실해석학 8장

8. 일부 특수 함수

POWER SERIES

이 섹션에서는 power series, 즉 다음 형태의 함수로 표현되는 함수의 일부 property를 도출할 것입니다.

(1) \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n\)

또는 더 일반적으로,

(2) \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n (x - a)^n\)

이들은 analytic functions라고 불립니다.

우리는 real value의 \(x\)로 제한할 것입니다. 따라서 convergence circle (Theorem 3.39 참조) 대신 convergence interval을 만나게 될 것입니다.

만약 (1)이 어떤 \(R > 0\) ( \(R\)은 \(+\infty\)일 수 있음)에 대해 \((-R, R)\)의 모든 \(x\)에 대해 converge한다면, 우리는 \(f\)가 point \(x = 0\)에 대해 power series로 expand되었다고 말합니다. 유사하게, 만약 (2)가 \(\vert x - a \vert < R\)에 대해 converge한다면, \(f\)는 point \(x = a\)에 대해 power series로 expand되었다고 말합니다. 편의상, 우리는 종종 일반성을 잃지 않고 \(a = 0\)으로 간주할 것입니다.

8.1 Theorem

series (3) \(\sum_{n=0}^\infty c_n x^n\) 이 \(\vert x \vert < R\)에 대해 converge한다고 가정하고, 다음을 정의합니다. (4) \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \quad (\vert x \vert < R)\)

그러면 (3)은 어떤 \(\varepsilon > 0\)이 선택되더라도 \([-R + \varepsilon, R - \varepsilon]\)에서 uniformly converge합니다. function \(f\)는 \((-R, R)\)에서 continuous하고 differentiable하며, (5) \(f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n c_n x^{n-1} \quad (\vert x \vert < R)\)

Proof \(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 가정합시다. \(\vert x \vert \le R - \varepsilon\)에 대해, 우리는 다음을 가집니다. \(\vert c_n x^n \vert \le \vert c_n(R- \varepsilon)^n \vert\) 그리고 \(\sum c_n(R - \varepsilon)^n\) 이 absolutely converge하기 때문에 (power series는 root test에 의해 convergence interval의 내부에서 absolutely converge합니다), Theorem 7.10은 \([-R + \varepsilon, R - \varepsilon]\)에서 (3)의 uniform convergence를 보여줍니다.

\(n^{1/n} \to 1\) as \(n \to \infty\)이므로, 우리는 다음을 가집니다. \(\lim \sup \sqrt[n]{\vert c_n \vert} = \lim \sup \sqrt[n]{\vert c_n \vert}\) 따라서 series (4)와 (5)는 동일한 convergence interval을 가집니다.

(5)는 power series이므로, 모든 \(\varepsilon > 0\)에 대해 \([-R + \varepsilon, R - \varepsilon]\)에서 uniformly converge하며, 우리는 Theorem 7.17 (수열 대신 series에 대해)을 적용할 수 있습니다. 따라서 \(\vert x \vert \le R - \varepsilon\)이면 (5)가 성립합니다. 그러나 \(\vert x \vert < R\)인 임의의 \(x\)가 주어지면, 우리는 \(\vert x \vert < R - \varepsilon\)인 \(\varepsilon > 0\)을 찾을 수 있습니다. 이는 \(\vert x \vert < R\)에 대해 (5)가 성립함을 보여줍니다. \(f\)의 continuity는 \(f'\)의 존재 (Theorem 5.2)로부터 따릅니다.

Corollary Theorem 8.1의 hypothesis 하에서, \(f\)는 \((-R, R)\)에서 모든 order의 derivative를 가지며, 이는 다음으로 주어집니다. (6) \(f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^\infty n(n - 1)\dots(n - k + 1)c_n x^{n-k}\) 특히, (7) \(f^{(k)}(0) = k!c_k \quad (k = 0, 1, 2, \dots)\) (여기서 \(f^{(0)}\)은 \(f\)를 의미하고, \(f^{(k)}\)는 \(k = 1, 2, 3, \dots\)에 대한 \(f\)의 k-th derivative입니다.)

8.2 Theorem

\(\sum c_n\)이 converge한다고 가정합니다. 다음을 설정합니다. \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \quad (-1 < x < 1)\) 그러면 (8) \(\lim_{x \to 1} f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n\)

Proof \(s_n = c_0 + \dots + c_n\), \(s_{-1} = 0\)이라고 합시다. 그러면 \(\sum_{n=0}^m c_n x^n = \sum_{n=0}^m (s_n - s_{n-1})x^n = (1 - x) \sum_{n=0}^m s_n x^n + s_m x^m\) \(\vert x \vert < 1\)에 대해, 우리는 \(m \to \infty\)로 두면 다음을 얻습니다. (9) \(f(x) = (1 - x) \sum_{n=0}^\infty s_n x^n\) \(s = \lim s_n\)이라고 가정합니다. \(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 합시다. \(n > N\)이면 \(\vert s - s_n \vert < \varepsilon/2\) 가 되도록 \(N\)을 선택합니다.

8.3 Theorem

double sequence \(\{a_{ij}\}\), \(i = 1, 2, 3, \dots\), \(j = 1, 2, 3, \dots\)가 주어졌다고 가정합니다. (12) \(\sum_{j=1}^\infty a_{ij} = b_i \quad (i = 1, 2, 3, \dots)\) 이고 \(\sum b_i\)가 converge한다고 가정합니다. 그러면 (13) \(\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty a_{ij} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty a_{ij}\)

Proof 우리는 Theorem 3.55에서 사용된 방법과 유사한 (그러나 더 복잡한) 직접적인 절차를 통해 (13)을 확립할 수 있습니다. 그러나 다음 방법이 더 흥미로워 보입니다.

8.4 Theorem

series \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n\) 이 \(\vert x \vert < R\)에서 converge한다고 가정합니다. 만약 \(-R < a < R\)이면, \(f\)는 point \(x = a\)에 대해 power series로 expand될 수 있으며, 이 series는 \(\vert x - a \vert < R - \vert a \vert\)에서 converge합니다. 그리고 (17) \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \quad (\vert x - a \vert < R - \vert a \vert)\) 이것은 Theorem 5.15의 확장이며 Taylor’s theorem으로도 알려져 있습니다.

Proof 우리는 다음을 가집니다. \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n [(x - a) + a]^n\) \(= \sum_{n=0}^\infty c_n \sum_{m=0}^n \binom{n}{m} a^{n-m}(x - a)^m\) \(= \sum_{m=0}^\infty \left[ \sum_{n=m}^\infty \binom{n}{m} c_n a^{n-m} \right] (x - a)^m\)

8.5 Theorem

series \(\sum a_n x^n\)과 \(\sum b_n x^n\)이 segment \(S = (-R, R)\)에서 converge한다고 가정합니다. \(E\)를 \(S\) 내의 모든 \(x\)의 집합이라고 합시다. (20) \(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n = \sum_{n=0}^\infty b_n x^n\) 만약 \(E\)가 \(S\)에 limit point를 가진다면, \(n = 0, 1, 2, \dots\)에 대해 \(a_n = b_n\)입니다. 따라서 (20)은 \(S\)의 모든 \(x\)에 대해 성립합니다.

