4.3 Definition \(E\)에 정의된 두 complex functions \(f\)와 \(g\)가 있다고 가정합니다. \(f+g\)는 \(E\)의 각 point \(x\)에 number \(f(x) + g(x)\)를 할당하는 function을 의미합니다. 유사하게, 두 functions의 차이 \(f-g\), 곱 \(fg\), 그리고 몫 \(f/g\)를 정의하는데, 몫은 \(g(x) \neq 0\)인 \(E\)의 points에서만 정의된다는 이해를 바탕으로 합니다. 만약 \(f\)가 \(E\)의 각 point \(x\)에 동일한 number \(c\)를 할당한다면, \(f\)는 constant function 또는 단순히 constant라고 불리며, 우리는 \(f=c\)로 씁니다. 만약 \(f\)와 \(g\)가 real functions이고, 모든 \(x \in E\)에 대해 \(f(x) \ge g(x)\)라면, 우리는 간결하게 \(f \ge g\)로 쓸 것입니다.

유사하게, 만약 \(f\)와 \(g\)가 \(E\)를 \(R^k\)로 map한다면, 우리는 \(f+g\)와 \(f \cdot g\)를 다음과 같이 정의합니다.

\[(f+g)(x) = f(x) + g(x), \quad (fg)(x) = f(x) \cdot g(x);\]

그리고 만약 \(\lambda\)가 real number라면, \((\lambda f)(x) = \lambda f(x)\)입니다.

4.4 Theorem \(E \subset X\)가 metric space이고, \(p\)가 \(E\)의 limit point이며, \(f\)와 \(g\)가 \(E\)에 정의된 complex functions라고 가정합니다. 그리고

\[\lim_{x \to p} f(x) = A, \quad \lim_{x \to p} g(x) = B\]

그러면 (a) \(\lim_{x \to p} (f+g)(x) = A + B;\) (b) \(\lim_{x \to p} (fg)(x) = AB;\) (c) \(\lim_{x \to p} \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{A}{B}, \quad \text{if } B \neq 0.\)

Proof Theorem 4.2에 비추어 볼 때, 이 주장들은 sequences의 유사한 properties (Theorem 3.3)로부터 즉시 도출됩니다.

Remark 만약 \(f\)와 \(g\)가 \(E\)를 \(R^k\)로 map한다면, (a)는 여전히 참이며, (b)는 다음과 같이 됩니다.

(b’) \(\lim_{x \to p} (f \cdot g)(x) = A \cdot B.\)

(Theorem 3.4와 비교하십시오.)

CONTINUOUS FUNCTIONS

4.5 Definition \(X\)와 \(Y\)를 metric spaces라고 가정합니다. \(E \subset X\), \(p \in E\)이고, \(f\)는 \(E\)를 \(Y\)로 map합니다. 그러면 \(f\)는 \(p\)에서 continuous라고 불리는데, 이는 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 다음을 만족하는 \(\delta > 0\)가 존재하기 때문입니다.

\[d_Y(f(x), f(p)) < \varepsilon\]

다음 조건을 만족하는 모든 point \(x \in E\)에 대해 \(d_X(x, p) < \delta\)입니다.

만약 \(f\)가 \(E\)의 모든 point에서 continuous라면, \(f\)는 \(E\)에서 continuous라고 불립니다. \(f\)가 \(p\)에서 continuous이기 위해서는 point \(p\)에서 정의되어야 한다는 점에 유의해야 합니다. (Definition 4.1 다음의 remark와 비교하십시오.)

만약 \(p\)가 \(E\)의 isolated point라면, 우리의 definition은 \(E\)를 domain of definition으로 가지는 모든 function \(f\)가 \(p\)에서 continuous임을 의미합니다. 왜냐하면, 우리가 어떤 \(\varepsilon > 0\)을 선택하더라도, \(d_X(x, p) < \delta\)를 만족하는 \(E\)의 유일한 point \(x\)가 \(x=p\)가 되도록 \(\delta > 0\)를 선택할 수 있기 때문입니다. 그러면

\[d_Y(f(x), f(p)) = 0 < \varepsilon\]

4.6 Theorem Definition 4.5에 주어진 상황에서, \(p\)가 \(E\)의 limit point라고도 가정합니다. 그러면 \(f\)는 \(p\)에서 continuous인 것은 \(\lim_{x \to p} f(x) = f(p)\)인 경우에만 해당합니다.

Proof 이는 Definition 4.1과 4.5를 비교하면 명확합니다.

이제 compositions of functions에 대해 살펴보겠습니다. 다음 theorem의 간략한 진술은 continuous function의 continuous function이 continuous라는 것입니다.

4.7 Theorem \(X\), \(Y\), \(Z\)를 metric spaces라고 가정합니다. \(E \subset X\)이고, \(f\)는 \(E\)를 \(Y\)로 map하며, \(g\)는 \(f\)의 range인 \(f(E)\)를 \(Z\)로 map하고, \(h\)는 다음과 같이 정의된 \(E\)를 \(Z\)로 map하는 mapping입니다.

\[h(x) = g(f(x)) \quad (x \in E)\]

만약 \(f\)가 point \(p \in E\)에서 continuous이고, \(g\)가 point \(f(p)\)에서 continuous라면, \(h\)는 point \(p\)에서 continuous입니다.

이 function \(h\)는 \(f\)와 \(g\)의 composition 또는 composite라고 불립니다. 다음 notation은 이 context에서 자주 사용됩니다.

\[h = g \circ f\]

Proof \(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 합시다. \(g\)는 \(f(p)\)에서 continuous이므로, \(d_Z(g(y), g(f(p))) < \varepsilon\)를 만족하는 \(\eta > 0\)가 존재합니다. 이때 \(d_Y(y, f(p)) < \eta\)이고 \(y \in f(E)\)입니다. \(f\)는 \(p\)에서 continuous이므로, \(d_Y(f(x), f(p)) < \eta\)를 만족하는 \(\delta > 0\)가 존재합니다. 이때 \(d_X(x, p) < \delta\)이고 \(x \in E\)입니다. 따라서 다음이 성립합니다.

\[d_Z(h(x), h(p)) = d_Z(g(f(x)), g(f(p))) < \varepsilon\]

이때 \(d_X(x, p) < \delta\)이고 \(x \in E\)입니다. 그러므로 \(h\)는 \(p\)에서 continuous입니다.

4.8 Theorem metric space \(X\)에서 metric space \(Y\)로의 mapping \(f\)는 \(X\)에서 continuous인 것은, \(Y\)의 모든 open set \(V\)에 대해 \(f^{-1}(V)\)가 \(X\)에서 open인 경우에만 해당합니다.

(Inverse images는 Definition 2.2에서 정의됩니다.) 이것은 continuity의 매우 유용한 characterization입니다.

Proof \(f\)가 \(X\)에서 continuous이고 \(V\)가 \(Y\)의 open set이라고 가정합니다. 우리는 \(f^{-1}(V)\)의 모든 point가 \(f^{-1}(V)\)의 interior point임을 보여야 합니다. 따라서 \(p \in X\)이고 \(f(p) \in V\)라고 가정합니다. \(V\)가 open이므로, \(d_Y(f(p), y) < \varepsilon\)이면 \(y \in V\)를 만족하는 \(\varepsilon > 0\)가 존재합니다. 그리고 \(f\)가 \(p\)에서 continuous이므로, \(d_Y(f(x), f(p)) < \varepsilon\)이면 \(d_X(x, p) < \delta\)를 만족하는 \(\delta > 0\)가 존재합니다. 따라서 \(d_X(x, p) < \delta\)가 되는 즉시 \(x \in f^{-1}(V)\)입니다.

역으로, \(f^{-1}(V)\)가 \(Y\)의 모든 open set \(V\)에 대해 \(X\)에서 open이라고 가정합니다. \(p \in X\)와 \(\varepsilon > 0\)을 고정하고, \(V\)를 \(d_Y(y, f(p)) < \varepsilon\)를 만족하는 모든 \(y \in Y\)의 set이라고 합시다. 그러면 \(V\)는 open입니다. 따라서 \(f^{-1}(V)\)는 open입니다. 그러므로 \(d_X(p, x) < \delta\)가 되는 즉시 \(x \in f^{-1}(V)\)를 만족하는 \(\delta > 0\)가 존재합니다. 그러나 \(x \in f^{-1}(V)\)이면 \(f(x) \in V\)이므로, \(d_Y(f(x), f(p)) < \varepsilon\)입니다. 이것으로 proof가 완료됩니다.

Corollary metric space \(X\)에서 metric space \(Y\)로의 mapping \(f\)는 continuous인 것은, \(Y\)의 모든 closed set \(C\)에 대해 \(f^{-1}(C)\)가 \(X\)에서 closed인 경우에만 해당합니다.

이는 theorem으로부터 도출됩니다. 왜냐하면 set이 closed인 것은 그 complement가 open인 경우에만 해당하며, 모든 \(E \subset Y\)에 대해 \(f^{-1}(E^c) = [f^{-1}(E)]^c\)이기 때문입니다.

이제 complex-valued 및 vector-valued functions와 \(R^k\)의 subsets에 정의된 functions에 대해 살펴보겠습니다.

4.9 Theorem \(f\)와 \(g\)가 metric space \(X\)에 대한 complex continuous functions라고 합시다. 그러면 \(f+g\), \(fg\), 그리고 \(f/g\)는 \(X\)에서 continuous입니다.

마지막 경우, 우리는 당연히 모든 \(x \in X\)에 대해 \(g(x) \neq 0\)이라고 가정해야 합니다.

Proof \(X\)의 isolated points에서는 증명할 것이 없습니다. limit points에서는 이 주장이 Theorem 4.4와 4.6으로부터 도출됩니다.

4.10 Theorem (a) \(f_1, \dots, f_k\)가 metric space \(X\)에 대한 real functions이고, \(f\)가 다음과 같이 정의된 \(X\)에서 \(R^k\)로의 mapping이라고 합시다.

(7) \(f(x) = (f_1(x), \dots, f_k(x)) \quad (x \in X);\)

그러면 \(f\)는 continuous인 것은, functions \(f_1, \dots, f_k\) 각각이 continuous인 경우에만 해당합니다. (b) 만약 \(f\)와 \(g\)가 \(X\)에서 \(R^k\)로의 continuous mappings라면, \(f+g\)와 \(f \cdot g\)는 \(X\)에서 continuous입니다.

functions \(f_1, \dots, f_k\)는 \(f\)의 components라고 불립니다. \(f+g\)는 \(R^k\)로의 mapping인 반면, \(f \cdot g\)는 \(X\)에 대한 real function이라는 점에 유의하십시오.

Proof (a)는 다음 inequalities로부터 도출됩니다.

\[\vert f_j(x) - f_j(y) \vert \le \left\{ \sum_{i=1}^k \vert f_i(x) - f_i(y) \vert^2 \right\}^{1/2} = \vert f(x) - f(y) \vert\]

\(j = 1, \dots, k\)에 대해. (b)는 (a)와 Theorem 4.9로부터 도출됩니다.

4.11 Examples 만약 \(x_1, \dots, x_k\)가 point \(x \in \text{R}^k\)의 coordinates라면, 다음과 같이 정의된 functions \(\phi_i\)는

(8) \(\phi_i(x) = x_i \quad (x \in \text{R}^k)\)

\(R^k\)에서 continuous입니다. 왜냐하면 inequality

\[\vert \phi_i(x) - \phi_i(y) \vert \le \vert x - y \vert\]

는 Definition 4.5에서 \(\delta = \varepsilon\)로 취할 수 있음을 보여주기 때문입니다. functions \(\phi_i\)는 때때로 coordinate functions라고 불립니다.

Theorem 4.9를 반복적으로 적용하면 모든 monomial

(9) \(x_1^{n_1} x_2^{n_2} \dots x_k^{n_k}\)

여기서 \(n_1, \dots, n_k\)는 nonnegative integers이며, \(R^k\)에서 continuous임을 보여줍니다. constants는 명백히 continuous이므로 (9)의 constant multiples도 마찬가지입니다. 따라서 다음과 같이 주어진 모든 polynomial \(P\)는

(10) \(P(x) = \sum c_{n_1 \dots n_k} x_1^{n_1} \dots x_k^{n_k} \quad (x \in \text{R}^k)\)

\(R^k\)에서 continuous입니다. 여기서 coefficients \(c_{n_1 \dots n_k}\)는 complex numbers이고, \(n_1, \dots, n_k\)는 nonnegative integers이며, (10)의 합은 유한한 terms를 가집니다.

더 나아가, \(x_1, \dots, x_k\)에 대한 모든 rational function, 즉 (10) 형태의 두 polynomials의 모든 몫은 denominator가 0이 아닌 모든 곳에서 \(R^k\)에서 continuous입니다.

triangle inequality로부터 다음을 쉽게 알 수 있습니다.

(11) \(\vert \vert x \vert - \vert y \vert \vert \le \vert x - y \vert \quad (x, y \in \text{R}^k)\)

따라서 mapping \(x \to \vert x \vert\)는 \(R^k\)에서 continuous real function입니다.

만약 \(f\)가 metric space \(X\)에서 \(R^k\)로의 continuous mapping이고, \(\phi\)가 \(\phi(p) = \vert f(p) \vert\)로 \(X\)에 정의된다면, Theorem 4.7에 의해 \(\phi\)는 \(X\)에 대한 continuous real function입니다.

4.12 Remark 우리는 metric space \(X\)의 subset \(E\)에 정의된 functions에 대한 continuity의 개념을 정의했습니다. 그러나 이 definition에서 \(X\)의 \(E\)의 complement는 전혀 역할을 하지 않습니다 (functions의 limits에 대한 상황은 다소 달랐다는 점에 유의하십시오). 따라서 우리는 \(f\)의 domain의 complement를 버림으로써 흥미로운 것을 잃지 않습니다. 이는 우리가 metric space에서 다른 metric space로의 continuous mappings에 대해서만 이야기할 수 있다는 것을 의미하며, subsets의 mappings에 대해서는 그렇지 않습니다. 이는 일부 theorems의 진술과 proofs를 단순화합니다. 우리는 이미 Theorem 4.8부터 4.10까지 이 원칙을 사용했으며, compactness에 대한 다음 section에서도 계속 사용할 것입니다.

CONTINUITY AND COMPACTNESS

4.13 Definition set \(E\)에서 \(R^k\)로의 mapping \(f\)는 모든 \(x \in E\)에 대해 \(\vert f(x) \vert \le M\)을 만족하는 real number \(M\)이 존재할 때 bounded라고 불립니다.