Proof \(c_n = a_n - b_n\)으로 두고 (21) \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \quad (x \in S)\) 라고 합시다. 그러면 \(E\)에서 \(f(x) = 0\)입니다.

\(A\)를 \(S\) 내의 \(E\)의 모든 limit point의 집합이라고 하고, \(B\)를 \(S\)의 다른 모든 point로 구성된 집합이라고 합시다. “limit point”의 정의로부터 \(B\)가 open임은 분명합니다. 우리가 \(A\)가 open임을 증명할 수 있다고 가정합시다. 그러면 \(A\)와 \(B\)는 disjoint open set입니다. 따라서 그들은 separated됩니다 (Definition 2.45). \(S = A \cup B\)이고 \(S\)가 connected이므로, \(A\)와 \(B\) 중 하나는 empty여야 합니다. hypothesis에 의해 \(A\)는 empty가 아닙니다. 따라서 \(B\)는 empty이고 \(A = S\)입니다. \(f\)는 \(S\)에서 continuous이므로, \(A \subset E\)입니다. 따라서 \(E = S\)이고, (7)은 \(n = 0, 1, 2, \dots\)에 대해 \(c_n = 0\)임을 보여주며, 이는 우리가 원하는 결론입니다.

THE EXPONENTIAL AND LOGARITHMIC FUNCTIONS

우리는 다음을 정의합니다. (25) \(E(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}\) ratio test는 이 series가 모든 complex \(z\)에 대해 converge함을 보여줍니다. absolutely convergent series의 곱셈에 대한 Theorem 3.50을 적용하면, 우리는 다음을 얻습니다. \(E(z)E(w) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty \frac{z^n w^m}{n! m!}\) \(= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} z^k w^{n-k} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(z + w)^n}{n!}\) 이는 우리에게 중요한 addition formula를 제공합니다. (26) \(E(z + w) = E(z)E(w) \quad (z, w \text{ complex})\) 한 가지 결과는 다음과 같습니다. (27) \(E(z)E(-z) = E(z - z) = E(0) = 1 \quad (z \text{ complex})\)

8.6 Theorem

\(\mathbb{R}^1\)에서 (35)와 (25)에 의해 정의된 \(e^x\)가 있다고 합시다. 그러면 (a) \(e^x\)는 모든 \(x\)에 대해 continuous하고 differentiable합니다. (b) \((e^x)' = e^x\)입니다. (c) \(e^x\)는 \(x\)의 strictly increasing function이며, \(e^x > 0\)입니다. (d) \(e^{x+y} = e^x e^y\)입니다. (e) \(x \to +\infty\)일 때 \(e^x \to +\infty\)이고, \(x \to -\infty\)일 때 \(e^x \to 0\)입니다. (f) 모든 \(n\)에 대해 \(\lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0\)입니다.

Proof 우리는 이미 (a)부터 (e)까지 증명했습니다. (25)는 다음을 보여줍니다. \(e^x > \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\) \(x > 0\)이므로, 다음이 성립합니다. \(x^n e^{-x} < \frac{(n+1)!}{x}\) 그리고 (f)가 따릅니다. (f)는 \(x \to +\infty\)일 때 \(e^x\)가 \(x\)의 어떤 power보다도 “더 빠르게” \(+\infty\)로 향함을 보여줍니다.

\(E\)는 \(\mathbb{R}^1\)에서 strictly increasing하고 differentiable하므로, inverse function \(L\)을 가집니다. 이 function \(L\)도 strictly increasing하고 differentiable하며, 그 domain은 \(E(\mathbb{R}^1)\), 즉 모든 positive number의 집합입니다. \(L\)은 다음으로 정의됩니다. (36) \(E(L(y)) = y \quad (y > 0)\) 또는 동등하게, (37) \(L(E(x)) = x \quad (x \text{ real})\) (37)을 differentiate하면 (Theorem 5.5와 비교), 다음을 얻습니다. \(L'(E(x)) E(x) = 1\) \(y = E(x)\)로 쓰면, 다음을 얻습니다. (38) \(L'(y) = \frac{1}{y} \quad (y > 0)\) (37)에서 \(x = 0\)을 취하면, \(L(1) = 0\)임을 알 수 있습니다. 따라서 (38)은 다음을 의미합니다. (39) \(L(y) = \int_1^y \frac{dx}{x}\)

8.7 Theorem

(a) function \(E\)는 period \(2i\pi\)를 가진 periodic입니다. (b) function \(C\)와 \(S\)는 period \(2\pi\)를 가진 periodic입니다. (c) 만약 \(0 < t < 2\pi\)이면, \(E(it) \ne 1\)입니다. (d) 만약 \(z\)가 \(\vert z \vert = 1\)인 complex number라면, \(E(it) = z\)인 \([0, 2\pi)\) 내의 유일한 \(t\)가 존재합니다.

Proof (53)에 의해 (a)가 성립하고, (b)는 (a)와 (46)으로부터 따릅니다. \(0 < t < \pi/2\)이고 \(E(it) = x + iy\)이며 \(x, y\)가 real이라고 가정합시다. 우리의 이전 작업은 \(0 < x < 1\), \(0 < y < 1\)임을 보여줍니다. 다음을 주목하십시오. \(E(4it) = (x + iy)^4 = x^4 - 6x^2y^2 + y^4 + 4ixy(x^2 - y^2)\) 만약 \(E(4it)\)가 real이라면, \(x^2 - y^2 = 0\)이 따릅니다. \(x^2 + y^2 = 1\)이므로 (48)에 의해), 우리는 \(x^2 = y^2 = 1/2\)를 가집니다. 따라서 \(E(4it) = -1\)입니다. 이는 (c)를 증명합니다. 만약 \(0 \le t_1 < t_2 < 2\pi\)이면, \(E(it_2)[E(it_1)]^{-1} = E(i(t_2 - t_1)) \ne 1\) (c)에 의해. 이는 (d)의 uniqueness assertion을 확립합니다.

(d)의 existence assertion을 증명하기 위해, \(\vert z \vert = 1\)인 \(z\)를 고정합시다. \(z = x + iy\)로 쓰고, \(x, y\)는 real입니다. 먼저 \(x \ge 0\)이고 \(y \ge 0\)이라고 가정합시다. \([0, \pi/2]\)에서 \(C\)는 \(1\)에서 \(0\)으로 감소합니다. 따라서 \(C(t) = x\)인 \(t \in [0, \pi/2]\)가 존재합니다. \(C^2 + S^2 = 1\)이고 \([0, \pi/2]\)에서 \(S \ge 0\)이므로, \(z = E(it)\)가 따릅니다. 만약 \(x < 0\)이고 \(y \ge 0\)이라면, 이전 조건은 \(-iz\)에 의해 충족됩니다. 따라서 \(-iz = E(it)\)인 \(t \in [0, \pi/2]\)가 존재하고, \(i = E(i\pi/2)\)이므로, 우리는 \(z = E(i(t + \pi/2))\)를 얻습니다. 마지막으로, 만약 \(y < 0\)이라면, 이전 두 경우는 다음을 보여줍니다.