4.14 Theorem metric space \(X\)에서 metric space \(Y\)로의 continuous mapping \(f\)가 compact하다고 가정합니다. 그러면 \(f(X)\)는 compact입니다.

Proof \(\{V_\alpha\}\)를 \(f(X)\)의 open cover라고 합시다. \(f\)가 continuous이므로, Theorem 4.8은 sets \(f^{-1}(V_\alpha)\) 각각이 open임을 보여줍니다. \(X\)가 compact이므로, 유한한 수의 indices, 예를 들어 \(\alpha_1, \dots, \alpha_n\)이 존재하여

(12) \(X \subset f^{-1}(V_{\alpha_1}) \cup \dots \cup f^{-1}(V_{\alpha_n})\)

\(f(f^{-1}(E)) = E\)가 모든 \(E \subset Y\)에 대해 유효하므로, (12)는 다음을 의미합니다.

(13) \(f(X) \subset V_{\alpha_1} \cup \dots \cup V_{\alpha_n}\)

이것으로 proof가 완료됩니다.

Note: 우리는 모든 \(E \subset Y\)에 대해 유효한 관계 \(f(f^{-1}(E)) = E\)를 사용했습니다. 만약 \(E \subset X\)라면, \(f^{-1}(f(E)) = E\)입니다. 두 경우 모두 equality가 성립할 필요는 없습니다. 이제 Theorem 4.14의 몇 가지 consequences를 도출할 것입니다.

4.15 Theorem 만약 \(f\)가 compact metric space \(X\)에서 \(R^k\)로의 continuous mapping이라면, \(f(X)\)는 closed이고 bounded입니다. 따라서 \(f\)는 bounded입니다.

이는 Theorem 2.41로부터 도출됩니다. 이 결과는 \(f\)가 real일 때 특히 중요합니다.

4.16 Theorem compact metric space \(X\)에 대한 continuous real function \(f\)가 있다고 가정합니다. 그리고

(14) \(M = \sup_{p \in X} f(p), \quad m = \inf_{p \in X} f(p)\)

그러면 \(f(p) = M\)과 \(f(q) = m\)을 만족하는 points \(p, q \in X\)가 존재합니다.

(14)의 notation은 \(M\)이 \(p\)가 \(X\)를 범위로 할 때 모든 numbers \(f(p)\)의 least upper bound를 의미하고, \(m\)이 이 set of numbers의 greatest lower bound를 의미한다는 것을 뜻합니다.

결론은 다음과 같이 진술될 수도 있습니다: \(X\)에 points \(p\)와 \(q\)가 존재하여 모든 \(x \in X\)에 대해 \(f(q) \le f(x) \le f(p)\)입니다. 즉, \(f\)는 maximum (at \(p\))과 minimum (at \(q\))을 달성합니다.

Proof Theorem 4.15에 의해, \(f(X)\)는 real numbers의 closed이고 bounded set입니다. 따라서 Theorem 2.28에 의해 \(f(X)\)는 다음을 포함합니다.

\[M = \sup f(X) \quad \text{and} \quad m = \inf f(X)\]

Theorem 2.28에 의해.

4.17 Theorem compact metric space \(X\)에서 metric space \(Y\)로의 continuous 1-1 mapping \(f\)가 있다고 가정합니다. 그러면 \(Y\)에 정의된 inverse mapping \(f^{-1}\)는

\[f^{-1}(f(x)) = x \quad (x \in X)\]

\(Y\)에서 \(X\)로의 continuous mapping입니다.

Proof Theorem 4.8을 \(f\) 대신 \(f^{-1}\)에 적용하면, \(X\)의 모든 open set \(V\)에 대해 \(f(V)\)가 \(Y\)에서 open set임을 증명하는 것으로 충분하다는 것을 알 수 있습니다. 그러한 set \(V\)를 고정합니다. \(V\)의 complement \(V^c\)는 \(X\)에서 closed이므로 (Theorem 2.35), compact입니다. 따라서 \(f(V^c)\)는 \(Y\)의 compact subset이고 (Theorem 4.14), 따라서 \(Y\)에서 closed입니다 (Theorem 2.34). \(f\)는 one-to-one이고 onto이므로, \(f(V)\)는 \(f(V^c)\)의 complement입니다. 따라서 \(f(V)\)는 open입니다.

4.18 Definition metric space \(X\)에서 metric space \(Y\)로의 mapping \(f\)가 있다고 합시다. 우리는 \(f\)가 \(X\)에서 uniformly continuous라고 말하는데, 이는 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 다음을 만족하는 \(\delta > 0\)가 존재하기 때문입니다.

(15) \(d_Y(f(p), f(q)) < \varepsilon\)

\(d_X(p, q) < \delta\)를 만족하는 \(X\)의 모든 \(p\)와 \(q\)에 대해.

continuity와 uniform continuity 개념의 차이점을 고려해 봅시다. 첫째, uniform continuity는 set에 대한 function의 property인 반면, continuity는 단일 point에서 정의될 수 있습니다. 주어진 function이 특정 point에서 uniformly continuous인지 묻는 것은 무의미합니다. 둘째, 만약 \(f\)가 \(X\)에서 continuous라면, 모든 \(\varepsilon > 0\)과 \(X\)의 모든 point \(p\)에 대해 Definition 4.5에 명시된 property를 가지는 number \(\delta > 0\)를 찾을 수 있습니다. 이 \(\delta\)는 \(\varepsilon\)와 \(p\)에 따라 달라집니다. 그러나 만약 \(f\)가 \(X\)에서 uniformly continuous라면, 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(X\)의 모든 point \(p\)에 대해 작동하는 하나의 number \(\delta > 0\)를 찾을 수 있습니다. 명백히, 모든 uniformly continuous function은 continuous입니다. 두 개념이 compact sets에서 equivalent하다는 것은 다음 theorem으로부터 도출됩니다.

4.19 Theorem compact metric space \(X\)에서 metric space \(Y\)로의 continuous mapping \(f\)가 있다고 합시다. 그러면 \(f\)는 \(X\)에서 uniformly continuous입니다.

Proof \(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 합시다. \(f\)가 continuous이므로, 우리는 \(X\)의 각 point \(p\)에 대해 다음을 만족하는 positive number \(\phi(p)\)를 연결할 수 있습니다.

(16) \(q \in X, d_X(p, q) < \phi(p) \implies d_Y(f(p), f(q)) < \frac{\varepsilon}{2}\)

\(J(p)\)를 다음을 만족하는 모든 \(q \in X\)의 set이라고 합시다.

(17) \(d_X(p, q) < \frac{1}{2}\phi(p)\)

\(p \in J(p)\)이므로, 모든 sets \(J(p)\)의 collection은 \(X\)의 open cover입니다. 그리고 \(X\)가 compact이므로, 유한한 points \(p_1, \dots, p_n\)의 set이 존재하여

(18) \(X = J(p_1) \cup \dots \cup J(p_n)\)

우리는 다음을 설정합니다.

(19) \(\delta = \frac{1}{2} \min [\phi(p_1), \dots, \phi(p_n)]\)

그러면 \(\delta > 0\)입니다. (이것은 compactness의 definition에 내재된 covering의 유한성이 필수적인 한 가지 point입니다. 유한한 positive numbers set의 minimum은 positive인 반면, 무한한 positive numbers set의 infimum은 0일 수도 있습니다.)

이제 \(d_X(p, q) < \delta\)를 만족하는 \(X\)의 points \(p\)와 \(q\)를 가정합니다. (18)에 의해, \(p \in J(p_m)\)을 만족하는 integer \(m\), \(1 \le m \le n\)이 존재합니다. 따라서

(20) \(d_X(p, p_m) < \frac{1}{2}\phi(p_m)\)

그리고 우리는 또한 다음을 가집니다.

\[d_X(q, p_m) \le d_X(p, q) + d_X(p, p_m) < \delta + \frac{1}{2}\phi(p_m) \le \phi(p_m)\]

마지막으로, (16)은 다음을 보여줍니다.

\[d_Y(f(p), f(q)) \le d_Y(f(p), f(p_m)) + d_Y(f(q), f(p_m)) < \varepsilon\]

이것으로 proof가 완료됩니다.

대체 proof는 Exercise 10에 스케치되어 있습니다. 이제 compactness가 Theorem 4.14, 4.15, 4.16, 4.19의 hypotheses에서 필수적임을 보여줄 것입니다.

4.20 Theorem \(E\)가 \(R^1\)의 noncompact set이라고 합시다. 그러면 (a) bounded가 아닌 continuous function이 \(E\)에 존재합니다. (b) maximum을 가지지 않는 continuous이고 bounded function이 \(E\)에 존재합니다. 만약 추가적으로 \(E\)가 bounded라면, (c) uniformly continuous가 아닌 continuous function이 \(E\)에 존재합니다.

Proof 먼저 \(E\)가 bounded라고 가정합니다. 그러면 \(E\)의 limit point \(x_0\)가 존재하지만 \(x_0\)는 \(E\)의 point가 아닙니다. 다음을 고려합니다.

(21) \(f(x) = \frac{1}{x - x_0} \quad (x \in E)\)

이것은 \(E\)에서 continuous이지만 (Theorem 4.9), 명백히 unbounded입니다. (21)이 uniformly continuous가 아님을 보려면, \(\varepsilon > 0\)과 \(\delta > 0\)를 임의로 선택하고, \(\vert x - x_0 \vert < \delta\)를 만족하는 point \(x \in E\)를 선택합니다. \(x_0\)에 충분히 가까운 \(t\)를 취하면, \(\vert f(t) - f(x) \vert\)를 \(\varepsilon\)보다 크게 만들 수 있습니다. 이때 \(\vert t - x \vert < \delta\)입니다. 이것이 모든 \(\delta > 0\)에 대해 참이므로, \(f\)는 \(E\)에서 uniformly continuous가 아닙니다.

다음과 같이 주어진 function \(g\)는

(22) \(g(x) = \frac{1}{1 + (x - x_0)^2} \quad (x \in E)\)

\(E\)에서 continuous이고, \(0 < g(x) < 1\)이므로 bounded입니다. 다음은 명확합니다.

\[\sup_{x \in E} g(x) = 1\]

반면 모든 \(x \in E\)에 대해 \(g(x) < 1\)입니다. 따라서 \(g\)는 \(E\)에서 maximum을 가지지 않습니다.

bounded sets \(E\)에 대한 theorem을 증명했으므로, 이제 \(E\)가 unbounded라고 가정합니다. 그러면 \(f(x) = x\)는 (a)를 확립하는 반면,

(23) \(h(x) = \frac{x^2}{1 + x^2} \quad (x \in E)\)

다음이 성립하므로 (b)를 확립합니다.

\[\sup_{x \in E} h(x) = 1\]

그리고 모든 \(x \in E\)에 대해 \(h(x) < 1\)입니다.

boundedness가 hypotheses에서 생략되었다면 주장 (c)는 거짓일 것입니다. 예를 들어, \(E\)를 모든 integers의 set이라고 합시다. 그러면 \(E\)에 정의된 모든 function은 \(E\)에서 uniformly continuous입니다. 이를 보려면 Definition 4.18에서 \(\delta < 1\)로 취하기만 하면 됩니다.

우리는 이 section을 compactness가 Theorem 4.17에서도 필수적임을 보여주면서 마무리합니다.

4.21 Example \(X\)를 real line의 half-open interval \([0, 2\pi)\)라고 하고, \(f\)를 다음과 같이 주어진, 원점으로부터의 거리가 1인 모든 points로 구성된 circle \(Y\)로의 \(X\)의 mapping이라고 합시다.

(24) \(f(t) = (\cos t, \sin t) \quad (0 \le t < 2\pi)\)

trigonometric functions cosine과 sine의 continuity와 그 periodicity properties는 Chap. 8에서 확립될 것입니다. 이 결과들은 \(f\)가 \(X\)에서 \(Y\)로의 continuous 1-1 mapping임을 보여줍니다.

그러나 inverse mapping ( \(f\)가 one-to-one이고 onto이므로 존재함)은 point \((1, 0) = f(0)\)에서 continuous가 아닙니다. 물론, 이 예에서 \(X\)는 compact가 아닙니다. ( \(f^{-1}\)가 continuous가 아님에도 불구하고 \(Y\)가 compact이라는 점을 관찰하는 것이 흥미로울 수 있습니다!)

CONTINUITY AND CONNECTEDNESS

4.22 Theorem 만약 \(f\)가 metric space \(X\)에서 metric space \(Y\)로의 continuous mapping이고, \(E\)가 \(X\)의 connected subset이라면, \(f(E)\)는 connected입니다.

Proof 반대로, \(f(E) = A \cup B\)라고 가정합니다. 여기서 \(A\)와 \(B\)는 nonempty separated subsets of \(Y\)입니다. \(G = E \cap f^{-1}(A)\)와 \(H = E \cap f^{-1}(B)\)로 설정합니다. 그러면 \(E = G \cup H\)이고 \(G\)도 \(H\)도 empty가 아닙니다. \(A \subset \overline{A}\)이므로, \(G \subset f^{-1}(\overline{A})\)입니다. 후자의 set은 \(f\)가 continuous이므로 closed입니다. 따라서 \(\overline{G} \subset f^{-1}(\overline{A})\)입니다. 이는 \(f(\overline{G}) \subset \overline{A}\)를 의미합니다. \(f(H) = B\)이고 \(A \cap B\)는 empty이므로, 우리는 \(G \cap \overline{H}\)가 empty라고 결론 내립니다. 같은 논증은 \(\overline{G} \cap H\)가 empty임을 보여줍니다. 따라서 \(G\)와 \(H\)는 separated입니다. 이는 \(E\)가 connected라면 불가능합니다.

4.23 Theorem interval \([a, b]\)에 대한 continuous real function \(f\)가 있다고 합시다. 만약 \(f(a) < f(b)\)이고 \(c\)가 \(f(a) < c < f(b)\)를 만족하는 number라면, \(f(x) = c\)를 만족하는 point \(x \in (a, b)\)가 존재합니다.

물론, \(f(a) > f(b)\)인 경우에도 유사한 결과가 성립합니다. 대략적으로 말하면, 이 theorem은 continuous real function이 interval에서 모든 intermediate values를 취한다는 것을 의미합니다.

Proof Theorem 2.47에 의해 \([a, b]\)는 connected입니다. 따라서 Theorem 4.22는 \(f([a, b])\)가 \(R^1\)의 connected subset임을 보여주며, 이 주장은 Theorem 2.47을 다시 한 번 적용하면 도출됩니다.