THE ALGEBRAIC COMPLETENESS OF THE COMPLEX FIELD

이제 우리는 complex field가 algebraically complete하다는 사실, 즉 complex coefficient를 가진 모든 nonconstant polynomial이 complex root를 가진다는 사실을 간단히 증명할 수 있습니다.

8.8 Theorem

\(a_0, \dots, a_n\)이 complex number이고, \(n \ge 1\), \(a_n \ne 0\)이라고 가정합니다. \(P(z) = \sum_{k=0}^n a_k z^k\) 그러면 어떤 complex number \(z\)에 대해 \(P(z) = 0\)입니다.

Proof 일반성을 잃지 않고 \(a_n = 1\)이라고 가정합시다. 다음을 설정합니다. (55) \(\mu = \inf \vert P(z) \vert \quad (z \text{ complex})\) 만약 \(z = R\)이라면, (56) \(\vert P(z) \vert \ge R^n [1 - \vert a_{n-1} \vert R^{-1} - \dots - \vert a_0 \vert R^{-n}]\)

FOURIER SERIES

8.9 Definition

trigonometric polynomial은 다음 형태의 finite sum입니다. (59) \(f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^N (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \quad (x \text{ real})\) 여기서 \(a_0, \dots, a_n, b_1, \dots, b_N\)은 complex number입니다. identity (46)에 따라, (59)는 다음 형태로도 쓸 수 있습니다. (60) \(f(x) = \sum_{n=-N}^N c_n e^{inx} \quad (x \text{ real})\) 이는 대부분의 목적에 더 편리합니다. 모든 trigonometric polynomial이 period \(2\pi\)를 가진 periodic임은 분명합니다.

만약 \(n\)이 nonzero integer라면, \(e^{inx}\)는 \(e^{inx}/(in)\)의 derivative이며, 이것도 period \(2\pi\)를 가집니다. 따라서 (61) \(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{inx} dx = \begin{cases} 1 & (\text{if } n = 0) \\ 0 & (\text{if } n = \pm 1, 2, \dots) \end{cases}\)

8.10 Definition

\(\{ \phi_n \} \quad (n = 1, 2, 3, \dots)\)를 \([a, b]\)에서 complex function의 sequence라고 합시다. (64) \(\int_a^b \phi_n(x) \phi_m(x) dx = 0 \quad (n \ne m)\) 그러면 \(\{ \phi_n \}\)은 \([a, b]\)에서 orthogonal system of functions라고 불립니다. 만약 추가적으로, (65) \(\int_a^b \vert \phi_n(x) \vert^2 dx = 1\) 모든 \(n\)에 대해, \(\{ \phi_n \}\)은 orthonormal이라고 불립니다. 예를 들어, function \((2\pi)^{-1/2} e^{inx}\)는 \([-\pi, \pi]\)에서 orthonormal system을 형성합니다. real function \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\cos 2x}{\sqrt{\pi}}, \frac{\sin 2x}{\sqrt{\pi}}, \dots\) 도 마찬가지입니다. 만약 \(\{ \phi_n \}\)이 \([a, b]\)에서 orthonormal이고 (66) \(c_n = \int_a^b f(t)\phi_n(t) dt \quad (n = 1, 2, 3, \dots)\) 이면, 우리는 \(c_n\)을 \(f\)에 대한 n-th Fourier coefficient라고 부릅니다. 우리는 다음을 씁니다. (67) \(f(x) \sim \sum c_n \phi_n(x)\) 그리고 이 series를 \(f\)의 Fourier series ( \(\{ \phi_n \}\)에 대한)라고 부릅니다. (67)에서 사용된 기호 \(\sim\)은 series의 convergence에 대해 아무것도 의미하지 않습니다. 단지 coefficient가 (66)에 의해 주어진다는 것을 의미합니다. 다음 theorem들은 Fourier series의 partial sum이 특정 minimum property를 가짐을 보여줍니다. 우리는 여기서 그리고 이 장의 나머지 부분에서 \(f \in \mathcal{R}\)이라고 가정할 것이지만, 이 hypothesis는 약화될 수 있습니다.

8.11 Theorem

\(\{ \phi_m \}\)이 \([a, b]\)에서 orthonormal이라고 가정합니다. \(f\)의 Fourier series의 n-th partial sum을 (68) \(S_n(x) = \sum_{m=1}^n c_m \phi_m(x)\) 이라고 하고, 다음을 가정합니다. (69) \(t_n(x) = \sum_{m=1}^n \gamma_m \phi_m(x)\) 그러면 (70) \(\int_a^b \vert f - S_n \vert^2 dx = \int_a^b \vert f - t_n \vert^2 dx\) 이고, 다음의 경우에만 등식이 성립합니다. (71) \(\gamma_m = c_m \quad (m = 1, \dots, n)\) 즉, 모든 function \(t_n\) 중에서 \(S_n\)이 \(f\)에 대한 mean square approximation을 가장 잘 제공합니다.

8.12 Theorem

만약 \(\{ \phi_n \}\)이 \([a, b]\)에서 orthonormal이고 \(f(x) \sim \sum_{n=1}^\infty c_n \phi_n(x)\) 이면 (73) \(\sum_{n=1}^\infty \vert c_n \vert^2 \le \int_a^b \vert f(x) \vert^2 dx\) 특히, (74) \(\lim_{n \to \infty} c_n = 0\)

Proof (72)에서 \(n \to \infty\)로 두면, 우리는 (73), 즉 Bessel inequality를 얻습니다.