4.24 Remark 언뜻 보기에 Theorem 4.23에는 converse가 있는 것처럼 보일 수 있습니다. 즉, 어떤 두 points \(x_1 < x_2\)에 대해 그리고 \(f(x_1)\)과 \(f(x_2)\) 사이의 어떤 number \(c\)에 대해 \(f(x) = c\)를 만족하는 point \(x \in (x_1, x_2)\)가 있다면, \(f\)는 continuous여야 한다고 생각할 수 있습니다. 이것이 사실이 아니라는 것은 Example 4.27(d)로부터 결론 내릴 수 있습니다.

DISCONTINUITIES

만약 \(x\)가 function \(f\)의 domain of definition에 있는 point이고 \(f\)가 \(x\)에서 continuous가 아니라면, 우리는 \(f\)가 \(x\)에서 discontinuous이거나 \(f\)가 \(x\)에서 discontinuity를 가진다고 말합니다. 만약 \(f\)가 interval 또는 segment에 정의되어 있다면, discontinuities를 두 가지 유형으로 나누는 것이 관례입니다. 이 classification을 제시하기 전에, 우리는 \(x\)에서 \(f\)의 right-hand 및 left-hand limits를 정의해야 합니다. 이를 각각 \(f(x+)\)와 \(f(x-)\)로 나타냅니다.

4.25 Definition \(f\)가 \((a, b)\)에 정의되어 있다고 합시다. \(a \le x < b\)를 만족하는 point \(x\)를 고려합니다. 우리는 다음을 씁니다.

\[f(x+) = q\]

만약 모든 sequences \(\{t_n\}\) in \((x, b)\)에 대해 \(t_n \to x\)일 때 \(f(t_n) \to q\)라면. \(a < x \le b\)에 대한 \(f(x-)\)의 definition을 얻기 위해, 우리는 \((a, x)\)의 sequences \(\{t_n\}\)에만 국한합니다. \((a, b)\)의 어떤 point \(x\)에 대해 \(\lim_{t \to x} f(t)\)가 존재하는 것은 다음 경우에만 해당한다는 것이 명확합니다.

\[f(x+) = f(x-) = \lim_{t \to x} f(t)\]

4.26 Definition \(f\)가 \((a, b)\)에 정의되어 있다고 합시다. 만약 \(f\)가 point \(x\)에서 discontinuous이고, \(f(x+)\)와 \(f(x-)\)가 존재한다면, \(f\)는 \(x\)에서 discontinuity of the first kind 또는 simple discontinuity를 가진다고 말합니다. 그렇지 않으면 discontinuity는 discontinuity of the second kind라고 불립니다. function이 simple discontinuity를 가질 수 있는 두 가지 방법이 있습니다. \(f(x+) \neq f(x-)\) (이 경우 \(f(x)\)의 값은 중요하지 않음)이거나, \(f(x+) = f(x-) \neq f(x)\)입니다.

4.27 Examples (a) 정의:

\[f(x) = \begin{cases} 1 & (\text{x rational}), \\ 0 & (\text{x irrational}). \end{cases}\]

그러면 \(f\)는 모든 point \(x\)에서 discontinuity of the second kind를 가집니다. 왜냐하면 \(f(x+)\)도 \(f(x-)\)도 존재하지 않기 때문입니다. (b) 정의:

\[f(x) = \begin{cases} x & (\text{x rational}), \\ 0 & (\text{x irrational}). \end{cases}\]

그러면 \(f\)는 \(x=0\)에서 continuous이고 다른 모든 point에서는 discontinuity of the second kind를 가집니다. (c) 정의:

\[f(x) = \begin{cases} x+2 & (-3 < x < -2), \\ -x-2 & (-2 \le x < 0), \\ x+2 & (0 \le x < 1). \end{cases}\]

그러면 \(f\)는 \(x=0\)에서 simple discontinuity를 가지며 \(( -3, 1)\)의 다른 모든 point에서는 continuous입니다. (d) 정의:

\[f(x) = \begin{cases} \sin \frac{1}{x} & (x \neq 0), \\ 0 & (x = 0). \end{cases}\]

\(f(0+)\)도 \(f(0-)\)도 존재하지 않으므로, \(f\)는 \(x=0\)에서 discontinuity of the second kind를 가집니다. 우리는 아직 \(\sin x\)가 continuous function임을 보여주지 않았습니다. 이 결과를 잠시 가정하면, Theorem 4.7은 \(f\)가 모든 point \(x \neq 0\)에서 continuous임을 의미합니다.

MONOTONIC FUNCTIONS

이제 주어진 segment에서 결코 감소하지 않거나 (또는 결코 증가하지 않는) functions를 연구할 것입니다.

4.28 Definition \(f\)가 \((a, b)\)에서 real이라고 합시다. 그러면 \(a < x < y < b\)가 \(f(x) \le f(y)\)를 의미할 때 \(f\)는 \((a, b)\)에서 monotonically increasing이라고 불립니다. 만약 마지막 inequality가 반전되면, 우리는 monotonically decreasing function의 definition을 얻습니다. monotonic functions의 class는 increasing 및 decreasing functions 모두로 구성됩니다.

4.29 Theorem \(f\)가 \((a, b)\)에서 monotonically increasing이라고 합시다. 그러면 \(f(x+)\)와 \(f(x-)\)는 \((a, b)\)의 모든 point \(x\)에서 존재합니다. 더 정확히 말하면,

(25) \(\sup_{a < t < x} f(t) = f(x-) \le f(x) \le f(x+) = \inf_{x < t < b} f(t)\)

더 나아가, 만약 \(a < x < y < b\)라면,

(26) \(f(x+) \le f(y-)\)

monotonically decreasing functions에 대해서도 유사한 결과가 명백히 성립합니다.

Proof hypothesis에 의해, \(a < t < x\)인 numbers \(f(t)\)의 set은 number \(f(x)\)에 의해 위로 bounded됩니다. 따라서 least upper bound를 가지며, 이를 \(A\)로 나타낼 것입니다. 명백히 \(A \le f(x)\). 우리는 \(A = f(x-)\)임을 보여야 합니다. \(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 합시다. \(A\)의 least upper bound로서의 definition으로부터, \(a < x - \delta < x\)를 만족하는 \(\delta > 0\)가 존재합니다.

(27) \(A - \varepsilon < f(x - \delta) \le A\)

\(f\)는 monotonic이므로, 우리는 다음을 가집니다.

(28) \(f(x - \delta) \le f(t) \le A \quad (x - \delta < t < x)\)

(27)과 (28)을 결합하면 다음을 알 수 있습니다.

\[\vert f(t) - A \vert < \varepsilon \quad (x - \delta < t < x)\]

따라서 \(f(x-) = A\)입니다. (25)의 두 번째 절반은 정확히 같은 방식으로 증명됩니다. 다음으로, 만약 \(a < x < y < b\)라면, (25)로부터 다음을 알 수 있습니다.

(29) \(f(x+) = \inf_{x < t < b} f(t) = \inf_{x < t < y} f(t)\)

마지막 equality는 (25)를 \((a, b)\) 대신 \((a, y)\)에 적용하여 얻어집니다. 유사하게,

(30) \(f(y-) = \sup_{a < t < y} f(t) = \sup_{x < t < y} f(t)\)

(29)와 (30)을 비교하면 (26)이 나옵니다.

Corollary Monotonic functions는 discontinuities of the second kind를 가지지 않습니다.

이 corollary는 모든 monotonic function이 기껏해야 countable set of points에서 discontinuous임을 의미합니다. Exercise 17에 proof가 스케치된 일반 theorem에 호소하는 대신, 우리는 여기에서 monotonic functions에 적용 가능한 간단한 proof를 제공합니다.

4.30 Theorem \(f\)가 \((a, b)\)에서 monotonic이라고 합시다. 그러면 \((a, b)\)에서 \(f\)가 discontinuous인 points의 set은 기껏해야 countable입니다.

Proof 명확성을 위해 \(f\)가 increasing이라고 가정하고, \(E\)를 \(f\)가 discontinuous인 points의 set이라고 합시다. \(E\)의 모든 point \(x\)에 대해 우리는 다음을 만족하는 rational number \(r(x)\)를 연결합니다.

\[f(x-) < r(x) < f(x+)\]

\(x_1 < x_2\)가 \(f(x_1+) \le f(x_2-)\)를 의미하므로, \(x_1 \neq x_2\)이면 \(r(x_1) \neq r(x_2)\)임을 알 수 있습니다. 따라서 우리는 set \(E\)와 rational numbers set의 subset 사이에 1-1 correspondence를 확립했습니다. 후자는 우리가 알다시피 countable입니다.

4.31 Remark monotonic function의 discontinuities가 isolated일 필요는 없다는 점에 유의해야 합니다. 사실, \((a, b)\)의 임의의 countable subset \(E\)가 주어졌을 때, 심지어 dense일 수도 있는 경우에도, 우리는 \((a, b)\)에서 monotonic이고 \(E\)의 모든 point에서 discontinuous이며 다른 어떤 point에서도 discontinuous가 아닌 function \(f\)를 구성할 수 있습니다. 이를 보여주기 위해, \(E\)의 points를 sequence \(\{x_n\}\), \(n = 1, 2, 3, \dots\)로 배열합니다. \(\{c_n\}\)을 \(\sum c_n\)이 converges하는 positive numbers의 sequence라고 합시다. 다음을 정의합니다.

(31) \(f(x) = \sum_{x_n < x} c_n \quad (a < x < b)\)

summation은 다음과 같이 이해되어야 합니다: \(x_n < x\)를 만족하는 indices \(n\)에 대해 합산합니다. 만약 \(x\)의 왼쪽에 points \(x_n\)이 없다면, 합은 empty입니다. 일반적인 convention에 따라, 우리는 이를 0으로 정의합니다. (31)은 absolutely converges하므로, terms가 배열되는 순서는 중요하지 않습니다. 우리는 \(f\)의 다음 properties의 verification을 독자에게 맡깁니다. (a) \(f\)는 \((a, b)\)에서 monotonically increasing입니다. (b) \(f\)는 \(E\)의 모든 point에서 discontinuous입니다. 사실,

\[f(x+) - f(x-) = c_n\]

(c) \(f\)는 \((a, b)\)의 다른 모든 point에서 continuous입니다.

더 나아가, \((a, b)\)의 모든 point에서 \(f(x-) = f(x)\)임을 쉽게 알 수 있습니다. 만약 function이 이 조건을 만족한다면, 우리는 \(f\)가 continuous from the left라고 말합니다. 만약 (31)의 summation이 \(x_n \le x\)를 만족하는 모든 indices \(n\)에 대해 취해졌다면, 우리는 \((a, b)\)의 모든 point에서 \(f(x+) = f(x)\)를 가질 것입니다. 즉, \(f\)는 continuous from the right일 것입니다. 이러한 종류의 functions는 다른 방법으로도 정의될 수 있습니다. 예를 들어 Theorem 6.16을 참조하십시오.

INFINITE LIMITS AND LIMITS AT INFINITY

extended real number system에서 작동할 수 있도록, 우리는 이제 neighborhoods의 관점에서 Definition 4.1을 재구성하여 그 범위를 확장할 것입니다. 모든 real number \(x\)에 대해, 우리는 이미 \(x\)의 neighborhood를 segment \((x - \delta, x + \delta)\)로 정의했습니다.

4.32 Definition 모든 real \(c\)에 대해, \(x > c\)를 만족하는 real numbers의 set은 \(+\infty\)의 neighborhood라고 불리며 \((c, +\infty)\)로 쓰여집니다. 유사하게, set \((-\infty, c)\)는 \(-\infty\)의 neighborhood입니다.

4.33 Definition \(f\)가 \(E \subset \text{R}\)에 정의된 real function이라고 합시다. 우리는 다음을 말합니다.

\[f(t) \to A \quad \text{as } t \to x\]

여기서 \(A\)와 \(x\)는 extended real number system에 속하며, 이는 \(A\)의 모든 neighborhood \(U\)에 대해 \(x\)의 neighborhood \(V\)가 존재하여 \(V \cap E\)가 empty가 아니고, 모든 \(t \in V \cap E, t \neq x\)에 대해 \(f(t) \in U\)를 만족한다는 것을 의미합니다.

잠시 생각해보면 이것이 \(A\)와 \(x\)가 real일 때 Definition 4.1과 일치한다는 것을 알 수 있습니다. Theorem 4.4의 analogue는 여전히 참이며, proof는 새로운 것을 제공하지 않습니다. 완전성을 위해 이를 진술합니다.

4.34 Theorem \(f\)와 \(g\)가 \(E \subset \text{R}\)에 정의되어 있다고 가정합니다.

\[f(t) \to A, \quad g(t) \to B \quad \text{as } t \to x\]

그러면 (a) \(f(t) \to A'\)는 \(A' = A\)를 의미합니다. (b) \((f+g)(t) \to A + B\) (c) \((fg)(t) \to AB\) (d) \((f/g)(t) \to A/B\) (b), (c), (d)의 right members가 정의되어 있다고 가정합니다.

Note \(\infty - \infty\), \(0 \cdot \infty\), \(\infty/\infty\), \(A/0\)는 정의되지 않습니다 (Definition 1.23 참조).

EXERCISES

1. \(f\)가 \(R^1\)에 정의된 real function이고 다음을 만족한다고 가정합니다.

   \[\lim_{h \to 0} [f(x + h) - f(x - h)] = 0\]

   모든 \(x \in \text{R}^1\)에 대해. 이것이 \(f\)가 continuous임을 의미합니까?

2. 만약 \(f\)가 metric space \(X\)에서 metric space \(Y\)로의 continuous mapping이라면, 모든 set \(E \subset X\)에 대해 다음을 증명하십시오.

   \[f(\overline{E}) = \overline{f(E)}\]

   (\(\overline{E}\)는 \(E\)의 closure를 나타냅니다.) \(f(\overline{E})\)가 \(f(E)\)의 proper subset이 될 수 있음을 예시를 들어 보여주십시오.

3. \(f\)가 metric space \(X\)에 대한 continuous real function이라고 합시다. \(Z(f)\) ( \(f\)의 zero set)를 \(f(p) = 0\)인 \(X\)의 모든 points \(p\)의 set이라고 합시다. \(Z(f)\)가 closed임을 증명하십시오.