8.13 Trigonometric series

이제부터 우리는 trigonometric system만 다룰 것입니다. 우리는 period \(2\pi\)를 가지고 \([-\pi, \pi]\)에서 Riemann-integrable인 function \(f\)를 고려할 것입니다 (따라서 모든 bounded interval에서). \(f\)의 Fourier series는 coefficient \(c_n\)이 integral (62)에 의해 주어지는 series (63)이며, (75) \(S_N(x) = S_N(f; x) = \sum_{n=-N}^N c_n e^{inx}\)

8.14 Theorem

만약 어떤 \(x\)에 대해 \(\delta > 0\)과 \(M < \infty\)인 constant가 존재하여 (79) \(\vert f(x + t) - f(x) \vert \le M\vert t \vert\) 모든 \(t \in (-\delta, \delta)\)에 대해, 그러면 (80) \(\lim_{N \to \infty} S_N(f; x) = f(x)\)

Proof \(0 < \vert t \vert \le \pi\)에 대해 \(g(0) = 0\)으로 두고 다음을 설정합니다. \(g(t) = \frac{f(x - t) - f(x)}{\sin(t/2)}\) (77)의 정의에 의해, \(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi D_N(x) dx = 1\) 따라서 (78)은 다음을 보여줍니다. \(S_N(f; x) - f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi g(t) \sin((N + 1/2)t) dt\) \(= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi [g(t) \cos(t/2)] \sin Nt dt + \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi [g(t) \sin(t/2)] \cos Nt dt\) (79)와 (81)에 의해, \(g(t) \cos(t/2)\)와 \(g(t) \sin(t/2)\)는 bounded입니다. 마지막 두 integral은 \(N \to \infty\)일 때 \(0\)으로 향합니다 (74에 의해). 이는 (80)을 증명합니다.

Corollary 만약 어떤 segment \(J\)의 모든 \(x\)에 대해 \(f(x) = 0\)이라면, \(J\)의 모든 \(x\)에 대해 \(\lim S_N(f; x) = 0\)입니다.

다음은 이 corollary의 또 다른 공식화입니다. 만약 \(x\)의 어떤 neighborhood의 모든 \(t\)에 대해 \(f(t) = g(t)\)라면, \(S_N(f; x) - S_N(g; x) = S_N(f - g; x) \to 0\) as \(N \to \infty\)입니다. 이것은 일반적으로 localization theorem이라고 불립니다. 이는 convergence에 관한 sequence \(\{S_N(f; x)\}\)의 behavior가 \(x\)의 (임의로 작은) neighborhood에서 \(f\)의 value에만 의존한다는 것을 보여줍니다. 두 Fourier series는 한 interval에서 동일한 behavior를 가질 수 있지만, 다른 interval에서는 완전히 다른 방식으로 behavior할 수 있습니다. 우리는 여기서 Fourier series와 power series (Theorem 8.5) 사이에 매우 놀라운 대조를 가집니다. 우리는 두 가지 다른 approximation theorem으로 결론을 내립니다.

8.15 Theorem

만약 \(f\)가 continuous이고 (period \(2\pi\)를 가짐) \(\varepsilon > 0\)이라면, 다음을 만족하는 trigonometric polynomial \(P\)가 존재합니다. \(\vert P(x) - f(x) \vert < \varepsilon\) 모든 real \(x\)에 대해.

Proof 만약 우리가 \(x\)와 \(x + 2\pi\)를 동일시한다면, 우리는 mapping \(x \to e^{ix}\)를 통해 \(\mathbb{R}^1\)의 2π-periodic function을 unit circle \(T\)의 function으로 간주할 수 있습니다. trigonometric polynomial, 즉 (60)의 형태를 가진 function들은 \(T\)에서 point를 separate하고 \(T\)의 어떤 point에서도 사라지지 않는 self-adjoint algebra를 형성합니다. \(T\)는 compact이므로, Theorem 7.33은 이 algebra가 \(\mathcal{C}(T)\)에서 dense임을 알려줍니다. 이것이 바로 theorem이 주장하는 바입니다.

8.16 Parseval’s theorem

\(f\)와 \(g\)가 period \(2\pi\)를 가진 Riemann-integrable function이고 (82) \(f(x) \sim \sum_{-\infty}^\infty c_n e^{inx}, \quad g(x) \sim \sum_{-\infty}^\infty \gamma_n e^{inx}\) 이면 (83) \(\lim_{N \to \infty} \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \vert f(x) - S_N(f; x) \vert^2 dx = 0\) (84) \(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)} dx = \sum_{-\infty}^\infty c_n \overline{\gamma_n}\) (85) \(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \vert f(x) \vert^2 dx = \sum_{-\infty}^\infty \vert c_n \vert^2\)

Proof notation (86) \(\Vert h \Vert_2 = \left\{ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \vert h(x) \vert^2 dx \right\}^{1/2}\) 를 사용합시다. \(\varepsilon > 0\)이 주어졌다고 합시다. \(f \in \mathcal{R}\)이고 \(f(\pi) = f(-\pi)\)이므로, Chapter 6의 Exercise 12에 설명된 구성은 다음을 만족하는 continuous 2π-periodic function \(h\)를 생성합니다. (87) \(\Vert f - h \Vert_2 < \varepsilon\) Theorem 8.15에 의해, \(\vert h(x) - P(x) \vert < \varepsilon\)인 trigonometric polynomial \(P\)가 모든 \(x\)에 대해 존재합니다. 따라서 \(\Vert h - P \Vert_2 < \varepsilon\)입니다. 만약 \(P\)가 degree \(N_0\)를 가진다면, Theorem 8.11은 다음을 보여줍니다. (88) \(\Vert h - S_N(h) \Vert_2 \le \Vert h - P \Vert_2 < \varepsilon\) 모든 \(N \ge N_0\)에 대해. (72)를 \(f\) 대신 \(h - f\)에 적용하면, (89) \(\Vert S_N(h) - S_N(f) \Vert_2 = \Vert S_N(h - f) \Vert_2 \le \Vert h - f \Vert_2 < \varepsilon\) 이제 triangle inequality (Chapter 6, Exercise 11)를 (87), (88), (89)와 결합하면 다음을 보여줍니다. (90) \(\Vert f - S_N(f) \Vert_2 < 3\varepsilon \quad (N \ge N_0)\) 이는 (83)을 증명합니다. 다음으로, (91) \(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi S_N(f)\overline{g} dx = \sum_{n=-N}^N c_n \overline{\gamma_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi e^{inx}\overline{g(x)} dx = \sum_{n=-N}^N c_n \overline{\gamma_n}\) 그리고 Schwarz inequality는 다음을 보여줍니다. (92) \(\left\vert \int f\overline{g} - \int S_N(f)\overline{g} \right\vert \le \Vert f - S_N(f) \Vert_2 \Vert g \Vert_2\)

THE GAMMA FUNCTION

이 function은 factorial과 밀접하게 관련되어 있으며 analysis에서 예상치 못한 많은 곳에서 나타납니다. 그 기원, 역사 및 발전은 P. J. Davis (Amer. Math. Monthly, vol. 66, 1959, pp. 849-869)의 흥미로운 기사에 잘 설명되어 있습니다. Artin의 책 (Bibliography에 인용됨)은 또 다른 좋은 초등 소개서입니다. 우리의 발표는 매우 간결하며, 각 theorem 뒤에 몇 가지 comment만 추가할 것입니다. 따라서 이 섹션은 큰 exercise로 간주될 수 있으며, 지금까지 제시된 자료를 적용할 기회로 간주될 수 있습니다.