4. \(f\)와 \(g\)가 metric space \(X\)에서 metric space \(Y\)로의 continuous mappings이고, \(E\)가 \(X\)의 dense subset이라고 합시다. \(f(E)\)가 \(f(X)\)에서 dense임을 증명하십시오. 만약 모든 \(p \in E\)에 대해 \(g(p) = f(p)\)라면, 모든 \(p \in X\)에 대해 \(g(p) = f(p)\)임을 증명하십시오. (다시 말해, continuous mapping은 그 domain의 dense subset에서의 값에 의해 결정됩니다.)

5. \(f\)가 closed set \(E \subset \text{R}^1\)에 정의된 real continuous function이라고 합시다. \(R^1\)에 continuous real functions \(g\)가 존재하여 모든 \(x \in E\)에 대해 \(g(x) = f(x)\)임을 증명하십시오. (이러한 functions \(g\)는 \(E\)에서 \(R^1\)로의 \(f\)의 continuous extensions라고 불립니다.) “closed”라는 단어가 생략되면 결과가 거짓이 됨을 보여주십시오. 결과를 vector-valued functions로 확장하십시오. Hint: \(g\)의 graph가 \(E\)의 complement를 구성하는 각 segment에서 straight line이 되도록 하십시오 (Exercise 29, Chap. 2와 비교). \(R^1\)이 임의의 metric space로 대체되어도 결과는 참이지만, proof는 그렇게 간단하지 않습니다.

6. \(f\)가 \(E\)에 정의되어 있다면, \(f\)의 graph는 \(x \in E\)에 대해 points \((x, f(x))\)의 set입니다. 특히, 만약 \(E\)가 real numbers의 set이고 \(f\)가 real-valued라면, \(f\)의 graph는 plane의 subset입니다. \(E\)가 compact이라고 가정하고, \(f\)가 \(E\)에서 continuous인 것은 그 graph가 compact인 경우에만 해당함을 증명하십시오.

7. \(E \subset X\)이고 \(f\)가 \(X\)에 정의된 function이라면, \(f\)의 \(E\)로의 restriction은 domain of definition이 \(E\)인 function \(g\)이며, \(p \in E\)에 대해 \(g(p) = f(p)\)를 만족합니다. \(f\)와 \(g\)를 \(R^2\)에 다음과 같이 정의합니다: \(f(0, 0) = g(0, 0) = 0\), \(f(x, y) = xy^2/(x^2 + y^4)\), \(g(x, y) = xy^2/(x^2 + y^6)\) (만약 \((x, y) \neq (0, 0)\)). \(f\)가 \(R^2\)에서 bounded이고, \(g\)가 \((0, 0)\)의 모든 neighborhood에서 unbounded이며, \(f\)가 \((0, 0)\)에서 continuous가 아님을 증명하십시오. 그럼에도 불구하고, \(f\)와 \(g\) 모두의 \(R^2\)의 모든 straight line로의 restrictions는 continuous입니다!

8. \(f\)가 \(R^1\)의 bounded set \(E\)에 대한 real uniformly continuous function이라고 합시다. \(f\)가 \(E\)에서 bounded임을 증명하십시오. E의 boundedness가 hypothesis에서 생략되면 결론이 거짓이 됨을 보여주십시오.

9. uniform continuity의 definition에서 요구 사항이 sets의 diameters 관점에서 다음과 같이 재구성될 수 있음을 보여주십시오: 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 diam \(E < \delta\)를 만족하는 모든 \(E \subset X\)에 대해 diam \(f(E) < \varepsilon\)를 만족하는 \(\delta > 0\)가 존재합니다.

10. Theorem 4.19의 다음 대체 proof의 세부 사항을 완성하십시오: 만약 \(f\)가 uniformly continuous가 아니라면, 어떤 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \(d_X(p_n, q_n) \to 0\)이지만 \(d_Y(f(p_n), f(q_n)) > \varepsilon\)를 만족하는 sequences \(\{p_n\}\), \(\{q_n\}\)이 \(X\)에 존재합니다. Theorem 2.37을 사용하여 contradiction을 얻으십시오.

11. \(f\)가 metric space \(X\)에서 metric space \(Y\)로의 uniformly continuous mapping이라고 가정하고, \(X\)의 모든 Cauchy sequence \(\{x_n\}\)에 대해 \(\{f(x_n)\}\)이 \(Y\)의 Cauchy sequence임을 증명하십시오. 이 결과를 사용하여 Exercise 13에 진술된 theorem의 대체 proof를 제공하십시오.

12. uniformly continuous function의 uniformly continuous function은 uniformly continuous입니다. 이를 더 정확하게 진술하고 증명하십시오.

13. \(E\)가 metric space \(X\)의 dense subset이고, \(f\)가 \(E\)에 정의된 uniformly continuous real function이라고 합시다. \(f\)가 \(E\)에서 \(X\)로의 continuous extension을 가짐을 증명하십시오. (Exercise 5의 terminology 참조). (Uniqueness는 Exercise 4에서 따릅니다.) Hint: 각 \(p \in X\)와 각 positive integer \(n\)에 대해, \(d(p, q) < 1/n\)인 모든 \(q \in E\)의 set을 \(V_n(p)\)라고 합시다. Exercise 9를 사용하여 sets \(f(V_1(p)), f(V_2(p)), \dots\)의 closures의 intersection이 단일 point, 예를 들어 \(g(p)\) of \(R^1\)로 구성됨을 보여주십시오. 그렇게 정의된 function \(g\)가 \(f\)의 원하는 extension임을 증명하십시오. range space \(R^1\)이 \(R^k\)로 대체될 수 있습니까? 임의의 compact metric space로? 임의의 complete metric space로? 임의의 metric space로?

14. \(I = [0, 1]\)을 closed unit interval이라고 합시다. \(f\)가 \(I\)에서 \(I\)로의 continuous mapping이라고 가정합니다. 적어도 하나의 \(x \in I\)에 대해 \(f(x) = x\)임을 증명하십시오.

15. mapping \(f\)가 \(X\)에서 \(Y\)로 open이라고 부르는 것은, \(V\)가 \(X\)에서 open set일 때마다 \(f(V)\)가 \(Y\)에서 open set인 경우입니다. \(R^1\)에서 \(R^1\)로의 모든 continuous open mapping이 monotonic임을 증명하십시오.

16. \([x]\)를 \(x\)에 포함된 가장 큰 integer라고 합시다. 즉, \(x-1 < [x] \le x\)인 integer가 \([x]\)입니다. 그리고 \((x) = x - [x]\)를 \(x\)의 fractional part라고 합시다. functions \([x]\)와 \((x)\)는 어떤 discontinuities를 가집니까?

17. \(f\)가 \((a, b)\)에 정의된 real function이라고 합시다. \(f\)가 simple discontinuity를 가지는 points의 set은 기껏해야 countable임을 증명하십시오. Hint: \(E\)를 \(f(x-) < f(x+)\)인 set이라고 합시다. \(E\)의 각 point \(x\)에 대해 다음을 만족하는 rational numbers의 triple \((p, q, r)\)를 연결하십시오. (a) \(f(x-) < p < f(x+)\) (b) \(a < q < t < x\)는 \(f(t) < p\)를 의미합니다. (c) \(x < t < r < b\)는 \(f(t) > p\)를 의미합니다. 이러한 모든 triples의 set은 countable입니다. 각 triple이 \(E\)의 기껏해야 하나의 point와 연결됨을 보여주십시오. 다른 가능한 유형의 simple discontinuities에 대해서도 유사하게 처리하십시오.