8.17 Definition

\(0 < x < \infty\)에 대해, (93) \(\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} dt\) 이 integral은 이러한 \(x\)에 대해 converge합니다. ( \(x < 1\)일 때는 \(0\)과 \(\infty\) 모두를 고려해야 합니다.)

8.18 Theorem

(a) functional equation \(\Gamma(x + 1) = x\Gamma(x)\) 은 \(0 < x < \infty\)일 때 성립합니다. (b) \(\Gamma(n + 1) = n!\) for \(n = 1, 2, 3, \dots\)입니다. (c) \(\log \Gamma\)는 \((0, \infty)\)에서 convex입니다.

Proof integration by parts는 (a)를 증명합니다. \(\Gamma(1) = 1\)이므로, (a)는 induction에 의해 (b)를 의미합니다. 만약 \(1 < p < \infty\)이고 \((1/p) + (1/q) = 1\)이라면, (93)에 Hölder’s inequality (Chapter 6, Exercise 10)를 적용하여 다음을 얻습니다. \(\Gamma\left(\frac{x+y}{2}\right) \le \Gamma(x)^{1/p} \Gamma(y)^{1/q}\) 이는 (c)와 동등합니다. 이 세 가지 property가 \(\Gamma\)를 완전히 특징짓는다는 것은 Bohr와 Mollerup에 의해 발견된 다소 놀라운 사실입니다.

8.19 Theorem

만약 \(f\)가 \((0, \infty)\)에서 positive function이고 다음을 만족한다면 (a) \(f(x + 1) = xf(x)\), (b) \(f(1) = 1\), (c) \(\log f\)가 convex라면, \(f(x) = \Gamma(x)\)입니다.

Proof \(\Gamma\)는 (a), (b), (c)를 만족하므로, 모든 \(x > 0\)에 대해 \(f(x)\)가 (a), (b), (c)에 의해 유일하게 결정됨을 증명하는 것으로 충분합니다. (a)에 의해, \(x \in (0, 1)\)에 대해 이를 증명하는 것으로 충분합니다. \(\phi = \log f\)로 둡니다. 그러면 (94) \(\phi(x + 1) = \phi(x) + \log x \quad (0 < x < \infty)\) \(\phi(1) = 0\)이고 \(\phi\)는 convex입니다. \(0 < x < 1\)이고 \(n\)이 positive integer라고 가정합니다. (94)에 의해, \(\phi(n + 1) = \log(n!)\)입니다. interval \([n, n + 1]\), \([n + 1, n + 1 + x]\), \([n + 1, n + 2]\)에서 \(\phi\)의 difference quotient를 고려합니다. \(\phi\)는 convex이므로 \(\log n \le \frac{\phi(n + 1 + x) - \phi(n + 1)}{x} \le \log(n + 1)\) (94)를 반복적으로 적용하면 다음을 얻습니다. \(\phi(n + 1 + x) = \phi(x) + \log [x(x + 1)\dots(x + n)]\) 따라서 \(0 \le \phi(x) - \log \left[ \frac{n!n^x}{x(x + 1)\dots(x + n)} \right] \le x \log\left(1 + \frac{1}{n}\right)\) 마지막 표현은 \(n \to \infty\)일 때 \(0\)으로 향합니다. 따라서 \(\phi(x)\)는 결정되고, 증명이 완료됩니다.

by-product로 우리는 다음 관계를 얻습니다. (95) \(\Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n!n^x}{x(x + 1)\dots(x + n)}\) 적어도 \(0 < x < 1\)일 때; 이로부터 \(\Gamma(x + 1) = x\Gamma(x)\)이므로 (95)가 모든 \(x > 0\)에 대해 성립함을 추론할 수 있습니다.

8.20 Theorem

만약 \(x > 0\)이고 \(y > 0\)이라면, (96) \(\int_0^1 t^{x-1}(1 - t)^{y-1} dt = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}\) 이 integral은 beta function \(B(x, y)\)라고 불립니다.

8.21 Some consequences

substitution \(t = \sin^2 \theta\)는 (96)을 다음으로 바꿉니다. (98) \(2 \int_0^{\pi/2} (\sin \theta)^{2x-1} (\cos \theta)^{2y-1} d\theta = \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x + y)}\) special case \(x = y = 1/2\)는 다음을 제공합니다. (99) \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\) substitution \(t = s^2\)는 (93)을 다음으로 바꿉니다. (100) \(\Gamma(x) = 2 \int_0^\infty s^{2x-1} e^{-s^2} ds \quad (0 < x < \infty)\) special case \(x = 1/2\)는 다음을 제공합니다. (101) \(\int_0^\infty e^{-s^2} ds = \sqrt{\pi}\) (99)에 의해, identity (102) \(\Gamma(x) = \frac{2^{x-1}}{\sqrt{\pi}} \Gamma\left(\frac{x}{2}\right) \Gamma\left(\frac{x+1}{2}\right)\) 는 Theorem 8.19로부터 직접 따릅니다.

8.22 Stirling’s formula

이것은 \(x\)가 클 때 (따라서 \(n\)이 클 때 \(n!\)에 대해) \(\Gamma(x + 1)\)에 대한 간단한 approximate expression을 제공합니다. formula는 다음과 같습니다. (103) \(\lim_{x \to \infty} \frac{\Gamma(x + 1)}{(x/e)^x \sqrt{2\pi x}} = 1\)

다음은 증명입니다. (93)에 \(t = x(1 + u)\)를 대입합니다. 그러면 다음을 얻습니다. (104) \(\Gamma(x + 1) = x^{x+1} e^{-x} \int_{-1}^\infty [(1 + u)e^{-u}]^x du\) \(h(0) = 1\)이 되도록 \(h(u)\)를 결정하면 다음과 같습니다. (105) \((1 + u)e^{-u} = \exp\left[-\frac{u^2}{2} h(u)\right]\) 만약 \(-1 < u < \infty\), \(u \ne 0\)이라면. 그러면 (106) \(h(u) = \frac{2}{u^2} [u - \log (1 + u)]\) 이는 \(h\)가 continuous이고, \(u\)가 \(-1\)에서 \(\infty\)로 증가함에 따라 \(h(u)\)가 \(\infty\)에서 \(0\)으로 monotonically decrease함을 의미합니다. substitution \(u = s \sqrt{2/x}\)는 (104)를 다음으로 바꿉니다. (107) \(\Gamma(x + 1) = x^x e^{-x} \sqrt{2x} \int_{-\infty}^\infty \psi_x(s) ds\) 여기서 \(\psi_x(s) = \begin{cases} \exp[-s^2 h(s\sqrt{2/x})] & (-\sqrt{x/2} < s < \infty) \\ 0 & (s \le -\sqrt{x/2}) \end{cases}\) \(\psi_x(s)\)에 대한 다음 사실들을 주목하십시오. (a) 모든 \(s\)에 대해, \(x \to \infty\)일 때 \(\psi_x(s) \to e^{-s^2}\)입니다. (b) (a)에서의 convergence는 모든 \(A < \infty\)에 대해 \([-A, A]\)에서 uniform입니다. (c) \(s < 0\)일 때, \(0 < \psi_x(s) < e^{-s^2}\)입니다. (d) \(s > 0\)이고 \(x > 1\)일 때, \(0 < \psi_x(s) < \psi_1(s)\)입니다. (e) \(\int_0^\infty \psi_1(s) ds < \infty\)입니다. 따라서 Chapter 7의 Exercise 12에 명시된 convergence theorem을 integral (107)에 적용할 수 있으며, (101)에 의해 이 integral이 \(x \to \infty\)일 때 \(\sqrt{\pi}\)로 converge함을 보여줍니다. 이는 (103)을 증명합니다. 이 증명의 더 자세한 버전은 R. C. Buck의 “Advanced Calculus”, pp. 216-218에서 찾을 수 있습니다. 완전히 다른 두 가지 증명에 대해서는 W. Feller의 Amer. Math. Monthly, vol. 74, 1967, pp. 1223-1225 (vol. 75, 1968, p. 518의 수정 포함)에 실린 기사와 Artin의 책 pp. 20-24를 참조하십시오. Exercise 20은 덜 정확한 결과에 대한 더 간단한 증명을 제공합니다.

EXERCISES

1. 정의하십시오. \(f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & (x \ne 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}\) \(f\)가 \(x = 0\)에서 모든 order의 derivative를 가지며, \(n = 1, 2, 3, \dots\)에 대해 \(f^{(n)}(0) = 0\)임을 증명하십시오.

2. array의 i-th row와 j-th column에 있는 숫자를 \(a_{ij}\)라고 합시다.

   -1	0	0	...
   1/2	-1	0	...
   1/4	1/2	-1	...
   ...	...	...	...

   다음과 같이 되도록 \(a_{ij} = \begin{cases} 0 & (i < j) \\ -1 & (i = j) \\ 1/(2^{i-j}) & (i > j) \end{cases}\) \(\sum_i \sum_j a_{ij} = -2\), \(\sum_j \sum_i a_{ij} = 0\)임을 증명하십시오.

3. \(\sum_i \sum_j a_{ij} = \sum_j \sum_i a_{ij}\)임을 증명하십시오. 만약 모든 \(i\)와 \(j\)에 대해 \(a_{ij} \ge 0\)이라면 (case \(+\infty = +\infty\)가 발생할 수 있음).

4. 다음 limit relation을 증명하십시오. (a) \(\lim_{x \to 0} \frac{b^x - 1}{x} = \log b \quad (b > 0)\) (b) \(\lim_{x \to 0} \frac{\log(1 + x)}{x} = 1\) (c) \(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e\) (d) \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x\)

5. 다음 limit를 구하십시오. (a) \(\lim_{x \to 0} \frac{e - (1 + x)^{1/x}}{x}\) (b) \(\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\log n} [n^{1/n} - 1]\) (c) \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x(1 - \cos x)}\) (d) \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{\tan x - x}\)

6. 모든 real \(x\)와 \(y\)에 대해 \(f(x)f(y) = f(x + y)\)라고 가정합니다. (a) \(f\)가 differentiable이고 zero가 아니라고 가정하고, \(f(x) = e^{cx}\)임을 증명하십시오. 여기서 \(c\)는 constant입니다. (b) \(f\)가 continuous라고만 가정하고 동일한 것을 증명하십시오.

7. 만약 \(0 < x < \pi/2\)라면, 다음을 증명하십시오. \(\frac{2}{\pi} \frac{\sin x}{x} < 1\)

8. \(n = 0, 1, 2, \dots\)이고 real \(x\)에 대해, 다음을 증명하십시오. \(\vert \sin nx \vert \le n\vert \sin x \vert\) 이 inequality가 다른 value의 \(n\)에 대해서는 거짓일 수 있음에 유의하십시오. 예를 들어, \(\vert \sin(\pi/2) \vert > \vert \sin \pi \vert\)입니다.

9. (a) \(S_N = 1 + (1/2) + \dots + (1/N)\)로 두고 다음을 증명하십시오. \(\lim_{N \to \infty} (S_N - \log N)\) 이 존재합니다. (이 limit는 종종 \(\gamma\)로 표시되며, Euler’s constant라고 불립니다. 그 numerical value는 \(0.5772\dots\)입니다. \(\gamma\)가 rational인지 아닌지는 알려져 있지 않습니다.) (b) 대략적으로 \(N = 10^m\)이 \(S_N > 100\)을 만족하려면 \(m\)이 얼마나 커야 합니까?

10. \(\sum 1/p\)가 diverge함을 증명하십시오. 이 sum은 모든 prime number에 걸쳐 확장됩니다. (이는 prime number가 positive integer의 상당히 substantial subset을 형성함을 보여줍니다.)

11. \(A < \infty\)인 모든 \(A\)에 대해 \([0, A]\)에서 \(f \in \mathcal{R}\)이고, \(x \to +\infty\)일 때 \(f(x) \to 1\)이라고 가정합니다. 다음을 증명하십시오. \(\lim_{t \to 0} \int_0^\infty e^{-tx} f(x) dx = 1 \quad (t > 0)\)

12. \(0 < \delta < \pi\)이고, \(\vert x \vert < \delta\)이면 \(f(x) = 1\), \(\delta < \vert x \vert \le \pi\)이면 \(f(x) = 0\), 그리고 모든 \(x\)에 대해 \(f(x + 2\pi) = f(x)\)라고 가정합니다. (a) \(f\)의 Fourier coefficient를 계산하십시오. (b) 다음을 결론으로 도출하십시오. \(\sum \frac{\sin(n\delta)}{n} = \frac{\pi - \delta}{2} \quad (0 < \delta < \pi)\) (c) Parseval’s theorem으로부터 다음을 추론하십시오. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^2(n\delta)}{n^2} = \frac{\pi - \delta}{2}\) (d) \(\delta \to 0\)으로 두고 다음을 증명하십시오. \(\int_0^\infty \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 dx = \frac{\pi}{2}\) (e) (c)에서 \(\delta = \pi/2\)로 두면 무엇을 얻습니까?