18. 모든 rational \(x\)는 \(x = m/n\) 형태로 쓸 수 있습니다. 여기서 \(n > 0\)이고 \(m\)과 \(n\)은 공통 divisor가 없는 integers입니다. \(x = 0\)일 때는 \(n = 1\)로 취합니다. \(R^1\)에 정의된 function \(f\)를 고려합니다.

    \[f(x) = \begin{cases} 0 & (\text{x irrational}), \\ \frac{1}{n} & (\text{x rational, } x = \frac{m}{n}). \end{cases}\]

    \(f\)가 모든 irrational point에서 continuous이고, 모든 rational point에서 simple discontinuity를 가짐을 증명하십시오.

19. \(f\)가 domain \(R^1\)을 가지는 real function이고 intermediate value property를 가진다고 가정합니다: 만약 \(f(a) < c < f(b)\)라면, \(a\)와 \(b\) 사이의 어떤 \(x\)에 대해 \(f(x) = c\)입니다. 또한, 모든 rational \(r\)에 대해 \(f(x) = r\)인 모든 \(x\)의 set이 closed라고 가정합니다. \(f\)가 continuous임을 증명하십시오. Hint: 만약 \(x_n \to x_0\)이지만 \(f(x_n) > r > f(x_0)\)인 어떤 \(r\)과 모든 \(n\)에 대해, \(x_0\)와 \(x_n\) 사이의 어떤 \(t_n\)에 대해 \(f(t_n) = r\)입니다. 따라서 \(t_n \to x_0\)입니다. contradiction을 찾으십시오. (N. J. Fine, Amer. Math. Monthly, vol. 73, 1966, p. 782.)

20. 만약 \(E\)가 metric space \(X\)의 nonempty subset이라면, \(x \in X\)에서 \(E\)까지의 distance를 다음과 같이 정의합니다.

    \[\rho_E(x) = \inf_{z \in E} d(x, z)\]

    (a) \(\rho_E(x) = 0\)인 것은 \(x \in \overline{E}\)인 경우에만 해당함을 증명하십시오. (b) 다음을 보여줌으로써 \(\rho_E\)가 \(X\)에서 uniformly continuous function임을 증명하십시오.

    \[\vert \rho_E(x) - \rho_E(y) \vert \le d(x, y)\]

    모든 \(x \in X, y \in X\)에 대해. Hint: \(\rho_E(x) \le d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)\)이므로,

    \[\rho_E(x) \le d(x, y) + \rho_E(y)\]

21. \(K\)와 \(F\)가 metric space \(X\)의 disjoint sets이고, \(K\)는 compact이며, \(F\)는 closed라고 가정합니다. \(p \in K, q \in F\)일 때 \(d(p, q) > \delta\)를 만족하는 \(\delta > 0\)가 존재함을 증명하십시오. Hint: \(\rho_F\)는 \(K\)에 대한 continuous positive function입니다. 두 disjoint closed sets 중 어느 것도 compact가 아니라면 결론이 실패할 수 있음을 보여주십시오.

22. \(A\)와 \(B\)가 metric space \(X\)의 disjoint nonempty closed sets라고 하고, 다음을 정의합니다.

    \[f(p) = \frac{\rho_A(p)}{\rho_A(p) + \rho_B(p)} \quad (p \in X)\]

    \(f\)가 range가 \([0, 1]\)에 있는 \(X\)에 대한 continuous function이고, \(f(p) = 0\)은 정확히 \(A\)에서, \(f(p) = 1\)은 정확히 \(B\)에서임을 보여주십시오. 이는 Exercise 3의 converse를 확립합니다: 모든 closed set \(A \subset X\)는 \(X\)에 대한 어떤 continuous real function \(f\)의 \(Z(f)\)입니다. 다음을 설정합니다.

    \[V = f^{-1}([0, \frac{1}{2})), \quad W = f^{-1}((\frac{1}{2}, 1])\]

    \(V\)와 \(W\)가 open이고 disjoint이며, \(A \subset V, B \subset W\)임을 보여주십시오. (따라서 disjoint closed sets의 pairs는 disjoint open sets의 pairs로 덮일 수 있습니다. metric spaces의 이 property는 normality라고 불립니다.)

23. \((a, b)\)에 정의된 real-valued function \(f\)는 다음을 만족할 때 convex라고 불립니다.

    \[f(\lambda x + (1 - \lambda)y) \le \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y)\]

    \(a < x < b, a < y < b, 0 < \lambda < 1\)일 때마다. 모든 convex function은 continuous임을 증명하십시오. convex function의 모든 increasing convex function은 convex임을 증명하십시오. (예를 들어, \(f\)가 convex이면 \(e^f\)도 convex입니다.) 만약 \(f\)가 \((a, b)\)에서 convex이고 \(a < s < t < u < b\)라면, 다음을 보여주십시오.

    \[\frac{f(t) - f(s)}{t - s} \le \frac{f(u) - f(s)}{u - s} \le \frac{f(u) - f(t)}{u - t}\]

24. \(f\)가 \((a, b)\)에 정의된 continuous real function이고 다음을 만족한다고 가정합니다.

    \[f\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}\]

    모든 \(x, y \in (a, b)\)에 대해. \(f\)가 convex임을 증명하십시오.

25. 만약 \(A \subset \text{R}^k\)이고 \(B \subset \text{R}^k\)라면, \(A+B\)를 \(x \in A, y \in B\)인 모든 합 \(x+y\)의 set으로 정의합니다. (a) 만약 \(K\)가 compact이고 \(C\)가 \(R^k\)에서 closed라면, \(K+C\)가 closed임을 증명하십시오. Hint: \(z \notin K+C\)라고 하고, \(F = z-C\)를 \(y \in C\)인 모든 \(z-y\)의 set이라고 합시다. 그러면 \(K\)와 \(F\)는 disjoint입니다. Exercise 21에서와 같이 \(\delta\)를 선택하십시오. center가 \(z\)이고 radius가 \(\delta\)인 open ball이 \(K+C\)와 교차하지 않음을 보여주십시오. (b) \(\alpha\)를 irrational real number라고 합시다. \(C_1\)을 모든 integers의 set이라고 하고, \(C_2\)를 \(n \in C_1\)인 모든 \(n\alpha\)의 set이라고 합시다. \(C_1\)과 \(C_2\)가 \(R^1\)의 closed subsets이고, 그 합 \(C_1+C_2\)가 closed가 아님을 보여주십시오. 이는 \(C_1+C_2\)가 \(R^1\)의 countable dense subset임을 보여줌으로써 가능합니다.

26. \(X, Y, Z\)가 metric spaces이고, \(Y\)가 compact이라고 가정합니다. \(f\)가 \(X\)를 \(Y\)로 map하고, \(g\)가 \(Y\)에서 \(Z\)로의 continuous one-to-one mapping이며, \(h(x) = g(f(x))\)를 \(x \in X\)에 대해 설정합니다. \(h\)가 uniformly continuous라면 \(f\)가 uniformly continuous임을 증명하십시오. Hint: \(g^{-1}\)는 compact domain \(g(Y)\)를 가지며, \(f(x) = g^{-1}(h(x))\)입니다. \(h\)가 continuous라면 \(f\)가 continuous임을 증명하십시오. (\(Example\) 4.21을 수정하거나 다른 예시를 찾아) \(X\)와 \(Z\)가 compact일 때에도 Y의 compactness가 hypotheses에서 생략될 수 없음을 보여주십시오.