13. \(0 < x < 2\pi\)이면 \(f(x) = x\)로 두고, Parseval’s theorem을 적용하여 다음을 결론으로 도출하십시오. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\)

14. 만약 \(f(x) = (\pi - \vert x \vert)^2\)가 \([-\pi, \pi]\)에서 정의된다면, 다음을 증명하십시오. \(f(x) = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{n^2} \cos nx\) 그리고 다음을 추론하십시오. \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}, \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}\)

15. (77)에서 정의된 \(D_N\)을 사용하여, 다음을 설정합니다. \(K_N(x) = \frac{1}{N+1} \sum_{n=0}^N D_n(x)\) 다음을 증명하십시오. \(K_N(x) = \frac{1}{N+1} \frac{1 - \cos((N+1)x)}{1 - \cos x}\) 그리고 다음을 증명하십시오. (a) \(K_N \ge 0\) (b) \(\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi K_N(x) dx = 1\) (c) \(K_N(x) \le \frac{1}{(N+1)(1 - \cos \delta)}\) if \(0 < \delta \le \vert x \vert \le \pi\) 만약 \(S_N = S_N(f; x)\)가 \(f\)의 Fourier series의 N-th partial sum이라면, arithmetic mean \(\sigma_N = \frac{S_0 + S_1 + \dots + S_N}{N+1}\) 을 고려하십시오. 다음을 증명하십시오. \(\sigma_N(f; x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x - t) K_N(t) dt\) 그리고 따라서 Fejér’s theorem을 증명하십시오. 만약 \(f\)가 continuous이고 (period \(2\pi\)를 가짐) 그러면 \([-\pi, \pi]\)에서 \(\sigma_N(f; x) \to f(x)\)가 uniformly converge합니다. Hint: property (a), (b), (c)를 사용하여 Theorem 7.26과 같이 진행하십시오.

16. Fejér’s theorem의 pointwise version을 증명하십시오. 만약 \(f \in \mathcal{R}\)이고 어떤 \(x\)에 대해 \(f(x+)\)와 \(f(x-)\)가 존재한다면, \(\lim_{N \to \infty} \sigma_N(f; x) = \frac{1}{2} [f(x+) + f(x-)]\)

17. \(f\)가 \([-\pi, \pi)\)에서 bounded이고 monotonic하며, (62)에 의해 주어진 Fourier coefficient \(c_n\)을 가진다고 가정합니다. (a) Chapter 6의 Exercise 17을 사용하여 \(\{nc_n\}\)이 bounded sequence임을 증명하십시오. (b) (a)를 Exercise 16 및 Chapter 3의 Exercise 14(e)와 결합하여 다음을 결론으로 도출하십시오. \(\lim_{N \to \infty} S_N(f; x) = \frac{1}{2} [f(x+) + f(x-)]\) 모든 \(x\)에 대해. (c) \([-\pi, \pi]\)에서 \(f \in \mathcal{R}\)이고 \(f\)가 어떤 segment \((\alpha, \beta) \subset [-\pi, \pi]\)에서 monotonic하다고만 가정합니다. (b)의 결론이 모든 \(x \in (\alpha, \beta)\)에 대해 성립함을 증명하십시오. (이것은 localization theorem의 적용입니다.)

18. 정의하십시오. \(f(x) = x^3 - \sin^2 x \tan x\) \(g(x) = 2x^2 - \sin^2 x - x \tan x\) 이 두 function 각각에 대해, \(x \in (0, \pi/2)\)의 모든 \(x\)에 대해 positive인지 negative인지, 또는 sign이 바뀌는지 알아보십시오. 답을 증명하십시오.

19. \(f\)가 \(\mathbb{R}^1\)에서 continuous function이고, \(f(x + 2\pi) = f(x)\)이며, \(\alpha/\pi\)가 irrational이라고 가정합니다. 다음을 증명하십시오. \(\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N f(x + n\alpha) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi f(t) dt\) 모든 \(x\)에 대해. Hint: 먼저 \(f(x) = e^{ikx}\)에 대해 수행하십시오.

20. 다음 간단한 계산은 Stirling’s formula에 대한 좋은 approximation을 제공합니다. \(m = 1, 2, 3, \dots\)에 대해, 다음을 정의하십시오. \(f(x) = (m + 1 - x) \log m + (x - m) \log(m + 1)\) 만약 \(m \le x \le m + 1\)이라면, 그리고 다음을 정의하십시오. \(g(x) = x/m - 1 + \log m\) 만약 \(m - 1/2 \le x \le m + 1/2\)이라면. \(f\)와 \(g\)의 graph를 그리십시오. \(x \ge 1\)일 때 \(f(x) \le \log x \le g(x)\)임을 주목하십시오. 그리고 다음을 주목하십시오. \(\int_1^n f(x) dx = \log(n!) - n \log n > -1/2 + \int_1^n g(x) dx\) \([1, n]\)에서 \(\log x\)를 integrate하십시오. 다음을 결론으로 도출하십시오. \(1/2 < \log(n!) - (n + 1/2) \log n + n < 1\) \(n = 2, 3, 4, \dots\)에 대해. (Note: \(\log \sqrt{2\pi} \sim 0.918\dots\)) 따라서 \(e^{7/8} < \frac{n!}{(n/e)^n \sqrt{n}} < e\)

21. 다음을 설정합니다. \(L_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \vert D_n(t) \vert dt \quad (n = 1, 2, 3, \dots)\) \(C > 0\)인 constant가 존재하여 \(L_n > C \log n \quad (n = 1, 2, 3, \dots)\) 임을 증명하십시오. 또는 더 정확하게는, sequence \(L_n - \frac{4}{\pi^2} \log n\) 이 bounded임을 증명하십시오.

22. 만약 \(\alpha\)가 real이고 \(-1 < x < 1\)이라면, Newton’s binomial theorem \((1 + x)^\alpha = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{\alpha(\alpha - 1)\dots(\alpha - n + 1)}{n!} x^n\) 을 증명하십시오. Hint: 우변을 \(f(x)\)로 표시하십시오. series가 converge함을 증명하십시오. \((1 + x)f'(x) = \alpha f(x)\)임을 증명하고 이 differential equation을 푸십시오. 또한 다음을 보여주십시오. \(\frac{1}{(1 - x)^\alpha} = \sum_{n=0}^\infty \binom{n+\alpha}{n} \frac{x^n}{\Gamma(\alpha)}\) 만약 \(-1 < x < 1\)이고 \(\alpha > 0\)이라면.

23. \(\gamma\)를 complex plane에서 parameter interval \([a, b]\)를 가진 continuously differentiable closed curve라고 하고, 모든 \(t \in [a, b]\)에 대해 \(\gamma(t) \ne 0\)이라고 가정합니다. \(\gamma\)의 index를 다음으로 정의합니다. \(\text{Ind}(\gamma) = \frac{1}{2\pi i} \int_a^b \frac{\gamma'(t)}{\gamma(t)} dt\) \(\text{Ind}(\gamma)\)가 항상 integer임을 증명하십시오. Hint: \([a, b]\)에 \(\phi' = \gamma'/\gamma\), \(\phi(a) = 0\)인 \(\phi\)가 존재합니다. 따라서 \(\gamma \exp(-\phi)\)는 constant입니다. \(\gamma(a) = \gamma(b)\)이므로 \(\exp \phi(b) = \exp \phi(a) = 1\)이 따릅니다. \(\phi(b) = 2\pi i \text{Ind}(\gamma)\)임을 주목하십시오. \(\gamma(t) = e^{int}\), \(a = 0\), \(b = 2\pi\)일 때 \(\text{Ind}(\gamma)\)를 계산하십시오. \(\text{Ind}(\gamma)\)가 종종 \(0\) 주변의 \(\gamma\)의 winding number라고 불리는 이유를 설명하십시오.

24. Exercise 23과 같이 \(\gamma\)가 있다고 가정하고, 추가적으로 \(\gamma\)의 range가 negative real axis와 교차하지 않는다고 가정합니다. \(\text{Ind}(\gamma) = 0\)임을 증명하십시오. Hint: \(0 < c < \infty\)에 대해, \(\text{Ind}(\gamma + c)\)는 \(c\)의 continuous integer-valued function입니다. 또한, \(c \to \infty\)일 때 \(\text{Ind}(\gamma + c) \to 0\)입니다.

25. Exercise 23과 같이 \(\gamma_1\)과 \(\gamma_2\)가 curve이고, \(\vert \gamma_1(t) - \gamma_2(t) \vert < \vert \gamma_1(t) \vert \quad (a \le t \le b)\) 라고 가정합니다. \(\text{Ind}(\gamma_1) = \text{Ind}(\gamma_2)\)임을 증명하십시오. Hint: \(\gamma = \gamma_2/\gamma_1\)로 두십시오. 그러면 \(\vert 1 - \gamma \vert < 1\)이므로, Exercise 24에 의해 \(\text{Ind}(\gamma) = 0\)입니다. 또한, \(\frac{\gamma_1'}{\gamma_1} - \frac{\gamma_2'}{\gamma_2} = \frac{\gamma_1'\gamma_2 - \gamma_2'\gamma_1}{\gamma_1\gamma_2}\)

26. \(\gamma\)를 complex plane에서 parameter interval \([0, 2\pi]\)를 가진 closed curve라고 하고 (differentiable일 필요는 없음), 모든 \(t \in [0, 2\pi]\)에 대해 \(\gamma(t) \ne 0\)이라고 가정합니다. \(\vert \gamma(t) \vert > \delta\)인 \(\delta > 0\)을 선택하십시오. 모든 \(t \in [0, 2\pi]\)에 대해 \(\vert P_i(t) - \gamma(t) \vert < \delta/4\)인 trigonometric polynomial \(P_1\)과 \(P_2\)가 존재한다면 (그들의 존재는 Theorem 8.15에 의해 보장됨), \(\text{Ind}(P_1) = \text{Ind}(P_2)\) 임을 Exercise 25를 적용하여 증명하십시오. 이 공통된 value를 \(\text{Ind}(\gamma)\)로 정의하십시오. Exercise 24와 25의 statement가 어떤 differentiability assumption 없이도 성립함을 증명하십시오.

27. \(f\)가 complex plane에서 정의된 continuous complex function이라고 가정합니다. positive integer \(n\)과 \(c \ne 0\)인 complex number가 존재하여 \(\lim_{\vert z \vert \to \infty} z^{-n} f(z) = c\) 임을 가정합니다. 적어도 하나의 complex number \(z\)에 대해 \(f(z) = 0\)임을 증명하십시오. 이것은 Theorem 8.8의 일반화입니다. Hint: 모든 \(z\)에 대해 \(f(z) \ne 0\)이라고 가정하고, 다음을 정의하십시오. \(\gamma_r(t) = f(re^{it})\) \(0 < r < \infty\), \(0 \le t \le 2\pi\)에 대해, 그리고 curve \(\gamma_r\)에 대한 다음 statement를 증명하십시오. (a) \(\text{Ind}(\gamma_0) = 0\) (b) 충분히 큰 모든 \(r\)에 대해 \(\text{Ind}(\gamma_r) = n\) (c) \(\text{Ind}(\gamma_r)\)는 \([0, \infty)\)에서 \(r\)의 continuous function입니다. ([b]와 [c]에서는 Exercise 26의 마지막 부분을 사용하십시오.) \(n > 0\)이므로 (a), (b), (c)가 모순됨을 보여주십시오.

28. \(D\)를 complex plane의 closed unit disc라고 합시다. (따라서 \(\vert z \vert \le 1\)인 경우에만 \(z \in D\)입니다.) \(g\)를 \(D\)에서 unit circle \(T\)로의 continuous mapping이라고 합시다. (따라서 모든 \(z \in D\)에 대해 \(\vert g(z) \vert = 1\)입니다.) 적어도 하나의 \(z \in T\)에 대해 \(g(z) = -z\)임을 증명하십시오. Hint: \(0 < r \le 1\), \(0 \le t \le 2\pi\)에 대해 다음을 설정하십시오. \(\gamma_r(t) = g(re^{it})\) 그리고 \(\psi(t) = e^{-nt}\gamma_r(t)\)로 두십시오. 만약 모든 \(z \in T\)에 대해 \(g(z) \ne -z\)라면, 모든 \(t \in [0, 2\pi]\)에 대해 \(\psi(t) \ne -1\)입니다. 따라서 Exercise 24와 26에 의해 \(\text{Ind}(\psi) = 0\)입니다. 이는 \(\text{Ind}(\gamma_1) = 1\)임을 의미합니다. 그러나 \(\text{Ind}(\gamma_0) = 0\)입니다. Exercise 27과 같이 모순을 도출하십시오.

29. \(D\)에서 \(D\)로의 모든 continuous mapping \(f\)가 \(D\)에 fixed point를 가짐을 증명하십시오. (이것은 Brouwer’s fixed-point theorem의 2차원 case입니다.) Hint: 모든 \(z \in D\)에 대해 \(f(z) \ne z\)라고 가정하십시오. 각 \(z \in D\)에 대해 \(f(z)\)에서 시작하여 \(z\)를 통과하는 ray에 놓여 있는 point \(g(z) \in T\)를 연결하십시오. 그러면 \(g\)는 \(D\)를 \(T\)로 map하고, \(z \in T\)이면 \(g(z) = z\)이며, \(g(z) = z - s(z)[f(z) - z]\) 이므로 \(g\)는 continuous입니다. 여기서 \(s(z)\)는 coefficient가 \(f\)와 \(z\)의 continuous function인 특정 quadratic equation의 유일한 nonnegative root입니다. Exercise 28을 적용하십시오.

30. Stirling’s formula를 사용하여 다음을 증명하십시오. \(\lim_{x \to \infty} \frac{\Gamma(x + c)}{x^c \Gamma(x)} = 1\) 모든 real constant \(c\)에 대해.

31. Theorem 7.26의 증명에서 다음이 보여졌습니다. \(\int_{-1}^1 (1 - x^2)^n dx \ge \frac{4}{3\sqrt{n}}\) \(n = 1, 2, 3, \dots\)에 대해. Theorem 8.20과 Exercise 30을 사용하여 더 정확한 결과를 보여주십시오. \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} \int_{-1}^1 (1 - x^2)^n dx = \sqrt{\pi}\)